课时训练(11)函数的奇偶性与周期性（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

课时训练(11)　函数的奇偶性与周期性 一、单选题 1．下列函数为偶函数的是(　　) A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2－x B　解析：A中函数为奇函数，B中函数为偶函数，C与D中函数均为非奇非偶函数，故选B． 2．(2025·开封模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log3x，则f(－3)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 A　解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log3x，所以f(－3)＝－f(3)＝－log33＝－1. 3．已知函数f(x)满足对于任意的实数x，都有f(x＋2)＝－，且f(2)＝，则f(2 026)＝(　　) A．－ B． C．－1 D．1 B　解析：由f(x＋2)＝－，得f(x)的周期T＝4，f(2 026)＝f(506×4＋2)＝f(2)＝. 4．函数f(x)＝的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝x对称 B　解析：因为f(x)＝＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称． 5．设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x).若f(－)＝，则f()＝(　　) A．－ B．－ C． D． C　解析：因为f(x)是定义域为R的奇函数，则f(1＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，故f(x)是周期为2的周期函数，故f()＝f(－)＝. 6．(2024·长沙模拟)已知函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)－g(x)＝ex，则＝(　　) A． B． C． D． C　解析：因为函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)－g(x)＝ex，则f(－1)－g(－1)＝，即－f(1)－g(1)＝，而f(1)－g(1)＝e，联立解得f(1)＝(e－)＝，g(1)＝－·(e＋)＝－，所以＝. 二、多选题 7．若f(x)是奇函数，则下列说法正确的是(　　) A．|f(x)|一定是偶函数 B．f(x)f(－x)一定是偶函数 C．f(x)f(－x)≥0 D．f(－x)＋|f(x)|＝0 AB　解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x).对于A，|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，∴|f(x)|是偶函数，故A正确；对于B，令g(x)＝f(x)f(－x)，则g(－x)＝f(－x)f(x)＝g(x)，∴f(x)f(－x)是偶函数，故B正确；对于C，f(x)f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故C错误；对于D，f(－x)＋|f(x)|＝|f(x)|－f(x)＝0不一定成立，故D错误．故选AB． 8．已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)＝f(x＋2)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是周期函数 C．f()＝－1 D．x∈[－1，0)时，f(x)＝x AB　解析：因为定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故A正确；又f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，故B正确；设x∈[－1，0)，则－x∈(0，1]，所以f(－x)＝－x，又f(x)是偶函数，则f(x)＝－x，即当x∈[－1，0)时，f(x)＝－x，f()＝f(50－)＝f(－)＝－(－)＝，故C，D错误，故选AB． 三、填空题 9．写出一个定义域为R，周期为π的偶函数f(x)＝____________________. 答案：cos 2x(答案不唯一)　解析：y＝cos 2x满足定义域为R，最小正周期T＝＝π，且为偶函数，符合要求． 10．(2024·东北三省三校模拟)若f(x)＝＋1为奇函数，则实数a＝________. 答案：1　解析：函数f(x)＝＋1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0，即(＋1)＋(＋1)＝－＋2＝0，解得a＝1. 四、解答题 11．已知函数f(x)＝是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 解：(1)设x<0，则－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知， 所以1<a≤3， 故实数a的取值范围是(1，3]. 12．(多选)已知f(x)是定义在R上不恒为0的偶函数，g(x)是定义在R上不恒为0的奇函数，则(　　) A．f[f(x)]为奇函数 B．g[g(x)]为奇函数 C．f[g(x)]为偶函数 D．g[f(x)]为偶函数 BCD　解析：由题意可知，f(－x)＝f(x)，所以f[f(－x)]＝f[f(x)]，所以f[f(x)]为偶函数，故A错误；由g(－x)＝－g(x)，得g[g(－x)]＝g[－g(x)]＝－g[g(x)]，所以g[g(x)]为奇函数，故B正确；因为f[g(－x)]＝f[－g(x)]＝f[g(x)]，所以f[g(x)]为偶函数，故C正确；因为g[f(－x)]＝g[f(x)]，所以g[f(x)]为偶函数，故D正确． 13．(2025·沈阳模拟)已知函数f(x)＝(x－1)3，则下列函数是奇函数的是(　　) A．f(x)＋1 B．f(x)－1 C．f(x＋1) D．f(x－1) C　解析：函数f(x)＝(x－1)3的图象是由h(x)＝x3的图象向右平移1个单位长度得到的，因此其图象关于点(1，0)对称，只有把f(x)的图象向左平移1个单位长度，图象才会关于原点对称，所以只有g(x)＝f(x＋1)＝(x＋1－1)3＝x3是奇函数．故选C． 14．(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin (x＋)为偶函数，则a＝________. 答案：2　解析：通解(定义法)　因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x－1)2－ax＋sin (－x＋)＝(x－1)2＋ax＋sin (x＋)，得a＝2. 优解(特值法)　因为f(x)为偶函数，所以f(－)＝f()，即(－－1)2－a＝(－1)2＋a，得a＝2. 15．设f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(－1，1]时，f(x)＝其中m∈R.若f()＝f()，则m的值是________. 答案：1　解析：因为f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(－1，1]时，f(x)＝所以f()＝f(－)＝(－)2＋2×(－)＋m＝－＋m，又因为f()＝＝，所以＝－＋m⇒m＝1. 16．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数． (2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式． (1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x).∴f(x)是周期为4的周期函数． (2)解：∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]， ∴4－x∈[0，2]， ∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8. ∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8， 即当x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8. 学科网（北京）股份有限公司 $$