课时训练(12)函数图象的对称性及性质的综合（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

课时训练(12)　函数图象的对称性及性质的综合 一、单选题 1．已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(　　) A．(－1，2) B．(1，2) C．(－1，－2) D．(－2，1) A　解析：函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，又y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1，2). 2．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且f(x)在[0，2]上单调递减，则(　　) A．f(5)<f(4)<f(3) B．f(3)<f(4)<f(5) C．f(3)<f(5)<f(4) D．f(4)<f(5)<f(3) A　解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的函数，因为f(x)在[0，2]上单调递减，且在R上是奇函数，所以f(x)在[－2，0]上单调递减，所以f(1)<f(0)<f(－1)，即f(5)<f(4)<f(3).故选A． 3．(2025·长沙模拟)已知函数y＝f(x＋1)为奇函数，则函数y＝f(x)＋1的图象(　　) A．关于点(1，1)对称 B．关于点(1，－1)对称 C．关于点(－1，1)对称 D．关于点(－1，－1)对称 A　解析：因为函数y＝f(x＋1)为奇函数，所以y＝f(x＋1)的图象关于点(0，0)对称，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以函数y＝f(x)＋1的图象关于点(1，1)对称．故选A． 4．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(5)＝1，则f(2 025)＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D．3 B　解析：f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴f(－x)＝f(x＋2)，又f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(2 025)＝f(1)＝f(5)＝1. 5．(2025·武汉模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，若f(－2)＝1，则满足|f(2x)|≤1的x的取值范围是(　　) A．[－1，1] B．[－2，2] C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) A　解析：根据奇函数的性质，得f(x)在R上单调递减，且f(2)＝－1；由|f(2x)|≤1，得－1≤f(2x)≤1，即f(2)≤f(2x)≤f(－2)，所以－2≤2x≤2，解得－1≤x≤1. 6．设定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝ln x－1，则f()，f()，f()的大小关系为(　　) A．f()＜f()＜f() B．f()＜f()<f() C．f()＜f()<f() D．f()<f()＜f() C　解析：由题意知，函数f(x)的图象如图所示，f()＝f()，又因为f(x)在(－∞，1)上单调递减，所以f()＞f()>f()，即f()＞f()>f().故选C． 二、多选题 7．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x，恒有f(2－x)＝f(x)成立，且f(1)＝1，则(　　) A．(1，0)是函数f(x)的一个对称中心 B．函数f(x)的一个周期是4 C．f(3)＝－1 D．f(2)＝0 BCD　解析：f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，f(x)的图象关于点(0，0)对称，因为f(2－x)＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，f(x＋4)＝f(x)，且f(1)＝1，所以函数f(x)的周期为4，f(3)＝f(－1)＝－1，f(2)＝f(0)＝0.故选BCD． 8．(2025·无锡模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，则(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝1对称 B．f(x)的图象关于点(1，0)对称 C．f(x)的图象关于直线x＝2对称 D．f(x)的图象关于点(2，0)对称 AD　解析：因为f(x＋2)为奇函数，所以f(x＋2)＝－f(－x＋2)，所以函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，又f(2x＋1)为偶函数，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称． 三、填空题 9．已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝2a－3，则实数a的取值范围为________. 答案：(－∞，2)　解析： ∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)＜1，∴f(5)＝2a－3＜1，即a＜2. 10．与f(x)＝ex的图象关于直线x＝1对称的函数是________. 答案：y＝e2－x　解析：设函数f(x)＝ex的图象上的任意一点(x0，y0)关于直线x＝1对称的点的坐标为(x, y)，所以即因为点(x0, y0)在函数f(x)＝ex图象上，所以y0＝ex0，即y＝e2－x. 11．(2025·安康模拟)已知函数f(x)＝，则f(x)的图象(　　) A．关于点(，0)对称 B．关于直线x＝对称 C．关于点(0，)对称 D．关于直线x＝对称 C　解析：A，B选项，f(1)＝，f(2)＝，f(1)≠±f(2)，所以A，B选项错误；C选项，f(－x)＝，f(－x)＋f(x)＝＋＝＋＝＝3，所以f(x)的图象关于点(0，)对称，所以C选项正确；D选项，f(0)＝，f(0)≠±f(1)，所以D选项错误．故选C． 12．已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝(　　) A．0 B．m C．2m D．4m B　解析：∵f(x)＋f(－x)＝2，y＝＝1＋， ∴函数y＝f(x)与y＝的图象都关于点(0，1)对称，∴i＝0，i＝×2＝m，∴(xi＋yi)＝0＋m＝m. 13．若定义在R上的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)＝1，则满足上述条件的函数f(x)的一个解析式为________. 答案：f(x)＝1(答案不唯一，f(x)＝cos ωx也符合题意)　解析：令x＝0，则f(y)＋f(－y)＝2f(y)，所以f(－y)＝f(y)，所以函数f(x)为偶函数，可取f(x)＝1，则f(x＋y)＝f(x－y)＝f(x)＝f(y)＝1，所以∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，所以函数f(x)＝1符合题意． 14．已知函数f(x)＝是奇函数． (1)求a的值，并解关于x的不等式f(x)>； (2)求函数g(x)＝图象的对称中心． 解：(1)对任意的x∈R，2x＋2－x>0， 故函数f(x)的定义域为R， 又因为函数f(x)＝为奇函数， 则f(0)＝＝0，解得a＝1，所以f(x)＝， 下面验证函数f(x)＝为奇函数，f(－x)＝＝－f(x)， 故函数f(x)＝为奇函数， 由f(x)＝＝＝>，得2·4x>4，即22x＋1>22， 所以2x＋1>2，解得x>， 因此不等式f(x)>的解集为(，＋∞). (2)g(x)＝＝，则g(－x)＝， 所以g(x)＋g(－x)＝＝2， 因此函数g(x)＝图象的对称中心为(0，1). 学科网（北京）股份有限公司 $$