第3章 勾股定理（知识清单）数学苏科版2024八年级上册

第三章 勾股定理 知识点1：勾股定理 1.勾股定理内容： 文字语言 符号语言 图形语言 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 2.勾股定理的证明方法： 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图法. 用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变； ②根据同一种图形的面积两种不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理. 3.勾股定理的使用条件：要使用勾股定理，必须在直角三角形中，才可以使用！切记 4.勾股定理的常用变形： 5.勾股定理的应用： ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边； ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系； ③在网格中绘制长度为无理数的线段； ④解决一些生活实际问题：梯子问题、面积问题、汽车超速问题……； 知识点2：勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理内容： 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2. 勾股定理的逆定理与勾股定理的关系： 勾股定理 勾股定理逆定理 条件 直角三角形ABC 结论 直角三角形ABC 关系 知识点3：勾股数 1.能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数； 2.记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等； 3.用含字母的代数式表示组勾股数： （为正整数）； 　（为正整数） （，为正整数）. 知识点4：利用勾股定理解决实际问题的步骤 1. 将实际问题抽象出几何图形，建立数学模型； 2. 确定所求线段所在的直角三角形：如果原图存在可以用的直角三角形，就直接使用，如果原图中没有可用的直角三角形，就作垂线构造直角三角形，然后再使用勾股定理； 3. 根据勾股定理，列方程求解。 一、勾股定理的使用条件：勾股定理的使用要分清： 错误：认为 “”一定代表直角边，一定代表斜边 注意：勾股定理中表示直角边，代表斜边，但是，实际做的题目中不一定这样的。有可能是表示斜边，或者表示斜边，这要根据具体题目而定。对于直角边和斜边不确定的，还要分情况讨论。 二、勾股数：注意区分“勾股数”与“能构成直角三角形”的区别 错误：认为只要满足“”的三个数都是勾股数． 注意：勾股数必须是满足两个条件三个数：①满足“” ②正整数，像小数、分数、无理数都不行。 三、勾股定理逆定理：判定一个三角形是直角三角形方法不止勾股定理逆定理一种 错误：认为“一看到判定一个三角形或证明垂直就找勾股定理逆定理” 提醒：判定一个三角形是直角三角形的方法很多，比如：利用直角三角形的定义，即证明三角形中有一个角是直角，可以证明这个三角形是直角三角形；也可以证明有两个锐角互为余角也可以；或者利用平行线的知识或者三角形的内角和、外角等其他知识证明垂直；也可一证明这个三角形与一个直角三角形全等等方法都可以，不要总盯着勾股定理逆定理；另外方法还有等腰三角形的三线合一性质，垂直平分线的判定方法等等都可以证明垂直（或者直角三角形）。 题型01 勾股定理的使用要分清 1．直角三角形的两边长分别为8，15，第三边边长为，则 ． 【答案】289或161 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论． 分两种情况进行讨论，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：①当第三边为斜边时， 由勾股定理得，； ②当第三边为直角边时， 由勾股定理得，； 综上，的值为289或161， 故答案为：289或161． 2．直角三角形的两边长为3、4，则第三边为 ． 【答案】5或 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么．分两种情况，边长为4的边是直角边，边长为4的边是斜边，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：当边长为4的边是直角边时，第三边为：， 边长为4的边是斜边时，第三边为：． 故答案为：5或． 3．若一个直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的平方是 ． 【答案】100或28/28或100 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理．分两种情况：当两直角边的长分别为6和8时，当斜边长为，一条直角边长为时，分别计算即可得出答案． 【详解】解：∵一个直角三角形的两边长分别为6和8， ∴当两直角边的长分别为6和8时，第三边的平方是， 当斜边长为，一条直角边长为时，第三边的平方是， 故答案为：100或28． 4．已知直角三角形的两边长为4和6，那么这个直角三角形的斜边长为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理，即在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求斜边的长必须分类讨论，即6是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：当6是斜边时，第三边长； 当4和6是直角边时，斜边长； ∴斜边的长为：或， 故答案为：或． 5．直角三角形的两直角边长为5和12，则该三角形的斜边长为 ． 【答案】13 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得出斜边长，即可得解． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长为5和12， ∴该三角形的斜边长为． 故答案为：13． 题型02 勾股数的概念 6．下列各组数中，勾股数是（   ） A．1，2，2 B．0.3，0.4，0.5 C．6，8，10 D．1，， 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数是解题的关键，根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解， 【详解】解：A.，故不是勾股数，不符合题意； B. 不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； C. ，故是勾股数，符合题意； D. 1，，不都是正整数，故不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 7．下面四组数中是勾股数的一组是（    ） A．，， B．5，12，13 C．1.5，2，2.5 D．，， 【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查的是勾股数，勾股数：满足 的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的概念逐一验证判断即可． 【详解】解：A 、 即 36， 64，100，，而 ，不满足 ，所以，，不是勾股数，不符合题意； B 、5，12，13，均为正整数，且 ，满足勾股定理，是勾股数，符合题意； C 、1.5，2，2.5包含小数，非正整数，不符合勾股数定义，不是勾股数，不符合题意； D 、 不是正整数，且 ，不满足勾股定理，不是勾股数，不符合题意． 故选：B ． 8．勾股数，又名毕氏三元数，下列各组数构成勾股数的是（    ） A．5，12，13 B．，， C．，， D．5，15，20 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数，勾股数是指满足勾股定理的三个正整数，需同时满足两个条件：①均为正整数；②最大数的平方等于另两数的平方和．据此判断即可． 【详解】解：A、∵，且5，12，13均为正整数， ∴5，12，13是一组勾股数； B、，，不是正整数，故它不是勾股数； C、，，不是正整数，故它不是勾股数； D、由于，故它不是勾股数． 故选：A． 9．以下列各组数据是勾股数，以它们为边长作三角形能作成直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数，根据勾股数的定义，需满足三个正整数且能构成直角三角形．对各选项逐一验证是否满足勾股定理及是否为整数． 【详解】A．，满足勾股定理，且均为正整数，是勾股数，故符合题意； B．，虽满足勾股定理，但含小数，不符合勾股数必须为正整数的要求，不符合题意； C．，不满足勾股定理，故错误，不符合题意； D．，不满足勾股定理，且非正整数，故错误，不符合题意． 综上，只有选项A符合条件． 故选A． 10．下面各组数中，是勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．根据勾股数的特点进行判断即可． 【详解】解：，故选项A不是勾股数； ，故选项B不是勾股数； ，故选项C是勾股数； ，故选项D不是勾股数； 故选：C． 题型03判定垂直（直角）不一定用勾股定理逆定理 11．如图，在中，分别为边上的点，连接，且满足垂直平分，垂足为F． (1)判断的形状？并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析； (2)的长为5． 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质． （1）运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，且，再证明，由此即可解答； （2）根据题意得到，，，在中，由勾股定理得，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由：，，， ， 是直角三角形，且， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 是直角三角形； （2）解：由（1）知，，， ，，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 的长为5． 12．如图，在中，，点P在上运动，点D在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)DE的长为4.75 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，线段垂直平分线的性质，解答即可； （2）连接，设，则，，利用勾股定理解答即可． 本题考查了直角三角形两个锐角互余，等边对等角，线段垂直平分线，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：．理由如下： 理由：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，连接，设，则，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴的长为． 13．如图，，是上的一点，且，． (1)与全等吗？并说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）等角对等边，得到，证明两个三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质结合等角的余角，求出即可． 【详解】（1）解：与全等，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．如图，． (1)求出与的数量关系 (2)延长到，使，延长到F，使，连接．补全图形，并证明． (3)在（2）的条件下，作的平分线，交于点H，延长交于点M，延长交于点G．补全图形并证明． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等三角形综合问题、根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，勾股定理，平行线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）勾股定理求得，结合已知条件即可求解； （2）根据题意画出图形，证明，得出，则，即可得证； （3）根据题意画出图形，根据角平分线以及平行线的性质证明，得到，进而证明，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图所示， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，     ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 15．如图，在四边形中，，为的中点，连接，，并延长交的延长线于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若． ①试说明； ②若，，，求点到的距离． 【答案】(1)全等，见解析 (2)①见解析；②4 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意及全等三角形的判定证明即可； （2）①根据全等三角形的性质得出，，结合题意及全等三角形的判定即可得出结果；②根据全等三角形的性质及角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：全等；     理由：因为， 所以. 因为为的中点， 所以.     在与中， 因为，，， 所以； （2）①由（1）知， 所以， 因为， 所以， 即.     在与中， 因为，，， 所以；     所以， 所以；     ②由①知道， 所以， 所以平分， 所以点到的距离等于点到的距离. 因为，， 所以，即，且， 所以点到的距离为4． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 勾股定理 知识点1：勾股定理 1.勾股定理内容： 文字语言 符号语言 图形语言 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 2.勾股定理的证明方法： 勾股定理的证明方法很多，常见的是 法. 用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变； ②根据同一种图形的面积两种不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理. 3.勾股定理的使用条件：要使用勾股定理，必须在 中，才可以使用！切记 4.勾股定理的常用变形： 5.勾股定理的应用： ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边； ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系； ③在网格中绘制长度为无理数的线段； ④解决一些生活实际问题：梯子问题、面积问题、汽车超速问题……； 知识点2：勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理内容： 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足 ，那么这个三角形是 三角形. 2. 勾股定理的逆定理与勾股定理的关系： 勾股定理 勾股定理逆定理 条件 直角三角形ABC 结论 直角三角形ABC 关系 知识点3：勾股数 1.能够构成直角三角形的三边长的三个 称为勾股数，即中，，，为 时，称，，为一组勾股数； 2.记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 ； ； ； 等； 3.用含字母的代数式表示组勾股数： （为正整数）； 　（为正整数） （，为正整数）. 知识点4：利用勾股定理解决实际问题的步骤 1. 将实际问题抽象出几何图形，建立数学模型； 2. 确定所求线段所在的直角三角形：如果原图存在可以用的直角三角形，就直接使用，如果原图中没有可用的直角三角形，就作 构造 ，然后再使用勾股定理； 3. 根据勾股定理，列方程求解。 一、勾股定理的使用条件：勾股定理的使用要分清： 错误：认为 “”一定代表直角边，一定代表斜边 注意：勾股定理中表示直角边，代表斜边，但是，实际做的题目中不一定这样的。有可能是表示斜边，或者表示斜边，这要根据具体题目而定。对于直角边和斜边不确定的，还要分情况讨论。 二、勾股数：注意区分“勾股数”与“能构成直角三角形”的区别 错误：认为只要满足“”的三个数都是勾股数． 注意：勾股数必须是满足两个条件三个数：①满足“” ②正整数，像小数、分数、无理数都不行。 三、勾股定理逆定理：判定一个三角形是直角三角形方法不止勾股定理逆定理一种 错误：认为“一看到判定一个三角形或证明垂直就找勾股定理逆定理” 提醒：判定一个三角形是直角三角形的方法很多，比如：利用直角三角形的定义，即证明三角形中有一个角是直角，可以证明这个三角形是直角三角形；也可以证明有两个锐角互为余角也可以；或者利用平行线的知识或者三角形的内角和、外角等其他知识证明垂直；也可一证明这个三角形与一个直角三角形全等等方法都可以，不要总盯着勾股定理逆定理；另外方法还有等腰三角形的三线合一性质，垂直平分线的判定方法等等都可以证明垂直（或者直角三角形）。 题型01 勾股定理的使用要分清 1．直角三角形的两边长分别为8，15，第三边边长为，则 ． 2．直角三角形的两边长为3、4，则第三边为 ． 3．若一个直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的平方是 ． 4．已知直角三角形的两边长为4和6，那么这个直角三角形的斜边长为 ． 5．直角三角形的两直角边长为5和12，则该三角形的斜边长为 ． 题型02 勾股数的概念 6．下列各组数中，勾股数是（   ） A．1，2，2 B．0.3，0.4，0.5 C．6，8，10 D．1，， 7．下面四组数中是勾股数的一组是（    ） A．，， B．5，12，13 C．1.5，2，2.5 D．，， 8．勾股数，又名毕氏三元数，下列各组数构成勾股数的是（    ） A．5，12，13 B．，， C．，， D．5，15，20 9．以下列各组数据是勾股数，以它们为边长作三角形能作成直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 10．下面各组数中，是勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型03判定垂直（直角）不一定用勾股定理逆定理 11．如图，在中，分别为边上的点，连接，且满足垂直平分，垂足为F． (1)判断的形状？并说明理由； (2)求的长． 12．如图，在中，，点P在上运动，点D在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的长． 13．如图，，是上的一点，且，． (1)与全等吗？并说明理由； (2)求证：． 14．如图，． (1)求出与的数量关系 (2)延长到，使，延长到F，使，连接．补全图形，并证明． (3)在（2）的条件下，作的平分线，交于点H，延长交于点M，延长交于点G．补全图形并证明． 15．如图，在四边形中，，为的中点，连接，，并延长交的延长线于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若． ①试说明； ②若，，，求点到的距离． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$