课时训练(5)基本不等式的综合应用 （Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

课时训练(5)　基本不等式的综合应用 一、单选题 1．“m>4”是“函数f(x)＝x＋(x>0)的最小值大于4”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　解析：若m>4，则f(x)＝x＋(x>0)的最小值为2>2＝4；若f(x)＝x＋(x>0)的最小值大于4，则m>0，且2>4，则m>4，故选C． 2．已知实数x，y>0且满足＋＝1，若不等式4x＋9y－t≥0恒成立，则实数t的最大值为(　　) A．9 B．12 C．16 D．25 D　解析：4x＋9y＝(4x＋9y)(＋)＝13＋＋≥13＋2＝25，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立．因为不等式4x＋9y－t≥0恒成立，只需(4x＋9y)min≥t，因此t≤25，故实数t的最大值为25.故选D． 3．(2025·新乡模拟)函数f(x)＝[x]被称为取整函数，也称高斯函数，其中[x]表示不大于实数x的最大整数．若∀m∈(0，＋∞)，满足[x]2＋[x]≤，则x的取值范围是(　　) A．[－1，2] B．(－1，2] C．[－2，2) D．(－2，2] C　解析：∀m∈(0，＋∞)，满足＝m＋≥2，当且仅当m＝1时，等号成立．由[x]2＋[x]≤可得[x]2＋[x]≤2，所以([x]＋2)([x]－1)≤0，所以－2≤[x]≤1，故－2≤x<2. 4．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A．13 B．12 C．9 D．4 C　解析：因为|MF1|＋|MF2|＝6，所以|MF1|·|MF2|≤＝＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立，所以|MF1|·|MF2|的最大值为9. 5．用一段长8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为(　　) A．9 cm2 B．16 cm2 C．4 cm2 D．5 cm2 C　解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm，y cm，则x>0，y>0，由题意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤＝＝4(cm2)，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2. 6．(2024·湛江二模)当x>0，y>0时，≥.这个基本不等式可以推广为当x，y>0时，λx＋yμ≥xλyμ，其中λ＋μ＝1且λ>0，μ>0.考虑取等号的条件，进而可得当x≈y时，λx＋μy≈xλyμ.用这个式子估计可以这样操作：10×9≈×10＋×9＝，则≈≈3.167.用这样的方法，可得的近似值为(　　) A．3.033 B．3.035 C．3.037 D．3.039 C　解析：依题意，28×27≈×28＋×27＝，则≈≈3.037.故选C． 二、多选题 7．(2025·株洲开学考试)若对于任意x>0，≤a恒成立，则实数a的取值可以是(　　) A． B． C． D． ACD　解析：因为x>0，所以＝≤＝，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．因为对于任意x>0，≤a恒成立，所以a≥，符合条件的有，，，故A，C，D正确；<，故B错误． 8．几名大学生创业时，经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润p(x)(单位：万元)与每月投入的研发经费x(单位：万元)有关．已知每月投入的研发经费不高于16万元，且p(x)＝－x2＋6x－20，利润率y＝.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是(　　) A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润 C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润 BC　解析：当x≤16时，p(x)＝－x2＋6x－20＝－(x－15)2＋25，故当x＝15时，获得最大利润，为p(15)＝25，故B正确，D错误；y＝＝－x＋6－＝－(x＋)＋6≤－2＋6＝2，当且仅当x＝，即x＝10时，等号成立，此时研发利润率取得最大值为2，故C正确，A错误． 三、填空题 9．函数y＝(x>1)的最小值为________. 答案：2＋2　解析：y＝＝＝＝x－1＋＋2≥2＋2，当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立，故函数y＝(x>1)的最小值为2＋2. 10．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x为________. 答案：20　解析：该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，故一年的总运费与总存储费用之和为(·4＋4x)万元，·4＋4x≥2＝160，当且仅当＝4x，即x＝20时，一年的总运费与总存储费用之和最小． 四、解答题 11．设函数f(x)＝4x－a·2x＋b，且f(0)＝0，f(1)＝2. (1)求a，b的值； (2)若∃x∈(－∞，3]，使得f(x)<m·2x－3成立，求实数m的取值范围． 解：(1)由题意得，f(0)＝1－a＋b＝0，f(1)＝4－2a＋b＝2， 解得a＝1，b＝0. (2)由(1)知f(x)＝4x－2x， 所以f(x)<m·2x－3可化为m>2x＋3·2－x－1. 故原问题等价于∃x∈(－∞，3]，使得m>2x＋3·2－x－1成立， 即x∈(－∞，3]时，m>(2x＋3·2－x－1)min. 设h(x)＝2x＋3·2－x－1，x∈(－∞，3]， 令t＝2x，则t∈(0，8]， 设p(t)＝t＋－1，t∈(0，8]， 则p(t)≥2－1，当且仅当t＝时，等号成立， 所以当t＝时，h(x)取得最小值2－1. 故m的取值范围是(2－1，＋∞). 12．(2025·齐齐哈尔模拟)已知圆(x－1)2＋(y－2)2＝4关于直线ax＋by－2＝0(a>0，b>0)对称，则ab的最大值为(　　) A． B． C．1 D．2 B　解析：由题知，圆心(1，2)在直线ax＋by－2＝0上，∴a＋2b＝2，又a>0，b>0，∴2＝a＋2b≥2，∴ab≤，当且仅当a＝2b，且a＋2b＝2，即a＝1，b＝时等号成立，∴ab的最大值为. 13．(2025·湖南学业考试)已知m>1，n>0，m2－2m＋n＝0，若不等式＋≥λ恒成立，则实数λ的最大值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 C　解析：因为m2－2m＋n＝0，m>1，所以＝m－2＋＝0，即m－1＋＝1，所以＋＝(＋)(m－1＋)＝1＋1＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即m＝，n＝时，等号成立，故λ≤4. 14．若关于x的不等式x＋≥5在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________. 答案：1　解析：∵x＋＝x－a＋＋a≥5在(a，＋∞)上恒成立，由x>a可得x－a>0.则(x－a)＋≥2 ＝4，当且仅当x－a＝2，即x＝a＋2时，上式取得最小值4，又x－a＋≥5－a在(a，＋∞)上恒成立，∴5－a≤4，∴a≥1，即实数a的最小值为1. 15．南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝4，b＋c＝6，则此三角形面积的最大值为________. 答案：2　解析：因为p＝＝＝5， 所以三角形的面积S＝ ＝≤ ＝＝＝2， 当且仅当5－b＝5－c，即b＝c＝3时，等号成立． 16．甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h，已知货车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的，固定成本为a元． (1)将全程运输成本y(单位：元)表示为速度v(单位：km/h)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最低，货车应以多大的速度行驶？ 解：(1)由题意，得可变成本为v2元，固定成本为a元，所用时间为 h， 所以y＝(v2＋a)＝1 000(v＋)，定义域为(0，80]. (2)y＝1 000(v＋)≥1 000×2＝1 000(元)，当v＝，即v＝2时等号成立，因为0＜v≤80， 所以当0＜a≤1 600时，货车以v＝2 km/h的速度行驶，全程运输成本最低； 当a≥1 600时，函数y＝1 000(v＋)在(0，80]上单调递减，故货车以80 km/h的速度行驶，全程运输成本最低． 学科网（北京）股份有限公司 $$