课时训练(4)基本不等式 （Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

课时训练(4)　基本不等式 一、单选题 1．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是(　　) A．a＋b≥2 B．＋≥2 C．|＋|≥2 D．a2＋b2>2ab C　解析：对于A，B，∵a，b是否大于0未知，∴等式不一定成立，故A，B错误；对于C，若>0，则>0，∴|＋|＝||＋||≥2＝2，当且仅当a＝b时，等号成立；同理<0也成立，因此C正确；对于D，∵a2＋b2≥2ab，∴a2＋b2>2ab不一定成立． 2．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则lg a＋lg b的最大值为(　　) A．0 B． C． D．1 A　解析：∵a>0，b>0，a＋b＝2，∴lg a＋lg b＝lg ab≤lg ()2＝0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立． 3．若a，b都是正数，则(1＋)(1＋)的最小值为(　　) A．5 B．7 C．9 D．13 C　解析：因为a，b都是正数，所以(1＋)(1＋)＝5＋＋≥5＋2＝9(当且仅当b＝2a时等号成立).故选C． 4．下列不等式证明过程正确的是(　　) A．若a，b∈R，则＋≥2＝2 B．若x＞0，y＞0，则lg x＋lg y≥2 C．若x＜0，则x＋≥－2＝－4 D．若x＜0，则2x＋2－x>2＝2 D　解析：∵，可能为负数，如＝＝－1时，＋＝－2，∴A错误；∵lg x，lg y可能为负数，如lg x＝lg y＝－1时，lg x＋lg y＝－2，而2＝2，∴B错误；∵x<0，∴<0，如x＝－1，＝－4时，x＋＝－5<－4，∴C错误；∵x<0，∴2x∈(0，1)，2－x>1，∴2x＋2－x≥2＝2，当且仅当2x＝2－x，即x＝0时，等号成立，∴D正确． 5．已知正数a，b满足a2＋b2＝13，则a的最大值为(　　) A．6 B．8 C．4 D．16 B　解析：∵a2＋b2＝13，∴a≤＝＝8，当且仅当a＝，即a2＝8，b2＝5时，等号成立，∴a的最大值为8. 6．已知a>0，b>0，且＋＝1，则4a＋9b的最小值是(　　) A．23 B．26 C．22 D．25 D　解析：由题意得a>0，b>0，＋＝1，故4a＋9b＝(＋)(4a＋9b)＝＋＋13≥2＋13＝25，当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立，故4a＋9b的最小值是25. 二、多选题 7．(2025·六盘水期末)下列选项正确的是(　　) A．＋>2 B．x＋≥2(x>0) C．x＋≥3(x>1) D．<(x，y∈N*，x≠y) BCD　解析：对于A，若x＝－y＝1，则＋＝－2<2，故A错误；对于B，由基本不等式可得x＋≥2＝2(x>0)，当且仅当x＝， 即x＝1时，等号成立，故B正确；对于C，x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3(x>1)，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立，故C正确；对于D，因为x＋y>2(x，y∈N*，x≠y)，所以<＝(x，y∈N*，x≠y)，故D正确． 8．(2025·廊坊模拟)已知a>1，则2a＋的取值可以是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 BCD　解析：因为a>1，所以a－1>0，2a＋＝2＋2(a－1)＋≥2＋2＝6，当且仅当2(a－1)＝，即a＝2时，等号成立，故2a＋的最小值为6，故2a＋的取值可以是6，也可以是7或8. 三、填空题 9．(2025·济南模拟)(－6≤a≤3)的最大值为________. 答案：　解析：当a＝－6或a＝3时，＝0；当－6＜a＜3时，≤＝，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时，等号成立． 10．(2025·孝感模拟)(＋)(＋4)的最小值为________. 答案：9　解析：(＋)(＋4)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝4y＞0时，等号成立，所以(＋)(＋4)的最小值为9. 四、解答题 11．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 解：(1)∵xy＝2x＋8y≥2，即xy≥8，即xy≥64，当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时，等号成立， ∴xy的最小值为64. (2)由2x＋8y＝xy，得＋＝1，则x＋y＝(＋)(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，即x＝12，y＝6时，等号成立， ∴x＋y的最小值为18. 12．已知a，b为正实数，且a＋4b－－3＝0，则ab的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[，2) C．(0，] D．(0，1] D　解析：因为a＋4b－－3＝0，所以a＋4b＝＋3≥2＝4，当且仅当a＝4b时，等号成立．因为a，b为正实数，所以0＜ab≤1.故选D． 13．函数y＝(x>－1)的最小值为________. 答案：0　解析：因为y＝＝＝x－1＋＝x＋1＋－2(x>－1)，所以y≥2－2＝0，当且仅当x＋1＝，即x＝0时，等号成立．所以y＝(x>－1)的最小值为0. 14．已知正数a，b满足(a＋5b)(2a＋b)＝36，则a＋2b的最小值为________. 答案：4　解析：因为a>0，b>0，所以36＝(a＋5b)·(2a＋b)≤[]2＝(a＋2b)2，所以a＋2b≥4，当且仅当即a＝，b＝时，等号成立，所以a＋2b的最小值为4. 15．写出一个关于a与b的等式，使＋是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为________. 答案：a2＋b2＝1(答案不唯一)　解析：该等式可为a2＋b2＝1，下面证明该等式符合条件．＋＝(＋)(a2＋b2)＝1＋9＋＋≥10＋2＝16，当且仅当b2＝3a2＝时，等号成立，所以＋是一个变量，且它的最小值为16. 16．已知a，b为正实数，且满足a＋b＝1.证明： (1)a2＋b2≥； (2)≥1＋. 证明：(1)因为a＋b＝1，a＞0，b＞0， 所以a2＋b2＝(a2＋b2＋a2＋b2)≥(a2＋b2＋2ab)＝(a＋b)2＝，当且仅当a＝b时，等号成立． (2)＋＝(＋)(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2＝(1＋)2，当且仅当＝，即a＝－1，b＝2－时，等号成立，所以≥1＋. 学科网（北京）股份有限公司 $$