第五讲：三角形的外角（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第五讲：三角形的外角 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：三角形的外角的概念 定义:如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 三角形的外角应具备的条件 ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. 知识点02：三角形的外角的性质 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角 ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. 知识点03：知识总结 考点1：三角形外角的应用 【典型例题】 根据图中的数据，可得的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，是的一个外角，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 一副三角板如图放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 考点2：平行线与三角形外角的综合应用 【典型例题】 如图，直线，，．若．则等于（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，直线，，，则（    ） A． B． C． D． 考点3：利用三角形外角解决稍复杂图形的角度 【典型例题】 如图，等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，的度数（   ） A． B． C． D． 考点4：利用三角形外角解决用字母表示角度的问题 【典型例题】 如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，的边在直线上，与的平分线交于点D，的平分线交于点E．若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．如图，已知，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，．若，．则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．小枣一笔画成了如图所示的图形，若，则等于（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，为延长线上一点，与的平分线相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，点、分别在线段、上，连接、交于点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，的边在直线上，与的平分线交于点D，的平分线交于点E．若，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，，垂足为，与相交于点，，，则的度数为 ． 12．如图，已知三点共线，连接，如果，那么的度数为 ． 13．如图，和是的外角，若，则的度数是 ． 14．如图，若，，则的度数是 ． 15．如图，图中的等于 ． 16．将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是 ． 17．如图，，与交于点，，，则 ． 18．如图，直线，，，则的度数为 ． 19．如图，已知直线，被直线，所截，且，，，则的度数为 ． 三、解答题 20．如图，在中，平分，，．求的度数． 21．如图，为的角平分线，点为上的点，过点作交的延长线于点．若，，求的度数． 22．如图，中，D为边上一点，过点D作，交于点E，F为边上一点，连接并延长，交的延长线于点G，且． (1)试说明平分； (2)若，，求的度数． 23．在中，． (1)如图①，若平分平分，则___________． (2)如图②，若和的外角平分线、相交于点，则___________； (3)如图③，若的平分线与的外角平分线相交于点，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第五讲：三角形的外角 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：三角形的外角的概念 定义:如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 三角形的外角应具备的条件 ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. 知识点02：三角形的外角的性质 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角 ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. 知识点03：知识总结 考点1：三角形外角的应用 【典型例题】 根据图中的数据，可得的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形外角定理，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 【变式训练1】 如图，是的一个外角，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角和定理，由是的一个外角是解决本题的关键． 根据三角形的外角和定理，即“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”，由此求解即可． 【详解】解：因为，， 又因为是的一个外角， 所以， 即． 所以的度数为． 故选：A ． 【变式训练2】 一副三角板如图放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质，对顶角相等，三角形内角和定理等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键．如图，由题意知，，由三角形外角的性质得到，求出，由对顶角的定义得到，再根据三角形内角和定理得到，最后由对顶角的定义即可得到结果． 【详解】解：如图，由题意知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 考点2：平行线与三角形外角的综合应用 【典型例题】 如图，直线，，．若．则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】如图所示， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 【变式训练1】 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质求出，根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式训练2】 如图，直线，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质可得，再由三角形外角的定义及性质可得，，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 考点3：利用三角形外角解决稍复杂图形的角度 【典型例题】 如图，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由三角形外角的性质得到，，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图， ，， ， 故选：C． 【变式训练1】 如图，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理与三角形的外角，根据等边对等角，结合三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【变式训练2】 如图，的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角的性质和内角和定理，把所求的五个角转化在一个三角形中是解题的关键．根据三角形外角的性质可得：，再根据三角形内角和定理即即可求解． 【详解】解：如图， ∵， 又∵， ∴． 故选：A． 考点4：利用三角形外角解决用字母表示角度的问题 【典型例题】 如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查邻补角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 先根据邻补角性质求得，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式训练2】 如图，的边在直线上，与的平分线交于点D，的平分线交于点E．若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，三角形内角和知识点，熟练运用三角形外角的性质是解题的关键；根据与的平分线交于点，的平分线交于点，设，，，可以得到，再结合，根据三角形内角和整理可以得到：． 【详解】解： 与的平分线交于点， ，， ∵的平分线交于点， ， 是的外角， ， ， 是的外角， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故选：A． 一、单选题 1．如图，已知，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的外角的定义及性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．据此解答即可． 【详解】解：∵是的一个外角，且，， ∴， 即的度数是． 故选：A． 2．如图，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角的性质．根据平行线的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，．若，．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质．根据平行线的性质得到，根据三角形外角的性质得出，将已知数据代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故选C． 5．小枣一笔画成了如图所示的图形，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，由三角形外角的性质可得，则可求出，由平角的定义和三角形外角的性质可得． 【详解】解：如图所示，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图，在中，为延长线上一点，与的平分线相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，由三角形外角的性质可得，由角平分线的定义得到，再根据得到，则． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴， ∵与的平分线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先根据平行线的性质求出的度数，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 又， ∴， 故选：C． 8．如图，点、分别在线段、上，连接、交于点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形外角的性质．根据三角形外角性质求出，再根据三角形外角的性质，可求出的大小，根据，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴ ， 故选：B． 9．如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的性质，解题关键是掌握三角形外角的性质． 先利用三角形外角的性质得到，再利用三角形外角的性质求得，代入求出即可． 【详解】解：延长交于点E， 是的一个外角， ， ， ， 是的一个外角， ， ，， ， ， 解得：， 故选：B． 10．如图，的边在直线上，与的平分线交于点D，的平分线交于点E．若，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，三角形内角和知识点，熟练运用三角形外角的性质是解题的关键；根据与的平分线交于点，的平分线交于点，设，，，可以得到，再结合，根据三角形内角和整理可以得到：． 【详解】解： 与的平分线交于点， ，， 的平分线交于点 , 是的外角， ， ， 是的外角， ， ， 在中，， ， ， 故选：B． 二、填空题 11．如图，，垂足为，与相交于点，，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了垂直定义，三角形的内角和定理，三角形外角性质，由，则，再通过三角形内角和定理可得，最后由三角形外角性质即可求解，熟记性质并准确识图是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，已知三点共线，连接，如果，那么的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质及三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质可得，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．如图，和是的外角，若，则的度数是 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角的性质，结合平角的定义，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵和是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是． 故答案为： 14．如图，若，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，根据三角形的外角和为，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ 故答案为：． 15．如图，图中的等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质可得答案. 【详解】解：由题意可得：， 故答案为： 16．将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，三角形外角的性质等知识；由题意可求得的度数，由三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图，由题意知， ∴， 故答案为：． 17．如图，，与交于点，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，由三角形外角性质得，进而由平行线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18．如图，直线，，，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质． 由平行线的性质可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得 【详解】解：如图： ∵直线，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为． 19．如图，已知直线，被直线，所截，且，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据三角形外角的性质求得，利用平行线的性质即可求解的度数． 【详解】解：如图， ，，， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 20．如图，在中，平分，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线，先根据角平分线的定义求出度数，然后在中，根据三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解∶ 平分， ， ， 又是的外角， ． 21．如图，为的角平分线，点为上的点，过点作交的延长线于点．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的计算，三角形外角性质，据三角形内角和定理计算出，再根据角平分线的性质得到，接着利用三角形外角性质得到，然后利用互余得到的度数，熟知相关概念是解题的关键． 【详解】解：，， ， 为的角平分线， ， ， ， ， ． 22．如图，中，D为边上一点，过点D作，交于点E，F为边上一点，连接并延长，交的延长线于点G，且． (1)试说明平分； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理；解题的关键是能融会贯通综合运用这些性质和定理． （1）根据得到，结合，得到即可． （2）先求得，结合，三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 因为， 所以， 所以平分． （2）解：因为，， 所以，， 因为， 所以， 所以． 23．在中，． (1)如图①，若平分平分，则___________． (2)如图②，若和的外角平分线、相交于点，则___________； (3)如图③，若的平分线与的外角平分线相交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理：三角形内角和为．也考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义． （1）根据三角形内角和定理得到，则，再根据角平分线的定义得，则，得，即可求解． （2）根据三角形内角和定理和外角性质可得到； （3）根据角平分线的定义得，由三角形外角的性质有，则，即可得到； 【详解】（1）解：， ， ∵平分平分， ， ， ， ， ， 当时，； 故答案为：； （2）解：， ∵平分平分， ， ， ∵， ， ∵， ， 即． 当时，， 故答案为：70； （3）解：， 而平分平分， ， ， ， 即． 当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $$