第1章 第5节 一元二次函数、方程和不等式（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

高考总复习 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 第5节　一元二次函数、方程和不等式 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 {x|x＞x2或x＜x1} R {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 衔接教材 夯基固本 落实 f(x)·g(x)＞0(＜0) f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0 衔接教材 夯基固本 落实 {x|x≠a} {x|x<b或x>a} ∅ {x|b<x<a} 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 × √ × 衔接教材 夯基固本 落实 D 衔接教材 夯基固本 落实 B 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 B 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 A {x|x>1或x<－2} 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 ABC 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 请完成：课时训练（6） 温馨提示 谢谢观看！ 1．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系． 2．了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式．(重点) 3．了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 一、一元二次不等式 把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记a＝0时的情形． 二、三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 ________________ ____________ ____ ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 _______________ ____ ____ {x|x≠－} 三、分式不等式与整式不等式 1.＞0(＜0)⇔____________________． 2.≥0(≤0)⇔_____________________________． 四、(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 {x|x<a或x>b} ____________ ________________ (x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b} ____ _______________ 1．解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形． 2．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定． (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 一、思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) 1．ax2＋bx＋c＜0为一元二次不等式．(　　) 2．若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　) 3．若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a＜0)的解集为R.　(　　) 二、教材典题改编 1．(人教B版必修第一册P75练习B T1改编)已知集合A＝{0，1，2，4}，B＝{x|x2－6x＋5<0}，则A∩B＝(　　) A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，4} C．{0，1} D．{2，4} 解析：由题意得B＝{x|x2－6x＋5<0}＝{x|1<x<5}，∴A∩B＝{2，4}． 2．(苏教版必修第一册P69T9改编)设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是(　　) A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n} 解析：不等式变形为(x－m)(x＋n)<0，方程(x－m)(x＋n)＝0的两根为m，－n，显然由m＋n>0得m>－n，所以不等式的解为－n<x<m. 3．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T6改编)若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为___________________. 答案：(－3，0] 解析：当k＝0时，满足题意；当k≠0时，解得－3<k<0，所以－3<k≤0. 三、易误易混澄清 1．(忽视二次项的符号)不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为(　　) A．(，＋∞) B．[，2] C．[2，＋∞) D．(－∞，] 解析：由(x－2)(3－2x)≥0得(x－2)·(2x－3)≤0，解得≤x≤2，故不等式的解集为[，2]. 2．(三个二次关系认识混乱)若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－，)，则a＋b＝________. 答案：－14 解析：∵x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根， ∴解得∴a＋b＝－14. 考点一　不含参数的一元二次不等式的解法 [例1] (1)不等式x(2x＋7)≥－3的解集为(　　) A．(－∞，－3]∪[－，＋∞) B．[－3，－] C．(－∞，－2]∪[－，＋∞) D．[－2，－] (2)(2025·北京海淀区模拟)不等式>0的解集为________________. 解析：(1)x(2x＋7)≥－3可化为2x2＋7x＋3≥0，令2x2＋7x＋3＝0，得x1＝－3，x2＝－，所以x≤－3或x≥－，即不等式的解集为(－∞，－3]∪[－，＋∞). (2)不等式>0等价于(x－1)(x＋2)>0，解得x>1或x<－2，所以不等式>0的解集为{x|x>1或x<－2}． 解一元二次不等式的步骤 (1)将二次项系数化为正数； (2)计算判别式； (3)求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有根； (4)根据解的情况，结合不等号的方向画图； (5)写出不等式的解集． 训练1 不等式0<x2－x－2≤4的解集为________. 答案：{x|－2≤x<－1或2<x≤3} 解析：原不等式等价于即 即解得借助数轴，如图所示， 故原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2<x≤3}． 考点二　含参数的一元二次不等式的解法 [例2] 若a>0，解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4<0. 解：ax2－2(a＋1)x＋4<0，即(ax－2)(x－2)<0. 因为a>0，所以不等式可化为a(x－)(x－2)<0，即(x－)(x－2)<0. (1)当>2，即0<a<1时，解不等式得2<x<； (2)当＝2，即a＝1时，不等式即为(x－2)2<0，无解，即x∈∅； (3)当<2，即a>1时，解不等式得<x<2. 综上所述，当0<a<1时，不等式的解集为{x|2<x<}；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为{x|<x<2}. [变式探究] 本例中，若“a>0”改为“a∈R”，再解不等式． 解：ax2－2(a＋1)x＋4<0⇒(ax－2)(x－2)<0. (1)当a＝0时，不等式可化为－2(x－2)<0，解不等式得x>2； (2)当a≠0时，不等式可化为a(x－)(x－2)<0. 若a<0，则(x－)(x－2)>0，解不等式得x<或x>2； 若a>0，则(x－)(x－2)<0. ①当>2，即0<a<1时，解不等式得2<x<； ②当＝2，即a＝1时，不等式即为(x－2)2<0，无解，即x∈∅； ③当<2，即a>1时，解不等式得<x<2. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x>2}；当a<0时，不等式的解集为{x|x<或x>2}；当0<a<1时，不等式的解集为{x|2<x<}；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为{x|<x<2}． 含参不等式求解的策略 对于含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有： (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需对两根的大小进行讨论． 训练2 设m∈R，解关于x的不等式m2x2＋2mx－3<0. 解：(1)当m＝0时，－3<0恒成立； (2)当m>0时，不等式可化为(mx＋3)(mx－1)<0，即(x＋)(x－)<0，而－<，此时不等式的解集为{x|－<x<}； (3)当m<0时，不等式可化为(mx＋3)(mx－1)<0，即(x＋)(x－)<0，而－>，此时不等式的解集为{x|<x<－}. 综上所述，当m<0时，不等式的解集为{x|<x<－}；当m＝0时，不等式的解集为R；当m>0时，不等式的解集为{x|－<x<}． 考点三　三个“二次”之间的关系 [例3] (多选)已知不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－1或x>3}，则下列结论正确的是(　　) A．a<0 B．a＋b＋c>0 C．c>0 D．cx2－bx＋a<0的解集为{x|x<－或x>1} 解析：根据二次函数的图象开口方向与二次不等式之间的关系可知a<0，故A正确；ax2＋bx＋c＝0的根为－1和3，则即∴a＋b＋c＝－4a>0，故B正确；c＝－3a>0，故C正确；cx2－bx＋a<0，即－3ax2＋2ax＋a<0，则3x2－2x－1<0，解得－<x<1，∴cx2－bx＋a<0的解集为{x|－<x<1}，故D错误． 三个“二次”关系解题的策略 (1)一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值． (2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或利用根与系数的关系求解． 训练3 (1)(2025·哈尔滨模拟)已知不等式ax2＋bx－2<0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式ax2＋(b－1)x－3>0的解集为(　　) A．R B．∅ C．{x|－1<x<3} D．{x|x<－1或x>3} 解析：因为不等式ax2＋bx－2<0的解集为{x|－1<x<2}，故a>0，且x＝－1与x＝2为方程ax2＋bx－2＝0的两根，故解得故不等式ax2＋(b－1)x－3>0，即x2－2x－3>0，故(x－3)(x＋1)>0，解得x<－1或x>3. (2)已知函数f(x)＝，若f(x)>m的解集为(，6)，则m的值为________. 答案：2 解析：因为f(x)>m，所以>m，所以mx2－15x＋9m<0，因为其解集为(，6)，所以mx2－15x＋9m＝0的两个根为和6，所以＋6＝，解得m＝2. $$