课时训练(7)一元二次不等式恒(能)成立问题（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

课时训练(7)　一元二次不等式恒(能)成立问题 一、单选题 1．若命题p：“∀x∈R，x2＋(1－k)x＋1≥0”是真命题，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，1]∪[3，＋∞) B．(－3，1) C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D．[－1，3] D　解析：由题意可知x2＋(1－k)x＋1≥0恒成立，所以Δ＝(1－k)2－4≤0，解得－1≤k≤3，故选D． 2．若存在实数x∈[2，4]，使x2－2x＋5－m<0成立，则m的取值范围为(　　) A．(13，＋∞) B．(5，＋∞) C．(4，＋∞) D．(－∞，13) B　解析：m>x2－2x＋5，设f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，x∈[2，4]，当x＝2时，f(x)min＝5，∃x∈[2，4]，使x2－2x＋5－m<0成立，即m>f(x)min，∴m>5.故选B． 3．命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥9 B．a≥11 C．a≥8 D．a≤9 B　解析：∀x∈[1，3]，x2－a≤0是真命题，a≥(x2)max，故a≥9，∵[11，＋∞)[9，＋∞)，故a≥11是命题的充分不必要条件． 4．若函数y＝的定义域为R，则实数k的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．[1，＋∞) D．R C　解析：函数y＝的定义域为R等价于kx2－2x＋1≥0恒成立，当k＝0时，显然不恒成立；当k≠0时，由k>0，Δ＝4－4k≤0，得k≥1.综上，实数k的取值范围为[1，＋∞). 5．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是(　　) A．(－，＋∞) B．[－，1] C．(1，＋∞) D．(－∞，－] A　解析：由Δ＝a2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x1x2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数f(x)＝x2＋ax－2的图象的示意图如图．所以不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－，即a的取值范围是(－，＋∞). 二、多选题 6．已知函数f(x)＝x2－ax－1，当x∈[0，3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的值可以是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．3 CD　解析：∵|f(x)|≤5⇔－5≤x2－ax－1≤5，①当x＝0时，a∈R；②当x≠0时，由－5≤x2－ax－1≤5，得x－≤a≤x＋，当x∈(0，3]时，(x＋)min＝2＋＝4， (x－)max＝3－2＝1，∴1≤a≤4.综上所述，1≤a≤4. 三、填空题 7．(2025·衡水阶段练习)若命题“∃x∈[1，3]，x2＋ax＋1>0”是假命题，则实数a的最大值为________. 答案：－　解析：由题知命题的否定“∀x∈[1，3]，x2＋ax＋1≤0”是真命题．令f(x)＝x2＋ax＋1(x∈[1，3])，则 解得a≤－，故实数a的最大值为－. 8．(2025·河北统考)若∃x∈R，ax2＋ax＋a－3<0，则a的一个可取的正整数值为__________. 答案：1(或2，3)　解析：由题意Δ＝a2－4a(a－3)>0，解得0<a<4，a的正整数值为1或2或3，故答案为1(也可取2，3). 四、解答题 9．函数f(x)＝x2＋ax＋3. (1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； (2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，则Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2， 所以实数a的取值范围是[－6，2]. (2)对于任意x∈[－2，2]，f(x)≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0对任意x∈[－2，2]恒成立． 令g(x)＝x2＋ax＋3－a，则有 ①Δ≤0或②或③ 解①得－6≤a≤2，解②得a∈∅，解③得－7≤a<－6. 综上可知，实数a的取值范围为[－7，2]. 10．(2025·深圳模拟)对于任意x∈[－2，3]，不等式x2－a|x|＋1>0恒成立，则实数a的取值范围是________. 答案：(－∞，2)　解析：当a＝0时，不等式为x2＋1>0恒成立；当a≠0时，不等式变形为a<，0<|x|≤3，设t＝|x|，则t∈(0，3]，y＝＝＝t＋，由对勾函数知该函数在(0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，∴t＝1时，y＝t＋取得最小值2.∴a<2，即实数a的取值范围为(－∞，2). 11．若不等式(a－3)x2<(4a－2)x对a∈(0，1)恒成立，则x的取值范围是________. 答案：(－∞，－1]∪[，＋∞)　解析：由题意知(a－3)x2<(4a－2)x对a∈(0，1)恒成立等价于(x2－4x)a－3x2＋2x<0对a∈(0，1)恒成立．令g(a)＝(x2－4x)a－3x2＋2x，当x＝0时，g(a)＝0，不满足题意．当x≠0时，则 解得x≤－1或x≥，即x的取值范围是(－∞，－1]∪[，＋∞). 12．设命题p：已知a>0，b>0，且a＋b＝ab，不等式a＋b≥m2－5m－2恒成立，命题q：存在x∈[－1，1]，使得不等式x2－2x＋m－1≤0成立，若命题p，q中有一个为真命题，一个为假命题，则实数m的取值范围是________. 答案：(－∞，－1)∪(2，6]　解析：对于p：因为a＋b＝ab≤()2，所以a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以m2－5m－2≤a＋b恒成立，即m2－5m－2≤4，即－1≤m≤6.对于q：存在x∈[－1，1]，使得不等式x2－2x＋m－1≤0成立，只需(x2－2x＋m－1)min≤0，而(x2－2x＋m－1)min＝－2＋m，所以－2＋m≤0，所以m≤2.因为p，q一真一假，所以若q为假命题，p为真命题，则所以2<m≤6；若p为假命题，q为真命题，则所以m<－1. 综上，m<－1或2<m≤6. 学科网（北京）股份有限公司 $$