第01讲 2.1.1倾斜角与斜率（知识清单+9类热点题型讲练+分层强化训练）-【精讲精练】2025-2026学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第01讲 2.1.1倾斜角与斜率 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：直线倾斜角的定义 以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. （1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：； 特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为. （2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度. 知识点02：直线的斜率 我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用字母表示，即 （1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同； （2）倾斜角时，直线的斜率不存在。 【即学即练1】（24-25高二上·湖北·期末）已知两点，直线的倾斜角为，则实数等于（    ） A． B． C． D． 知识点03：斜率与倾斜角的联系 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 【即学即练2】（23-24高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 知识点04：直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 【即学即练3】（2025高三·全国·专题练习）若经过两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A．－5 B．5 C．3 D．－17 第三部分 题型精讲 题型01求直线的倾斜角 【典例1】（24-25高二下·河南商丘·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·福建宁德·期末）若向量是直线l的一个法向量，则直线l的倾斜角为 . 【变式1】（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·安徽·期末）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·广西南宁·期末）若一条直线的斜率等于，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 题型02直线斜率的定义 【典例1】（23-24高一下·海南海口·期末）已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 【典例2】（24-25高二上·福建三明·期中）若经过两点和的直线的倾斜角为，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）过两点，的直线的倾斜角是，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·重庆·期中）若直线的一个方向向量为，则该直线的倾斜角大小为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）过两点的直线的倾斜角为，求的值为 ． 题型03斜率与倾斜角变化关系 【典例1】（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）如图，若直线 的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·甘肃兰州·期中）直线，，，的图象如图所示，斜率最大的直线是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·青海西宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有三条直线，其对应的斜率分别为，则下面选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 题型04已知两点求斜率 【典例1】（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线经过和两点，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·北京平谷·期末）已知直线过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）已知直线经过点和两点，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）若将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l的斜率是（   ） A． B． C． D． 题型05已知斜率求参数 【典例1】（24-25高二上·山东·期中）过两点的直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．或 D．2 【典例2】（24-25高二上·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ． 【变式1】（23-24高二上·安徽芜湖·期中）经过两点，的直线的倾斜角为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）经过两点的直线的倾斜角为，则 【变式3】（23-24高二上·广东佛山·期中）已知直线过，两点且倾斜角为，则m的值为 . 题型06利用直线斜率处理共线问题 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）若三点在同一条直线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·福建宁德·阶段练习）已知三点共线，则实数的值为 . 【变式1】（24-25高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 【变式2】（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知，平面内三点共线，则 ． 【变式3】（23-24高二下·全国·课后作业）已知三点，，，求证：A，B，C三点共线. 题型07求斜率或倾斜角的取值范围 【典例1】（24-25高二上·陕西西安·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知，，，直线l过点B，且与线段AP相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D．或 【变式2】（23-24高二上·上海杨浦·期中）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .    【变式3】（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）直线过点，，则直线的倾斜角为 题型08斜率公式的几何意义的应用 【典例1】（24-25高二上·上海·课堂例题）点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 【典例2】（24-25高二上·上海·阶段练习）在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 【变式1】（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知曲线，则的取值范围是 ． 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 题型09直线与线段的相交关系求斜率范围 【典例1】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·海南海口·开学考试）已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点、，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知点，过的直线（不垂直于轴）与线段相交，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（24-25高二下·河南周口·开学考试）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江西赣州·阶段练习）设点、，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 6．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线斜率为，且．那么倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高二上·河南开封·期末）已知经过，两点的直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角可能为（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（24-25高二上·四川雅安·期中）直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知点，若直线的一个方向向量坐标为，则实数的值为 10．（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为 ． 11．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知，，三点． (1)若过两点的直线的倾斜角为45°，求m的值． (2)三点可能共线吗？若能，求出m值． 12．（24-25高二上·全国·课后作业）直线过点和点． (1)若直线的斜率是，求； (2)求直线的倾斜角的最小值． B能力提升 1．（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南信阳·模拟预测）已知矩形ABCD四个顶点分别为，一质点从线段AB上某一点M处（不包含端点），沿与AB夹角为60°的方向射到边BC上，再依次反射到边CD，DA和AB上（入射角等于反射角），则的取值范围为 ． 3．（2024高二·全国·专题练习）已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． C综合素养 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知函数若存在唯一的整数，使得成立，则所有满足条件的整数的取值集合为（    ） A． B． C． D．   3．（24-25高二上·福建福州·期中）矩形OABC中，为坐标原点，，光线从OA边上一点发出，到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到轴上的点，若，则与轴夹角的正切值的取值范围是 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 2.1.1倾斜角与斜率 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：直线倾斜角的定义 以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. （1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：； 特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为. （2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度. 知识点02：直线的斜率 我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用字母表示，即 （1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同； （2）倾斜角时，直线的斜率不存在。 【即学即练1】（24-25高二上·湖北·期末）已知两点，直线的倾斜角为，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点的斜率公式及直线的斜率定义即可求解. 【详解】由题，直线的斜率为，又， . 故选：B. 知识点03：斜率与倾斜角的联系 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 【即学即练2】（23-24高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线,的倾斜角为，由图可知，所以，即，，所以． 故选：D 知识点04：直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 【即学即练3】（2025高三·全国·专题练习）若经过两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A．－5 B．5 C．3 D．－17 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式及方向向量的意义求解. 【详解】依题意，直线的斜率，解得． 故选：A 第三部分 题型精讲 题型01求直线的倾斜角 【典例1】（24-25高二下·河南商丘·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由直线方向向量为，则直线斜率为，结合倾斜角的范围，故其倾斜角为. 故选：C 【典例2】（24-25高二上·福建宁德·期末）若向量是直线l的一个法向量，则直线l的倾斜角为 . 【答案】 【分析】根据法向量的定义，以及直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解． 【详解】因为向量是直线l的一个法向量， 所以直线l的斜率，设直线l的倾斜角为， 则，又， 所以直线l的倾斜角. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由倾斜角与斜率关系即可求解. 【详解】设倾斜角为，，则，解得，故倾斜角为， 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·安徽·期末）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方向向量求斜率，再求倾斜角. 【详解】根据题意：向量所在的直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，所以可得倾斜角为． 故选：D 【变式3】（24-25高二上·广西南宁·期末）若一条直线的斜率等于，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜率和倾斜角的关系得到方程，求出答案. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 又，故. 故选：C 题型02直线斜率的定义 【典例1】（23-24高一下·海南海口·期末）已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 【答案】C 【分析】由题意可知直线的斜率，再结合斜率公式运算求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 又因为，则，解得. 故选：C. 【典例2】（24-25高二上·福建三明·期中）若经过两点和的直线的倾斜角为，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用倾斜角与斜率间的关系及过两点的斜率公式，即可求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 又因为直线经过两点和，因此，解得， 故选：B． 【变式1】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）过两点，的直线的倾斜角是，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由过两点的斜率公式求解即可. 【详解】解：因为直线过两点､，且倾斜角是， 所以直线的斜率， 又因为， 所以， 解得. 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·重庆·期中）若直线的一个方向向量为，则该直线的倾斜角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的方向向量求出直线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】由直线的一个方向向量为，得直线的斜率， 所以该直线的倾斜角大小为. 故选：C 【变式3】（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）过两点的直线的倾斜角为，求的值为 ． 【答案】． 【分析】根据倾斜角计算出直线的斜率，再根据坐标形式下斜率的计算公式求解出的值． 【详解】解：因为直线的倾斜角为， 所以直线的斜率， 又，整理得， 解得或， 当时，，不符合， 当时，，符合， 综上：． 故答案为： 题型03斜率与倾斜角变化关系 【典例1】（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系可得出结论. 【详解】由图可知的倾斜角为锐角，、、的倾斜角为钝角， 则直线的斜率为正数，直线、、的斜率均为负数， 且、、中，直线的倾斜角最小，故直线的斜率最小. 故选：B. 【典例2】（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）如图，若直线 的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可判断. 【详解】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大； 倾斜角为钝角时，斜率为负，倾斜角越大，倾斜程度越小，斜率越大， 所以 故选： A. 【变式1】（23-24高二上·甘肃兰州·期中）直线，，，的图象如图所示，斜率最大的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系，由图直接判断出斜率最大的直线. 【详解】由图知直线的斜率为负值， 直线的斜率为正，倾斜角为锐角， 而直线的倾斜角比的倾斜角大，所以直线的斜率较大. 故选：C. 【变式2】（23-24高二上·青海西宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有三条直线，其对应的斜率分别为，则下面选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三条直线的倾斜角，直接判断斜率的大小关系 【详解】由题图可知，，，，且， 所以，，， 故选：A. 【变式3】（多选）（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用斜率与倾斜角的定义，结合图象判断即可得． 【详解】由图可得， ， ，且， 故ABC正确，D错误. 故选：ABC． 题型04已知两点求斜率 【典例1】（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线经过和两点，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 设的倾斜角为，则，解得. 故选：D 【典例2】（24-25高二上·北京平谷·期末）已知直线过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点求斜率，再根据斜率与倾斜角关系计算即可. 【详解】直线过点，则直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，所以， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 【变式1】（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）已知直线经过点和两点，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点坐标求出直线斜率，进而求倾斜角即可. 【详解】因为直线经过点和两点， 所以直线斜率存在，斜率， 设直线的倾斜角为，则，解得， 故选：A 【变式2】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）若将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l的斜率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，写出平移后点的坐标，由此点也在原直线上，计算斜率即可． 【详解】解：设是直线上任意一点，则平移后得点， 则直线的斜率． 故选：A． 题型05已知斜率求参数 【典例1】（24-25高二上·山东·期中）过两点的直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．或 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，由直线斜率的计算公式代入计算，然后检验，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，化简可得， 解得或， 当时，，两点重合，故舍去. 所以. 故选：A 【典例2】（24-25高二上·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】根据斜率公式列式求解即可. 【详解】根据题意可得，解得或， 当时，点A，B重合，不符合题意，舍去； 当时，经验证，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 【变式1】（23-24高二上·安徽芜湖·期中）经过两点，的直线的倾斜角为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据两点的斜率公式及倾斜角的关系计算即可. 【详解】由于直线AB的倾斜角为，则该直线AB的斜率为， 又因为，，所以，解得． 故选:B． 【变式2】（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）经过两点的直线的倾斜角为，则 【答案】/ 【分析】根据斜率列方程，由此求得. 【详解】倾斜角为，斜率为， 所以， 解得. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·广东佛山·期中）已知直线过，两点且倾斜角为，则m的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合斜率公式和斜率的定义，列出方程，即可求解. 【详解】由直线过点，，可得的斜率为， 因为直线的倾斜角为，可得，所以. 故答案为：. 题型06利用直线斜率处理共线问题 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）若三点在同一条直线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三点共线得，利用斜率的坐标公式建立方程求解即可. 【详解】因为三点在同一条直线上，且直线的斜率显然存在， 所以，则，解得． 故选：B. 【典例2】（23-24高二上·福建宁德·阶段练习）已知三点共线，则实数的值为 . 【答案】4 【分析】根据确定直线斜率存在，再根据三点共线可得斜率相等，即可得实数的值. 【详解】因为的横坐标不相同，故三点共线 可得，则，解得. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由三点共线得到，再由两点表示出直线的斜率求解即可； 【详解】由题意可得，即，解得. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知，平面内三点共线，则 ． 【答案】 【分析】由求解即可. 【详解】解：因为三点共线， 所以， 又因为， 所以， 整理得：， 即， 又因为， 解得. 故答案为： 【变式3】（23-24高二下·全国·课后作业）已知三点，，，求证：A，B，C三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】根据斜率相等证明三点共线. 【详解】证明：∵，， ∴， ∴A，B，C三点共线. 题型07求斜率或倾斜角的取值范围 【典例1】（24-25高二上·陕西西安·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，的斜率，结合图象可得结论． 【详解】，， 存在与线段相交的直线与轴垂直， 所以直线的斜率的范围是. 故选：B. 【典例2】（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用斜率公式求得，根据正切函数图象与性质分析运算即可得解. 【详解】解：由题意点，，则直线的斜率为 ， ∵， ∴，又∵直线倾斜角的范围是， ∴当时，倾斜角有：； 当时，倾斜角有：； 综上，直线的倾斜角的取值范围为. 故选：A. 【变式1】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知，，，直线l过点B，且与线段AP相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】画出图形，数形结合得到，求出，得到答案. 【详解】如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足， 即且，所以． 故选：B． 【变式2】（23-24高二上·上海杨浦·期中）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .    【答案】 【分析】根据题意线段，，分别找出点落在线段上的临界位置，即可求解. 【详解】由题意知：，，设，则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：, 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 故答案为：.    【变式3】（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）直线过点，，则直线的倾斜角为 【答案】/ 【分析】利用两点间的斜率公式应用，斜率与倾斜角的关系，即可求解. 【详解】由斜率公式,设倾斜角为 由. 故答案为：. 题型08斜率公式的几何意义的应用 【典例1】（24-25高二上·上海·课堂例题）点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 【答案】C 【分析】先画出指数函数图象再结合斜率公式数形结合得出范围. 【详解】表示点与点所成直线的斜率k， 又是在部分图象上的动点， 如图，当接近时， 当为时，，则，只有C满足. 故选：C. 【典例2】（24-25高二上·上海·阶段练习）在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】表示线段上的点与连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可 【详解】表示线段上的点与连线的斜率， 因为， 所以由图可知的取值范围是． 故答案为：. 【变式1】（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知曲线，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先画出函数的图象，表示曲线上的点与连线的斜率，求出临界点处的斜率，即可求出的取值范围. 【详解】函数， 则函数在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下所示： 当时，即，当时，则， 表示曲线上的点与连线的斜率，令， 又，， 由图可得或， 即的取值范围为. 故答案为： 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2). 【分析】（1）先由斜率公式求斜率，然后根据斜率定义可得倾斜角； （2）将问题转化为求直线的斜率的取值范围，然后结合图形分析可得. 【详解】（1）由斜率公式得直线的斜率为， 记倾斜角为，则， 因为，所以直线的倾斜角为. （2）由题知为直线的斜率. 记直线和的倾斜角分别为，直线的倾斜角为， 由图可知，， 又，， 所以，由正切函数性质可得，直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 题型09直线与线段的相交关系求斜率范围 【典例1】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 【典例2】（24-25高二下·海南海口·开学考试）已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线与直线的斜率，再结合直线与线段相交的条件，确定直线斜率的取值范围. 【详解】已知，，根据过两点直线斜率公式，可得： 已知，，同理可得： 当直线绕点从位置旋转到与轴重合时，斜率的范围是； 当直线绕点从与轴重合旋转到位置时，斜率的范围是. 所以直线斜率的取值范围是. 故选：B.    【变式1】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点、，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，求出直线、的斜率，观察直线在绕着点旋转时，直线的倾斜角的变化，即可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示： ，， 当直线从的位置旋转至与的位置靠近时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为锐角，则； 当直线从靠近的位置旋转至的位置时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为钝角，则. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以. 故选：B. 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知点，过的直线（不垂直于轴）与线段相交，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意作出相应图形，利用两点斜率公式求得两临界斜率，再数形结合即可得解. 【详解】点，过的直线（不垂直于轴）与线段相交， 如图， ， 且过的直线（不垂直于轴）与线段相交， 直线需绕点逆时针旋转至倾斜角为（不含），此时斜率范围为， 直线需绕点顺时针旋转至倾斜角为（不含），此时斜率范围为． 综上所述，直线斜率的取值范围是． 故选：C. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（24-25高二下·河南周口·开学考试）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由题意，直线l的斜率为， 结合斜率与倾斜角的关系，得直线l的倾斜角为． 故选：C． 2．（2025高三·全国·专题练习）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的倾斜角，从而得到直线的倾斜角及斜率，得到. 【详解】因为直线的斜率，对应的倾斜角为， 由题意可得，直线的倾斜角为，故其斜率，解得， 故选：C． 3．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线 、 的斜率后即可求直线/的斜率的范围. 【详解】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 4．（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即. 故选：A. 5．（23-24高二上·江西赣州·阶段练习）设点、，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】画出图形，由题意得所求直线的斜率满足或，用直线的斜率公式求出 和的值，求出直线的斜率的取值范围. 【详解】解：如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或， ∵，， ∴直线的斜率的取值范围是或 ， 故选：A. 6．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线斜率为，且．那么倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倾斜角与斜率的关系，建立不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，且，解得. 故选：C. 7．（多选）（24-25高二上·河南开封·期末）已知经过，两点的直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】应用两点式求斜率，结合方向向量与斜率关系列方程求斜率，进而确定倾斜角的大小. 【详解】由题意，，解得，则， 设倾斜角为，则，解得或. 故选：BC 8．（多选）（24-25高二上·四川雅安·期中）直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分别计算出直线过点、时的斜率，结合斜率定义即可得直线的斜率的取值范围，即可得解. 【详解】当直线过点时，设直线的倾斜角为，则 ， 当直线过点时，设直线的倾斜角为，则 ， 故要使直线过点，且与以，为端点的线段有公共点， 则直线的斜率的取值范围为或. 故选：ACD. 9．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知点，若直线的一个方向向量坐标为，则实数的值为 【答案】 【分析】根据直线方向向量的概念和向量共线的坐标表示列方程组求解即可. 【详解】由题意可得， 因为直线的一个方向向量坐标为， 所以，即，解得， 故答案为： 10．（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】根据直线斜率公式结合已知直线的方向向量可以直接求出直线的斜率，进而根据斜率求出倾斜角. 【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 所以，则， 故答案为：. 11．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知，，三点． (1)若过两点的直线的倾斜角为45°，求m的值． (2)三点可能共线吗？若能，求出m值． 【答案】(1)1 (2)3 【分析】（1）利用斜率与倾斜角的关系式及斜率公式即可求解； （2）三点共线，则，结合斜率公式即可求解. 【详解】（1）过两点的直线斜率， 所以，解得. （2），， 若三点共线，则， 即，解得， 所以当时，三点共线. 12．（24-25高二上·全国·课后作业）直线过点和点． (1)若直线的斜率是，求； (2)求直线的倾斜角的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据直线斜率公式进行求解即可； （2）根据直线斜率与直线倾斜角的关系，分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由直线的斜率，可得，即． （2）当时，直线的倾斜角； 当时，直线的斜率， 当时，； 当时，， 又直线的倾斜角为，则有或， 所以直线的倾斜角的取值范围是或． 故直线的倾斜角的最小值为． B能力提升 1．（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可看成是两点连线的斜率，数形结合求解. 【详解】可以看成是线段上的点与点连线的斜率， 如图，易求得，， 所以得取值范围为. 故选：C. 2．（2025·河南信阳·模拟预测）已知矩形ABCD四个顶点分别为，一质点从线段AB上某一点M处（不包含端点），沿与AB夹角为60°的方向射到边BC上，再依次反射到边CD，DA和AB上（入射角等于反射角），则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】如图所示，质点由出发依次经BC，CD，DA反射后到达线段AB，相当于直线与线段MN相交，则 又因为，且， 即，所以， 故答案为：. 3．（2024高二·全国·专题练习）已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围； （2）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围. 【详解】（1） 如图，由于点满足关系式，且， 所以点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 由于的几何意义是直线的斜率，且，， 所以的取值范围是． （2） 因为的几何意义是过，两点的直线的斜率， 由题意可知点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 则，，所以． 所以的取值范围为． C综合素养 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简，函数上一点与连线斜率的倍，求出的范围，即可得出答案. 【详解】因为，图象如下图，，   ， 表示函数上一点与连线斜率的倍， ，， 由图可知：或， 所以或， 则的取值范围为. 故选：D. 2．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知函数若存在唯一的整数，使得成立，则所有满足条件的整数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得范围. 【详解】令作出的图象如图所示：等价于，表示点与点所在直线的斜率， 可得曲线上只有一个整数点与所在的直线斜率小于0， 而点在直线上运动， 由, 可知当时， 只有点满足，当时， 只有点满足， 当时，至少有，满足， 不满足唯一整数点，故舍去， 当时，至少有，满足， 不满足唯一整数点，故舍去，因为为整数，故可取. 故选：B    3．（24-25高二上·福建福州·期中）矩形OABC中，为坐标原点，，光线从OA边上一点发出，到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到轴上的点，若，则与轴夹角的正切值的取值范围是 . 【答案】 【分析】设与轴夹角为，根据入射光线与反射光线的关系，逐步用表示出，再根据的范围可求. 【详解】设与轴夹角为，由题意可知，， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$