专题1.1 三角形中的线段和角（知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题）同步培优讲练-2025-2026学年苏科版数学八年级上册（新教材）

专题1.1 三角形中的线段和角 （知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 知识点1.三角形的三边关系 1.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边.我们可以从不同的角度理解，列表如下： 文字语音 表达方式 理论依据 图形 三角形的任意两边 之和大于第三边 a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b 两点之 间，线 段最短 三角形的任意两边 之差小于第三边 a－b<c，b－c<a，a－c<b (a>b>c) 2.三角形三边关系的应用 (1)判断三条线段能否组成三角形； (2)已知三角形的两边长，确定第三边长(或周长)的取值 范围； (3)当三角形的边长用字母表示时，求字母的取值范围； (4)证明线段的不等关系； (5)化简含绝对值的式子. 特别解读 1. 三角形中的“两边”指任意两边，应用时常选取两条较小的边的和与第三边作比较，选取最大边与最小边的差与第三边作比较. 2. 已知三角形两边长分别为a，b(a>b)，根据三角形的三边关系可知，第三边长c的取值范围是a－b<c<a＋b. 知识点2.三角形的边和角的关系 1. 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大. 可以简称为“大边对大角”. 证明如下： 如图1.1 -1 ，在△ABC中，AB>AC， 我们可以通过折纸的方式比较∠B 和∠C的大小. 把AC沿∠BAC的平分线AD翻折，如图1.1 -2， 因为AB>AC， 所以点C落在边AB上的点C′处. 所以∠AC′D＝∠C. 由∠AC′D＝∠B＋∠BDC′，可得∠AC′D>∠B， 所以∠C>∠B. 2. 在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大. 可以简称为“大角对大边”. 解题通法 利用“大边对大角”得出角的大小关系，再由不等式的传递性得到三个角的大小关系.同理可得三边的大小关系. 知识点3.三角形的中线、角平分线、高 1. 三角形的中线、角平分线和高是三角形的三种重要线段，它们是研究三角形的一些特征的基础，我们需要从不同的角度进行理解，列表如下： 三角形的中线 三角形的角平分线 三角形的高 文字 语言 在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫作三角形的中线 在三角形中，一个内角的平分线与这 个角的对边相交，这个角的顶点与交 点之间的线段叫作三角形的角平分线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高 特别解读 1. 三角形的中线把三角形分成的两个三角形的面积之间的关系和周长之间的关系： (1)两个三角形的面积相等； (2)两个三角形的周长的差等于原三角形另两边的差. 2.中线是一条线段，一个端点是顶点，另一个端点是中点. 3. 三角形三条高的位置 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三条高 的位置 三条高都在 三角形内部 有两条高恰好是三角形的两条直角边，还有一条高在三角形内部 钝角两边上的高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上，最长边上的高在三角形内部 考点1：构成三角形的条件 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是的中线，，分别在边，上，不与端点重合），且，则三边数量关系是 ． 【变式训练】．（20-21八年级上·陕西延安·期末）如图，是的角平分线，，求证：． 考点2：确定第三边的取值范围 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线相交于点． （1）若，，则的取值范围是 ． （2）若的面积为，则的面积为 ． 【变式训练】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知中，为边上的中线． (1)请用基本尺规作图：在下方作，使射线交的延长线于点．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）： (2)若，，在（1）所作的图形中，求线段的取值范围． 解：为边上的中线， ______． 在和中 ______， ， ． 在中，， ______． ， ______． 考点3：确定第三边的取值范围 【典例精讲】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）请仅用无刻度直尺完成下列画图（不写画法，保留作图痕迹） (1)如图1，在中，分别为的中点，请在图1中画出的中点； (2)如图2，在四边形内找一点，使之和最小； (3)在的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，已知均为格点，请仅用无刻度直尺结合全等三角形知识完成画图； ①在图3中，画的高； ②在图4中，画的中线 【变式训练】（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 考点4：根据三角形中线求长度 【典例精讲】（22-23八年级上·四川绵阳·期末）（1）如图1，在中，，是的中线，证明：； （2）如图2，在中，，，分别是的高线和角平分线，点是的中点，点是边上一动点，连接并延长，分别交和的延长线于点，．当时，恰好有，求此时的度数． 【变式训练】（20-21八年级上·内蒙古赤峰·期末）下面说法中正确的是（     ） A．中BC边上的高线，是过顶点A向对边所引的垂线 B．中BC边上的高线，是过顶点A向对边所引的垂线段 C．三角形的角平分线不是射线 D．等腰三角形的对称轴和底边上的高线、中线以及顶角的平分线，互相重合 考点5：根据三角形中线求面积 【典例精讲】（24-25八年级下·四川巴中·期末）综合与实践 我们学习了华师版八年级下册综合实践中图形的等分：过中心对称图形的对称中心作任意一条直线都可以将图形分成面积相等的两部分，小明思考了以下问题，我们试着帮忙解答： (1)如图1，的面积为10，为的中线，则的面积为_____ (2)如图2，四边形，连接，过点作交的延长线于，取的中点，连接，已知，，的面积为35，求的面积． (3)如图3，五边形，过点能否作一条直线将该五边形的面积分成相等的两部分？若能，请作出这条直线，并证明分得的两部分面积相等；若不能，请说明理由． 【变式训练】（24-25八年级上·福建莆田·期中）设的面积为1．如图①，分别是的中点，相交于点与的面积差记为；如图②，分别是的3等分点，相交于点，与的面积差记为；如图③，分别是的4等分点，相交于点与的面积差记为，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 考点6：三角形角平分线的定义 【典例精讲】（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）请仅用无刻度的直尺完成以下作图： (1)如图，在中，、分别为、的角平分线，请作出的角平分线； (2)如图，在中，，点为边上一点，点，关于对称，请作出的一条垂线． 【变式训练】（23-24八年级下·北京·期中）如图，在矩形中，点E在边上，平分交于点F．若，，则的长为 ．    考点7：画三角形的高 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均为小正方形的顶点． (1)在图1中，作与全等（点与点不重合）； (2)在图2中，作的高； (3)在图3中，作的中线． 【变式训练】23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为，，求的长． 考点8：与三角形的高有关的计算问题 【典例精讲】（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 【变式训练】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，、是的两条高，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 考点9：利用网格求三角形面积 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图所示，的顶点均在边长为1个单位长度的小正方形格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题： (1)写出的面积为__________． (2)画出关于点O成中心对称的． 【变式训练】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（顶点是网格线的交点）． (1)画出关于点成中心对称的，并写出的三个顶点坐标； (2)画出将向右平移4个单位长度得到的，并写出的三个顶点坐标； (3)将各顶点的横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到，求的面积． 1．（2024·青海西宁·中考真题）若长度分别为3，6，的三条线段能组成一个三角形，则整数的值可以是 ．（写出一个即可） 2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：． (1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______． 3．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为 ． 4．（2023·湖南·中考真题）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6 5．（2023·江苏南京·中考真题）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（  ） A．5 B．10 C．15 D．20 基础夯实 1．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期中）三角形三边长分别为4，，7，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·重庆永川·期中）下列长度的三根小木棒，不能构成三角形的是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 4．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，已知，小明以点B为圆心，为半径画弧线，又以点A为圆心，m为半径画弧线，两弧交于点C，然后连接，，得到，则m的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．6 D．10 5．（24-25八年级上·河南濮阳·期中）如图，是的中线，是的中线，若，则 ． 6．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于一点；③三角形的三条高都在三角形内部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分；⑤等边三角形是等腰三角形．以上说法正确的是 （填序号） 7．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）如图，在中，，平分，，，则的面积是 ． 8．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，为边上的中线，且，求的长． 9．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，机器人在水平线路间（不含B，C）做往返运动，，D为上的动点，，，连接． (1)机器人在运动过程中，的面积是______． (2)机器人运动到中点时，请判断的形状，并说明理由． 10．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）如图，先将三角形向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形． (1)画出经过两次平移后的图形，并写出的坐标； (2)已知三角形内部一点P的坐标为，若点P随三角形一起平移，平移后点P的对应点的坐标为，请直接写出的值； (3)求三角形的面积． 培优拔高 11．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，中，D，E分别为，的中点，且的面积为4，则图中阴影部分面积为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 12．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，是的边的垂直平分线，为垂足，是上任意一点，且，，，则的周长的最小值为（   ） A．6 B．8 C．11 D．13 13．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下面说法正确的是个数有（    ） 如果三角形三个内角的比是，那么这个三角形是直角三角形；有两边相等的两个直角三角形全等；如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形． A．个 B．个 C．个 D．个 14．（13-14八年级上·甘肃嘉峪关·期末）已知、、是三角形的三边长，化简： ． 15．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图，在锐角三角形中，的面积， 平分交于点，若、分别是、上的动点，则的最小值为 16．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法中正确的序 ． ①的面积等于的面积； ②； ③； ④． 17．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知的边长a、b、c满足，且c是最长边，c是偶数，求的周长． 18．（2023七年级下·江苏·专题练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 19．（24-25八年级上·福建泉州·期末）某学习小组在综合实践课上，学习了“面积与代数恒等式”，知道很多代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来解释． 例如，图1可以解释．于是小明拼出如图2所示的边长为的正方形，用不同方法表示正方形的面积，即可得到一个代数恒等式．     (1)这个代数恒等式是：_____； (2)小组成员发现可利用（1）的结论解答下列问题： ①已知，，，，且．求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长； ②在①的条件下，若，，且a，b，c为整数，求a，b，c的值． 20．（23-24八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 三角形中的线段和角 （知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 知识点1.三角形的三边关系 1.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边.我们可以从不同的角度理解，列表如下： 文字语音 表达方式 理论依据 图形 三角形的任意两边 之和大于第三边 a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b 两点之 间，线 段最短 三角形的任意两边 之差小于第三边 a－b<c，b－c<a，a－c<b (a>b>c) 2.三角形三边关系的应用 (1)判断三条线段能否组成三角形； (2)已知三角形的两边长，确定第三边长(或周长)的取值 范围； (3)当三角形的边长用字母表示时，求字母的取值范围； (4)证明线段的不等关系； (5)化简含绝对值的式子. 特别解读 1. 三角形中的“两边”指任意两边，应用时常选取两条较小的边的和与第三边作比较，选取最大边与最小边的差与第三边作比较. 2. 已知三角形两边长分别为a，b(a>b)，根据三角形的三边关系可知，第三边长c的取值范围是a－b<c<a＋b. 知识点2.三角形的边和角的关系 1. 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大. 可以简称为“大边对大角”. 证明如下： 如图1.1 -1 ，在△ABC中，AB>AC， 我们可以通过折纸的方式比较∠B 和∠C的大小. 把AC沿∠BAC的平分线AD翻折，如图1.1 -2， 因为AB>AC， 所以点C落在边AB上的点C′处. 所以∠AC′D＝∠C. 由∠AC′D＝∠B＋∠BDC′，可得∠AC′D>∠B， 所以∠C>∠B. 2. 在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大. 可以简称为“大角对大边”. 解题通法 利用“大边对大角”得出角的大小关系，再由不等式的传递性得到三个角的大小关系.同理可得三边的大小关系. 知识点3.三角形的中线、角平分线、高 1. 三角形的中线、角平分线和高是三角形的三种重要线段，它们是研究三角形的一些特征的基础，我们需要从不同的角度进行理解，列表如下： 三角形的中线 三角形的角平分线 三角形的高 文字 语言 在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫作三角形的中线 在三角形中，一个内角的平分线与这 个角的对边相交，这个角的顶点与交 点之间的线段叫作三角形的角平分线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高 特别解读 1. 三角形的中线把三角形分成的两个三角形的面积之间的关系和周长之间的关系： (1)两个三角形的面积相等； (2)两个三角形的周长的差等于原三角形另两边的差. 2.中线是一条线段，一个端点是顶点，另一个端点是中点. 3. 三角形三条高的位置 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三条高 的位置 三条高都在 三角形内部 有两条高恰好是三角形的两条直角边，还有一条高在三角形内部 钝角两边上的高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上，最长边上的高在三角形内部 考点1：构成三角形的条件 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是的中线，，分别在边，上，不与端点重合），且，则三边数量关系是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形中线的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的性质与判定，三角形三边关系，证明是解题的关键．延长至点，使，连接，，证明，可得，进而根据三角形三边关系即可得． 【规范解答】解：如图，延长至点，使，连接，， 是的中线，，分别在边，上， ， 又，， 是的垂直平分线， ， 又 ， ， ， ． 故答案为： 【变式训练】．（20-21八年级上·陕西延安·期末）如图，是的角平分线，，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】在 AB 上取 AE = AC ，然后证明≌，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可． 【规范解答】证明：如解图，在上截取，连接， ∵ 是的角平分线， ∴ ． 在和中， ∴ ≌． ∴ ． ∵在中，， ∵ ， ∴ ． 【考点剖析】本题主要考查全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质以及三角形的三边关系，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 考点2：确定第三边的取值范围 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线相交于点． （1）若，，则的取值范围是 ． （2）若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查平行四边形的性质以及三角形的三边关系， （1）根据平行四边形的性质得，，再利用三角形的三边关系可得结论； （2）根据平行四边形的性质可得答案； 解题的关键是掌握：平行四边形的对角线互相平分． 【规范解答】解：（1）∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （2）∵的面积为， ∴，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知中，为边上的中线． (1)请用基本尺规作图：在下方作，使射线交的延长线于点．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）： (2)若，，在（1）所作的图形中，求线段的取值范围． 解：为边上的中线， ______． 在和中 ______， ， ． 在中，， ______． ， ______． 【答案】(1)见解析 (2)；；2；1 【思路引导】本题考查了全等三角形判定与性质，三角形的三边关系，尺规作图，作一个角等于已知角，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）按照作一个角等于已知角的步骤作图即可； （2）先证明，根据全等三角形的性质得到，，然后在由三边关系求出 ，即可求出线段的取值范围． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：为边上的中线， ． 在和中 ， ， ． 在中，， ． ， ． 故答案为：；；2；1． 考点3：确定第三边的取值范围 【典例精讲】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）请仅用无刻度直尺完成下列画图（不写画法，保留作图痕迹） (1)如图1，在中，分别为的中点，请在图1中画出的中点； (2)如图2，在四边形内找一点，使之和最小； (3)在的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，已知均为格点，请仅用无刻度直尺结合全等三角形知识完成画图； ①在图3中，画的高； ②在图4中，画的中线 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【思路引导】（1）由三角形重心的定义可知，为的重心，从而连接并延长，交于点即可得到答案； （2）连接、相交于点，则点就是所要找的点；取不同于点的任意一点，连接、、、，根据三角形任意两边之和大于第三边可得，，然后结合图形即可得到，从而可得点就是所要找的四边形内符合要求的点； （3）①如图所示，由三角形全等的判定可知，进而得到，再由直角三角形的两个锐角互余即可得到是的高；②如图所示，连接交于点，由三角形全等的判定与性质即可得到为线段中点，连接即可得到是的中线． 【规范解答】（1）解：如图所示： 点即为所求； （2）解：如图所示： 点即为所求； 理由如下： 如图所示： 如果存在不同于点的交点，连接、、、，那么，即， 同理，， ， 即点是线段、的交点时，之和最小； （3）解：①如图所示： 即为所求； ②如图所示： 即为所求． 【考点剖析】本题考查复杂作图，涉及三角形的重心、三角形三边关系、三角形全等的判定与性质、直角三角形性质等知识，熟记相关几何性质是解决问题的关键． 【变式训练】（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 【答案】(1)8 (2) 【思路引导】（1）利用面积法求解即可． （2）求出，再根据求解即可． 【规范解答】（1）解：∵是的中线，， ∴． ∵是的高，的面积为80， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． 在中，，， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∵是的高，∴， ∴． 【考点剖析】本题考查三角形内角和定理，三角形面积，三角形中线、角平分线的概念，熟练掌握基础知识是解答本题的关键． 考点4：根据三角形中线求长度 【典例精讲】（22-23八年级上·四川绵阳·期末）（1）如图1，在中，，是的中线，证明：； （2）如图2，在中，，，分别是的高线和角平分线，点是的中点，点是边上一动点，连接并延长，分别交和的延长线于点，．当时，恰好有，求此时的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【思路引导】（1）延长至，使得，证明得出，，证明得出，从而得到，即可得证； （2）连接．由（1）可得，推出．连接，证明得出．证明得出，推出．设，则．再由角平分线的定义得出，求出．即可得解． 【规范解答】（1）证明：延长至，使得， 是的中线， ． 在与中， ， ，． ， ， ，即． 在与中， ， ． ， （2）解：连接． 由（1）可得， ． 连接， 在与中， ， ， ． 在与中， ， ， ， ． 设，则． 是的角平分线， ， ∴． ． 【考点剖析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形的中线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式训练】（20-21八年级上·内蒙古赤峰·期末）下面说法中正确的是（     ） A．中BC边上的高线，是过顶点A向对边所引的垂线 B．中BC边上的高线，是过顶点A向对边所引的垂线段 C．三角形的角平分线不是射线 D．等腰三角形的对称轴和底边上的高线、中线以及顶角的平分线，互相重合 【答案】C 【思路引导】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．据此分析判断即可． 【规范解答】解：A．中BC边上的高线，是过顶点A向对边所引的垂线段，原说法错误，故本选项不符合题意； B．当∠B或∠C是钝角时，过A不存在到线段BC的垂线，故本选项说法错误，不符合题意； C．三角形的角平分线就是三角形的内角平分线与这个内角的对边的交点与这个内角的顶点之间的线段，故本选项正确，符合题意； D．对称轴是直线，不能与线段重合，本故选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【考点剖析】本题主要考查了三角形的角平分线、中线以及高线，三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． 考点5：根据三角形中线求面积 【典例精讲】（24-25八年级下·四川巴中·期末）综合与实践 我们学习了华师版八年级下册综合实践中图形的等分：过中心对称图形的对称中心作任意一条直线都可以将图形分成面积相等的两部分，小明思考了以下问题，我们试着帮忙解答： (1)如图1，的面积为10，为的中线，则的面积为_____ (2)如图2，四边形，连接，过点作交的延长线于，取的中点，连接，已知，，的面积为35，求的面积． (3)如图3，五边形，过点能否作一条直线将该五边形的面积分成相等的两部分？若能，请作出这条直线，并证明分得的两部分面积相等；若不能，请说明理由． 【答案】(1)5 (2)28 (3)能，图和证明见解析 【思路引导】本题主要考查三角形中线的性质，平行线间的等积变形以及图形面积的分割等知识 ，正确作辅助线是解答本题的关键． （1）根据三角形中线将三角形面积分为相等的两部分求解即可； （2）连接，根据三角形中线将三角形面积分为相等的两部分求出，由可得； （3）连接、，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，取的中点，连接，则直线将五边形的面积分成相等的两部分． 【规范解答】（1）解：∵为的中线， ∴， 设的边上的高为，则： ， 故答案为：5； （2）解：如图，连接， ∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； （3）解：连接、，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，取的中点，连接，则直线将五边形的面积分成相等的两部分，如图： 证明：∵， ∴； ∵， ∴； ∴五边形的面积， ∵是的中点， ∴， ∴直线把的面积分成相等的两部分，即直线把五边形的面积分成相等的两部分． 【变式训练】（24-25八年级上·福建莆田·期中）设的面积为1．如图①，分别是的中点，相交于点与的面积差记为；如图②，分别是的3等分点，相交于点，与的面积差记为；如图③，分别是的4等分点，相交于点与的面积差记为，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了图形规律探索，找出点D，E角标的序号数与等分点的关系是解题关键，由题意得分别是的2025等分点，再根据，分别求出面积即可求出结论． 【规范解答】解：由题意得分别是的2025等分点，如下图： ， ， 故选：D． 考点6：三角形角平分线的定义 【典例精讲】（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）请仅用无刻度的直尺完成以下作图： (1)如图，在中，、分别为、的角平分线，请作出的角平分线； (2)如图，在中，，点为边上一点，点，关于对称，请作出的一条垂线． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析． 【思路引导】（）根据的三条角平分线交于一点，即可得到结论； （）根据的三条高所在直线交于一点，即可得到结论； 本题考查了无刻度直尺作图，熟练掌握三角形的有关线段是解题的关键． 【规范解答】（1）如图，延长交于点， ∴即为所求； （2）如图，延长交于点，延长交于点， ∵点，关于对称， ∴， ∴是三角形的高， ∴即为所求． 【变式训练】（23-24八年级下·北京·期中）如图，在矩形中，点E在边上，平分交于点F．若，，则的长为 ．    【答案】5 【思路引导】由勾股定理可求，由，平分，可得，则，然后作答即可． 【规范解答】解：∵矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：5． 【考点剖析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线，等角对等边．熟练掌握矩形的性质，勾股定理，角平分线，等角对等边是解题的关键． 考点7：画三角形的高 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均为小正方形的顶点． (1)在图1中，作与全等（点与点不重合）； (2)在图2中，作的高； (3)在图3中，作的中线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【思路引导】（1）利用三角形全等的判定（边边边），如图1，点即为所求； （2）取格点，连接交于点，则即为所求； （3）利用网格的特点，如图3，取格点，连接交于点，则为正方形，点即为的中点，连接交于点，连接并延长交于点，则即为所求． 【规范解答】（1）解：如图1所示，为所求． ， ∴． （2）解：如图2所示，为所求的的边上的高． ， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为所求的的边上的高． （3）解：如图3所示，为所求． 【考点剖析】此题是利用网格作图题，主要考查了作全等三角形、作三角形的高、作三角形的中线、勾股定理、正方形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的高、相等角的概念是作图的关键． 【变式训练】23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了三角形的高，三角形中线的性质，三角形面积公式，掌握三角形中线平分三角形面积是解题关键． （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）由三角形中线的性质，得到，再根据三角形面积公式，求出即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求作； （2）解： 为的中线，为中线， ， ， ， ， ， ． 考点8：与三角形的高有关的计算问题 【典例精讲】（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形的高，三角形的面积，连接，利用即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，、是的两条高，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了三角形的面积计算，熟记面积计算公式和认识三角形的底与高是解题的根本，关键是列出的方程． 根据三角形的面积公式列出的方程进行解答便可． 【规范解答】解：∵、是的两条高， ∴， 又∵，，， ∴ ∴， ∴， 故选：A． 考点9：利用网格求三角形面积 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图所示，的顶点均在边长为1个单位长度的小正方形格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题： (1)写出的面积为__________． (2)画出关于点O成中心对称的． 【答案】(1)4 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查中心对称以及三角形的面积，熟练掌握中心对称的定义是解题的关键． （1）运用分割法可求出的面积； （2）根据中心对称图表的定义找到相对应的点即可得到． 【规范解答】（1）解：的面积， 故答案为：4； （2）解：如图，即为所作． 【变式训练】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（顶点是网格线的交点）． (1)画出关于点成中心对称的，并写出的三个顶点坐标； (2)画出将向右平移4个单位长度得到的，并写出的三个顶点坐标； (3)将各顶点的横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到，求的面积． 【答案】(1)见解析，，，； (2)见解析，，，； (3)3 【思路引导】此题考查中心对称图形的画法，平移图形的画法，中心对称的性质及平移的性质，对称中心的确定方法，正确掌握中心对称的性质及平移的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质作出点A、B、C的对应点，，，然后顺次连接即可； （2）根据平移特点先作出点，，平移后的对应点，，，然后顺次连接即可； （3）根据题意画出，然后利用三角形面积公式求解即可． 【规范解答】（1）如图所示，即为所求， ∴，，； （2）如图所示，即为所求， ∴，，； （3）如图所示，即为所求； ∴的面积． 1．（2024·青海西宁·中考真题）若长度分别为3，6，的三条线段能组成一个三角形，则整数的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【思路引导】本题主要考查三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系求出第三边a的取值范围是解答的关键． 根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可． 【规范解答】解：由题意知：，即， 所以整数a可取4、5、6、7、8中的一个． 故答案为：4（答案不唯一）． 2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：． (1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线； （1）分别作的中线，交点即为所求； （2）根据三角形重心的性质可得，根据三角形中线的性质可得 【规范解答】（1）解：如图所示 作法：①作的垂直平分线交 于点 ②作的垂直平分线交于点 ③连接、相交于点 ④标出点 ，点 即为所求 （2）解：∵是的重心， ∴ ∴ ∵的面积等于， ∴ 又∵是的中点， ∴ 故答案为：． 3．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为 ． 【答案】18 【思路引导】根据线段比及三角形中线的性质求解即可． 【规范解答】解：∵CG：GF＝2：1，△AFG的面积为3， ∴△ACG的面积为6， ∴△ACF的面积为3+6＝9， ∵点F为AB的中点， ∴△ACF的面积＝△BCF的面积， ∴△ABC的面积为9+9＝18， 故答案为：18． 【考点剖析】题目主要考查线段比及线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题关键． 4．（2023·湖南·中考真题）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6 【答案】C 【思路引导】根据三角形的三边关系分别判断即可． 【规范解答】解：， ∴1，3，4不能组成三角形， 故A选项不符合题意； ， ∴2，2，7不能组成三角形， 故B不符合题意； ， ∴4，5，7能组成三角形， 故C符合题意； ， ∴3，3，6不能组成三角形， 故D不符合题意， 故选：C． 【考点剖析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 5．（2023·江苏南京·中考真题）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（  ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【思路引导】此题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，掌握相关知识是解题的关键．根据等腰三角形的定义及三角形的三边关系求解即可． 【规范解答】解：等腰三角形的腰长为3， 等腰三角形的底长， 即等腰三角形的底长， 等腰三角形的周长， 故选：B． 基础夯实 1．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期中）三角形三边长分别为4，，7，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】此题主要考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和；据此求解即可． 【规范解答】解：依题意，，即， 故选：A． 2．（23-24八年级上·重庆永川·期中）下列长度的三根小木棒，不能构成三角形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了三角形三边关系． 根据三角形三边关系定理分别判断即可． 【规范解答】解：A：较小两边之和：，不大于第三边，故不能构成三角形； B：较小两边之和：，大于第三边，故能构成三角形； C：较小两边之和：，大于第三边，故能构成三角形； D：较小两边之和：，大于第三边，故能构成三角形； 故选：A． 3．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，轴对称的性质等知识点，熟知三角形角平分线、中线和高线的定义是解题的关键．根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解． 【规范解答】解：由图①的折叠方式可知，， 所以是的角平分线． 由图②的折叠方式可知，， 因为， 所以， 所以， 所以是的高线． 由图③的折叠方式可知，， 所以是的中线． 故选：． 4．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，已知，小明以点B为圆心，为半径画弧线，又以点A为圆心，m为半径画弧线，两弧交于点C，然后连接，，得到，则m的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．6 D．10 【答案】A 【思路引导】本题考查三角形的三边关系，根据三边关系求出的范围，进行判断即可． 【规范解答】解：由作图可知：， ∵， ∴，即：； ∴m的值不可能是1； 故选A． 5．（24-25八年级上·河南濮阳·期中）如图，是的中线，是的中线，若，则 ． 【答案】12 【思路引导】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，根据是的中线，若，可得的面积，再根据是的中线，即可求解． 【规范解答】解：∵是的中线，若， ∴， ∵是的中线， ∴， 故答案为：12． 6．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于一点；③三角形的三条高都在三角形内部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分；⑤等边三角形是等腰三角形．以上说法正确的是 （填序号） 【答案】②④⑤ 【思路引导】根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断③；根据三角形的中线的定义及性质判断④，根据等边三角形的定义判断⑤，即可求解． 【规范解答】①三角形的角平分线是线段，原说法错误； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，说法正确； ③锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．原说法错误； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，说法正确． ⑤等边三角形是等腰三角形，说法正确． 说法正确的有②④⑤， 故答案为：②④⑤． 【考点剖析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义及性质，等边三角形的定义．从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 7．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）如图，在中，，平分，，，则的面积是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了角平分线的性质定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 过点D作于点E，利用角平分线的性质定理求出，再根据三角形的面积公式计算即可． 【规范解答】解：如图，过点D作于点E， ， ， 又平分，， ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，为边上的中线，且，求的长． 【答案】． 【思路引导】本题考查了中线的性质，中线是三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段．由中线的性质得，则，根据列式，即可求解． 【规范解答】解：∵，D为中点， ∴，则， ∵， ∴， 即． 9．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，机器人在水平线路间（不含B，C）做往返运动，，D为上的动点，，，连接． (1)机器人在运动过程中，的面积是______． (2)机器人运动到中点时，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)48 (2)等腰三角形，理由见解析 【思路引导】本题考查了三角形的面积、线段垂直平分线性质以及等腰三角形的判定，解题的关键在于结合图形作答． （1）根据面积公式，将数值代入即可； （2）当机器人运动到中点时，可用线段垂直平分线的性质得出的形状； 【规范解答】（1）解：的面积为： ． （2）是等腰三角形． 理由：当机器人运动到中点时，，， 垂直平分， ， 是等腰三角形． 10．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）如图，先将三角形向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形． (1)画出经过两次平移后的图形，并写出的坐标； (2)已知三角形内部一点P的坐标为，若点P随三角形一起平移，平移后点P的对应点的坐标为，请直接写出的值； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)，图见解析 (2)， (3) 【思路引导】本题考查坐标与图形、图形的平移、三角形面积的计算： （1）将的三个顶点按平移方式进行平移得到对应点，顺次连接即可； （2）根据平移方式得出平移前后坐标之间的关系，即可求解； （3）用所在正方形的面积减去周围小三角形的面积即可求解． 【规范解答】（1）解：两次平移后的图形三角形如下所示，． （2）解：由题意知，向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到， ，， ，； （3）解：． 培优拔高 11．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，中，D，E分别为，的中点，且的面积为4，则图中阴影部分面积为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【思路引导】根据D，E分别为，的中点，得， ，于是得到，解答即可． 本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，熟练掌握中线的意义是解题的关键． 【规范解答】解：∵D，E分别为，的中点， ∴，， ∴， ∵的面积为4， ∴． 故选：C． 12．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，是的边的垂直平分线，为垂足，是上任意一点，且，，，则的周长的最小值为（   ） A．6 B．8 C．11 D．13 【答案】D 【思路引导】本题考查了轴对称最短路径问题，先根据线段的垂线段的性质找到最小值，再根据三角形的周长公式求解．掌握线段想垂直平分线的性质和三角形的周长公式是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接， 是的边的垂直平分线，为垂足， ， 的周长为：， 故选：D． 13．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下面说法正确的是个数有（    ） 如果三角形三个内角的比是，那么这个三角形是直角三角形；有两边相等的两个直角三角形全等；如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理，三角形全等的判定条件，三角形的高，根据三角形内角和定理，三角形全等的判定条件，三角形的高逐一判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】∵三角形三个内角的比是， ∴三角形最大的内角等于其它两个内角的和， ∴三角形最大的内角是：， ∴这个三角形是直角三角形，正确； ∵直角边和斜边分别相等的两个直角三角形全等， ∴有两边相等的两个直角三角形不一定全等，故错误； ∵直角三角形的两条边相互垂直， ∴如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形，即正确； ∵两条直角边对应相等， ∴根据“”可判定这两个直角三角形全等，故正确； ∵三角形的一个内角等于另两个内角之差， ∴三角形最大的内角等于其它两个内角的和， ∴三角形最大的内角是：， ∴这个三角形是直角三角形，故正确， 综上可得说法正确的有个：， 故选：． 14．（13-14八年级上·甘肃嘉峪关·期末）已知、、是三角形的三边长，化简： ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查三角形三边关系和绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边 ）以及绝对值的性质（正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数）是解题的关键．利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简． 【规范解答】解：∵ 、、是三角形的三边长 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 ∴ ，即；，即 ∵ 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 ∴ ， 则 故答案为： ． 15．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图，在锐角三角形中，的面积， 平分交于点，若、分别是、上的动点，则的最小值为 【答案】 【思路引导】本题考查三角形中的最短路径，垂线段最短，三角形高的定义，过点作于点，解题的关键是理解的长度即为最小值． 【规范解答】解：过点作于点，交于点，过点作于， 平分，于点，于， ， 当点与重合，点与 重合时，的最小值． 三角形的面积为，， ， ． 即的最小值为． 故答案为：． 16．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法中正确的序 ． ①的面积等于的面积； ②； ③； ④． 【答案】①②③ 【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，①利用三角形的中线，可知和是等底同高的两个三角形，即可判断；②根据同角的余角相等证明即可判断根据等角的补角相等先证明，再利用外角的性质即可判断；③；④根据和的关系，即可判断． 【规范解答】解：∵是边的中线， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误； 所以，上面说法中正确的①②③， 故答案为：①②③． 17．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知的边长a、b、c满足，且c是最长边，c是偶数，求的周长． 【答案】15或17 【思路引导】本题考查完全平方公式，平方的非负性，三角形的三边关系，根据三角形三边关系确定第三边的长度范围是关键． 首先利用完全平方公式将变形为，得到，，求出，然后分情况求解即可． 【规范解答】解：∵， ， 即， ∴，， ， 又∵是的三边， ， 又∵c是偶数，且c是最长边， ∴或8， 当时，周长为15， 当时，周长为17． 18．（2023七年级下·江苏·专题练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【思路引导】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【规范解答】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 19．（24-25八年级上·福建泉州·期末）某学习小组在综合实践课上，学习了“面积与代数恒等式”，知道很多代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来解释． 例如，图1可以解释．于是小明拼出如图2所示的边长为的正方形，用不同方法表示正方形的面积，即可得到一个代数恒等式．     (1)这个代数恒等式是：_____； (2)小组成员发现可利用（1）的结论解答下列问题： ①已知，，，，且．求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长； ②在①的条件下，若，，且a，b，c为整数，求a，b，c的值． 【答案】(1) (2)①见解析，②a，b，c的值分别为10，3，2． 【思路引导】（1）利用3个小正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形的面积，列式即可； （2）①由，可得，结合（1）中结论、不等式的性质，变形为，再根据，可得，推出，根据三角形三边关系即可判断； ②由，，可得，结合可得，推出或或，分情况讨论即可． 【规范解答】（1）解：由题意得 ， 故答案为：； （2）①证明：由题意得，， 所以， 整理得：， 即， 所以， 所以 因为， 所以， 故，即， 所以a，b，c不能成为一个三角形的三条边长． ②解：由①得， 又， 所以， 又因为， 所以， 又为整数 即或或， 当时，， 则， 故， 所以； 当时，， 故， 又，且b，c为整数， 所以由得，， 此时， 所以； 当时，， 故， 又，且b，c为整数， 所以由得，，符合； 综上，a，b，c的值分别为10，3，2． 【考点剖析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，三角形三边关系，不等式的性质等，正确识图，得到 是解题的关键． 20．（23-24八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 【答案】(1)点到直线的距离为1； (2)证明见解析； (3)或6． 【思路引导】（1）作交于，利用全等三角形判定方法证明，再利用全等三角形对应边相等，即可求解； （2）作交直线于，先利用证出，得到，再利用证出，即可完成证明； （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动，分2类情况讨论：①若在线段上；②若在延长线上，由，得出，设，则，利用（2）中的全等三角形结论，用表示出、，再利用列出方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：作交于，则， ， ， ， ， ， 又， ， ， 点到直线的距离为1． （2）作交直线于，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动， 下面分2类情况讨论： ①若在线段上，同（2）作辅助线， 由（2）得，，， ， ， ， ， 设，则， ，， ， 解得：， ； ②若在延长线上，同（2）作辅助线， 同①可得：， 设，则， ，， ， 解得：， ． 综上所述，的长为或6． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作垂线辅助线构造全等、三角形的面积问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会作垂线构造全等三角形并证明，以及学会将三角形面积关系转化为线段关系并通过方程思想解决问题，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 学科网（北京）股份有限公司 $$