专题1.5 等腰三角形（知识梳理+11个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共47题）同步培优讲练-2025-2026学年苏科版数学八年级上册（新教材）

专题1.5 等腰三角形 （知识梳理+11个考点讲练+难度分层练 共47题） 知识点1 等腰三角形的性质 1. 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰． 2. 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 4. 拓展： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 知识点2 等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 知识点3 等边三角形及其性质 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点4 等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点5 含30°角的直角三角形的性质 1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2. 拓展：（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 知识点6 直角三角形斜边上的中线 1. 性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 2. 拓展：一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形就是以这条边为斜边的直角三角形．使用该定理可以确定直角三角形． 考点1：格点图中画等腰三角形 【典例精讲】（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点， 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中，找到一个格点 D，作射线 ，使平分 的面积； (2)在图②中，找到格点E、F，作直线，使 垂直平分； (3)在图③中，找到一个格点G，作射线，使 平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查三角形的中线，中垂线，等腰三角形的判断和性质： （1）根据三角形的中线平分面积，取的中点即可； （2）根据等腰三角形的性质，中垂线的定义，取的中点，取格点右侧格点，连接即为所求； （3）根据等腰三角形三线合一，取格点，连接，即可． 【规范解答】（1）解：如图①，即为所求； （2）如图②即为所求； （3）如图③，即为所求； 【变式训练】（24-25八年级上·江西景德镇·期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使为等腰直角三角形，那么点C的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，以为直角顶点有2个，以A为直角顶点有2个，以C为直角顶点有2个，据此结合网格的特点画出示意图即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示，即为所求， 故选：A． 考点2：找出图中的等腰三角形 【典例精讲】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，和的平分线交于点．过作交于，交于． (1)探究，，之间的等量关系． (2)若，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有请写出来；（1）中的结论还成立吗？无需证明． 【答案】(1) (2)有等腰，等腰，仍成立 【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的性质．熟练掌握利用了等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质，可得与，与的关系，根据平行线的性质，可得与，与的关系，根据等腰三角形的判定，可得与，与的关系，根据线段的和差，可得答案； （2）根据等腰三角形的判定，可得等腰三角形，根据角平分线的性质，可得与，与的关系，根据平行线的性质，可得与，与的关系，根据等腰三角形的判定，可得与，与的关系，根据线段的和差，可得答案． 【规范解答】（1）解： ，理由如下： 平分，平分， ，． ， ，， ，， ，． ， ； （2）解：有等腰三角形，等腰，等腰，仍成立， 理由如下： 平分，平分， ，． ， ，， ，， ，． ∴，都是等腰三角形， ， ． 【变式训练】（24-25七年级上·山东淄博·期中）（1）如图，已知，分别是上的点，且．与相等吗？为什么？    （2）如图，在中，平分，交于点垂直平分于点．试说明：．    （3）如图，在中，将三等分，点在上． ①求的度数； ②写出图中所有的等腰三角形．    【答案】（1）与相等，理由见解析  （2）见解析  （3）①  ②, , , , , 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定； （1）根据全等三角形的性质得到，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）由线段垂直平分线的性质得到，再由角平分线的性质得到即可得出结论； （3）①根据已知条件和三角形的内角和得到， ， ， 由于将三等分， 于是求得，然后计算解题； ②根据外角的性质和三角形的内角和得到， 于是得到结论． 【规范解答】（1）解：与相等，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明： ∵垂直平分， ， ， ， ∵平分 ， ， ， 即； （3）解：①∵，， ∴， ， ， ∵， 将三等分， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， 是等腰三角形． 考点3：根据等角对等边证明等腰三角形 【典例精讲】（23-24八年级上·广西河池·期中）如图，中，、分别平分、，，，，则的周长 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 由角平分线的定义得出，结合平行线的性质得出，推出，同理，即可得解． 【规范解答】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，     同理， ∵， 则的周长． 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，点分别在的延长线上，与的平分线相交于点．以下结论：①；②；③和都是等腰三角形．其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【思路引导】三角形外角的定义以及性质得出根据角平分线的性质得出，进而可得出，可判定①，根据平行线的性质以及角平分线的定义可判断②，根据平行线的性质以及角平分线的定义结合等腰三角形的判定定义可判断③． 【规范解答】解：∵， 又∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 即，故②正确． ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴ ∴是等腰三角形，故③正确， 故选：D 【考点剖析】本题主要考查了三角形外角的定义以及性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，以及平行线的判定以及性质等知识，掌握这些判定以及性质是解题的关键． 考点4：根据等角对等边求边长 【典例精讲】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）在中，、的平分线相交于点，过点作分别交、于、． (1)求证：； (2)若的周长比的周长大8，试求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了角平分线的定义，两直线平行内错角相等，等角对等边． （1）先根据角平分线的定义得到，根据两直线平行内错角相等得到，即可得到，根据等角对等边证明即可； （2）同（1）证明，可知的周长，根据“的周长比的周长大8”计算即可． 【规范解答】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴的周长， ∵的周长比的周长大8， ∴． 【变式训练】（21-22八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，点E、D分别在的延长线上，与的平分线相交于点P，，与交于点H，交于F，交于G，下列结论：①；②平分；③垂直平分，其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． ①根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；②过P作于M，于N，于S，利用证明和，得出，，即可得出，再利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得证；③利用证明，根据全等三角形的性质得出，，即可得证． 【规范解答】解：①∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②过P作于M，于N，于S， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即平分；故②正确； ③∵平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴垂直平分，故③正确； 故选：D． 考点5：根据等角对等边求边长 【典例精讲】（22-23九年级下·河北衡水·阶段练习）题目：“如图，已知，点，在边上，，，是射线上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有3个，求的取值范围。”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（   ）    A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【思路引导】根据等腰三角形的性质，画出满足条件的三角形，即可． 【规范解答】当时，点，，构成等腰三角形的点恰好有3个， 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； ∴，，满足题意；   当时，存在满足条件的点只有一个； ∴；   当，存在满足条件的点只有个； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形；   当时，存在满足条件的有三个点； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形；   当时，不存在满足条件的点， ∴甲、丙答案合在一起才完整， 故选：B． 【考点剖析】本题考查等腰三角形的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质，画出满足题意的图形． 【变式训练】（21-22八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【思路引导】①以B为圆心，长为半径画弧，交于点D，就是等腰三角形； ②以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，就是等腰三角形； ③以C为圆心，长为半径画弧，交于点F，就是等腰三角形； ④作的垂直平分线交于点H，就是等腰三角形； ⑤作的垂直平分线交于G，则是等腰三角形； ⑥作的垂直平分线交于I，则和都是等腰三角形． ⑦作的垂直平分线交于M，则和都是等腰三角形． 【规范解答】解：作图如下 故选：D 【考点剖析】本题考查了等腰三角形的判定的应用；解题的关键是理解能力和动手操作能力． 考点6：直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【典例精讲】（22-23八年级上·江西南昌·期中）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据题意，分三种情况：当时，当时，当时，即可解答． 【规范解答】解：如图所示： 分三种情况： ①当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，， ②当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，， ③当时，作的垂直平分线，交网格线的格点为，，，， 综上所述：使成为等腰三角形，则满足条件的点有个， 故选：B． 【考点剖析】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，分三种情况讨论是解题的关键． 【变式训练】（21-22八年级上·四川自贡·阶段练习）（1）ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，ABC的面积20，AB=6，AC=8，OD=2，则BC的长是 ． （2）如图，直角坐标系中，点，点在轴上，且是等腰三角形，则满足条件的点共 个． 【答案】 6 4 【思路引导】（1）根据题意过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，利用角平分线的性质可知OE=OF=OD=2，利用三角形的面积公式进行计算即可； （2）根据题意分AB=AP，BP=AB，AP=BP三种情况进行讨论求解即可. 【规范解答】解：（1）过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，连接AO， ∵OB，OD为∠ABC和∠ACB的平分线，OD⊥BC， ∴OE=OF=OD=2， ∵S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC =AB•OE+AC•OF+BC•OD =×6×2+×8×2+×BC×2 ∵△ABC的面积20， ∴×6×2+×8×2+×BC×2=20， 解得：BC=6. 故答案为：6； （2）如图，点A（-2，2）、B（0，1）， ①以A为圆心，AB为半径画圆，交x轴有二点P1（-1，0），P2（-3，0），此时（AP=AB）； ②以B为圆心，BA为半径画圆，交x轴有二点P3（-2，0），（2，0）不能组成△ABP，故舍去，此时（BP=AB）； ③AB的垂直平分线交x轴于一点P4（PA=PB），此时（AP=BP）； 设此时P4（x，0）， 则（x+2）2+4=x2+1， 解得：x=- ， ∴P4（- ，0）． ∴符合条件的点有4个． 故答案为：4． 【考点剖析】本题主要考查角平分线的性质和等腰三角形的判定，作出恰当的辅助线，利用角平分线的性质是解答此题的关键．注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． 考点7：求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【典例精讲】（23-24八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，已知：，点、、、．．．在射线上，点、、、．．．在射线上，、、、．．．均为等边三角形，若，则线段的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了图形类的规律题，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，明确题意，准确的到规律是解题的关键． 根据为等边三角形，可得，，从而得到，进而得到，同理可得，，，由此得到规律，即可求解． 【规范解答】解：∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 同理可得， ， …… ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级上·北京朝阳·期中）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”，例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”． (1)①如图1，在中，，，请你在这个三角形中画出它的“等腰线段”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数； ②如图2，等边三角形 （填“存在”或“不存在”）“等腰线段”． (2)如图3，，点在射线上，若存在“等腰线段”，则的度数为 ． 【答案】(1)①画图见解析；②不存在 (2)或或 【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识．解题的关键是： （1）①作的平分线即可，然后根据角平分线的定义，三角形的内角和定理求解即可； ②根据“等腰线段”的定义和等边三角形的判定与性质判定即可； （2）分三种情况讨论：①；②；③三种情况讨论，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识求解即可． 【规范解答】（1）解：①如图，即为所求， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， ∴、是等腰三角形， ∴是的“等腰线段”； ②若等边三角形存在“等腰线段”，如图， 则，都是等腰三角形， 又是等边三角形， ∴， ∴，都是等边三角形， ∴D和A或D和C重合， 此时不存在或， ∴等边三角形不存在“等腰线段”， 故答案为：不存在； （2）解∶∵存在“等腰线段”， ∴、是等腰三角形， ①当时，如图， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴； ②当时，如图， ∴ ∴， ∵是等腰三角形， ∴； ③当时，如图， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴； 综上，的度数为或或． 考点8：等腰三角形的性质和判定 【典例精讲】（24-25八年级上·宁夏固原·期中）如图（1），已知：在中，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D，E．求证：； （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展与应用：如图（3），D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），且和均为等边三角形，连接，若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）等边三角形，理由见解析 【思路引导】（1）证明，可得，，，由此即可求解； （2）证明，可知，，由此即可求证； （3）根据与都是等边三角形，证明，得出，，求出．由此即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵，直线，直线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）解：仍然成立，理由如下： ∵， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． （3）解：∵， ∴根据解析（2），同理可得：， ∴，， 又∵与都是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即． ∴是等边三角形． 【考点剖析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理应用，掌握全等三角形的判定方法，等边三角形的性质是解题的关键． 【变式训练】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点(不与点B重合，且)，在射线上截取，连接． (1)当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为_____； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明：； (2)当点C在线段的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)①补全图形见解析，；②见解析 (2) 【思路引导】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）①按要求补全图形即可；先证明是等边三角形得到，进而，再根据等角对等边得到，然后证明，利用全等三角形的性质可得结论； ②如图2，在上截取，连接，证明是等边三角形得到，，则，再证明得到，进而利用可得答案； （2）分当点A在点E右边时和当点A在点E左边时两种情况，利用等边三角形的性质和全等三角形的性质求解即可． 【规范解答】（1）①解：补全图形如图1所示， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②证明：如图2，在上截取，连接， ∵，，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：当点A在点E右边时，如图3，在上截取，连接， 由（1）知，，， ∵， ∴； 当点A在点E左边时，如图4，在上截取，连接， 由（1）知，，， ∵， ∴． 考点09：等边三角形的判定和性质 【典例精讲】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知，在等边△中，、分别为、边上的点，，连接、相交于点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作于，若，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【思路引导】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得出，证出，证明，则即可得解答； （2）由（1）得，由全等三角形的性质得出，AE=BD，求出，由直角三角形性质得出，证出，得出，即可得出； 【规范解答】（1）解：∵是等边三角形， ， ， ∴， ∴ ． （2）证明：由（1）得：， ，，， ， ∴， ， ∴， ． 【变式训练】（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）中，是高，E是的中点，且线段平分的周长，若，则 ． 【答案】/64度 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质；在边上截取，由直角三角形的性质得到，再由线段平分的周长得到，进而可证明，则，再由三角形外角的性质可得答案． 【规范解答】解：如图所示，在边上截取， 是高， ， ， 是AC的中点， ， 线段平分的周长， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 考点10：含30度角的直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，，在的延长线上取点，以为斜边作等腰，交于点，延长交于点．     (1)求的度数． (2)当点是的中点时，求证：． (3)取的中点，连接，如图，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)为等腰直角三角形，理由见解析 【思路引导】（）由等腰直角三角形的性质得，进而由角的和差关系即可求解； （）过点作交的延长线于点，可证，得到，又由是等腰直角三角形得，进而即可求证； （）过点作于点，连接，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可得，进而可得，，为等边三角形，即得，，即得，即可求证． 【规范解答】（1）解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过点作交的延长线于点， 则，， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：为等腰直角三角形，理由如下： 过点作于点，连接，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点是的中点， ， ∵， ∴， ∴， ∴，，为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形． 【考点剖析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式训练】（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，则，可得．由题意得，，再根据可得答案． 【规范解答】解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． 故选：C． 考点11：斜边的中线等于斜边的—半 【典例精讲】（2024·辽宁·中考真题）如图，四边形中，，，，．以点为圆心，以长为半径作图，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【思路引导】本题考查了作图﹣作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用基本作图得到，平分，，接着证明得到，然后利用求解． 【规范解答】解：由作法得，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（2024·山东威海·中考真题）感悟 如图1，在中，点，在边上，，．求证：． 应用 （1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查全等三角形的判定及性质、尺规作图： 证明，即可求得； 应用（1）：以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，； 应用（2）：以点为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接． 【规范解答】感悟： ∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． 应用： （1）：以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，，图形如图所示． （2）：以点为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，图形如图所示． 根据作图可得：， 又， ∴， ∴. 1．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，则，可得．由题意得，，再根据可得答案． 【规范解答】解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． 故选：C． 2．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得． 【规范解答】解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意； ∴，，故B、C结论都正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 3．（2024·辽宁·中考真题）如图，四边形中，，，，．以点为圆心，以长为半径作图，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【思路引导】本题考查了作图﹣作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用基本作图得到，平分，，接着证明得到，然后利用求解． 【规范解答】解：由作法得，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2024·陕西·中考真题）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了等腰直角三角形的定义，尺规作图．过点A作，垂足为，再在直线l上截取点C，使，连接，则是所求作的等腰直角三角形． 【规范解答】解：等腰直角如图所示： 5．（2024·山东威海·中考真题）感悟 如图1，在中，点，在边上，，．求证：． 应用 （1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查全等三角形的判定及性质、尺规作图： 证明，即可求得； 应用（1）：以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，； 应用（2）：以点为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接． 【规范解答】感悟： ∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． 应用： （1）：以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，，图形如图所示． （2）：以点为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，图形如图所示． 根据作图可得：， 又， ∴， ∴. 基础夯实 1．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若的周长为，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了等角对等边判定等腰三角形，平行线的性质，掌握等腰三角形的判定是关键，根据角平分线的定义，角平分线的定义得到，结合题意得到的周长为，由的周长为，即可求解． 【规范解答】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为16， 故选：D ． 2．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在等边三角形中，，于相交于点P，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质，正确找出两个全等三角形是解题关键． 先根据等边三角形的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据三角形全等的性质可得，最后根据三角形的外角性质即可得． 【规范解答】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中 ， ， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在等边三角形中，为上一点，过点的直线交于点，交延长线于点，作垂足为，如，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【思路引导】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质是解题关键，作交于点M，证明是等边三角形，进而证明，得出，，即可求出结论． 【规范解答】解：作交于点M， 在等边三角形中，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形，， ， 故选：B． 4．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是 ． 【答案】11 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质，等角对等边，角平分线的定义，根据、分别是、的平分线，且，推出可得出，，进而得到，，则可得的周长为，据此即可求得答案． 【规范解答】解：∵、分别是、的平分线， ，， ∵， ，， ，， ，， ∵，， 的周长为： 故答案为：11． 5．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期中）如图，是等边三角形，于点D，于点E，若，则的长度为 ． 【答案】1.5 【思路引导】本题考查等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，先根据等边三角形的性质得到，然后利用含30度角的直角三角形的性质得到，进而可求解． 【规范解答】解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1.5． 6．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，是斜边的垂直平分线，连接，若，则 度． 【答案】 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形锐角互余等知识点． 根据垂直平分线得到，则，再根据直角三角形锐角互余即可求解． 【规范解答】解：∵是斜边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，中，交于点D， (1)求证：． (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)18 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质， （1）根据等腰三角形的性质得，再求出，进而得出，然后根据直角三角形的性质得，则答案可得；   （2）作，根据直角三角形的性质得，再由（1）得，然后根据得出答案． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴． ∵交于点D， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， ∴； （2）解：过点A作于点E， ∴． ∵， ∴， 由（1）可知， ∴． 8．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，已知，是上一点，于，的延长线交的延长线于，求证：△是等腰三角形 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质及判定的理解及运用,解决本题的关键是要熟练掌握等腰三角形的判定．根据等腰三角形的性质得到，再根据等角的余角相等得到，再由，根据等角对等边判定是等腰三角形． 【规范解答】证明：∵， ∴（等边对等角）， ∵， ∴， ∴， ∴（等角的余角相等）， ∵（对顶角相等）， ∴， ∴是等腰三角形． 9．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，分别是的中点，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【思路引导】（）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，进而即可求解； （）根据三线合一即可求证； 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：∵，是的中点， ∴，， ∴； （2）证明：由（）可知， ∵是的中点， ∴． 10．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在 中，，，平分，交于点P． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线l（要求：保留作图痕迹，不写作法）． (2)记直线l与，的交点分别是点E，F． ①求证：； ②当时，求EF的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【思路引导】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）①根据含30度角的直角三角形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，则． ②连接，由题意可得为等边三角形，则，．由线段垂直平分线的性质可得，则，由角平分线的定义可得和角度的计算可得，根据等角对等边即可得到结果． 【规范解答】（1）解：如图，直线l即为所求． （2）解：①证明：∵，， ∴． ∵直线l垂直平分线段， ∴， ∴． ②连接， ∵，， ∴． 由①知，， ∴为等边三角形， ∴，． ∵直线l垂直平分线段， ∴， ∴． ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 培优拔高 11．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，是高和的交点，，则线段的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，根据三角形内角和定理、等腰三角形性质等可得到，根据，推出，根据证，推出即可． 【规范解答】解：∵是的高， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故选：A． 12．（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，已知中，，，，点是中点，两边，分别交，于点E，F，当在内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查了等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 先证明是等腰直角三角形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，证明，同理可证，同理可证，根据全等三角形的性质逐一判断即可． 【规范解答】解：如图， ，， 是等腰直角三角形， ，是中点， ， 、都是的余角， ， 在与中， ， ， 同理可证， ①由得到，故①正确； ②由得到， 是直角， 是等腰直角三角形，故②正确； ③由得到， 则 ， 故③正确； ④，， ，， ， ④错误； 正确结论为①②③． 故选：C． 14．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，，是的角平分线，以为腰作等腰直角三角形，使，连接，则的面积为 ． 【答案】16 【思路引导】此题重点考查等腰三角形的性质三线合一、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作交的延长线于点F，根据题意证明，得，即可求得答案． 【规范解答】解：作交的延长线于点F， 是的角平分线， ，， ， 是等腰直角三角形，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：16． 15．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查旋转的性质和等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转前后对应边相等，以及有一个角是的等腰三角形是等边三角形是解题的关键．根据旋转性质得到，结合判断的形状，求出长度，再用减去得到． 【规范解答】解：∵ 绕点旋转得到，点对应点 ∴ 又∵ ∴ 是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为： ． 16．（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①；②；③；④；⑤．其正确的有 ． 【答案】①③④ 【思路引导】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形中所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质证明，即可得到①正确；根据直角三角形中所对的直角边是斜边的一半即可判断③正确，根据线段的和差关系即可证明④正确，无法证明，以及． 【规范解答】解： 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，③正确； ， ， ，故④正确； 无法证明，以及，故②和⑤错误； 故答案为：①③④． 17．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，点D是上一点，，，垂足分别为E，F，，点G是上一点，．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查角平分线的判定定理、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，由角平分线的判定定理易得是角平分线，由，易得，则可得到答案． 【规范解答】证明：连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）已知：如图，点在的边上． 求作：射线，使，且点在的角平分线上． 作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，交于点；③画射线；④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点；⑤画射线．射线就是所求作的射线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： ∵平分， ∴ ． ∵， ∴ ． ∴． ∴（ ）（填推理的依据）． 【答案】(1)见解析； (2)；；内错角相等，两直线平行． 【思路引导】本题考查尺规作图，等边对等角，平行线的判定，解题的关键是正确理解作图过程． （1）根据题意依作法补全图形即可； （2）根据角平分线的定义，等边对等角，平行线的判定，补全证明过程即可． 【规范解答】（1）解：依作法补全图形如下图： （2）证明： ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；内错角相等，两直线平行． 19．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图1，在中，，，D是边上不与A，B重合的一个定点．于点O，交于点E，且，，的延长线相交于点M． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若N是的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)∠ (3)见解析 【思路引导】（1）依据题意，，，又，，可得，进而可以判断得解； （2）过点D作，交于点H，则，即．证明，得到，即可证明，从而； （3）依据题意，延长交于点T，连接，，先证，再证，得，，即可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而得到答案即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：过点D作，交于点H， 则， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）证明：延长交于点T，连接，，如图： ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴． ∵N是的中点， ∴， ∵， ∴ ， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴． ∵， ∴ ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查三角形内角和定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形及直角三角形的判定与性质等基础知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质定理． 20．（23-24八年级上·福建莆田·期中）已知和都是等边三角形，分别连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点D在边上，延长交于点G，连接． ①求证：平分． ②判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②，理由见解析 【思路引导】（1）根据等边三角形的性质，证明即可； （2）①过点A分别作于点P，于点Q，证明，利用角的平分线的判定定理解答即可． ②在延长线上取点T，使得，连接，利用三角形全等，等边三角形的判定和性质解答即可． 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，角平分线的判定等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【规范解答】（1）解：和都是等边三角形， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴为． （2）①证明：如图，过点A分别作于点P，于点Q， ， ∴， ∴，，即， 解得， ∵，， ∴平分． ②解：． 理由如下：在延长线上取点T，使得，连接， 由（1）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由， ∴是等边三角形 ∴， 由， 故． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 等腰三角形 （知识梳理+11个考点讲练+难度分层练 共47题） 知识点1 等腰三角形的性质 1. 定义：有两条边相等的三角形叫作 ，相等的边叫做 ． 2. 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“ ”）． 3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“ ”）． 4. 拓展： （1）等腰三角形两腰上的 、 分别相等． （2）等腰三角形 的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到 等于 ． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为 ，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 知识点2 等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边 的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“ ”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 知识点3 等边三角形及其性质 1. 等边三角形的概念： 的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个 都相等，并且每一个角都等于 ． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点4 等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都 的三角形是等边三角形． （2）三个角都 的三角形是等边三角形． （3）有一个角是 的 是等边三角形． 知识点5 含30°角的直角三角形的性质 1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的 的一半． 2. 拓展：（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明 ． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个 等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 知识点6 直角三角形斜边上的中线 1. 性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于 的一半． 2. 拓展：一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形就是以这条边为 的直角三角形．使用该定理可以确定 角形． 考点1：格点图中画等腰三角形 【典例精讲】（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点， 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中，找到一个格点 D，作射线 ，使平分 的面积； (2)在图②中，找到格点E、F，作直线，使 垂直平分； (3)在图③中，找到一个格点G，作射线，使 平分． 【变式训练】（24-25八年级上·江西景德镇·期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使为等腰直角三角形，那么点C的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 考点2：找出图中的等腰三角形 【典例精讲】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，和的平分线交于点．过作交于，交于． (1)探究，，之间的等量关系． (2)若，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有请写出来；（1）中的结论还成立吗？无需证明． 【变式训练】（24-25七年级上·山东淄博·期中）（1）如图，已知，分别是上的点，且．与相等吗？为什么？    （2）如图，在中，平分，交于点垂直平分于点．试说明：．    （3）如图，在中，将三等分，点在上． ①求的度数； ②写出图中所有的等腰三角形．    考点3：根据等角对等边证明等腰三角形 【典例精讲】（23-24八年级上·广西河池·期中）如图，中，、分别平分、，，，，则的周长 ． 【变式训练】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，点分别在的延长线上，与的平分线相交于点．以下结论：①；②；③和都是等腰三角形．其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考点4：根据等角对等边求边长 【典例精讲】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）在中，、的平分线相交于点，过点作分别交、于、． (1)求证：； (2)若的周长比的周长大8，试求出的长度． 【变式训练】（21-22八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，点E、D分别在的延长线上，与的平分线相交于点P，，与交于点H，交于F，交于G，下列结论：①；②平分；③垂直平分，其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考点5：根据等角对等边求边长 【典例精讲】（22-23九年级下·河北衡水·阶段练习）题目：“如图，已知，点，在边上，，，是射线上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有3个，求的取值范围。”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（   ）    A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【变式训练】（21-22八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 考点6：直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【典例精讲】（22-23八年级上·江西南昌·期中）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（   ）个． A． B． C． D． 【变式训练】（21-22八年级上·四川自贡·阶段练习）（1）ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，ABC的面积20，AB=6，AC=8，OD=2，则BC的长是 ． （2）如图，直角坐标系中，点，点在轴上，且是等腰三角形，则满足条件的点共 个． 考点7：求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【典例精讲】（23-24八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，已知：，点、、、．．．在射线上，点、、、．．．在射线上，、、、．．．均为等边三角形，若，则线段的长为 ． 【变式训练】（24-25八年级上·北京朝阳·期中）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”，例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”． (1)①如图1，在中，，，请你在这个三角形中画出它的“等腰线段”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数； ②如图2，等边三角形 （填“存在”或“不存在”）“等腰线段”． (2)如图3，，点在射线上，若存在“等腰线段”，则的度数为 ． 考点8：等腰三角形的性质和判定 【典例精讲】（24-25八年级上·宁夏固原·期中）如图（1），已知：在中，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D，E．求证：； （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展与应用：如图（3），D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），且和均为等边三角形，连接，若，试判断的形状，并说明理由． 【变式训练】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点(不与点B重合，且)，在射线上截取，连接． (1)当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为_____； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明：； (2)当点C在线段的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系． 考点09：等边三角形的判定和性质 【典例精讲】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知，在等边△中，、分别为、边上的点，，连接、相交于点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作于，若，求证：． 【变式训练】（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）中，是高，E是的中点，且线段平分的周长，若，则 ． 考点10：含30度角的直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，，在的延长线上取点，以为斜边作等腰，交于点，延长交于点．     (1)求的度数． (2)当点是的中点时，求证：． (3)取的中点，连接，如图，判断的形状，并说明理由． 【变式训练】（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 考点11：斜边的中线等于斜边的—半 【典例精讲】（2024·辽宁·中考真题）如图，四边形中，，，，．以点为圆心，以长为半径作图，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为 （用含的代数式表示）． 【变式训练】（2024·山东威海·中考真题）感悟 如图1，在中，点，在边上，，．求证：． 应用 （1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）． 1．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁·中考真题）如图，四边形中，，，，．以点为圆心，以长为半径作图，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为 （用含的代数式表示）． 4．（2024·陕西·中考真题）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 5．（2024·山东威海·中考真题）感悟 如图1，在中，点，在边上，，．求证：． 应用 （1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）． 基础夯实 1．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若的周长为，则的周长为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在等边三角形中，，于相交于点P，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在等边三角形中，为上一点，过点的直线交于点，交延长线于点，作垂足为，如，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是 ． 5．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期中）如图，是等边三角形，于点D，于点E，若，则的长度为 ． 6．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，是斜边的垂直平分线，连接，若，则 度． 7．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，中，交于点D， (1)求证：． (2)若，求的面积． 8．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，已知，是上一点，于，的延长线交的延长线于，求证：△是等腰三角形 9．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，分别是的中点，证明： (1)； (2)． 10．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在 中，，，平分，交于点P． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线l（要求：保留作图痕迹，不写作法）． (2)记直线l与，的交点分别是点E，F． ①求证：； ②当时，求EF的长． 培优拔高 11．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，是高和的交点，，则线段的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 12．（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，已知中，，，，点是中点，两边，分别交，于点E，F，当在内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，，是的角平分线，以为腰作等腰直角三角形，使，连接，则的面积为 ． 15．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为 ． 16．（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①；②；③；④；⑤．其正确的有 ． 17．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，点D是上一点，，，垂足分别为E，F，，点G是上一点，．求证：． 18．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）已知：如图，点在的边上． 求作：射线，使，且点在的角平分线上． 作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，交于点；③画射线；④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点；⑤画射线．射线就是所求作的射线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： ∵平分， ∴ ． ∵， ∴ ． ∴． ∴（ ）（填推理的依据）． 19．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图1，在中，，，D是边上不与A，B重合的一个定点．于点O，交于点E，且，，的延长线相交于点M． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若N是的中点，求证：． 20．（23-24八年级上·福建莆田·期中）已知和都是等边三角形，分别连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点D在边上，延长交于点G，连接． ①求证：平分． ②判断之间的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$