第三讲：三角形的高、中线与角平分线（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第三讲：三角形的高、中线与角平分线 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：三角形的高 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． 知识点02：三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线. AE是BC边上的中线. 要点归纳：三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心. 知识点03：三角形的角平分线 定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线. 知识点04：知识总结 考点1：根据三角形的中线求长度 【典型例题】 如图，在周长为的中，是边上的中线，已知，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 考点2：根据三角形的中线求面积 【典型例题】 如图，、分别是的边、上的点，且，．若的面积为，的面积为，的面积为，则（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式训练1】 如图，在中，、分为、的中点，过点作，垂足为，若，，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2】 如图，在中，，．若中线，且，则的面积为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 考点3：根据三角形的角平分线解决问题 【典型例题】 如图，分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，中，，，，下列选项不正确的是（    ）． A．是的角平分线 B．是的高 C．是的中线 D． 【变式训练2】 如图，的中线、角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的角平分线 考点4：根据三角形的高解决问题 【典型例题】 如图是的折纸示意图，则折痕是的（    ） A．中垂线 B．中线 C．角平分线 D．高线 【变式训练1】 如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．用直角三角板，作 的高，下列作法正确的是（   ） A．B． C． D． 2．如图，为的中线，若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，，分别是的高线和中线．若的面积为，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．9 4．如图，，分别是的高、中线、角平分线，则下列线段中，最短的是（   ） A． B． C． D． 5．在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 6．如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（    ） A．5 B．3 C．4 D．2 8．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，D为边上的一点，E，F分别为，的中点，且，则图中涂色部分的面积是 ． 10．如图，是的中线，，，，则 ． 11．如图，在中，D是的中点，，则 ． 12．如图，在中，，分别是边上的高，且，则的长为 ．    13．如图，，分别是的中线和角平分线，则： ； ． 14．如图，线段AD，CE分别是△ABC中边BC，AB上的高．若AD＝10，CE＝9，AB＝12，则BC的长是 15．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点F，若△BEF的面积是3，则△ABC的面积是 ． 三、解答题 16．已知． (1)画出的中线和角平分线； (2)画出的高，． 17．如图，在中，，是边上的中线，的周长比的周长多，求的长． 18．中，，，若的中线把的周长分成两部分的比是，求边，的长． 19．如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第三讲：三角形的高、中线与角平分线 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：三角形的高 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． 知识点02：三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线. AE是BC边上的中线. 要点归纳：三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心. 知识点03：三角形的角平分线 定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线. 知识点04：知识总结 考点1：根据三角形的中线求长度 【典型例题】 如图，在周长为的中，是边上的中线，已知，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的周长公式和三角形中线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形中线的定义．利用三角形中线定义和周长公式即可求出答案． 【详解】解：∵是边上的中线， ， ∵周长为， ∴， ∴， 故选：B． 【变式训练1】 如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的有关计算，掌握三角形中线的定义是关键． 根据三角形的中线，周长的计算得到，，根据的周长为，的周长为，得到与的周长之差为，由此即可求解． 【详解】解：的周长为， ∴， ∵是边上的中线， ∴，则， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴， ∴与的周长之差为， 故选：A ． 考点2：根据三角形的中线求面积 【典型例题】 如图，、分别是的边、上的点，且，．若的面积为，的面积为，的面积为，则（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查根据中线求三角形的面积，解题关键是当两个三角形的高相同时，需知道面积之比等于底之比；且当三角形面积不容易直接求出时，注意转化思想的使用． 根据，可求分别求出和，和的比例关系，再通过公共四边形, 可知，进而求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 同理，由， 得， ∴， ∴． 故选：B． 【变式训练1】 如图，在中，、分为、的中点，过点作，垂足为，若，，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中线的性质．根据三角形的中线将三角形分为两个面积相等的三角形可求出，进而根据三角形的面积公式求出，根据中点即可解答． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵． 故选：B 【变式训练2】 如图，在中，，．若中线，且，则的面积为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据三角形中线将三角形面积分成相等的两部分，根据已知求出，由是中线可得． 【详解】解：∵，． ， ∴， ∵是中线， ∴， ∴ 故选：C． 考点3：根据三角形的角平分线解决问题 【典型例题】 如图，分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是三角形的角平分线、中线和高等知识点，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形角平分线、中线和高的定义，逐一判断即可． 【详解】解：∵分别是的高线、角平分线、中线， ∴，，，，不一定相等， 故选项A，B，C正确，选项D错误． 故选：D． 【变式训练1】 如图，中，，，，下列选项不正确的是（    ）． A．是的角平分线 B．是的高 C．是的中线 D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的角平分线、中线和高， 根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可． 【详解】解：∵， ∴是的中线，，C、D选项正确． ∵， ∴是的角平分线；没有条件能证明是的角平分线；A选项错误． ∵， ∴是的高． 故选：A． 【变式训练2】 如图，的中线、角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的角平分线 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分定义和中线的定义，根据题意得，，逐项判断即可判定是的角平分线． 【详解】解：A∵的角平分线、中线相交于点O， ∴，， 在中，不一定等于， ∴不一定是的角平分线，A错误； B∵不一定等于，那么不一定是的角平分线，B错误； C在中，，不一定是的中线，C错误； D∵， ∴是的角平分线，D正确； 故选：D． 考点4：根据三角形的高解决问题 【典型例题】 如图是的折纸示意图，则折痕是的（    ） A．中垂线 B．中线 C．角平分线 D．高线 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、中垂线定义以及三角形的角平分线、中线和高线，正确掌握相关定义，即可解题． 【详解】解：根据折叠的性质得， ，，， 不是的角平分线，不是中垂线和的中线． ， ， ， 是的高线． 故答案为：D． 【变式训练1】 如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义可判断A和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断B；根据三角形角平分线的性质可判断C． 【详解】解：∵是中线， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； 过点E作于点G，于点H， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵是中线， ∴与不一定相等，故D错误，符合题意． 故选：D． 一、单选题 1．用直角三角板，作 的高，下列作法正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是作图基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．根据高线的定义即可得出结论． 【详解】解：A、B、C选项均不是高线，D选项是高线． 故选：D． 2．如图，为的中线，若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．利用中线的性质即可求解． 【详解】解：为的中线， ， 的面积为， 的面积为， 故选：B． 3．如图，，分别是的高线和中线．若的面积为，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的中线性质，掌握三角形的中线性质是解题关键． 根据三角形的中线平分三角形的面积求得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：是的中线， ， ，， ． 故选：C． 4．如图，，分别是的高、中线、角平分线，则下列线段中，最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，高、中线、角平分线的定义，熟练掌握连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短是解题的关键．利用垂线段最短即可解决． 【详解】解：因为，，分别是的高、中线、角平分线， ∴是点到直线的垂线段， 利用连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短， 可得最短， 故选：A． 5．在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、中线的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，，则，再分且和且两种情况分别列出一元一次方程求解并运用三角形的三边关系判断即可解答． 【详解】解：设，则， 当且时，即，解得：， ∴，， ∵， ∴能组成三角形，即符合题意； 当且时，即，解得：； ∴，， ∵， ∴三边不能组成三角形，即不符合题意； 综上，的长是16． 故选A． 6.如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是点到直线的距离，等面积法的应用，先求解，结合，从而可得答案. 【详解】解：在中，，根据三角形面积公式高， ． ，， ． ， ． ． 解得． 点到直线的距离是． 故选：A． 7．如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（    ） A．5 B．3 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线的性质得到，再根据三角形周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵为中线， ∴， ∵的周长，的周长， ∴与的周长之差为， 故选：A． 8．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形高，中线，角平分线的定义，熟知相关定义是解题的关键．根据三角形高，中线，角平分线的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴，A选项正确，不符合题意； ∵是的角平分线，、 ∴，B选项正确，不符合题意； ∵是的中线， ∴，C选项错误，符合题意； ∵是的高， ∴，D选项正确，不符合题意； 故选D． 二、填空题 9．如图，在中，D为边上的一点，E，F分别为，的中点，且，则图中涂色部分的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．由点E为的中点，可得与的面积之比，同理可得，和的面积之比，即可解答． 【详解】解：∵E为的中点， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 10．如图，是的中线，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的定义，熟练掌握三角形中线的定义是解题的关键．根据三角形中线的定义即可求解． 【详解】解：是的中线， ， ， ． 故答案为：． 11．如图，在中，D是的中点，，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查了三角形的中线的性质，即三角形的中线把三角形的面积等分成相等的两部分．根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行计算即可． 【详解】解：∵D是的中点，， ， 故答案为：2． 12．如图，在中，，分别是边上的高，且，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积计算，运用不同的底和高计算一个三角形的面积，关键要注意选取三角形底边时，要准确找到底边所对应的高． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故答案为：． 13．如图，，分别是的中线和角平分线，则： ； ． 【答案】 【分析】根据，分别是的中线和角平分线，得到为线段的中点，平分，进行作答即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴是线段的中点， ∴， ∵是的角平分线， ∴平分， ∴； 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查三角形的中线和角平分线的定义．熟练掌握三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段，三角形的一个角的平分线与这个内角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线，是解题的关键． 14．如图，线段AD，CE分别是△ABC中边BC，AB上的高．若AD＝10，CE＝9，AB＝12，则BC的长是 【答案】 【分析】根据题意，利用等面积法即可求解． 【详解】解：线段AD，CE分别是△ABC中边BC，AB上的高．若AD＝10，CE＝9，AB＝12， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的高线的定义，根据三角形的面积求解是解题的关键． 15．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点F，若△BEF的面积是3，则△ABC的面积是 ． 【答案】18 【分析】由题意可知F为重心，则根据重心的性质有，又△BEF与△BCF等高，S△BEF=3，立得S△BFC=6，所以S△BEC=9，最后根据三角形中线的性质求△ABC面积即可． 【详解】解：∵△ABC的中线BD、CE相交于点F，则点F为△ABC的重心， 由重心的性质可得：， ∵△BEF与△BCF等高，S△BEF=3， ∴S△BFC=6， 则S△BEC=S△BEF+S△BFC=3+6=9， 又E为AB中点， ∴S△ABC=2S△BEC=2×9=18． 故答案为：18． 【点睛】此题考查了三角形中线的性质以及三角形重心的性质，解题的关键是熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 三、解答题 16．已知． (1)画出的中线和角平分线； (2)画出的高，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画三角形的高线、中线和角平分线， （1）先找出的中点，连接即可得出的中线；画出的平分线即可； （2）过点作，垂足为点，延长，过点作，垂足为点，即可得出高线． 【详解】（1）解：即为所求作的中线，为所求作的角平分线，如图所示： （2）解：、为所求作的高线，如图所示： 17．如图，在中，，是边上的中线，的周长比的周长多，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线定义得出，结合三角形的周长公式求出，即可求解． 【详解】解：因为是边上的中线， 所以； 因为的周长比的周长多， 所以， 即， 因为， 所以． 18．中，，，若的中线把的周长分成两部分的比是，求边，的长． 【答案】，或， 【分析】此题主要考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形中线的定义，并注意分类讨论．首先设，，则，根据的中线把的周长分成两部分的比是可得①；②，分两种情况进行计算即可． 【详解】解：如图：    利用，设，， ∵， ∴， ∵的中线把的周长分成两部分的比是， 则①当时， 由题意得：， 解得：， 则，； ②当时， 由题意得：， 解得：， 则，， 答：，或，． 19．如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的高、中线以及角平分线，三角形内角和定理，掌握相关知识点是解题关键． （1）由三角形的面积公式，得出，再利用中线的定义，即可求出的长； （2）由三角形内角和定理，得出，进而得出，再由三角形内角和定理，求出，即可得出的度数． 【详解】（1）解：为边上的高，的面积为， ， ， 为边上的中线， ； （2）解：，， ， 为的平分线， ， ，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$