第二讲：三角形的边（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第二讲：三角形的边 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：三角形的三边关系 定义：三角形两边的和大于第三边.三角形两边的差小于第三边. 剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边；②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 知识点02：三角形的稳定性 性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 考点1：构成三角形的条件 【典型例题】 把一根长12的铁丝按下面的长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（   ） A．6，4，2 B．6，3，2 C．5，5，2 D．7，3，2 【变式训练1】 已知两条线段a、b，其长度为和．另有长度分别为、、、、的5条线段，其中能与a、b一起组成三角形的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点2：确定第三边的范围 【典型例题】 如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 【变式训练1】 若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的第三条边长可能是（　　） A．6 B．5 C．2 D．1 【变式训练2】 三角形的三边分别为3、、5，则的取值范围是（    ） A． B．0 C． D． 考点3：三边关系的应用 【典型例题】 某晾衣架的示意图如图所示，若，则晾衣架底部横杆的长可能为（   ） A．50 B．56 C．60 D．66 【变式训练1】 已知a，b，c是的三边长，化简的结果为（   ） A． B． C．2c D．0 【变式训练2】 河津龙门黄河大桥，被称为“三晋第一桥”，是我省里程最长的桥，也是黄河上跨径最大的斜拉桥．如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，运用的数学原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 考点4：三角形的稳定性 【典型例题】 如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（   ）    A．两点之间的线段最短 B．三角形具有稳定性 C．长方形是轴对称图形 D．长方形的四个角都是直角 【变式训练1】 如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 一、单选题 1．下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（   ） A．10，5，5 B．5，8，4 C．12，5，6 D．3，6，13 2．已知三角形的周长是，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．若一个三角形的两边长为5和9，则第三边长可能是（    ） A．15 B．14 C．5 D．4 4．坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（   ） A． B． C． D． 5．木工师傅有两根长分别为的木条，他要找第三根木条，将它们首尾相接钉成一个三角形框架，则他可以选择（   ） A．1cm的木条 B．2cm的木条 C．3cm的木条 D．4cm的木条 6．已知三角形的两边长分别是3和5，则第三边长a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．若是的三边，试化简（　　） A． B． C． D． 8．如图，在矩形镜框背面，安装一根木条，使矩形镜框不易变形的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长可以是 ．（写出一个即可） 10．若三角形三边长为4，，10，则x的取值范围是 ． 11．桥梁拉杆、电视塔架底座等都有三角形结构，这样设计的数学原理是利用了三角形的 ． 12．三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是 ． 13．小明准备用一根铁丝制作一个有两边相等的三角形，其中一边长，另一边长为，那么小明还应准备 cm长的铁丝． 14．一个三角形的三边长度均为整数，其中两边长为2和5，则第三边的最大值为 ． 15．已知的三边长分别为，，，化简 ． 16．已知、、是三角形的三边长，化简： ． 17．一个三角形的三边长均为奇数，其中两边长分别为3和5，则这个三角形周长的最大值为 ． 三、解答题 18．下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)3，4，8 (2)5，6，11 (3)5，6，10 19．在中，，，若是偶数，求的长． 20．已知三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，求这个三角形的周长． 21．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为奇数，求c的值； (2)化简：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第二讲：三角形的边 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：三角形的三边关系 定义：三角形两边的和大于第三边.三角形两边的差小于第三边. 剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边；②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 知识点02：三角形的稳定性 性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 考点1：构成三角形的条件 【典型例题】 把一根长12的铁丝按下面的长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（   ） A．6，4，2 B．6，3，2 C．5，5，2 D．7，3，2 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边．首先排除三段之和不为12的选项，再逐一验证剩余选项是否满足三边关系． 【详解】解：验证各选项总和是否为12： A：，符合； B：，排除； C：，符合； D：，符合． 检查三边关系： 选项A：，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形． 选项B：，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形． 选项C：，均满足条件，可构成三角形． 选项D：，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形． 故选：C 【变式训练1】 已知两条线段a、b，其长度为和．另有长度分别为、、、、的5条线段，其中能与a、b一起组成三角形的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关系． 根据三角形的三边关系，确定第三边的取值范围，进而可得结果． 【详解】解：由题知  ，， ， 能与a、b一起组成三角形的第三边c满足， 可选、， 故选：B． 考点2：确定第三边的范围 【典型例题】 如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边．根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：第三边， ∴第三边； 故选D． 【变式训练1】 若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的第三条边长可能是（　　） A．6 B．5 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边取值范围，再判断即可． 【详解】解：设第三边为x， ∵一个三角形的两边长分别为2和4， ∴， 即， 故选：B． 【变式训练2】 三角形的三边分别为3、、5，则的取值范围是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 直接根据三角形的三边关系确定a的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边分别为3、、5， ∴的取值范围是，即． 故选A． 考点3：三边关系的应用 【典型例题】 某晾衣架的示意图如图所示，若，则晾衣架底部横杆的长可能为（   ） A．50 B．56 C．60 D．66 【答案】A 【分析】根据三角形存在的条件，解答即可． 本题考查了三角形的三边长关系，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴50符合题意． 故选：A． 【变式训练1】 已知a，b，c是的三边长，化简的结果为（   ） A． B． C．2c D．0 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系，绝对值的化简，利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断绝对值内表达式的符号，进而化简绝对值即可． 【详解】解：a，b，c是的三边长， ，则， ， ，， ， ， 原式， 故选：D． 【变式训练2】 河津龙门黄河大桥，被称为“三晋第一桥”，是我省里程最长的桥，也是黄河上跨径最大的斜拉桥．如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，运用的数学原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的稳定性的实际应用，根据三角形的稳定性作答即可. 【详解】解：桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，运用的数学原理是：三角形具有稳定性， 故选：C 考点4：三角形的稳定性 【典型例题】 如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（   ）    A．两点之间的线段最短 B．三角形具有稳定性 C．长方形是轴对称图形 D．长方形的四个角都是直角 【答案】B 【分析】本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用．根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是三角形具有稳定性， 故选：B． 【变式训练1】 如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的性质，理解并掌握“三角形具有稳定性”的概念是解题的关键． 根据图示，三角形的性质即可求解． 【详解】解：自行车的车架焊接横梁，运用的数学原理是“三角形具有稳定性”， 选项A、选项C和选项D都与题干不符， 故选：B． 一、单选题 1．下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（   ） A．10，5，5 B．5，8，4 C．12，5，6 D．3，6，13 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形三边关系．根据三角形三边关系，任意两边之和需大于第三边．对各选项逐一验证，仅需检查最大边是否小于另两边之和即可． 【详解】解：A：最大边10，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形． B：最大边8，，且，均满足条件，能构成三角形． C：最大边12，，不满足条件，不能构成三角形． D：最大边13，，不满足条件，不能构成三角形． 故选：B 2．已知三角形的周长是，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键． 先计算出另外两边之和，再根据三角形任意两边之和大于第三边即可求解． 【详解】解：A．若三角形的一边长为4，则三角形另外两边之和为：，能构成三角形，故本选项不符合题意； B．若三角形的一边长为5，则三角形另外两边之和为：，能构成三角形，故本选项不符合题意； C．若三角形的一边长为6，则三角形另外两边之和为：，能构成三角形，故本选项不符合题意； D．若三角形的一边长为7，则三角形另外两边之和为：，不能构成三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 3．若一个三角形的两边长为5和9，则第三边长可能是（    ） A．15 B．14 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，求得该三角形第三边的取值范围是解题的关键． 根据第三边的长度必须大于已知两边之差且小于两边之和，据此求出第三边的取值范围即可解答． 【详解】解：设第三边长为， 由三角形三边关系可得，即． 所以A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意． 故选C． 4．坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边得到，进而求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∵ ∴ ∴ ∴段的长可能为． 故选：D． 5．木工师傅有两根长分别为的木条，他要找第三根木条，将它们首尾相接钉成一个三角形框架，则他可以选择（   ） A．1cm的木条 B．2cm的木条 C．3cm的木条 D．4cm的木条 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用．三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，据此可得第三边的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：设三角形框架的第三边长为， 根据题意，可得 ， ∴， 观察四个选项，选项B符合题意． 故选：B． 6．已知三角形的两边长分别是3和5，则第三边长a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系．根据三角形三边关系，第三边必须大于其他两边之差且小于其他两边之和判断即可． 【详解】解：已知三角形的两边分别为3和5， 根据三角形三边关系可知：，， 因此，第三边的取值范围为． 故选：C． 7．若是的三边，试化简（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系．根据三角形三边关系定理，确定绝对值内表达式的符号，进而化简绝对值表达式即可． 【详解】解：∵是的三边， ∴， 即 ∴ ． 故选：A． 8．如图，在矩形镜框背面，安装一根木条，使矩形镜框不易变形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．根据三角形具有稳定性解答． 【详解】解：根据三角形具有稳定性可知，使矩形镜框不易变形的是C． 故选：C． 二、填空题 9．若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了三角形的三边关系，设第三条边的长为，根据三角形的三边关系"任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边"求出第三边的取值范围，进而即可求解，掌握三角形三边关系是解题的关键． 【详解】解：设第三条边的长为，则， 即， ∴第三条边的长可以是， 故答案为：． 10．若三角形三边长为4，，10，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案． 【详解】解：三角形的三边长分别为4，，10， 根据三角形的三边关系可得：， 即， 故答案为：． 11．桥梁拉杆、电视塔架底座等都有三角形结构，这样设计的数学原理是利用了三角形的 ． 【答案】稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，根据三角形的稳定性作答即可． 【详解】解：桥梁拉杆、电视塔架底座等都有三角形结构，这样设计的数学原理是利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 12．三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 即． 故答案为：． 13．小明准备用一根铁丝制作一个有两边相等的三角形，其中一边长，另一边长为，那么小明还应准备 cm长的铁丝． 【答案】25 【分析】由题意，另一边长可能为或者，根据三角形三边之间的关系判定即可．本题考查了三角形三边之间的关系：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形一边长，另一边长 ∴另一边长可能为或者， 当另一边长时，， ∴另一边长不能为， ∴小明应准备长的铁丝. 故答案为：25． 14．一个三角形的三边长度均为整数，其中两边长为2和5，则第三边的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，设三角形的第三边长是，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：设三角形的第三边长是， 由三角形三边关系定理得到：， ∴， ∵三角形三边均为整数， ∴三角形第三边的最大值为6． 故答案为：． 15．已知的三边长分别为，，，化简 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质，整式的加减，正确得出的取值范围是解题关键．利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 【详解】解：因为的三边长分别为，，， 所以． 解得． ∴，， ∴． 故答案为：． 16．已知、、是三角形的三边长，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形三边关系和绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边 ）以及绝对值的性质（正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数）是解题的关键．利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简． 【详解】解：∵ 、、是三角形的三边长 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 ∴ ，即；，即 ∵ 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 ∴ ， 则 故答案为： ． 17．一个三角形的三边长均为奇数，其中两边长分别为3和5，则这个三角形周长的最大值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了三角形三边关系，关键是求出三角形第三边的取值范围，熟练掌握三角形三边关系，是解答此题的关键．根据三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边，解答此题即可． 【详解】解：∵第三边， ∴第三边， ∵三边长都是奇数， ∴这个三角形第三边长的最大值是7， ∴这个三角形周长的最大值为， 故答案为：15． 三、解答题 18．下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)3，4，8 (2)5，6，11 (3)5，6，10 【答案】(1)不能，理由见详解 (2)不能，理由见详解 (3)能，理由见详解 【分析】本题考查了三边关系：两边之和大于第三边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得，根据，不满足两边之和大于第三边，即可作答． （2）先得，根据，不满足两边之和大于第三边，即可作答． （3）先得，根据，满足两边之和大于第三边，即可作答． 【详解】（1）解：不能，理由如下： 依题意，， ∵， ∴这三条线段的长度不满足两边之和大于第三边， 故不能组成三角形； （2）解：不能，理由如下： 依题意，， ∵， ∴这三条线段的长度不满足两边之和大于第三边， 故不能组成三角形； （3）解：能，理由如下： 依题意，， ∵， ∴这三条线段的长度满足两边之和大于第三边， 故能组成三角形． 19．在中，，，若是偶数，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了三角形三条边的关系．根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围；再根据第三边是偶数，确定第三边的值即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系得： ， 即， ∵为偶数， ∴． 20．已知三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，求这个三角形的周长． 【答案】、、、或 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，根据“三角形两边之差小于三边，两边之和大于第三边”，求出x的取值范围，即可解答． 【详解】解：设第三边的长为， 根据三角形的三边关系，，即， ∵第三条边长为偶数， ∴第三边是，，，， 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 21．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为奇数，求c的值； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形三边的关系是解题的关键． （1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出c的取值范围即可得到答案； （2）根据三角形三边的关系可得，则，据此去绝对值求解即可． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为a，b，c，，， ∴， ∴，即， ∵c为奇数， ∴； （2）解：的三边长分别为a，b，c， ∴， ∴， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $$