课时训练(10)函数的单调性的应用（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

课时训练(10)　函数单调性的应用 一、单选题 1．(2024·厦门调考)若函数f(x)＝(m－1)x＋1在R上是增函数，则f(m)与f(1)的大小关系是(　　) A．f(m)<f(1) B．f(m)>f(1) C．f(m)≤f(1) D．f(m)≥f(1) B　解析：因为f(x)＝(m－1)x＋1在R上是增函数，所以m>1，故f(m)>f(1). 2．函数f(x)＝－x＋在[－2，－]上的最大值是(　　) A． B．－ C．－2 D．2 A　解析：因为函数y＝－x和y＝在[－2，－]上均为减函数，所以f(x)在[－2，－]上是减函数，所以f(x)max＝f(－2)＝2－＝. 3．(2024·黄冈模拟)已知定义域为R的函数f(x)，∀x1，x2∈R，x1＜x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0，则(　　) A．f(3)＜f(π)＜f(2) B．f(π)＜f(3)＜f(2) C．f(2)＜f(π)＜f(3) D．f(π)＜f(2)＜f(3) B　解析：易知f(x)是R上的减函数，又π＞3＞2，故f(π)＜f(3)＜f(2). 4．若函数f(x)＝，则f(x)的值域为(　　) A．(－∞，3] B．(2，3) C．(2，3] D．[3，＋∞) C　解析：f(x)＝＝2＋，∵x2≥0，∴x2＋1≥1，∴0<≤1，∴f(x)的值域为(2，3]. 5．已知函数f(x)＝ex＋4x＋1，a＝f(ln 4)，b＝f(ln 3)，c＝f(1)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b>c>a B．c>b>a C．b>a>c D．a>b>c D　解析：函数f(x)＝ex＋4x＋1的定义域为R，且f(x)是增函数，因为ln 4>ln 3>1，所以f(ln 4)>f(ln 3)>f(1)，即a>b>c.故选D． 6．(2024·哈尔滨质检)已知函数f(x)在R上为增函数，若不等式f(－4x＋a)>f(－3－x2)对∀x∈(3，＋∞)恒成立，则a的取值范围为(　　) A．[－1，＋∞) B．[3，＋∞) C．[0，＋∞) D．(1，＋∞) C　解析：由题意，得－4x＋a>－3－x2对∀x∈(3，＋∞)恒成立，则a>－x2＋4x－3对∀x∈(3，＋∞)恒成立． 设函数g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，则当x>3时，g(x)<0，所以a的取值范围为[0，＋∞). 二、多选题 7．已知函数f(x)在区间[－5，5]上是偶函数，在区间[0，5]上是单调函数，且f(3)<f(1)，则(　　) A．f(－1)<f(－3) B．f(0)>f(－1) C．f(－1)<f(1) D．f(－3)>f(5) BD　解析：函数f(x)在区间[0，5]上是单调函数，又3＞1，且f(3)<f(1)，故此函数在区间[0，5]上是减函数．由已知条件及偶函数的性质，知函数f(x)在区间[－5，0]上是增函数．对于A，－3＜－1，故f(－3)<f(－1)，故A错误；对于B，0＞－1，故f(0)>f(－1)，故B正确；对于C，f(－1)＝f(1)，故C错误；对于D，f(－3)＝f(3)>f(5)，故D正确．故选BD． 8．已知函数f(x)＝＋2x，若f(2a2－5a＋4)＜f(a2＋a＋4)，则实数a的取值范围可以是(　　) A．(－∞，) B．[2，6) C．(0，] D．(0，6) BC　解析：由题意可知，函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，∵f(2a2－5a＋4)＜f(a2＋a＋4)，∴2≤2a2－5a＋4＜a2＋a＋4，解得2≤a＜6或0＜a≤. 三、填空题 9．已知函数y＝(k>0)在[4，6]上的最大值为1，则k的值是________. 答案：2　解析：当k>0时，函数y＝在[4，6]上单调递减，所以函数y＝(k>0)在x＝4处取得最大值，最大值为＝1，解得k＝2. 10．已知函数f(x)＝－x|x|，x∈(－1，1)，则不等式f(1－m)<f(m2－1)的解集为____________. 答案：{m|0<m<1}　解析：由已知得f(x)＝则f(x)在(－1，1)上单调递减，所以解得0<m<1， 所以解集为{m|0<m<1}． 四、解答题 11．已知函数f(x)＝. (1)写出函数f(x)的定义域和值域； (2)证明函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，并求f(x)在x∈[2，8]上的最大值和最小值． 解：(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}． 又f(x)＝1＋，所以值域为{y|y≠1}． (2)由题意可设0＜x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝(1＋)－(1＋)＝－＝. 又0＜x1＜x2，所以x1x2＞0，x2－x1＞0， 所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数． 当x∈[2，8]时，f(x)的最大值为f(2)＝2， 最小值为f(8)＝. 12．(2025·南通模拟)已知函数f(x)＝若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，则有(　　) A．f(a)＞f(b)＞f(c) B．f(b)＞f(a)＞f(c) C．f(a)＞f(c)＞f(b) D．f(c)＞f(a)＞f(b) A　解析：因为y＝ex是增函数，y＝－e－x是增函数，所以在(0，＋∞)上y＝ex－e－x单调递增，且此时f(x)＞0；又f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，且f(x)≤0，所以函数f(x)在R上单调递增．c＝log20.9＜0，0＜b＝log32＜1，a＝50.01＞1，即a＞b＞c，所以f(a)＞f(b)＞f(c). 13．(2025·焦作模拟)已知函数f(x)＝x＋，x1，x2∈[，3]，则|f(x1)－f(x2)|的最大值为(　　) A． B． C． D．1 A　解析：由“对勾函数”的性质可得f(x)＝x＋在[，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，f(x)min＝f(1)＝2，f(x)max＝f(3)＝，所以|f(x1)－f(x2)|max＝f(x)max－f(x)min＝－2＝. 14．如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，则称这几个函数为“同域函数”．函数y＝－的值域为________，与y是“同域函数”的一个解析式为________. 答案：[－1，1]　y＝2x－3，x∈[1，2](答案不唯一) 解析：因为y＝－，所以x≥1且x≤2，所以函数的定义域为[1，2].显然，y＝f(x)＝－在[1，2]上单调递增，所以f(x)∈[－1，1]，所以函数的值域为[－1，1].只要满足定义域为[1，2]，且值域为[－1，1]的函数均符合题意． 15．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；②当x>0时，f(x)>－1. (1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数； (2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4. 解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1； 在R上任取x1，x2，且令x1>x2， 则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1. 又f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)， 所以函数f(x)在R上是增函数． (2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5. 由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4， 得f(x2＋x＋1)>4＋1＝f(3)， 又由(1)知函数f(x)在R上是增函数， 故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1， 故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}． 学科网（北京）股份有限公司 $$