第1章 一元二次方程 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（优质类型）-2025-2026学年九年级数学上册（苏科版）

第1章 一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程的估算 【解惑】我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（   ） 20 22.5 25 26.25 27.5 28.78 30 0 31.25 75 101.5625 131.25 164.0625 200 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似根，根据，则，进行作答即可． 【详解】解：∵，且， ∴， 即在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是， 故选：C 【融会贯通】 1．在估算一元二次方程的解时，小明列表如下： x 请判断其中一个解x的大致范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握估算一元二次方程近似解的方法．结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：根据表格中的数据，可以发现：时，； 时，， 故一元二次方程的一个解x的范围是． 故选：B． 2．如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 【答案】 1.3 1.4 【分析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间． 【详解】解：根据表格可知，时，对应的的值在之间， 即：． 故答案为：1.3，1.4． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 3．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：由题意得 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 ∴当时，； 当时，， ∴当时，必有一个解， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 类型二、一元二次方程的新定义运算 【解惑】若是两个实数，定义一种运算“”：，则方程的实数根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算与一元二次方程的求解，解题的关键是根据新定义将方程转化为常规一元二次方程． 根据新定义运算“Δ”，将方程转化为一元二次方程，再通过因式分解法求解． 【详解】根据定义，． 原方程化为： 移项并整理得： 提取公因式： 解得： 或，即 或． 因此，方程的实数根为，， 故选：C． 【融会贯通】 1．对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新运算，一元二次方程根的判别式；由新运算得关于x的一元二次方程，根据判别式非负即可求得m的范围． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵有两个实数根， ∴， 解得：． 故选：A． 2．对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键． 分两种情况：当时，当时，根据新定义列方程，求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时， ， 即， 解得：，， 当时， ， 即， 解得：（舍去），， 综上，实数x的值为或0或1． 故答案为：或0或1． 3．对于实数定义新运算：，例如：．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，一元二次方程根的判别式，先根据新运算列出一元二次方程，再根据方程有个相等的实数根得，据此列出关于的方程解答即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 类型三、换元法的应用 【解惑】解方程：． 解：设，则原方程可化为，得． 当时，即，解得：； 当时，即，解得：． 故原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”．请用“整体换元法”解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本方法以及整体换元思想是解题的关键．根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】解：设，则原方程可化为， ，解得． 当时，即，解得：； 当时，即，解得：． 故原方程的解为． 【融会贯通】 1．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，理解题中求解过程，熟练掌握换元法和转化思想的运用是解答的关键． （1）根据题意可得，然后去分母即可化为一般式； （2）仿照材料中的求解过程，利用换元法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，化为一般式为， 故答案为：； （2）解：设，则原方程化为， 整理，得，解得或， 当时，即，解得或 当时，即，方程无解； 综上所述，原方程的解为或． 2．【阅读材料】 方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 【答案】(1)降次 (2) (3) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据题意可得换元法达到降次的目的； （2）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解； （3）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解． 【详解】（1）解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想 （2）解：设，则原方程可化为 整理，得 解得， 又∵ （3）解：设，则原方程可化为 解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 原方程的解为． 3．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为. 解得， 当时，，∴.∴； 当时，，∴.∴. ∴原方程的解为，，，； 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值. 【答案】 【分析】将视为一个整体，然后设则原方程化为．求得方程的解，进一步分析探讨得出答案即可． 此题考查换元法解一元二次方程，掌握整体的代换方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 设， 则原方程化为， 即， ， 解得，， ∵不能是负数， ∴ 类型四、十字相乘法的应用 【解惑】阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）例：解方程． 解：， 或， ，； 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：______； ②解方程：； ③已知，求的值． 【答案】（3）①；②；③或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，利用十字相乘法因式分解解一元二次方程，掌握十字相乘法分解因式是解答本题的关键． （3）①利用十字相乘法分解即可； ②利用十字相乘法因式分解因式求解即可； ③利用十字相乘法因式分解因式得，进而可求出的值． 【详解】（3）解：①． 故答案为：； ②∵， ∴， ∴或， ∴； ③∵， ∴， ∴或， ∴或． 【融会贯通】 1．阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字乘法． （2）例：解方程． 解：，，或，，． 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：__________，__________． ②解方程：． ③直接写出方程的解． 【答案】①，②③， 【分析】本题考查了因式分解以及运用因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （3）由（1）（2）得，直接作答①； ②③先把一个多项式分解成两个多项式相乘的形式，再令每个因式为0，进行计算，即可作答． 【详解】解：由（1）（2）得 （3）①； ； 故答案为：，； ②． ∴， ∴， ∴或； ③， ∴， ∴或， ∴，． 2．阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握十字相乘法因式分解． （1）利用十字相乘法因式分解求解； （2）利用十字相乘法因式分解求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ，； （2）解：， ， ， ． 3．阅读下面材料： 材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于，的二次三项式，如图1，将项系数，作为第一列，项系数，作为第二列，若恰好等于项的系数，那么可直接分解因式为： 示例1：分解因式： 解：如图2，其中，，而； ∴； 示例2：分解因式：． 解：如图3，其中，，而； ∴； 材料二：关于，的二次多项式也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将作为一列，作为第二列，作为第三列，若，，，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：；     示例3：分解因式：． 解：如图5，其中，，； 满足，； ∴ 请根据上述材料，完成下列问题： （1）分解因式： ； ； （2）若，，均为整数，且关于，的二次多项式可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出的值，并求出关于，的方程的整数解． 【答案】（1），；（2），和 【分析】（1）①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可； （2）用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m值． 【详解】解：（1）①1=1×1，2=1×2，3=1×1+1×2， ∴原式=； ②1=1×1，6=（-2）×（-3），-20=5×（-4） 满足（-5）=1×（-2）+1×（-3），1=1×5+1×（-4），2=（-2）×5+（-3）×（-4） ∴原式=； （2）①   ②     ∴ ∴ 当时， 或，（舍）， 当时， 或，或（舍） 综上所述，方程的整数解有和； 方法二： 或． 【点睛】本题考查了因式分解的方法——十字相乘法，弄清题目中的十字相乘的方法是解题关键． 类型五、配方法的应用 【解惑】【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 【答案】（1）A；（2）；（3）4． 【分析】本题主要考查利用完全平方公式、运用配方法解一元二次方程、运用配方法求最值等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． （1）根据运算过程即可解答； （2）结合配方法将原式变形为，再利用直接开平方法计算即可； （3）利用配方法将原式化简为，结合，即有，则当时，代数式的最小值是4． 【详解】解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式． 故选：A． （2）， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得，即， 直接开平方得， 所以； （3）， ∵无论x取什么数，都有， ， ∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4． 【融会贯通】 1．阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到．即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； (2)用配方法因式分解：； (3)当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 【答案】(1)4 (2) (3)当时，多项式有最大值，最大值为20 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的非负性是解题的关键． （1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行配方即可； （2）将35化为，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解； （3）将转化为，再利用完全平方式最小值为0，即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：4； （2）解： ； （3）解： ， ， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为20． 2．阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：； ②求代数式的最小值： ， ∵是非负数，即， ∴，则代数式的最小值是． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：__________； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）仿照①因式分解即可； （）仿照②解答即可； （）由已知得，即得，再仿照②解答即可求解； 本题考查了配方法的应用，因式分解，非负数的性质，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ∵是非负数，即， ∴， ∴代数式的最小值是； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵是非负数，即， ∴， ∴的最小值为． 3．形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 【答案】(1)当时，代数式有最小值，最小值为 (2)当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是明确题意，列出关系式． （1）将代数式配方成，再根据非负数的性质可得答案； （2）设，则，根据题意可以得到面积与矩形一边长的关系式，然后配方即可求得结果，注意求出的边长要符合题意． 【详解】（1）解：∵， ∵， ∴． 当时，代数式有最小值，最小值为． （2）解：设，则， ∴， 解得． ∴． ∵， ∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 类型六、一元二次方程的应用——销售问题 【解惑】某公司2月份销售新上市的产品25套，由于该产品的经济适用性，销售量快速上升，4月份该公司销售产品达到36套． (1)求该公司这两个月销售产品的月均增长率； (2)若销售产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽快减少库存，该公司决定采用适当的降价措施．调查发现，如果产品每套每降价0．1万元，那么公司平均每月可多售出4套．若该公司想在5月份获利70万元，则每套产品应降价多少万元？ 【答案】(1) (2)1万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该公司这两个月销售A产品的月均增长率，根据2月份及4月份该公司产品的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每套A产品应降价万元，则平均每月可售出套，根据总利润，可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】（1）设该公司这两个月销售A产品的月均增长率，依题意得： ， 解得：(舍去)，， 该公司这两个月销售A产品的月均增长率 ． （2）设每套A产品应降价万元，依题意得： ， 整理得， 解得：，， 为了尽快减少库存，取， 答：每套A产品应降价万元． 【融会贯通】 1．今年11月份，某商场购进了一批T侐和衬衣，商家用16000元购买T侐，12000元购买衬衣，每件T恤和每件衬衣进价之和为100元，且购进T恤的数量是衬衣的2倍． (1)求商场购买T恤和衬衣的进货单价； (2)商场在销售过程中发现，当T恤的销售单价为每件80元，衬衣的销售单价为每件120元时，平均每天可卖出50件T恤，30件衬衣，据统计，衬衣的销售单价每降低5元，平均每天可以多卖出5件．为减少库存，商家在保证T恤的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使T恤和衬衣平均每天的总获利为4000元，则每件衬衣的售价为多少元？ 【答案】(1)每件T恤的进货单价为60元，每件衬衣的进货单价为40元 (2)衬衣的销售单价为100元 【分析】本题考查分式方程的实际应用、一元二次方程的实际应用， （1）设每件T恤的进货单价为x元，则每件衬衣的进货单价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设衬衣的销售单价为a元，根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设每件T恤的进货单价为x元，则每件衬衣的进货单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，符合题意，是原方程的解， 元， 答：每件T恤的进货单价为40元，每件衬衣的进货单价为60元； （2）解：设衬衣的销售单价为a元， 由题意得，， 解得，（舍）， 答：衬衣的销售单价为100元． 2．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售150个，3月份销售216个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到8625元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少？ 【答案】(1) (2)45元 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据题意列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为元，根据题意列出方程计算求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为．依题意， 得：， 解得：（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）设该品牌头盔的实际售价为元． 依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔的实际售价应定为45元． 3．某商场在去年年底以每台2500元的进价购进一批某品牌洗衣机，今年1月份以每台2900元的售价销售，1月份销售量为200台，二、三月份该品牌洗衣机销量持续走高，在售价不变的情况下，三月份的销售量达到了288台． (1)求二、三月份该品牌洗衣机销售量的月平均增长率； (2)从四月份起商场要进行内部的装修，现对已有的库存进行降价处理，经调查发现，当该品牌洗衣机售价为2900元时，平均每天售出8台；而当售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种洗衣机的销售利润平均每天达到5000元，每台洗衣机的售价应为多少元？ 【答案】(1) (2)2750元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设二、三月份该品牌洗衣机销售量的月平均增长率为，根据1月份销售量为200台，二、三月份该品牌洗衣机销量持续走高，三月份的销售量达到了288台，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每台洗衣机的售价降低y元，则每台洗衣机的售价应为元，根据以每台2500元的进价购进一批某品牌洗衣机，当该品牌洗衣机售价为2900元时，平均每天售出8台；而当售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种洗衣机的销售利润平均每天达到5000元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设二、三月份该品牌洗衣机销售量的月平均增长率为， 由题意，得， 解得，（舍）， 答：二、三月份该品牌洗衣机销售量的月平均增长率为； （2）解：设每台电器降了元，由题意， 得， 整理得，， 解得，， ， 答：每台电器的售价应为2750元． 类型七、一元二次方程的应用——几何动点求t 【解惑】如图所示，在四边形中，，，，点P从A向点D以的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以的速度运动，到点B即停止，直线将四边形截得两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ (2)若，当时，直接写出经过______秒后，． 【答案】(1)8或10 (2)8或12 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质和判定， 对于（1），设运动时间为t秒，表示出，即可得再根据两种情况得出方程，求出解即可； 对于（2），根据题意作出图形，再根据勾股定理求出，并表示出，然后结合得出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒，可知，则 当时，四边形是平行四边形，即， 解得； 当时，四边形是平行四边形，即， 解得． 所以当时间为8秒或10秒时，其中一个四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，过点D作，交于点E， 根据题意可知四边形是矩形， ∴， ∴． 在中，， 解得． 如图所示四边形是等腰梯形或平行四边形，即，此时， 即， 解得或， 所以当或时，． 故答案为：8或12． 【融会贯通】 1．如图，在正方形中，，点P从点B 出发沿以的速度向点C运动，同时点Q从点C 出发，以的速度沿向点D运动，当点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s． (1)问当t为多少时，？ (2)连接，是否存在时间t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)t的值为1 (2)存在，t的值为2 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程，正方形的性质，三角形的面积，掌握以上知识点是解本题的关键． （1）根据题意得，，根据勾股定理可得，整理得，解出方程即可． （2）根据正方形的性质，可得，，再利用三角形面积得出，代入数值列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ， ． ，即， ， ， ． 当时，，舍去， 的值为1． （2）存在． 理由：四边形是正方形， ，， ， ， 即， ，解得． 当t的值为2时，． 2．如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒. (1)当 时，平分四边形的面积. (2)当与四边形的某一边平行时，求的值. (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求出值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或. (3)存在为等腰三角形，值为或或. 【分析】（1）根据题意可得，，解方程即可求出答案； （2）分和两种情况，根据平行四边形的判定和性质进行列方程解答即可； （3）连接，作于点E，，，分三种情况分别列方程，解方程进行解答即可. 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵ ∴四边形是直角梯形， 由题意可得，， 解得， 故答案为： （2）当时， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， 解得， 当时， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， 解得， 综上可知，当与四边形的某一边平行时，求的值为或. （3）如图，连接，作于点E，则 ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， 当时，，解得（不合题意的值的解已舍去） 当时， ，解得（不合题意的值的解已舍去） 当时，，解得（不合题意的值的解已舍去） 综上可知，值为或或. 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，分情况讨论是解题的关键. 3．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿着运动；点从点出发，以的速度沿着运动．已知两点同时出发，当点运动到点时，点和点的运动停止． (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积为？ (3)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不会，理由见解析 【分析】本题考查的了勾股定理，列代数式，一元二次方程的应用． （1）设运动时间为，则，，，利用勾股定理得出关于t的方程，解方程即可； （2）根据题意得，解方程即可； （3）当的面积会等于面积的一半时，则，再根据的值可得结论． 【详解】（1）解：设运动时间为，则，，， ∵，的长为， ∴在中，，即， 解得， 即经过，的长为； （2）解：由（1）得，， ∵的面积为， ∴，即， 解得或， ∵当点运动到点时，点和点的运动停止， ∴，即， ∴经过或，的面积为； （3）解：不会，理由如下： 由（2）知， ， 当的面积会等于面积的一半时，则 ， 整理得， 此时， ∴的面积不会等于面积的一半． 类型八、根与系数的对称式 【解惑】阅读材料： 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，则，．如：一元二次方程的两个实数根分别为，则；又如：一元二次方程的两个实数根分别为，则，． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题． (1)一元二次方程的两个根分别为，则___________，___________； (2)已知一元二次方程的两根分别为，求的值； (3)若实数满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查韦达定理，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意中的公式进行计算即可； （2）先求出，再根据题意求出与的值即可得到答案； （3）根据即可得到答案． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根分别为，则，， 故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为， ，， ， ； （3）解：实数满足，且， 则是的解， 故，， ， ， ． 【融会贯通】 1．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于的一元二次方程的两个实数根为、，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．例如：的两个实数根分别是、，则，．请根据上述材料，结合所学的知识，完成下列问题： (1)【材料理解】一元二次方程的两个实数根分别为、，则___，_____； (2)【类比探究】已知：关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，求的值； (3)【思维拓展】在（2）的条件下，若方程的两根、满足，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，直接得出结果； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式，即可求解； （3）根据在（2）的条件下，若方程的两根、满足，得出，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个实数根分别为、，则， 故答案为：，． （2）∵、为一元二次方程的两个实数根 ∴． ∵． ∴原式． （3）∵． 又∵， ∴， 解得：， ∴的值为或． 2．【阅读材料】若关于x的一元二次方程的两根为、，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)【材料理解】 一元二次方程的两根为、，则________，________； (2)【类比运用】已知关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为、，满足，求k的值． (3)【思维拓展】已知实数m，n，满足，，且，求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根与系数的关系直接计算即可； （2）根据根与系数的关系求出，，再代入，解一元二次方程即可得到答案； （3）由题意：可看成方程的两个根，利用根与系数的关系，并把式子变形后即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：由题意可得：，， ， ， 解得； （3）解：由题意：可看成方程的两个根， ， ． 3．阅读材料： 阅读材料：材料：若一元二次方程的两个根为，则， (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ． (2)类比探究：已知实数m，n满足，． ． (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 【答案】(1)； (2)2或 (3) 【分析】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）分类讨论，当时，，当时，由题意得出、可看作方程的解，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，实数和可看作方程的两根，根据根与系数的关系求出，，代入所求代数式计算即可． 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得，； 故答案为：；； （2）解：当时，符合题意，则， 当时， ，， 、可看作方程的两个根， ，， ， 故答案为：2或； （3）解：两边同时除以变形为， 则实数和可看作方程的两根， ，， ． 类型九、一元二次方程的新定义应用 【解惑】定义：如果关于x的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，是“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③ (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“邻根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系即可得到，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得：，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得：， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得：，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：①③． （2）解：解方程得：，， 该方程式“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”， 设方程的两个根为、，则，，，， 得， ， ， ． 【融会贯通】 1．阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达早在1615年在著作《论方程的识别与订正》中就建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）： ①， ②． 材料2：如果实数m，n满足，，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m，n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 材料3：若，是一元二次方程的两个实数根，且满足，则此类方程称为“差根方程”． 请根据上述材料解答下面问题． (1)填空：① ； ② ． (2)若实数m，n满足：，，则 ． (3)判断方程（“是”或“否”）是“差根方程”． (4)若关于x的方程：（b，c是常数）是“差根方程”，求的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)方程是“差根方程” (4)48 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，新定义“差根方程”，二次函数的性质． （1）根据韦达定理即可求得答案； （2）将m，n看作方程的两个根，结合韦达定理求得，，再将所求式子变形得，最后代入求值即可； （3）设，是方程的两个根，根据韦达定理求得，，再由，代入可求出的值，再根据“差根方程”的定义判断即可； （4）设，是方程的两个实数根，则，，再根据差根方程的定义得，进而得，代入得，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意知，，， 故答案为：，； （2）解：可以将m，n看作方程的两个根， 则，， ∴ 故答案为：； （3）解：设，是方程的两个根， 则，， ∴， ∴， ∴方程是“差根方程”； （4）解：设，是方程的两个实数根， 则，， ∵关于x的方程：（b，c是常数）是“差根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴的最大值为48． 2．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_____“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根、满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)是 (2)k的值为9 (3)或 【分析】本题考查了根与系数的关系，也考查了解一元二次方程． （1）先利用因式分解法解方程得到，，然后根据“限根方程”的定义进行判断； （2）先利用根与系数的关系得，，再利用得到，则可求得，，然后分别利用因式分解法解方程，最后利用“限根方程”的定义确定的值； （3）利用因式分解法解方程得到或，再根据“限根方程”的定义得到时，当时，，然后解关于的不等式即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 所以，， ，， 所以一元二次方程为“限根方程”， 故答案为：是； （2）解：根据根与系数的关系得，， ， ，即， 解得，， 当时，方程化为， 解得，， ，， 方程是“限根方程”， 当时，方程化为， 解得，， ， 方程化不是“限根方程”， 综上所述，的值为9； （3）解：， ， 或， 解得或， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上所述，的取值范围为或． 3．定义：如果关于的一元二次方程（、、均为常数，）有两个实数根，，若，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，是“邻根方程”的是_____（填序号）． ①   ②   ③ (2)若是“邻根方程”，则的值为_____． (3)阅读材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． 解决问题：若一元二次方程为“邻根方程”，求的值． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】（1）根据定义，计算判定解答即可． （2）根据得到，根据是“邻根方程”，得到 ，解绝对值方程即可． （3）根据，，结合定义，建立等式解答即可． 【详解】（1）解：①，解方程，得，满足， 是“邻根方程”； ②，解方程，得，不满足，不是“邻根方程”； ③，解方程，得，满足， 是“邻根方程”； 故答案为：①③． （2）解：根据，得到， 根据是“邻根方程”，得到 ， 故或． 解得或． 故答案为：或． （3）解：设一元二次方程两个根为，， 则，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了方程的新定义问题，根的判别式，根与系数关系定理，完全平方公式的变形计算，绝对值方程的解答，熟练掌握新定义，根与系数关系定理，根的判别式是解题的关键． 类型十、勾股圆方图注 【解惑】【阅读材料】三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了借助几何图形对一元二次方程进行求解的方法．以为例，大致方法如下： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：如图，构造一个长为，宽为的长方形，且面积为； 第三步：如图，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间空白部分恰好是一个小正方形．则大正方形的边长为，小正方形的边长为； 第四步：观察图形可知：大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和，得到．虽然在几何图形中的值不能取负数，但事实上，通过构图完成了关键的配方步骤，只要开平方得，即可求得方程的两个根，． 【方法理解】 (1)在图的三个构图中，能体现方程的解法的是_____（填序号） ； (2)利用你所选择的构图，运用上述材料中的方法解方程． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了用几何图形解一元二次方程，完全平方公式的应用，掌握数形结合思想是解题的关键． （）根据材料信息即可求解； （）仿照材料例题即可求解． 【详解】（1）解：在图的三个构图中，能体现方程的解法的是， 故答案为：； （2）解：， ， ，． 【融会贯通】 1．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月，我国古代三国时期的数学家赵爽给出了一元二次方程的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积可以表示为，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 任务： (1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是________（从序号①②③中选择）； (2)一个长方形的长比宽长2米，且该长方形的面积为15平方米，则长方形的宽为多少？请列出方程并求解； (3)通过对上述材料的学习，尝试用几何法求解在第（2）题中你所列出的方程，在图2的网格中设计正确的构图． 【答案】(1)② (2)列方程求解见解析 (3)求解、作图见解析 【分析】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，体现了数形结合的思想． （1）仿照阅读材料构造图形，即可判断出构图方法； （2）依据题意，设长方形的宽为米，从而长为米，则，进而计算可以得解； （3）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， ∴大正方形的面积又可表示为， ∴大正方形的边长为8，则， ∴，则正确构图②， 故答案为：②； （2）解：由题意，设长方形的宽为米， ∴长为米． ∴， 由（2）中解法可得或（负值，舍去）； （3）解：由题意，首先构造如图所示的图形： 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， ∴大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8． ∴． ∴． 2．我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间的数量关系的相关问题．我国汉代数学家赵爽（公元世纪）就通过一幅“弦图”，证明出勾股定理，后人称之“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是由个全等的直角三角形拼成的一个大正方形，记为“正方形”，设直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，面积为． 小桐用这个直角三角形拼出图所示的正方形，发现：若、的值确定，则正方形的面积、正方形的面积、直角三角形的面积的值都唯一确定， 当，时，_________，_________； 小桐进一步思考，并提出问题：已知、、中的任意两个量可否求出、的值？于是给出以下条件，并进行探索： 条件 条件 条件 选择条件，则_________，_________； 选择条件，请你帮小桐计算出，的值； 【探索发现】选择条件，由得：，由得：，进而得出关于的方程：，小桐尝试从“形”的角度来确定的值，将看作是长为，宽为的长方形，且长方形面积为，根据“赵爽弦图”的构图思路，小桐用个这样的长方形构造“空心”大正方形（如图），则图中大正方形的面积为：，也可以表示为：，于是：，因此，所以或（舍去），故，．这正是赵爽在《勾股圆方图注》中记载的一类方程的几何解法． 【类比迁移】小桐继续根据以上解法求解方程，请将其解答过程补充完整．第一步：利用四个全等的长方形构造“空心”大正方形； 第二步：根据大正方形的面积可得新的方程__________________，解得原方程的一个正根为_________； 【拓展应用】一般地，对于关于x的方程可以构造图求解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么，此方程中的_________，求得方程的正根为_________． 【答案】，； ，； ； 【类比迁移】，； 【拓展应用】，方程的正根为或． 【分析】当，时，可以求出，，根据正方形的面积公式分别求出大正方形和小正方形的面积； 根据正方形的面积公式可得、，再根据正方形的边长不能是负数可得方程组，解方程组求出、的值； 根据三角形的面积公式和正方形的面积公式可得，， ，利用完全平方公式之间的关系可得：，从而得到：、，解方程组求出、的值； 仿照i小桐的方法构造正方形，利用正方形的面积公式可得方程，解方程求出：，，因为表示的是正方形的边长，所以要把负数舍去； 【拓展应用】：仿照【类比迁移】构造正方形，利用正方形的面积公式求解． 【详解】解：当，时， ，， ，；     解：，， ，， 、表示的是三角形的边长， ，， ， 解得：， ，；     ， ， ， 、表示的是三角形的边长， 、表示的均为正数， ，     ， ，、均为正数， ， 方程组， 得：； 【类比迁移】：如下图所示，长方形的长为，长比宽多， 则长方形的面积为，小正方形的边长为， 大正方形的面积可以表示为， 大正方形的面积也可以表示为， 整理得：， ， 解得：，(舍去)， 故答案为:，； 【拓展应用】：如下图所示，已知每个矩形的面积为， ， ， 中间围成的正方形的面积为， ， 或(舍去)， ， 整理得：， ， 解得：，， 方程的正根为或． 【点睛】本题主要考查了数形结合的思想，解决本题的关键是根据方程中未知数之间的关系构造正方形，利用正方形的面积公式解一元二次方程． 3．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为．    (1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是_____（从序号①②③中选择）；    (2)请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程，图2中的网格不要求全部使用）： (3)一般地对于形如的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由4个相同矩形构成，这4个矩形的总面积为20，中间围成的正方形边长为，求，，的值． 【答案】(1)② (2)，图见解析（图形画法不唯一） (3)，， 【分析】本题考查构造图形解一元二次方程，解题的关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，运用了数形结合的思想． （1）仿照阅读材料构造图形，即可判断出构图方法； （2）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题； （3）根据4个矩形的总面积为20，得，即可求出，根据中间围成的正方形边长为，即可求出，再根据，即可求得． 【详解】（1）解：应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，   大正方形的面积又可表示为， 大正方形的边长为7， ， ， 解法正确的构图是②； 故答案为：②． （2）解：首先构造了如图2所示的图形（图形画法不唯一），    图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， 大正方形的面积又可表示为， 大正方形的边长为8， ， 解得：， 方程的正数解是； （3）如图：， ， 个矩形的总面积为20， ， ， 解得：， 中间围成的正方形边长为，   ， ，表示边长， ， 解得：， ，，． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程的估算 【解惑】我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（   ） 20 22.5 25 26.25 27.5 28.78 30 0 31.25 75 101.5625 131.25 164.0625 200 A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在估算一元二次方程的解时，小明列表如下： x 请判断其中一个解x的大致范围是（　　） A． B． C． D． 2．如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 3．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 类型二、一元二次方程的新定义运算 【解惑】若是两个实数，定义一种运算“”：，则方程的实数根是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 2．对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为 ． 3．对于实数定义新运算：，例如：．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 类型三、换元法的应用 【解惑】解方程：． 解：设，则原方程可化为，得． 当时，即，解得：； 当时，即，解得：． 故原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”．请用“整体换元法”解方程：． 【融会贯通】 1．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 2．【阅读材料】 方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 3．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为. 解得， 当时，，∴.∴； 当时，，∴.∴. ∴原方程的解为，，，； 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值. 类型四、十字相乘法的应用 【解惑】阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）例：解方程． 解：， 或， ，； 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：______； ②解方程：； ③已知，求的值． 【融会贯通】 1．阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字乘法． （2）例：解方程． 解：，，或，，． 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：__________，__________． ②解方程：． ③直接写出方程的解． 2．阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 3．阅读下面材料： 材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于，的二次三项式，如图1，将项系数，作为第一列，项系数，作为第二列，若恰好等于项的系数，那么可直接分解因式为： 示例1：分解因式： 解：如图2，其中，，而； ∴； 示例2：分解因式：． 解：如图3，其中，，而； ∴； 材料二：关于，的二次多项式也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将作为一列，作为第二列，作为第三列，若，，，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：；     示例3：分解因式：． 解：如图5，其中，，； 满足，； ∴ 请根据上述材料，完成下列问题： （1）分解因式： ； ； （2）若，，均为整数，且关于，的二次多项式可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出的值，并求出关于，的方程的整数解． 类型五、配方法的应用 【解惑】【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 【融会贯通】 1．阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到．即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； (2)用配方法因式分解：； (3)当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 2．阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：； ②求代数式的最小值： ， ∵是非负数，即， ∴，则代数式的最小值是． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：__________； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值． 3．形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 类型六、一元二次方程的应用——销售问题 【解惑】某公司2月份销售新上市的产品25套，由于该产品的经济适用性，销售量快速上升，4月份该公司销售产品达到36套． (1)求该公司这两个月销售产品的月均增长率； (2)若销售产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽快减少库存，该公司决定采用适当的降价措施．调查发现，如果产品每套每降价0．1万元，那么公司平均每月可多售出4套．若该公司想在5月份获利70万元，则每套产品应降价多少万元？ 【融会贯通】 1．今年11月份，某商场购进了一批T侐和衬衣，商家用16000元购买T侐，12000元购买衬衣，每件T恤和每件衬衣进价之和为100元，且购进T恤的数量是衬衣的2倍． (1)求商场购买T恤和衬衣的进货单价； (2)商场在销售过程中发现，当T恤的销售单价为每件80元，衬衣的销售单价为每件120元时，平均每天可卖出50件T恤，30件衬衣，据统计，衬衣的销售单价每降低5元，平均每天可以多卖出5件．为减少库存，商家在保证T恤的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使T恤和衬衣平均每天的总获利为4000元，则每件衬衣的售价为多少元？ 2．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售150个，3月份销售216个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到8625元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少？ 3．某商场在去年年底以每台2500元的进价购进一批某品牌洗衣机，今年1月份以每台2900元的售价销售，1月份销售量为200台，二、三月份该品牌洗衣机销量持续走高，在售价不变的情况下，三月份的销售量达到了288台． (1)求二、三月份该品牌洗衣机销售量的月平均增长率； (2)从四月份起商场要进行内部的装修，现对已有的库存进行降价处理，经调查发现，当该品牌洗衣机售价为2900元时，平均每天售出8台；而当售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种洗衣机的销售利润平均每天达到5000元，每台洗衣机的售价应为多少元？ 类型七、一元二次方程的应用——几何动点求t 【解惑】如图所示，在四边形中，，，，点P从A向点D以的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以的速度运动，到点B即停止，直线将四边形截得两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ (2)若，当时，直接写出经过______秒后，． 【融会贯通】 1．如图，在正方形中，，点P从点B 出发沿以的速度向点C运动，同时点Q从点C 出发，以的速度沿向点D运动，当点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s． (1)问当t为多少时，？ (2)连接，是否存在时间t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒. (1)当 时，平分四边形的面积. (2)当与四边形的某一边平行时，求的值. (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求出值，若不存在，说明理由. 3．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿着运动；点从点出发，以的速度沿着运动．已知两点同时出发，当点运动到点时，点和点的运动停止． (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积为？ (3)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 类型八、根与系数的对称式 【解惑】阅读材料： 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，则，．如：一元二次方程的两个实数根分别为，则；又如：一元二次方程的两个实数根分别为，则，． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题． (1)一元二次方程的两个根分别为，则___________，___________； (2)已知一元二次方程的两根分别为，求的值； (3)若实数满足，且，求的值． 【融会贯通】 1．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于的一元二次方程的两个实数根为、，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．例如：的两个实数根分别是、，则，．请根据上述材料，结合所学的知识，完成下列问题： (1)【材料理解】一元二次方程的两个实数根分别为、，则___，_____； (2)【类比探究】已知：关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，求的值； (3)【思维拓展】在（2）的条件下，若方程的两根、满足，求的值． 2．【阅读材料】若关于x的一元二次方程的两根为、，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)【材料理解】 一元二次方程的两根为、，则________，________； (2)【类比运用】已知关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为、，满足，求k的值． (3)【思维拓展】已知实数m，n，满足，，且，求的值． 3．阅读材料： 阅读材料：材料：若一元二次方程的两个根为，则， (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ． (2)类比探究：已知实数m，n满足，． ． (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 类型九、一元二次方程的新定义应用 【解惑】定义：如果关于x的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，是“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③ (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 【融会贯通】 1．阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达早在1615年在著作《论方程的识别与订正》中就建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）： ①， ②． 材料2：如果实数m，n满足，，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m，n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 材料3：若，是一元二次方程的两个实数根，且满足，则此类方程称为“差根方程”． 请根据上述材料解答下面问题． (1)填空：① ； ② ． (2)若实数m，n满足：，，则 ． (3)判断方程（“是”或“否”）是“差根方程”． (4)若关于x的方程：（b，c是常数）是“差根方程”，求的最大值． 2．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_____“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根、满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 3．定义：如果关于的一元二次方程（、、均为常数，）有两个实数根，，若，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，是“邻根方程”的是_____（填序号）． ①   ②   ③ (2)若是“邻根方程”，则的值为_____． (3)阅读材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． 解决问题：若一元二次方程为“邻根方程”，求的值． 类型十、勾股圆方图注 【解惑】【阅读材料】三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了借助几何图形对一元二次方程进行求解的方法．以为例，大致方法如下： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：如图，构造一个长为，宽为的长方形，且面积为； 第三步：如图，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间空白部分恰好是一个小正方形．则大正方形的边长为，小正方形的边长为； 第四步：观察图形可知：大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和，得到．虽然在几何图形中的值不能取负数，但事实上，通过构图完成了关键的配方步骤，只要开平方得，即可求得方程的两个根，． 【方法理解】 (1)在图的三个构图中，能体现方程的解法的是_____（填序号） ； (2)利用你所选择的构图，运用上述材料中的方法解方程． 【融会贯通】 1．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月，我国古代三国时期的数学家赵爽给出了一元二次方程的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积可以表示为，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 任务： (1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是________（从序号①②③中选择）； (2)一个长方形的长比宽长2米，且该长方形的面积为15平方米，则长方形的宽为多少？请列出方程并求解； (3)通过对上述材料的学习，尝试用几何法求解在第（2）题中你所列出的方程，在图2的网格中设计正确的构图． 2．我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间的数量关系的相关问题．我国汉代数学家赵爽（公元世纪）就通过一幅“弦图”，证明出勾股定理，后人称之“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是由个全等的直角三角形拼成的一个大正方形，记为“正方形”，设直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，面积为． 小桐用这个直角三角形拼出图所示的正方形，发现：若、的值确定，则正方形的面积、正方形的面积、直角三角形的面积的值都唯一确定， 当，时，_________，_________； 小桐进一步思考，并提出问题：已知、、中的任意两个量可否求出、的值？于是给出以下条件，并进行探索： 条件 条件 条件 选择条件，则_________，_________； 选择条件，请你帮小桐计算出，的值； 【探索发现】选择条件，由得：，由得：，进而得出关于的方程：，小桐尝试从“形”的角度来确定的值，将看作是长为，宽为的长方形，且长方形面积为，根据“赵爽弦图”的构图思路，小桐用个这样的长方形构造“空心”大正方形（如图），则图中大正方形的面积为：，也可以表示为：，于是：，因此，所以或（舍去），故，．这正是赵爽在《勾股圆方图注》中记载的一类方程的几何解法． 【类比迁移】小桐继续根据以上解法求解方程，请将其解答过程补充完整．第一步：利用四个全等的长方形构造“空心”大正方形； 第二步：根据大正方形的面积可得新的方程__________________，解得原方程的一个正根为_________； 【拓展应用】一般地，对于关于x的方程可以构造图求解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么，此方程中的_________，求得方程的正根为_________． 3．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为．    (1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是_____（从序号①②③中选择）；    (2)请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程，图2中的网格不要求全部使用）： (3)一般地对于形如的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由4个相同矩形构成，这4个矩形的总面积为20，中间围成的正方形边长为，求，，的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$