专题1.4 线段的垂直平分线和角平分线（知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共39题）同步培优讲练-2025-2026学年苏科版数学八年级上册（新教材）

专题1.4 线段的垂直平分线和角平分线 （知识梳理+5个考点讲练+难度分层练 共39题） 知识点1：线段的垂直平分线 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也称为中垂线）；如图1，，为线段中点，则为线段垂直平份线. 图1 2. 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，​ 数学语言：点是线段的垂直平分线上一点（如图2）， （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）. 图2 证明：直线是线段的垂直平分线， ， 在和中 3.判定定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 图3 数学语言：（如图3）， 点是线段的垂直平分线上一点（到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 证明：过点作，垂直为， 在和中 （） 为线段的垂直平分线. 4.尺规作图：分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段长度一半的长为半径画弧，两弧交于两点；​过这两个交点作直线，这条直线就是该线段的垂直平分线.如图4，的垂直平分线如图所示，作图中，要保留作图痕迹. 图4 知识点2：角平分线 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线; 2.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 图5 数学语言：为的角平分线（如图5），,, （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 证明：为的角平分线， 又,, 在和中 （） 特别注意：解题过程中，学生容易漏掉“,”这个条件。 3.判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上; 图6 数学语言：如图6，,, 为的角平分线（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上） 证明：,, 在和中 （） 4.尺规作图：以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；分别以这两个交点为圆心，以大于这两点间距离一半的长为半径画弧，在角的内部交于一点；过角的顶点和这个交点作射线，这条射线就是该角的平分线. 图7 特别注意：（1）作图中 “半径大于线段一半”、角平分线作图中 “在角内部交于一点” 不然就没有交点。​ （2）角平分线作图和垂直平分线作图题是中考常考点. 考点1：线段垂直平分线的性质 【典例精讲】（24-25八年级上·湖南益阳·期中）尺规作图（保留作图痕迹）：如图，在直线上求作一点P，使． 【变式训练1】（23-24八年级上·河北衡水·阶段练习）如图1，在和中，．连接． (1)求证：； (2)将和绕点A向相反方向旋转，如图2，与交于点O，与交于点F． ①若，求的度数； ②连接，求证：平分； ③若G为上一点，，且，连接，直接写出与的数量关系． 【变式训练2】（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，点P是内部一点，点D，E，F分别是点P关于直线，，的对称点． (1)求证：； (2)当时，求证：D，A，E三点在同一条直线上； (3)，，的和是定值吗？若是，求出这个定值；若不是，说明理由． 考点2：线段垂直平分线的判定 【典例精讲】（24-25八年级下·福建三明·期末）如图，，，下列结论一定正确的是（    ） A．平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 【变式训练1】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【变式训练2】（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．已知筝形的对角线，相交于点． (1)请判断与之间的位置关系，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 考点3：角平分线的性质定理 【典例精讲】（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，四边形中，，平分，于点F，的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 【变式训练1】（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）如图，在中（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (1)利用尺规作图，在边上求作一点P，使得点P到的距离的长等于的长； (2)利用尺规作图，作出（1）中的线段． 【变式训练2】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分． (1)如图，若，，则 (2)问题解决：如图，求证：； (3)问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：． 考点4：角平分线的判定定理 【典例精讲】（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，等边三角形与等边三角形，连接、，的延长线与交于点，连接，有以下四个结论：①；②平分；③；④；⑤．其中一定正确的结论是（    ）    A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【变式训练1】（24-25八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，，P是射线上的一点，与点D，与点E．、分别是与上的点，，．求证：是的平分线． 【变式训练2】（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，在中，于点于点，若．求证：平分． 请你补全下述证明过程： 证明：∵， ∴， 在和中， ，① ，② ， ∴（ ）， ∴， ∵， ， ， ∴平分． 考点5：角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图所示，有三条道路围成，其中，，一个人从B处出发沿着行走了500m，到达D处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（    ） A．1300m B．800m C．500m D．300m 【变式训练1】（21-22八年级下·河南郑州·期中）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：    (1)如图①，要在河边l修建一个水泵站M，使．水泵站M要建在什么位置？ (2)如图②，三条公路两两相交，现计划修建一个油库P，要求油库P到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库P的位置？（请作出符合条件的一个） 【变式训练2】（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 2．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 4．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 基础夯实 1．（24-25八年级上·天津·期中）如图，点G在的延长线上，，的平分线相交于点F，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，与交于点，与交于点，连接．若的周长为10，，则的周长为（   ） A．17 B．19 C．20 D．21 3．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为（       ） A．11 B．12 C．13 D．14 5．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，的垂直平分线交于点，，的周长是12， 的周长是 ． 6．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线，交于点D．，那么点D到的距离是 ． 7．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为 cm． 8．（24-25八年级上·宁夏固原·期中）如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 9．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，于E，于F，若，，求证： (1)； (2)平分． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为，，． (1)与的面积之比为____________； (2)若的面积为，求的长． 培优拔高 11．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点（与共线），下列结论中错误的是（  ） A． B．垂直平分， C．与面积相等 D．直线、的交点不一定在上 12．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）如图，E是的中点，平分．有下列结论：其中正确的是（  ） A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 13．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列说法中：①；②；③设，，则，其中正确的有 （填序号）． 14．（23-24八年级下·福建宁德·期中）如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 15．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，于点，交于点．下列结论：①②，③，④，其中正确的是 ．（填序号） 16．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，的平分线，交于点，延长，，，，下列说法正确的是 ． ①平分；②； ； 17．（23-24八年级上·广东汕头·期中）已知，于点，于点，交点，，．求证：    (1)点在的平分线上； (2)． 18．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，，与相交于点，． (1)求证：垂直平分； (2)过点作交的延长线于，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 19．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）【材料1】在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即“在中，，则”． 【材料2】定义：若P为内一点，且满足，则点P叫做的费马点． (1)如图1，若点O是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为_______； (2)如图2，已知，分别以，为边向外作等边与等边，线段、交于点P，连接AP，求证：点P是的费马点； (3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求． 20．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知：在中，，． (1)如图1，是的中线． ①的面积是 ； ②已知：，交于点，，连接，求证：； (2)如图2，点为线段延长线上一点，过点作，过点作的垂线交于点，线段的延长线与线段的延长线交于点，是否存在点，使，若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 线段的垂直平分线和角平分线 （知识梳理+5个考点讲练+难度分层练 共39题） 知识点1：线段的垂直平分线 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也称为中垂线）；如图1，，为线段中点，则为线段垂直平份线. 图1 2. 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，​ 数学语言：点是线段的垂直平分线上一点（如图2）， （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）. 图2 证明：直线是线段的垂直平分线， ， 在和中 3.判定定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 图3 数学语言：（如图3）， 点是线段的垂直平分线上一点（到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 证明：过点作，垂直为， 在和中 （） 为线段的垂直平分线. 4.尺规作图：分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段长度一半的长为半径画弧，两弧交于两点；​过这两个交点作直线，这条直线就是该线段的垂直平分线.如图4，的垂直平分线如图所示，作图中，要保留作图痕迹. 图4 知识点2：角平分线 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线; 2.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 图5 数学语言：为的角平分线（如图5），,, （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 证明：为的角平分线， 又,, 在和中 （） 特别注意：解题过程中，学生容易漏掉“,”这个条件。 3.判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上; 图6 数学语言：如图6，,, 为的角平分线（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上） 证明：,, 在和中 （） 4.尺规作图：以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；分别以这两个交点为圆心，以大于这两点间距离一半的长为半径画弧，在角的内部交于一点；过角的顶点和这个交点作射线，这条射线就是该角的平分线. 图7 特别注意：（1）作图中 “半径大于线段一半”、角平分线作图中 “在角内部交于一点” 不然就没有交点。​ （2）角平分线作图和垂直平分线作图题是中考常考点. 考点1：线段垂直平分线的性质 【典例精讲】（24-25八年级上·湖南益阳·期中）尺规作图（保留作图痕迹）：如图，在直线上求作一点P，使． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图及性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法（以两端点为圆心，大于线段一半长为半径画弧找交点作直线 ）和性质（垂直平分线上的点到线段两端距离相等 ）是解题的关键．要找直线 上使 的点 ，根据垂直平分线性质，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，所以作 的垂直平分线与直线 的交点即为 ． 【规范解答】解：分别以 、 为圆心，大于 长为半径画弧（这样两弧能相交，保证作出垂直平分线 ），两弧分别相交于两点． 过这两个交点作直线（此直线为 的垂直平分线，依据是到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ），该直线与直线 的交点即为所求的 点． ∵ 所作直线是 的垂直平分线， 在该直线上 ∴ ． 【变式训练1】（23-24八年级上·河北衡水·阶段练习）如图1，在和中，．连接． (1)求证：； (2)将和绕点A向相反方向旋转，如图2，与交于点O，与交于点F． ①若，求的度数； ②连接，求证：平分； ③若G为上一点，，且，连接，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析；③ 【思路引导】（1）根据，推出，结合证明，即可得出结论； （2）①根据，得出，根据，结合三角形内角和定理即可得出答案； ②过点A作于点M，于点N，根据，得出，证明，即可证明结论； ③连接， 证明，得出，证明，根据等腰三角形三线合一得出，根据垂直平分线的性质得出，再根据，即可求出结果． 【规范解答】（1）证明：， ， 即：， 在和中， ， ， ； （2）①解：根据解析（1）可知，， ， ， 又， ； ②证明：过点A作于点M，于点N，如图所示： ， ， ∴， ， 平分； ③解：；理由如下： 连接，如图3所示： ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，掌握全等三角形的判定与性质，熟悉“手拉手”模型的证明是解题的关键． 【变式训练2】（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，点P是内部一点，点D，E，F分别是点P关于直线，，的对称点． (1)求证：； (2)当时，求证：D，A，E三点在同一条直线上； (3)，，的和是定值吗？若是，求出这个定值；若不是，说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)是， 【思路引导】本题是几何变换综合题，考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是关键． （1）根据轴对称的性质得，分别为，的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得，，进而即可解决问题； （2）根据点D，E分别是点P关于直线，的对称点，得，分别为，的垂直平分线，得，，进而根据角的和差即可解决问题； （3）连接、，根据轴对称的性质可得，同理得，，进而即可解决问题． 【规范解答】（1）证明：∵点D，E，F分别是点P关于直线，，的对称点， ∴，，分别为，，的垂直平分线， ∴，， ∴； （2）证明：如图2，连接， ∵点D，E分别是点P关于直线，的对称点， ∴，分别为，的垂直平分线，， ∴，， ∴，， ∴， ∴D，A，E三点在同一条直线上； （3）解：，理由如下： 如图3，连接、， ∵为的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴， 同理得，， ∵， ∴． 考点2：线段垂直平分线的判定 【典例精讲】（24-25八年级下·福建三明·期末）如图，，，下列结论一定正确的是（    ） A．平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 【答案】C 【思路引导】本题考查垂直平分线的判定定理，根据垂直平分线的判定定理直接可得结论 【规范解答】解：∵，， ∴点A、 B 在的垂直平分线上， ∴垂直平分， 故选：C 【变式训练1】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【思路引导】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （2）先根据垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 【规范解答】（1）证明：如图所示，连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； （2）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，，， ∴， 设，， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，等腰三角形的性质，对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 【变式训练2】（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．已知筝形的对角线，相交于点． (1)请判断与之间的位置关系，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)24 【思路引导】本题考查线段垂直平分线的判定、四边形的面积等知识点，掌握垂直平分线的判定方法是解题的关键． （1）先说明点B、点D都在线段的垂直平分线上即可证明结论； （2）根据以及三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：．理由如下： ， 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ． （2）解：由（1）得，， ． 考点3：角平分线的性质定理 【典例精讲】（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，四边形中，，平分，于点F，的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，掌握这两个知识点是解题的关键． （1）由角平分线的性质定理得，再由可证明，从而有；由即可求证结论成立； （2）证明，则；由得，则，由此即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵平分，，, ∴； ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1】（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）如图，在中（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (1)利用尺规作图，在边上求作一点P，使得点P到的距离的长等于的长； (2)利用尺规作图，作出（1）中的线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了角平分线的作法与性质，垂线的作法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据角平分线的性质，作的角平分线交于点P即可； （2）作于点D即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，点P即为所求； （2）解：如图所示，线段为所求． 平分，，， ． 【变式训练2】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分． (1)如图，若，，则 (2)问题解决：如图，求证：； (3)问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【思路引导】（）若，可得，，再根据角平分线的性质即可求解； （）如图，过点分别作于，的延长线于点，由角平分线的性质可得，再由，可得，即可证明，得到； （）如图，在上取，由等腰三角形的性质可得，进而得到，再得到，即得，再由（）可得，，然后利用三角形外角性质可得，可得到，进而得到，即得，据此即可求证； 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定义及外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】（1）解：若，则，， ∴，， ∵平分， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，过点分别作于，的延长线于点，则， ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，在上取， ∵是等腰三角形，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（）可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 考点4：角平分线的判定定理 【典例精讲】（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，等边三角形与等边三角形，连接、，的延长线与交于点，连接，有以下四个结论：①；②平分；③；④；⑤．其中一定正确的结论是（    ）    A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【思路引导】①根据等边三角形的性质证出，可得，从而得出①正确； ②过作于，过作于，由得出，由等角的补角相等得出，由可证，得到，由角平分线的判定定理得到平分，从而得出②正确； ③在上截取，使，求出即可得出，得出③正确； ④根据，，得出，从而得出，即可得出④错误； ⑤根据全等三角形的判定与性质得出，可得，即可求得，从而得出⑤正确． 【规范解答】①解：∵和是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴，①正确； ②解：过作于，延长，过作于，如图1. ∵ ∴ ∵， ∴ 在和中： ∵ ∴ ∴ ∵，， ∴平分，②正确；    ③解：在上截取，使，如图2， ∵， ∴ ∵ ∴，③正确；    ⑤解：∵ 平分 ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ，⑤正确； ④解：∵， ∴，④错误. 故选：C. 【考点剖析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作辅助线，构造全等三角形，是解答本题的关键． 【变式训练1】（24-25八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，，P是射线上的一点，与点D，与点E．、分别是与上的点，，．求证：是的平分线． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，先证明，得出，再由角平分线的判定定理即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴是的平分线． 【变式训练2】（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，在中，于点于点，若．求证：平分． 请你补全下述证明过程： 证明：∵， ∴， 在和中， ，① ，② ， ∴（ ）， ∴， ∵， ， ， ∴平分． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查角平分线的判定定理，全等三角形的判定和性质，根据题意可证，再根据角平分线的性质定理即可求证 【规范解答】证明：∵， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∵ ，， ∴平分． 考点5：角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图所示，有三条道路围成，其中，，一个人从B处出发沿着行走了500m，到达D处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（    ） A．1300m B．800m C．500m D．300m 【答案】D 【思路引导】此题考查角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，过点D作于点E，推出． 【规范解答】过点D作于点E， ∵为的平分线，， ∴， 故选D． 【变式训练1】（21-22八年级下·河南郑州·期中）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：    (1)如图①，要在河边l修建一个水泵站M，使．水泵站M要建在什么位置？ (2)如图②，三条公路两两相交，现计划修建一个油库P，要求油库P到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库P的位置？（请作出符合条件的一个） 【答案】(1)见解析 (2)见解析（答案不唯一） 【思路引导】（1）利用线段垂直平分线的性质和画法得出即可； （2）根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，分别作出两个内角的平分线、相邻两个外角的平分线，共有四个点（作一个点即可）． 【规范解答】（1）如图1所示：M点即为所求．    （2）如图2所示（答案不唯一）．    【考点剖析】此题考查了线段垂直平分线的性质与画法，角平分线的性质的应用，熟练掌握相关性质是解题关键． 【变式训练2】（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】C 【思路引导】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工，可得三角形内角平分线的交点不满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有3个． 【规范解答】解： ∵内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工， ∴内角平分线的交点不满足条件； 如图：点P是两条外角平分线的交点， 过点P作，，， ∴，， ∴， ∴点P到的三边的距离相等， ∴两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点有3个． ∴可供选择的地址有3个． 故选：C． 【考点剖析】本题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解． 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【思路引导】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 【规范解答】解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 2．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识； 根据线段垂直平分线的判定和性质可判断A选项，证明可判断B、C选项，由，不能判断，即可判断D选项，进而可得答案. 【规范解答】解：A、∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形； B、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是筝形； C、∵，，， ∴， ∴，， ∴四边形是筝形； D、由，不能判断，，故不能判断四边形是筝形； 故选：D. 3．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【规范解答】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长， 故选：C． 4．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出． 求出，由线段垂直平分线的性质推出． 【规范解答】解：，， ， 在的垂直平分线上， ． 故答案为：3． 基础夯实 1．（24-25八年级上·天津·期中）如图，点G在的延长线上，，的平分线相交于点F，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查的是角平分线的性质，作于Z，于Y，于W，根据角平分线的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，根据题意得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【规范解答】解：作于Z，于Y，于W，如图所示：    ∵平分，，， ∴， 同理， ∴，，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 又∵，的平分线相交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，与交于点，与交于点，连接．若的周长为10，，则的周长为（   ） A．17 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，由作图方法可知，是的垂直平分线，，则，根据三角形周长计算公式可推出，据此可得答案． 【规范解答】解：由作图知：是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴， 又， ∴的周长为， 故选：B． 3．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【规范解答】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 4．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为（       ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【思路引导】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【规范解答】解： 为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， 故选：C． 5．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，的垂直平分线交于点，，的周长是12， 的周长是 ． 【答案】20 【思路引导】本题考查垂直平分线的性质，由垂直平分线得到，，根据的周长是12得到，进而即可求解． 【规范解答】解：是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：20 6．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线，交于点D．，那么点D到的距离是 ． 【答案】3 【思路引导】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，过点D作于H，由作图方法可得平分，则由角平分线的性质得到，再由线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示，过点D作于H， 由作图方法可得平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴点D到的距离是， 故答案为：3． 7．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为 cm． 【答案】22 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键； 根据线段垂直平分线的性质可得，，由的周长为可得，进一步求解即可． 【规范解答】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长； 故答案为：22. 8．（24-25八年级上·宁夏固原·期中）如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了角平分线的判定与性质，作于，由角平分线性质定理可得，结合题意推出，再由角平分线的判定定理判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】证明：如图，作于， ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， ∴平分． 9．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，于E，于F，若，，求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1)见解析； (2)见解析. 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质等知识． （1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得； （2）由可知全等三角形的性质可得，然后根据“角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上”，即可证明平分； 【规范解答】（1）证明：∵，， ， 在和中， ， ； （2）∵ 于E，于F，， 是的角平分线． 平分． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为，，． (1)与的面积之比为____________； (2)若的面积为，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）过点作于，根据角平分线的性质可得，根据三角形的面积公式即可求出与的面积之比； （2）根据（1）求出的与的面积之比，得到的面积，根据三角形的面积公式即可求出． 【规范解答】（1）解：过点作于， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴与的面积之比为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 培优拔高 11．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点（与共线），下列结论中错误的是（  ） A． B．垂直平分， C．与面积相等 D．直线、的交点不一定在上 【答案】D 【思路引导】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．据对称轴的定义，与关于直线对称，P为上任意一点，可以判断出图中各点或线段之间的关系． 【规范解答】解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴，垂直平分，，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确； 直线、关于直线对称，因此交点一定在上，D错误； 故选：D． 12．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）如图，E是的中点，平分．有下列结论：其中正确的是（  ） A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【思路引导】过E作于F，易证得，得到；而点E是BC的中点，得到，则可证得，得到，也可得到，，即可判断出正确的结论． 【规范解答】解：过E作于F，如图， ∵，平分， ∴，， ∴，， ∴； 而点E是的中点， ∴，所以①错误； ∵， ∴， ∴， ∴，所以④正确；∴，所以③正确， ∴， ∴，所以②正确． 综上：②③④正确． 故选C． 【考点剖析】本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 13．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列说法中：①；②；③设，，则，其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②/②① 【思路引导】本题主要考查了角平分线、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．首先证明、为等腰三角形，易得，，可证明，即可判断说法①；根据题意可得，，结合三角形内角和定理可证明，即可判断说法②；过点作于，作于，连接，由角平分线的性质定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得，结合，可得，即可判断说法③． 【规范解答】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，同理， ∴，故说法①正确； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故说法②正确； 如下图，过点作于，作于，连接， ∵平分，平分，， ∴， ∵， ∴， 故说法③错误． 综上所述，说法①②正确． 故答案为：①②． 14．（23-24八年级下·福建宁德·期中）如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边距离相等，垂直平分线上的点到线段两端距离相等． 连接，通过证明，得出，再证明，得出，即可解答． 【规范解答】解：连接， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：2． 15．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，于点，交于点．下列结论：①②，③，④，其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【思路引导】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识点．根据等腰直角三角形的判定与性质可得，由此即可判断①正确；利用证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断②正确；利用证出，根据全等三角形的性质可得，再根据即可判断③正确；在中，，结合即可判断④错误． 【规范解答】解：，， 是等腰直角三角形， ，结论①正确； ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，结论②正确； 平分， ， 在和中， ， ， ， 由上已证：， ， ，结论③正确； 在中，， ，结论④错误； 综上，结论正确的是①②③， 故答案为：①②③． 16．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，的平分线，交于点，延长，，，，下列说法正确的是 ． ①平分；②； ； 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质等知识，过点作于点，由角平分线的性质得到，即可判断，假设，进一步得到，与题意矛盾，可判断，由，，得到，可判断，由， 得到，，进而得到，可判断，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：过点作于点，如图： ∵平分，平分，， ∴， ∴， ∴点在平分线上， ∴平分，故符合题意； 假设， ∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴假设不成立，故不符合题意； 由可知，， ∴， ∴， ∴，故符合题意； 由得，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故符合题意； 故答案为：． 17．（23-24八年级上·广东汕头·期中）已知，于点，于点，交点，，．求证：    (1)点在的平分线上； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，证明，根据性质可得，然后通过角平分线的判定方法即可求证； （）由（）可知，得，又，然后通过线段和差即可求证． 【规范解答】（1）证明：如图，连接，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上； （2）证明：由（）可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 18．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，，与相交于点，． (1)求证：垂直平分； (2)过点作交的延长线于，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②图见解析， 【思路引导】（1）根据，可得，再由证明，则，利用线段垂直平分线的判定定理即可证明； （2）①设，根据可得，由于，可得，根据是的外角，则，由于，所以，从而，进而，结论得证；②延长至，使，可得与关于成轴对称，过作于交于，可得，从而推出此时点的位置即为所求，再利用直角三角形中30度角的性质即可得数量关系． 【规范解答】（1）证明：，， ，， 在的垂直平分线上，， ， 在的垂直平分线上， 垂直平分； （2）①证明：如图 设， ， ， 是的外角， ， 由（1），， ， ， ， ， ， ，即， 则， ， 由（1）可知，， 是等边三角形； ②为最小值时，与的数量关系是， 理由：延长至，使，如图， ， 垂直平分，过作于交于，连接， ， ，此时为最小， 此时点的位置即为所求 由①知：，即， 即， 在中，， ， 为最小值时，与的数量关系是 【考点剖析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的定义，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 19．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）【材料1】在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即“在中，，则”． 【材料2】定义：若P为内一点，且满足，则点P叫做的费马点． (1)如图1，若点O是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为_______； (2)如图2，已知，分别以，为边向外作等边与等边，线段、交于点P，连接AP，求证：点P是的费马点； (3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求． 【答案】(1)9； (2)见解析； (3)能，理由见解析． 【思路引导】本题是三角形综合题，考查了费马点，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，角平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据AAS证明得，从而点是三边垂直平分线的交点，延长AO交BC于点，根据角的性质求出即可求解； （2）作于于，设与交点为．根据SAS证明得，然后证明平分，可得，进而可证结论成立； （3）分别以，为边向外作等边与等边，线段，交于一点，该点即为所求的点，证明，得，，从而可判断当D，K，Q，C四点共线时，为最小值，进而可证结论成立． 【规范解答】（1）是等边三角形， ， ． 点是等边的费马点， ， ， 同理可得 点是三边垂直平分线的交点， 延长交于点，如图1， ． ， ． ， ， 故答案为：9； （2）如图2，作于于，设与交点为． 与都是等边三角形 ． 又 ， ， ， ， 平分． 点是的费马点． （3）能，如第（2）小题那样，分别以为边向外作等边与等边，线段交于一点，由（2）小题知该点是的费马点，即为所要建的污水处理站的位置． 证明如下：如图3，设点是内一点，连接，并在同侧作等边与等边，连接，． 与都是等边三角形 ． 当四点共线时，为最小值， 又， 这时． ， 点是的费马点 即当点是的费马点时，的值最小． 20．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知：在中，，． (1)如图1，是的中线． ①的面积是 ； ②已知：，交于点，，连接，求证：； (2)如图2，点为线段延长线上一点，过点作，过点作的垂线交于点，线段的延长线与线段的延长线交于点，是否存在点，使，若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【思路引导】（1）①由是的中线，可得，最后根据三角形的面积公式求解即可； ②根据，可推出，证明，得到，证明，得到，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，设、交于点，证明，得到，，推出是的垂直平分线，得到，证明，得到，进而得，则，证明，得到，由，，，可得，即可求解． 【规范解答】（1）解：① 是的中线，， ， ， 故答案为：； ② ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交的延长线于点，设、交于点， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，垂直的定义，解题的关键是证明三角形全等． 学科网（北京）股份有限公司 $$