专题01 利用勾股定理求线段长（专项训练）数学苏科版2024八年级上册

专题01 利用勾股定理求线段长（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、直接利用勾股定理求线段长 1 题型二、利用勾股定理解决折叠问题 1 题型三、利用勾股定理解决网格问题 9 题型四、利用勾股定理探究线段平方关系问题 9 B 综合攻坚・能力跃升 题型一、直接利用勾股定理求线段长 1．（2025·安徽宿州·二模）如图，在中，于点D，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，设，利用是两个直角三角形的公共边，结合勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则：， ， ， ， ， 解得：， ， 故选：A． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，于点，若，则的长为（   ） A． B． C．6 D．5 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 设，则，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设，则， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 故选：D． 3．（2025·浙江宁波·三模）如图，在中，，利用尺规以点为圆心，线段的长为半径作弧，交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交边于点． (1)求证：． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的判定、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了尺规作垂线，线段垂直平分线的判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）连接，，，根据线段垂直平分线的判定得出点A、E在线段的垂直平分线上，得出垂直平分，即可得出答案； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出，根据求出结果即可． 【详解】（1）证明：连接，，，如图所示： 根据作图可知：，， ∴点A、E在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 4．（2025·湖南·模拟预测）《九章算术》记载“勾股定理”．若直角三角形两直角边为5和12，则斜边上的高为（    ）． A． B． C． D．13 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积计算，先根据勾股定理求出斜边长为，然后根据等积法求出斜边上的高即可． 【详解】解：∵直角三角形两直角边为5和12， ∴斜边长为， 设斜边上的高为h，则， ∴． 故选：C． 5．（2025·江苏徐州·三模）如图，中，，，点D、E是边上的两点，且，，则 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理，将绕点A逆时针旋转90度得到，连接，先证明，由旋转的性质可得，，则可得，利用勾股定理可得，再证明，可得． 【详解】解：如图所示，将绕点A逆时针旋转90度得到，连接， ∵， ∴， 由旋转的性质得到，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二、利用勾股定理解决折叠问题 6．（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理和翻折的性质即可求解． 【详解】解：点是边的中点， ， 由翻折的性质得，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 故选：A． 7．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在中，，是边上的高，，，E为AC上一点，将沿过点E的直线折叠，使得点A与点B重合，折痕交于点H，连接，则 ． 【答案】10 【知识点】勾股定理与折叠问题、等边对等角 【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，关键是由勾股定理列出关于的方程． 连接，由线段垂直平分线的性质推出，设，由勾股定理得到，求出，得到，由三角形面积公式即可求出． 【详解】连接， 将沿过点的直线折叠，点与点重合，是折痕， 垂直平分， ， 是边上的高，，， ， 设，则， ， 是边上的高， ， ， ， ， ． 故答案为：10． 8．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图在中，，，，将沿折叠，使点刚好落在边的中点处，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，设所求线段为未知数，利用折叠性质，把能用未知数表示的线段表示出，勾股定理所需的直角三角形一般就会呈现在图上，符合这样的直角三角形一般有如下特征：一直角边为具体数字，另一直角边和斜边分别是含有未知数的代数式．设，则，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，由折叠的性质可知． ∵， ∴． ∵F是边的中点，， ∴． 在中，， ∴， 解得， ∴的长为5． 故答案为：． 9．（21-22八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在长方形中，、，点E为边上的一点，将沿直线折叠，点D刚好落在边上的点F处，则的长是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题）与矩形的性质，根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得到，，在中，利用勾股定理易得，设，则在中，利用勾股定理可求出x的值． 【详解】解：∵在长方形中，、， ∴，， 又∵将沿直线折叠， ∴，，， 在中，， ∴， 设，则 在中，， ∴， 解得， 即的长为5． 故选：C． 10．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为 ． 【答案】6 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题．折叠得到，设，利用勾股定理进行求解即可，掌握折叠的性质和勾股定理，是解题的关键． 【详解】解：∵折叠， ∴， 设， ∵在长方形中，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 题型三、利用勾股定理解决网格问题 11．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出___________，___________，___________； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)的形状是直角三角形，理由见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和勾股定理可以求得、和的值； （2）先判断，然后根据（1）中的结果和勾股定理的逆定理，即可说明理由； 【详解】（1）解：、，，， 故答案为：，，； （2）解：的形状是直角三角形； 理由如下： ∵ ，，；且 ∴的形状是直角三角形． 12．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，这是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形．则正方形的边长为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理．设左下角的字母为，在中，利用勾股定理，即可求出的长，进而可得出正方形的边长． 【详解】解：设左下角的字母为，如图所示． 在中，，，， ， 正方形的边长为． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）问题背景：在中，，，，求这个三角形的面积．佳佳同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网络就能计算它的面积． (1)请你将的面积直接填写在横线上： ； (2)在图2中画，使，，，判断这个三角形形状，并说明理由． (3)在图3中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数． 【答案】(1) (2)为直角三角形，见解析 (3)见解析 【知识点】利用网格求三角形面积、判断三边能否构成直角三角形、勾股定理与网格问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）利用割补法求三角形的面积即可． （2）借助网格，结合勾股定理画图，再利用勾股定理、勾股定理的逆定理可得结论． （3）借助网格，利用勾股定理、勾股定理的逆定理按要求画图即可． 【详解】（1）解：的面积为 故答案为：. （2）解：如图，即为所求． 为直角三角形． 理由：∵，，， ∴， ∴， ∴为直角三角形． （3）解：如图3，即为所求（答案不唯一）． 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图、无理数、二次根式的应用、勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 14．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为（　　） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查了勾股定理，直接根据网格的特点和勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为， 故选：D． 15．（21-22八年级上·吉林长春·期末）图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，每个小正方形的边长均为1，在图①、图②中已画出AB，点A、B均在格点上，按下列要求画图： （1）在图①中，画一个以AB为腰且三边长都是无理数的等腰三角形ABC，点C为格点； （2）在图②中，画一个以AB为底的等腰三角形ABD，点D为格点． 【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解． 【知识点】勾股定理与网格问题、格点图中画等腰三角形 【分析】（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形； （2）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形． 【详解】（1）如图所示：即为所求； （2）如图所示：即为所求． 【点睛】本题考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题的关键． 题型四、利用勾股定理探究线段平方关系问题 16．（2024·山西朔州·二模）阅读与思考 下面是小宇同学收集的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务. 构图法在初中数学解题中的应用构图法指的是构造与数量关系对应的几何图形，用几何图形中反映的数量关系来解决数学问题的方法.巧妙地构造图形有助于我们把握问题的本质，明晰解题的路径，也有利于发现数学结论.本文通过列举一个例子，介绍构图法在解题中的应用， 例：如图1，已知P为等边三角形内一点，，. 求以，，为边的三角形中各个内角的度数. 解析：如何求所构成的三角形三个内角的度数？由于没有出现以，，为边的三角形，问题难以解决.于是考虑通过构图法构造长度为，，的三角形来解决问题． 解：将绕点A顺时针旋转得，则． ，，． 由旋转可知，是等边三角形．【依据】 ，． 就是以，，为边的三角形． ，． .． ． 以，，为边的三角形中，三个内角的度数分别为，，. 构造图形的关键在于通过图形的变化，能使抽象的数量关系集中在一个图形上直观地表达出来，使问题变简单． 任务： (1)上面小论文中的“依据”是________． (2)如图2，已知点P是等边三角形的边上的一点，若，则在以线段，，为边的三角形中，最小内角的度数为________． (3)如图3，在四边形中，，，．求证：． 【答案】(1)有一个角是的等腰三角形是等边三角形 (2)18 (3)证明见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边三角形的判定和性质、利用勾股定理证明线段平方关系、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理： （1）依据是有一个角是的等腰三角形是等边三角形； （2）将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，则，可得是等边三角形，则就是以，，为边的三角形．根据全等三角形的性质及三角形内角和定理分别求得三个内角的度数，即可得到答案； （3）连接，将绕点C顺时针旋转到的位置，连接，先证明是等边三角形，由旋转的性质可得为等边三角形，进而可得，利用勾股定理即可得证． 【详解】（1）解：依据是有一个角是的等腰三角形是等边三角形， 故答案为：有一个角是的等腰三角形是等边三角形； （2）解：如图，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，则， ，，， 由旋转的性质可知， 是等边三角形， ，， 就是以，，为边的三角形， ， ， ， ， ， ， 最小内角的度数为， 故答案为：18； （3）证明：如图，连接，将绕点C顺时针旋转到的位置，连接， ，， 是等边三角形， ， 由旋转可知，，， 为等边三角形， ，， ， 在中，由勾股定理得， ． 17．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．    (1)判断与间的数量关系，并说明理由； (2)直接写出线段、、间满足的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】（1）根据已知条件得出，即，即可得出； （2）证明，得出，，进而根据四边形内角和为，求得，进而勾股定理即可得证． 【详解】（1）理由如下， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）， 如图所示，连接，    由（1）可得 ∵ ∴ ∴，， ∵ ∴ ∵ 在四边形中， ∴是直角三角形， ∴ 又是等腰直角三角形， ∴，即, 又∵， ∴ 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18．（2023·北京石景山·一模）在中，，，点为射线上一点，过点作且（点在点的右侧），射线交射线于点，点是的中点，连接，． (1)如图，当点在线段上时，判断线段与的数量关系及位置关系； (2)当点在线段的延长线上时，依题意补全图．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)， (2)，图及证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、利用勾股定理证明线段平方关系、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）易得为等腰直角三角形，连接，证明，即可得出结论； （2）连接，，证明，推出，在中，由勾股定理，得到，进行线段的转化，即可得出结论． 【详解】（1）解：数量关系，位置关系，理由如下： ∵，， ∴， ∵且， ∴， ∴， 连接， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即：； （2）依题意补全图形，如图1． 数量关系：． 证明：连接，，如图2． ∵中，，， ∴． ∵， ∴，． 又∵ ∴． ∵点是的中点， ∴，，． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴，． ∴． ∴． 在中，由勾股定理，得． ∵，， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 19．（2023·北京平谷·一模）在中，，为边中点，连接，与相交于点，过作，交于点，连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)判断的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据垂直定义，得出，，根据等角的余角相等得出结论； （3）延长到使，连接，,根据边角边定理证出， 从而证出，，根据勾股定理得出，再根据线段垂直平分线的性质得出，进而得出结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图所示： （2）， ， ， ， ， ； （3）结论：； 延长到使，连接，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 垂直平分, ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理和线段垂直平分线的性质等知识，构造恰当的三角形全等，利用勾股定理解决问题是解本题的关键． 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的周长为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，由三角形周长计算公式可推出，设，则，由勾股定理得，解方程可得，由线段垂直平分线的性质可得到，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解；∵的周长为12， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴的周长， 故选：C． 2．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）如图，在中，，于点D，，． (1)求的面积； (2)求线段的长． 【答案】(1)24 (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理及三角形的面积公式的运用. (1)先在中利用勾股定理求得的长，然后利用三角形的面积公式即可求解； (2)利用代入数字求值即可． 【详解】（1）解：在中，， ，， ∴， ∴， ∴的面积为24． （2）解：∵在中，，于点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴线段的长为． 3．（2024·浙江湖州·二模）数学兴趣小组在对一张矩形纸张进行折叠的时候发现了很多有趣的数学问题，他们决定对折叠中产生的系列问题进行研究探索．已知矩形纸片的边长，，折痕始终经过点． 折法一 折法二 如图1，点在上运动，将矩形沿着向上折叠，使得点的落点恰好落在对角线上． 如图2，当点运动到点处，将矩形沿着对角线向上折叠，使得点落在处，交于点． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)计算折法一中的长度． (2)请根据折法二完成下列任务： ①任务一：求证是等腰三角形； ②任务二：计算的长度． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题 【分析】本题考查矩形与折叠、等腰三角形的判定和性质、勾股定理和相似三角形的判定和性质的应用，灵活运用性质和定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质及折叠的性质可知，由勾股定理可得，结合即可求解； （2）①根据矩形的性质及折叠的性质可知，，进而得，即可知，进而可证明结论； ②根据矩形的性质及折叠的性质可知，结合，得，设，则，在中，由勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∵，，则，， ∴， 由折叠可知，， ∵点的落点恰好落在对角线上 ∴； （2）①证明：在矩形中，， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ②在矩形中，，，， 由折叠可知，，， 即：， 又∵， ∴， 设，则， 在中，，即：， 解得：， ∴． 4．（23-24八年级下·北京东城·期中）阅读材料，回答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是： ，利用此数量关系解决以下问题； (2)我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图1所示，设绳索的长为x尺，根据题意，可列方程为 ； (3)如图2，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为3 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用与折叠问题，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质． （1）根据勾股定理解答即可； （2）设绳索的长为x尺，则的长为尺，根据勾股定理得，据此列出方程即可； （3）设，则，由折叠的性质可知，，结合勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：在中，，，，， 由勾股定理得：， 故答案为：； （2）解：设绳索的长为x尺，则的长为尺， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：； （3）解：把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，， 设，则， ∴， 由矩形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，则的长为3． 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在正方形网格上有一个，每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)画关于直线的轴对称图形（不写画法）； (2)在直线上求作一点P，使最小，并求出最小值． 【答案】(1)见解析 (2)点P位置如图所示，最小值为 【知识点】勾股定理与网格问题、画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查作图-轴对称变化，轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和“将军饮马”模型是解题的关键， （1）先找出点、点、点关于直线的对称点，再依次连接对称点即可； （2）连接，交轴于点，点即为所求，由于，可得的最小值为的长． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：连接，交轴于点，点即为所求， ∵点与点对称， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴， ∴的最小值为． 6．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，矩形中，，在边上取一点P，将沿折叠得到，点D的对应点为Q，当射线恰好经过的中点M时，的长为 ． 【答案】1或9 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】根据折叠的性质，得，，，，结合，勾股定理，求得，解答即可． 【详解】解：当在矩形的内部时， ∵矩形中，，，将沿折叠得到，射线恰好经过的中点， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 当在矩形的外部时， ∴， ∴． 故答案为：1或9． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 7．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，在中，，点为边的中点，若，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是由直角三角形斜边中线的性质求出，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵，点为边的中点， ∴， ∴， 故选：A． 8．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，将沿对角线翻折，得到，交于点F，再将沿翻折，得到，交于点 H，若平分，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查矩形的性质、翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识点，弄清线段间的关系成为解题的关键． 如图：连接，由矩形的性质得，由翻折得，则，所以，求得，则，可证明四边形是正方形，则，再证明，求，则，可证明，则，然后求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形是矩形，， ∴， 由翻折得：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，平分，垂足为，则的长为 ． 【答案】6 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等直角三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等内容，解题关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 过点作，交于点，根据角平分线的性质证出，求出的长度，然后证出为等腰三角形，最后利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点， 又∵平分， ， ∵ ∴， ∴， 由勾股定理得， ， ∴， ， ∴为等腰三角形， 由三线合一得，点为线段的中点， ， 故答案为：6． 10．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点，画射线交于点，则线段的长为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、三角形角平分线的定义 【分析】过点作于点，如图所示，由基本尺规作图-作角平分线得到平分，再由三角形全等的判定得到，设，表示出中三边长度，再由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 依题意，平分，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， 在中，由勾股定理可得，则， 解得，即， 故选：B． 【点睛】本题考查求线段长，涉及基本尺规作图-作角平分线、角平分线定义、三角形全等的判定与性质、勾股定理、解方程求线段长等知识，熟练掌握基本尺规作图-作角平分线、三角形全等的判定与性质是解题的关键． 11．（2024·四川凉山·模拟预测）（1）如图1，中，点D是边的中点，若，，求中线的取值范围． 解：∵点D是边的中点，∴， 将绕点D旋转得到， 即得，且A，D，E三点共线， 在中，可得的取值范围是： ； ∴的取值范围是： ． （2）如图2，在中，，点D是边的中点，，的两边分别交于点E，交于点F，连接．探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析 【知识点】三角形三边关系的应用、全等三角形综合问题、利用勾股定理证明线段平方关系、根据旋转的性质求解 【分析】（1）结合解题步骤及求得不等式组的解集，确定的取值范围； （2）将绕点D旋转得到，连接，即得，从而得出，，，然后结合线段中垂线和直角三角形的性质分析推理． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∴， 又∵； ∴，即， 故答案为：； （2）∵点D是边的中点， ∴， 将绕点D旋转得到，连接，即得， ∴，，，且E、D、G三点共线， ∵在中，， ∴， ∴，即， ∵，且， ∴垂直平分， ∴ ∵在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键． 2 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 利用勾股定理求线段长（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、直接利用勾股定理求线段长 1 题型二、利用勾股定理解决折叠问题 2 题型三、利用勾股定理解决网格问题 3 题型四、利用勾股定理探究线段平方关系问题 5 B 综合攻坚・能力跃升 题型一、直接利用勾股定理求线段长 1．（2025·安徽宿州·二模）如图，在中，于点D，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，于点，若，则的长为（   ） A． B． C．6 D．5 3．（2025·浙江宁波·三模）如图，在中，，利用尺规以点为圆心，线段的长为半径作弧，交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交边于点． (1)求证：． (2)求的长． 4．（2025·湖南·模拟预测）《九章算术》记载“勾股定理”．若直角三角形两直角边为5和12，则斜边上的高为（    ）． A． B． C． D．13 5．（2025·江苏徐州·三模）如图，中，，，点D、E是边上的两点，且，，则 ． 题型二、利用勾股定理解决折叠问题 6．（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　） A． B． C．3 D．2 7．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在中，，是边上的高，，，E为AC上一点，将沿过点E的直线折叠，使得点A与点B重合，折痕交于点H，连接，则 ． 8．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图在中，，，，将沿折叠，使点刚好落在边的中点处，则的长为 ． 9．（21-22八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在长方形中，、，点E为边上的一点，将沿直线折叠，点D刚好落在边上的点F处，则的长是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为 ． 题型三、利用勾股定理解决网格问题 11．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出___________，___________，___________； (2)判断的形状，并说明理由． 12．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，这是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形．则正方形的边长为 ． 13．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）问题背景：在中，，，，求这个三角形的面积．佳佳同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网络就能计算它的面积． (1)请你将的面积直接填写在横线上： ； (2)在图2中画，使，，，判断这个三角形形状，并说明理由． (3)在图3中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数． 14．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为（　　） A．3 B． C．5 D． 15．（21-22八年级上·吉林长春·期末）图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，每个小正方形的边长均为1，在图①、图②中已画出AB，点A、B均在格点上，按下列要求画图： （1）在图①中，画一个以AB为腰且三边长都是无理数的等腰三角形ABC，点C为格点； （2）在图②中，画一个以AB为底的等腰三角形ABD，点D为格点． 题型四、利用勾股定理探究线段平方关系问题 16．（2024·山西朔州·二模）阅读与思考 下面是小宇同学收集的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务. 构图法在初中数学解题中的应用构图法指的是构造与数量关系对应的几何图形，用几何图形中反映的数量关系来解决数学问题的方法.巧妙地构造图形有助于我们把握问题的本质，明晰解题的路径，也有利于发现数学结论.本文通过列举一个例子，介绍构图法在解题中的应用， 例：如图1，已知P为等边三角形内一点，，. 求以，，为边的三角形中各个内角的度数. 解析：如何求所构成的三角形三个内角的度数？由于没有出现以，，为边的三角形，问题难以解决.于是考虑通过构图法构造长度为，，的三角形来解决问题． 解：将绕点A顺时针旋转得，则． ，，． 由旋转可知，是等边三角形．【依据】 ，． 就是以，，为边的三角形． ，． .． ． 以，，为边的三角形中，三个内角的度数分别为，，. 构造图形的关键在于通过图形的变化，能使抽象的数量关系集中在一个图形上直观地表达出来，使问题变简单． 任务： (1)上面小论文中的“依据”是________． (2)如图2，已知点P是等边三角形的边上的一点，若，则在以线段，，为边的三角形中，最小内角的度数为________． (3)如图3，在四边形中，，，．求证：． 17．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上． (1)判断与间的数量关系，并说明理由； (2)直接写出线段、、间满足的数量关系． 18．（2023·北京石景山·一模）在中，，，点为射线上一点，过点作且（点在点的右侧），射线交射线于点，点是的中点，连接，． (1)如图，当点在线段上时，判断线段与的数量关系及位置关系； (2)当点在线段的延长线上时，依题意补全图．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 19．（2023·北京平谷·一模）在中，，为边中点，连接，与相交于点，过作，交于点，连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)判断的数量关系，并证明． 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的周长为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 2．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）如图，在中，，于点D，，． (1)求的面积； (2)求线段的长． 3．（2024·浙江湖州·二模）数学兴趣小组在对一张矩形纸张进行折叠的时候发现了很多有趣的数学问题，他们决定对折叠中产生的系列问题进行研究探索．已知矩形纸片的边长，，折痕始终经过点． 折法一 折法二 如图1，点在上运动，将矩形沿着向上折叠，使得点的落点恰好落在对角线上． 如图2，当点运动到点处，将矩形沿着对角线向上折叠，使得点落在处，交于点． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)计算折法一中的长度． (2)请根据折法二完成下列任务： ①任务一：求证是等腰三角形； ②任务二：计算的长度． 4．（23-24八年级下·北京东城·期中）阅读材料，回答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是： ，利用此数量关系解决以下问题； (2)我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图1所示，设绳索的长为x尺，根据题意，可列方程为 ； (3)如图2，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在正方形网格上有一个，每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)画关于直线的轴对称图形（不写画法）； (2)在直线上求作一点P，使最小，并求出最小值． 6．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，矩形中，，在边上取一点P，将沿折叠得到，点D的对应点为Q，当射线恰好经过的中点M时，的长为 ． 7．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，在中，，点为边的中点，若，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，将沿对角线翻折，得到，交于点F，再将沿翻折，得到，交于点 H，若平分，则的长为 ． 9．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，平分，垂足为，则的长为 ． 10．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点，画射线交于点，则线段的长为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 11．（2024·四川凉山·模拟预测）（1）如图1，中，点D是边的中点，若，，求中线的取值范围． 解：∵点D是边的中点，∴， 将绕点D旋转得到， 即得，且A，D，E三点共线， 在中，可得的取值范围是： ； ∴的取值范围是： ． （2）如图2，在中，，点D是边的中点，，的两边分别交于点E，交于点F，连接．探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 2 / 6 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