第3章 勾股定理（复习讲义）数学苏科版2024八年级上册

第三章 勾股定理（复习讲义） 1. 掌握勾股定理，能利用勾股定理求直角三角形的边长； 2. 能利用拼图法验证勾股定理； 3. 知道勾股数的概念，会判断3个数是不是勾股数； 4. 掌握勾股定理的逆定理，并能利用该定理判定一个三角形为直角三角形； 5. 能利用勾股定理和勾股定理的逆定理解决生活中的实际问题； 知识点 重点归纳 常见易错点 勾股定理 1.文字语言： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 注意：勾股定理的使用条件——必须是直角三角形，其他三角形是不能使用的！ 并且要确定好哪条边是斜边 2.图形语言： 3.符号语言: 勾股定理验证 方法1： 方法2： 勾股定理的验证方法采用拼图的方式，基本思想都是利用两种不同的方式表示同一图形的面积，建立等式，化简之后得到 方法3： 方法4： 常见应用 应用1：求解三角形中未知边长； 应用2：网格中绘制无理数长度线段； 应用3：数轴上绘制无理数的点； 应用4：解决实际问题中的长度问题； 应用5：求解一些最值问题； 应用6：求解一些立体几何中的长度问题； 勾股定理逆定理 1.文字语言： 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 我们习惯是用表示直角边，表示斜边，但真正到习题或考试中不一定表示直角边，不一定表示斜边 例如： 此时化简后为： 所以表示斜边 2.图形语言： 3.符号语言: 勾股定理与逆定理关系 正确理解二者的关系 勾股数 1.概念： 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数； 注意：，，要成为勾股数必须满足两个条件： 条件1：满足; 条件2：，，必须是正整数; 这里最易被忽略的是条件2，千万要注意！ 2.常用勾股数：如；；；等 3. 用含字母的代数式表示组勾股数： （为正整数）； 　（为正整数） （，为正整数）. 勾股定理解决问题步骤 1. 将实际问题抽象出几何图形，建立数学模型； 2. 确定所求线段所在的直角三角形； 能找到就直接用勾股定理解题，若找不到就添加辅助线构造直角三角形； 3. 根据勾股定理，列方程求解。 关键在找到直角三角形，设出适当的未知量，表示出三边长。 题型一 利用勾股定理求直角三角形边长 【例1】中，，则斜边的长为（  ） A．10 B． C． D． 【变式1-1】在中，，，，则的长是（    ） A． B．11 C．13 D．17 【变式1-2】如图，在中，，于点D，，． (1)求的面积； (2)求线段的长． 题型二 利用勾股定理解决折叠问题 【例2】如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，矩形边沿折痕折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，则等于（    ） A．3 B． C．5 D． 【变式2-2】如图，在长方形中，，，将沿折叠，点B落在处，与交于E，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型三 利用勾股定理解决网格中长度问题 【例3】如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为（　　） A．3 B． C．5 D． 【变式3-1】如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（   ）． A． B． C． D． 【变式3-2】如图所示，在每个边长都为1的小正方形组成的网格中，点A、B、P均为网格的格点． (1)线段的长度等于__________； (2)以点A、B、P为顶点的面积为__________； (3)仅用无刻度直尺在线段上作一个点Q，使得点Q满足． 题型四 利用勾股定理探究线段平方关系 【例4】已知：在中，，．点、在线段上． (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 【变式4-1】如图，中，． (1)图1中，若，，则边上的高的长为______； (2)在图2中尺规作图：在线段上找一点P，使得，画出点P的位置并说明理由． 【变式4-2】如图，，M，N分别是，的中点． (1)猜想与的位置关系？并证明你的猜想． (2)直接写出、、三者之间的数量关系：_______ 题型五 探究勾股定理的验证问题 【例5】我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简） 方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________； (2)将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积． (3)图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积． 【变式5-1】现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理， (1)请将证明过程补充完整：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；根据面积相等，直接得等式__________，化简最后结果是__________． (2)当时，求空白部分的面积． 【变式5-2】勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它是用代数思想解决几何问题的最重要工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦图”）就巧妙地利用面积法证明了勾股定理．    (1)如图1，用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为． ①请写出勾股定理的表达式：______． ②如图2，正方形边长为c，请你在图2中，将图1的四个三角形拼成一个能证明勾股定理的图形． (2)如图3，将两个全等的直角三角形按如图所示的方式放置，使点B、E、C在同一直线上，三角形的短直角边记为a，长直角边记为b，斜边记为c，请连结，试通过各部分图形面积之间的数量关系验证勾股定理． 题型六 以弦图为背景的探究问题 【例6】综合实践 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”．他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．在一节八上数学复习课上，老师为了弘扬中国的数学文化，和同学们开启对“赵爽弦图”的深度研究． (1)类比“弦图”，证明定理 小明同学利用四张全等的直角三角形纸片（如图1），证明勾股定理． 因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形组成，即面积表示为：，即，进而勾股定理得到了验证． 善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形的面积，也可证明勾股定理，请你和他一起证明． (2)利用“弦图”，割拼图形 如图3，老师给出由5个小正方形组成的十字形纸板，让同学们尝试剪开，使得剪成的若干块能够拼成一个无缝的大正方形，可以怎么剪？请你画出示意图． (3)构造“弦图”，应用计算 如图4，在等腰直角三角形中，，点是中点，过点作，垂足为点，交于点，若，求的长． 【变式6-1】综合与实践 探索：将边长分别为、的正方形纸片叠合在一起，如图1，你能表达出未重叠（阴影）部分的面积吗？ (1)阅读并完成下面填空：方法①：用大正方形的面积减去小正方形的面积可得到阴影部分面积为：______；方法②：将阴影分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为：．由此我们可以得到平方差公式：______．总结：上面验证平方差公式的方法我们称之为面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”． (2)巩固：如图3，如果将小正方形的一边延长，也能验证平方差公式，请完成证明． (3)拓展：如图4，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，证明：． 【变式6-2】【背景介绍】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 请你用“双求法”解决下面两个问题： (1)如图2，在中，，是边上的高，，求的长度； (2)如图3，在中，是边上的高，，设，求的值； 题型七 勾股数的概念问题 【例7】下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B．1.5，2.5，2 C．4，5，6 D．9，12，15 【变式7-1】下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．4，5，6 C．0.6，0.8，1 D．9，12，15 【变式7-2】已知． (1)当时，则以的值为三边长的三角形面积为________； (2)小安猜想：当取大于1的整数时，为勾股数，你认为小安的猜想正确吗？请说明理由． 题型八 勾股定理的实际应用问题——梯子问题 【例8】每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． (1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长； (2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端水平方向向右滑动的距离为多少米． 【变式8-1】如图，一架10米长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙米． (1)此时梯子顶端A离地面多少米？ (2)设梯子顶端到水平地面的距离为m米，底端到垂直墙面的距离为n米．若，根据经验，可知当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子顶端A下滑3米到C处，请问这时使用是否安全？ 【变式8-2】与危险相伴，与烈火为伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者——中国消防员．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为24米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方6米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米? 题型九 勾股定理的实际应用问题——大树折断问题 【例9】如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 【变式9-1】如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【变式9-2】请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来高9尺，从处折断，折断后竹子顶端点落在离竹子底端点3尺处，求折断处离地面（即）的高度是多少尺？ 题型十 勾股定理的实际应用问题——最短路径问题 【例10】如图，有一个高为，底面直径为的圆柱．在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，它从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，蚂蚁爬行的最短路程是 ． 【变式10-1】如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为 cm． 【变式10-2】如图1是一款竹木材质的二宫格托盘，从内部测得每个格子的底面均是边长为的正方形，且深为，两个格子之间的隔断厚．图2是该托盘的俯视图（即从上面看到的形状图），若一只蚂蚁从该托盘内部底面的顶点A处，经托盘隔断爬行到内部底面的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为 ． 题型十一 勾股定理的逆定理的应用——面积问题 【例11】如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【变式11-1】如图，，，，，，求这块地的面积． 【变式11-2】“一树新栽益四邻，野夫如到旧上春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形为某林场种植树林的区域，经测量，，， (1)护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径的长； (2)证明： 题型十二 勾股定理的逆定理——综合拓展 【例12】在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【变式12-1】阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值． （3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围． 【变式12-2】先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 基础巩固通关测 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组数据为勾股数的是（   ） A．9，40，41 B．9，16，20 C． D． 2．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点B处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在C处时距离地面的高度是（    ）． A． B． C． D． 第2题 第3题 3．如图，在中，，分别以和为边向外作正方形，正方形的面积分别为和．若，，则的值为（    ） A．7 B．5 C．13 D．25 4．如图，在边长为1的正方形网格中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的面积为4 D．点到的距离为2 第4题 第5题 5．如图，将长方形纸片沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，中，，，，将折叠后点恰好落在边上的点处，折痕为，，则线段的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 第6题 第8题 7．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A．B． C． D． 8．如图，是我因古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若，则正方形的边长是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，已知长方体长，宽，高．蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从A点爬到B点，则蜘蛛爬行的最短路程是（   ）． A．10 B． C． D．不能确定 10．已知是的三边，且满足，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．直角三角形的两边长为3、4，则第三边为 ． 12．能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数．请你写出三组勾股数： ． 13．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为7和22，则c的面积为 ． 第13题 第14题 14．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为 ． 15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点都是格点，在图中找一点O，使得，则的长为 ． 第15题 第16题 16．如图，把长方形沿直线向上折叠，使点C落在的位置上，已知，，则 ． 17．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为1，则图中的大正方形的边长为 ． 第17题 第18题 18．如图，数轴上点所表示的数分别是，过点作数轴，个单位长度，以为圆心，长为半径画弧交数轴上点的左侧一点，则点表示的数是 ． 19．已知在灯塔O的北偏东方向9海里处有一轮船A，在灯塔O的南偏东方向海里处有一轮船B，则A，B两船的距离是 海里． 20．边长为6，8，10的内有一点到三边的距离均为，则的值为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 21．（本题8分）在中，，，点D是的中点，点E是线段上的动点，过点E作交于点F，连接，若． (1)求证：； (2)求的长． 22．（本题8分）如图，在长方形中，，，为上的点，将沿折叠，使点落在长方形纳的点处．连接，已知． (1)求证：为直角三角形； (2)求线段的长． 23．（本题8分）第十四届国际数学教育大会于2021年在上海举办，其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，请你用等面积法探究下列问题： (1)如图2是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请用它验证勾股定理：； (2)如图3，在中，，是边上的高，，求的长度． 24．（本题8分）2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案（2022年版）》，劳动课成为一门独立的课程．某校在校园一块闲置的空地上开辟了一块四边形劳动教育基地，供同学们进行劳动实践．如图，，米，米，米，米． (1)求这块地的面积； (2)利用尺规作图法将四边形分成面积相等的两个四边形．（保留作图痕迹，写出简要的作图依据） 25．（本题8分）【问题提出】 如图1，在中，，为边上一点（不与点，重合），以为直角边在右侧做等腰直角，连接． （1）的度数为______； （2）线段，，之间有怎样的数量关系，写出并说明理由； 【类比探究】 如图2，若点在边的延长线上，其他条件不变， （3）试探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由． 能力提升进阶练 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2024·江苏南京·三模）下列各组数中是勾股数的为（    ） A． B． C．7，8，9 D． 2．（2025·湖南·模拟预测）三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的周长为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 第3题 第4题 4．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积为（   ） A．24 B．18 C．15 D．9 5．（24-25八年级上·河南郑州·期末）意大利著名画家达・芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．图①中两个正方形的边长分别为，，空白部分的面积为，图②中空白部分的面积为，下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形．图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实．如图，设每一个勾股形的两条直角边长分别为和，若，且，则黄实为（    ） A．36 B．25 C．16 D．9 7．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，的两个顶点，均在数轴上，且，，若点表示的数是，点表示的数是，那么以点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 第7题 第8题 8．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为和，则铅笔的长为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·山东青岛·期末）五根小木棒的长度分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是（   ） A．B．C． D． 10．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为（   ）．（边缘部分的厚度忽略不计） A．25 B． C．35 D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．（24-25八年级·河南郑州·月考）如图等腰三角形的底边长为，腰长为，一动点P(不与B，C重合)，在底边上从B向C以的速度移动，当P运动 秒时，三角形是直角三角形． 第11题 第12题 12．（24-25八年级上·全国·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是 ，正方形F的面积是 ，正方形G的面积是 ． 13．（24-25八年级上·山西晋中·期中）利用数形结合的思想，可以比较实数的大小．若在方格纸中构造如图所示的图形（方格纸中每个小方格的边长为1），结合图形可得 ．（填“”“”或“”） 第13题 第14题 14．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点，且D，F，G三点共线．已知，，则 ． 15．（24-25八年级上·四川成都·期中）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的，我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形、、均为正方形．若．，则正方形的面积为 ． 16．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，则的长为 ． 第16题 第17题 17．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米．当梯子的顶端沿墙面下滑 米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称． 18．（22-23八年级上·山东青岛·期中）公路和公路在点处交汇，点处有一所中学，米，点到的距离为米，假设拖拉机行驶时，周围米以内会受到噪音的影响，拖拉机以千米/时的速度在公路上沿方向行驶时，学校受影响的时间为 秒． 第18题 第19题 19．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点．在中，，D是的中点，P是射线上一个动点，当P是中A、C两个顶点的强勾股点时，则写出的长 ． 20．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，，当长为 时，为直角三角形． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 21．（本题8分）（24-25八年级上·河南郑州·期末）“一树新栽益四邻，野夫如到旧上春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形为某林场种植树林的区域，经测量，，， (1)护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径的长； (2)证明： 22．（本题8分）（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）折纸，操作简单，富有数学趣味，，现将纸片按如图1折叠，折痕为（点、分别在边上且、不与端点重合）． (1)当是以为顶角的等腰三角形时，翻折后点恰好落在边上，且（保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 23．（本题8分）（21-22八年级·江苏·假期作业）如图，在中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．   (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求证：． 24．（本题8分）（24-25八年级上·广西南宁·期中）【阅读材料】学习整式乘法时我们有这样的发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． (1)如图1，由边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形拼成的大正方形，可知大正方形的边长为，即可求得大正方形的面积．将图1大正方形看作由4个小图形拼成，则4个小图形面积之和等于大正方形的面积．即可得到一个乘法公式_____． (2)思考：爱动脑的小东通过图1的启示，发现拼图还能解决直角三角形三边的关系．如图2，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别为，，，将它们拼成一个大的正方形，中间是一个小正方形． ①由图2中你能得到，，之间的数量关系是什么？请写出你的推理过程； ②问题解决：如图3，直线为一水渠渠岸，经测量知渠岸上点到引水点的距离为12米，渠岸上点到引水点的距离为5米，且．现需在渠岸上选一点开沟，求水沟的最小值． 25．（本题8分）（24-25八年级上·福建泉州·期末）小明学习了勾股定理之后，探究“如何用一条已知线段构造一个直角三角形且使其周长恰好等于线段的长”． (1)如图1，已知线段，小明在线段上取点和，使得，，再将线段，，围成三角形，求证：所围成的三角形是直角三角形； (2)如图2，点为线段上一点，请在线段上作点，使，，恰好能构成一个直角三角形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)已知正方形、正方形的边长分别为有理数、有理数，且满足，，若正方形的面积等于正方形和正方形的面积之和，求证：正方形的边长也是有理数． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 勾股定理（复习讲义） 1. 掌握勾股定理，能利用勾股定理求直角三角形的边长； 2. 能利用拼图法验证勾股定理； 3. 知道勾股数的概念，会判断3个数是不是勾股数； 4. 掌握勾股定理的逆定理，并能利用该定理判定一个三角形为直角三角形； 5. 能利用勾股定理和勾股定理的逆定理解决生活中的实际问题； 知识点 重点归纳 常见易错点 勾股定理 1.文字语言： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 注意：勾股定理的使用条件——必须是直角三角形，其他三角形是不能使用的！ 并且要确定好哪条边是斜边 2.图形语言： 3.符号语言: 勾股定理验证 方法1： 方法2： 勾股定理的验证方法采用拼图的方式，基本思想都是利用两种不同的方式表示同一图形的面积，建立等式，化简之后得到 方法3： 方法4： 常见应用 应用1：求解三角形中未知边长； 应用2：网格中绘制无理数长度线段； 应用3：数轴上绘制无理数的点； 应用4：解决实际问题中的长度问题； 应用5：求解一些最值问题； 应用6：求解一些立体几何中的长度问题； 勾股定理逆定理 1.文字语言： 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 我们习惯是用表示直角边，表示斜边，但真正到习题或考试中不一定表示直角边，不一定表示斜边 例如： 此时化简后为： 所以表示斜边 2.图形语言： 3.符号语言: 勾股定理与逆定理关系 正确理解二者的关系 勾股数 1.概念： 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数； 注意：，，要成为勾股数必须满足两个条件： 条件1：满足; 条件2：，，必须是正整数; 这里最易被忽略的是条件2，千万要注意！ 2.常用勾股数：如；；；等 3. 用含字母的代数式表示组勾股数： （为正整数）； 　（为正整数） （，为正整数）. 勾股定理解决问题步骤 1. 将实际问题抽象出几何图形，建立数学模型； 2. 确定所求线段所在的直角三角形； 能找到就直接用勾股定理解题，若找不到就添加辅助线构造直角三角形； 3. 根据勾股定理，列方程求解。 关键在找到直角三角形，设出适当的未知量，表示出三边长。 题型一 利用勾股定理求直角三角形边长 【例1】中，，则斜边的长为（  ） A．10 B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键． 根据勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【变式1-1】在中，，，，则的长是（    ） A． B．11 C．13 D．17 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，在中，，，据此直接计算即可求解． 【详解】解：如图， 在中，，， ∴， 故选C． 【变式1-2】如图，在中，，于点D，，． (1)求的面积； (2)求线段的长． 【答案】(1)24 (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理及三角形的面积公式的运用. (1)先在中利用勾股定理求得的长，然后利用三角形的面积公式即可求解； (2)利用代入数字求值即可． 【详解】（1）解：在中，， ，， ∴， ∴， ∴的面积为24． （2）解：∵在中，，于点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴线段的长为． 题型二 利用勾股定理解决折叠问题 【例2】如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】设，则，根据勾股定理可求得，的长，从而不难求得的面积，本题考查了利用勾股定理与折叠的问题． 【详解】解：设，由折叠可知：， 在中， ， 故选：A． 【变式2-1】如图，矩形边沿折痕折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，则等于（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【知识点】矩形与折叠问题、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查的是矩形与翻折、三角形的面积公式、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．先根据三角形的面积公式求得的长，然后根据勾股定理可求得，由翻折的性质和矩形的性质可知，故此，最后在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，即． 解得：， 在中，． 由翻折的性质可知：，． ∴． 设，则． 在中，由勾股定理得：， ∴． 解得：， ∴． 故选：A． 【变式2-2】如图，在长方形中，，，将沿折叠，点B落在处，与交于E，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题 【分析】先根据翻折变换的性质得出，，再由得出，则，，设，则，再利用勾股定理求出x的值即可． 【详解】解：∵长方形中，，， ∴， ∵将沿折叠，点B落在处，与交于E， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键． 题型三 利用勾股定理解决网格中长度问题 【例3】如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为（　　） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查了勾股定理，直接根据网格的特点和勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为， 故选：D． 【变式3-1】如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理即可直接得出答案． 【详解】解：根据题意可得： 该阴影正方形的边长为：， 故选：． 【变式3-2】如图所示，在每个边长都为1的小正方形组成的网格中，点A、B、P均为网格的格点． (1)线段的长度等于__________； (2)以点A、B、P为顶点的面积为__________； (3)仅用无刻度直尺在线段上作一个点Q，使得点Q满足． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】利用网格求三角形面积、在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，网格中求三角形面积，熟知勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）利用割补法求解即可； （3）取格点C、D，连接交于Q，点Q即为所求． 【详解】（1）解：由网格的特点和勾股定理可得； （2）解：； （3）解：如图所示，取格点C、D，连接交于Q，点Q即为所求； 可证明是等腰直角三角形，则， 可证明，则可证明． 题型四 利用勾股定理探究线段平方关系 【例4】已知：在中，，．点、在线段上．    (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三线合一证明、用勾股定理解三角形、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得． 【详解】（1）证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴；    （2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．      【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 【变式4-1】如图，中，． (1)图1中，若，，则边上的高的长为______； (2)在图2中尺规作图：在线段上找一点P，使得，画出点P的位置并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理． （1）由勾股定理得，，根据，可得答案； （2）作线段的垂直平分线，交于点P，连接，由线段垂直平分线的性质可得，在中，由勾股定理得，，即可得，可知点P即为所求． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：如图2，作线段的垂直平分线，交于点P，连接， 则点P即为所求，理由如下： ∵直线为线段段的垂直平分线， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 即点P符合题意． 【变式4-2】如图，，M，N分别是，的中点． (1)猜想与的位置关系？并证明你的猜想． (2)直接写出、、三者之间的数量关系：_______ 【答案】(1)且平分，证明过程见详解； (2)． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用勾股定理证明线段平方关系、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了等腰三角形性质和直角三角形斜边上中线的应用及勾股定理，关键是求出，题目比较典型，主要考查学生运用性质进行推理的能力． （1）连接、，根据直角三角形斜边上中线性质推出，，推出，在中，根据三线合一定理求出即可； （2）根据勾股定理及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可得． 【详解】（1）解：与的位置关系是垂直且平分， 证明∶连接， ，，M为中点， ，， ， 为中点， ，， 即与的位置关系是垂直且平分； （2）解：， ， ，， ， 即． 题型五 探究勾股定理的验证问题 【例5】我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简） 方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________； (2)将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积． (3)图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积． 【答案】(1)；；； (2)； (3) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）运用等面积法计算即可； （2）先表示出阴影部分面积，再代入计算即可； （3）将风车周长表示出来，其中，再结合勾股定理求解出，最后计算面积即可． 【详解】（1）解：方法1：， 方法2：， ， 故答案为：；；； （2）解：， 当时，； （3）解：∵，外围轮廓（实线）的周长为24， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【变式5-1】现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理， (1)请将证明过程补充完整：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；根据面积相等，直接得等式__________，化简最后结果是__________． (2)当时，求空白部分的面积． 【答案】(1) (2)13 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，代数式求值，正确识图是解题的关键． （1）根据题意和图形即可求解； （2）根据空白部分的面积等于以c为边的正方形的面积减去2个直角三角形的面积可得空白部分的面积为，再把代入计算即可求解． 【详解】（1）解：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积为：， 即最后化简为； 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为； 根据面积相等，得：， 化简最后结果是， 故答案为：； （2）解：根据题意得：空白部分的面积为：， 当时，原式． 【变式5-2】勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它是用代数思想解决几何问题的最重要工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦图”）就巧妙地利用面积法证明了勾股定理．    (1)如图1，用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为． ①请写出勾股定理的表达式：______． ②如图2，正方形边长为c，请你在图2中，将图1的四个三角形拼成一个能证明勾股定理的图形． (2)如图3，将两个全等的直角三角形按如图所示的方式放置，使点B、E、C在同一直线上，三角形的短直角边记为a，长直角边记为b，斜边记为c，请连结，试通过各部分图形面积之间的数量关系验证勾股定理． 【答案】(1)① ；②见解析 (2)见解析 【知识点】勾股定理的证明方法、用勾股定理解三角形、全等三角形的性质 【分析】本题是四边形综合题，考查全等三角形的性质，勾股定理，四边形面积，解决本题的关键是掌握勾股定理． （1）①根据勾股定理即可解决问题；②结合①画出图形即可； （2）连结、，证明，根据四边形的面积列出等式即可解决问题． 【详解】（1）解：①勾股定理的表达式：， 故答案为：； ②如图2，即为所求；    （2）证明：如图3，连结、，    由题意可知：， ，，，， ， ， ， ， ． ． ， ， ， ， ， ． 题型六 以弦图为背景的探究问题 【例6】综合实践 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”．他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．在一节八上数学复习课上，老师为了弘扬中国的数学文化，和同学们开启对“赵爽弦图”的深度研究． (1)类比“弦图”，证明定理 小明同学利用四张全等的直角三角形纸片（如图1），证明勾股定理． 因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形组成，即面积表示为：，即，进而勾股定理得到了验证． 善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形的面积，也可证明勾股定理，请你和他一起证明． (2)利用“弦图”，割拼图形 如图3，老师给出由5个小正方形组成的十字形纸板，让同学们尝试剪开，使得剪成的若干块能够拼成一个无缝的大正方形，可以怎么剪？请你画出示意图． (3)构造“弦图”，应用计算 如图4，在等腰直角三角形中，，点是中点，过点作，垂足为点，交于点，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析， (3)9 【知识点】以弦图为背景的计算题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）依据题意，四边形的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式进行表示；从组成来看，由三个直角三角形组成．应利用三角形的面积公式来进行表示； （2）由5个小正方形组成的十字形纸板得，拼成的大正方形边长应为，由此可得出要沿宽为1，长为2的长方形对角线剪开，才能形成边长为，然后沿垂直于该对角线的一端点再剪一刀，形成虚线部分的三块，分别将这三块放在实线部分，这样就形成了四个边长为，且有一个角的四边形即符合题意要求的正方形； （3）依据题意，过B作交的延长线于点，先证明，从而，再由是的中点，可得，故，又，可得，取的中点为，的中点为，连，构造中位线，证出，，进而可证出得到，最后结合，求出后即可判断得解． 【详解】（1）证明：由题意，图中的四边形为直角梯形，为等腰直角三角形，和的形状和大小完全一样， 设梯形的面积为，则 ， 又， ， ． （2）由题意，把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图）剪开，可拼成一个大正方形． ， （3）由题意，过B作交的延长线于点G，取的中点为，的中点为，连， ， ， ， ． ． 又，， ． ． 又是的中点， ． ． ， ， 的中点为，的中点为， ，， ，， ，， ， ， 又， ， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方式、 全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，解题时要熟练掌握并能读懂题意，找出关键图形是关键． 【变式6-1】综合与实践 探索：将边长分别为、的正方形纸片叠合在一起，如图1，你能表达出未重叠（阴影）部分的面积吗？ (1)阅读并完成下面填空：方法①：用大正方形的面积减去小正方形的面积可得到阴影部分面积为：______；方法②：将阴影分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为：．由此我们可以得到平方差公式：______．总结：上面验证平方差公式的方法我们称之为面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”． (2)巩固：如图3，如果将小正方形的一边延长，也能验证平方差公式，请完成证明． (3)拓展：如图4，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，证明：． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【知识点】以弦图为背景的计算题、勾股定理的证明方法、完全平方公式在几何图形中的应用、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的几何背景，全等图形，结合图形求得等式是解题的关键． （1）方法①：用大正方形的面积减小正方形的面积可得到阴影部分面积； 方法②：将阴影部分割成2个梯形，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为．由此得到平方差公式； （2）用表示阴影部分面积，进而能验证平方差公式； （3）大正方形由四个全等的直角三角形的面积加上一个小正方形的面积，进而可以证明：． 【详解】（1）方法①：用大正方形的面积减小正方形的面积可得到阴影部分面积为：；   方法②：将阴影部分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为．   由此我们可以得到平方差公式：；   故答案为：；； （2）证明：如图3， 方法①：， 方法②：， ； （3）证明：如图4， 大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为， 方法①：大正方形的边长为，所以， 方法②：， 所以， ． 【变式6-2】【背景介绍】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 请你用“双求法”解决下面两个问题： (1)如图2，在中，，是边上的高，，求的长度； (2)如图3，在中，是边上的高，，设，求的值； 【答案】(1) (2)9 【知识点】用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）由勾股定理得到，根据等面积法即可求解； （2）在中，由勾股定理，得 ，在中，由勾股定理，得，由此列式即可求解． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理，得， ∵， ∴， 解得，； （2）解：在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得， ∴， 整理得，， 解得，． 题型七 勾股数的概念问题 【例7】下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B．1.5，2.5，2 C．4，5，6 D．9，12，15 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数问题，若三个正整数满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，那么这三个数是勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； B，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； C，，不是勾股数，不符合题意； D，因为，所以是勾股数，符合题意． 故选：D． 【变式7-1】下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．4，5，6 C．0.6，0.8，1 D．9，12，15 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数，判断是否为勾股数，必须满足都是正整数，且两条较短线段的平方和等于较长线段的平方这两个条件．根据勾股数的定义进行逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； B、，不是勾股数，不符合题意； C、0.6，0.8，1不是正整数，不是勾股数，不符合题意； D、，是勾股数，符合题意； 故选：D． 【变式7-2】已知． (1)当时，则以的值为三边长的三角形面积为________； (2)小安猜想：当取大于1的整数时，为勾股数，你认为小安的猜想正确吗？请说明理由． 【答案】(1)6 (2)小安的猜想正确，见解析 【知识点】勾股树（数）问题、整式的混合运算 【分析】本题考查的是勾股数，整式的混合运算，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题关键． （1）根据勾股定理的逆定理得到以，，的值为三边长的三角形是直角三角形，根据三角形面积公式计算即可； （2）根据勾股数的概念判断即可． 【详解】（1）解：当时，，，， ， 以，，的值为三边长的三角形是直角三角形，面积为：， 故答案为：6； （2）解：小安的猜想正确， 理由如下：， ， ， 当取大于1的整数时，，，为勾股数， 小安的猜想正确． 题型八 勾股定理的实际应用问题——梯子问题 【例8】每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． (1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长； (2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端水平方向向右滑动的距离为多少米． 【答案】(1)云梯顶端与墙角的距离的长为 (2)云梯底端在水平方向上滑动的距离为 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理即可得到求解； （2）在中，根据勾股定理求出，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，，， 由勾股定理得， 即， 解得：； 答：云梯顶端与墙角的距离的长为； （2）解：，， ， 在中，，， 由勾股定理得， 即， 解得：， ， ． 答：云梯底端在水平方向上滑动的距离为． 【变式8-1】如图，一架10米长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙米． (1)此时梯子顶端A离地面多少米？ (2)设梯子顶端到水平地面的距离为m米，底端到垂直墙面的距离为n米．若，根据经验，可知当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子顶端A下滑3米到C处，请问这时使用是否安全？ 【答案】(1)此时梯子顶端离地面8米 (2)使用不安全 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出的长即可； （2）先由题意求得的长，由勾股定理求出的长，从而可求出a的值，再当时，梯子最稳定，使用时最安全，比较即可求解． 【详解】（1）解：因为，米，米， 所以（米）． 答：此时梯子顶端离地面8米； （2）解：因为梯子顶端下滑了3米到处， 所以梯子距离地面的高度（米）， 所以（米）， 所以， 因为当时，梯子最稳定，使用时最安全， 又，即． 所以这时使用不安全． 【变式8-2】与危险相伴，与烈火为伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者——中国消防员．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为24米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方6米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米? 【答案】(1)米； (2)米． 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． （1）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （2）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， 米，米， 米 （米）． 答：处与地面的距离是米； （2）在中， 米，（米）， 米 （米）． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 题型九 勾股定理的实际应用问题——大树折断问题 【例9】如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 【答案】(1)旗杆距地面处折断 (2)在距离旗杆底部米处有被砸伤的风险 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，熟练的从实际问题中构建直角三角形是解本题的关键． （1）设长为，则长，再利用勾股定理建立方程即可； （2）先画出图形，再求解，，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：由题意，知． 因为， 设长为，则长， 则， 解得． 故旗杆距地面处折断； （2）解：如图： 因为点P距地面， 所以， 所以， 则距离旗杆底部周围的范围内有被砸伤的风险， 所以在距离旗杆底部处有被砸伤的风险． 【变式9-1】如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用)、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 【变式9-2】请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来高9尺，从处折断，折断后竹子顶端点落在离竹子底端点3尺处，求折断处离地面（即）的高度是多少尺？ 【答案】4 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先设，可得，再根据勾股定理得，求出解即可． 【详解】解：根据题意可知， 设，则，根据勾股定理得 ， 解得． 所以折断处离地面的高度是4尺． 题型十 勾股定理的实际应用问题——最短路径问题 【例10】如图，有一个高为，底面直径为的圆柱．在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，它从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，蚂蚁爬行的最短路程是 ． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将圆柱侧面展开，利用勾股定理求解出点A到点B的最短距离即可得到答案． 【详解】解：由题意侧面展开得到下图所示： ∵底面直径为，高为， ∴，， ∴， ∴它从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，蚂蚁爬行的最短路程是， 故答案为：． 【变式10-1】如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为 cm． 【答案】25 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，将立体图形展开在平面中求解是解题的关键．先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示，将长方体的侧面展开在同一平面内， 由题意，得，， 在中，由勾股定理得：， 解得：负值已舍去 故答案为： 【变式10-2】如图1是一款竹木材质的二宫格托盘，从内部测得每个格子的底面均是边长为的正方形，且深为，两个格子之间的隔断厚．图2是该托盘的俯视图（即从上面看到的形状图），若一只蚂蚁从该托盘内部底面的顶点A处，经托盘隔断爬行到内部底面的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为 ． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了由从不同方向看几何体以及勾股定理等知识点，掌握长方体的展开图特点是解答本题的关键．根据长方体的展开图以及勾股定理解答即可． 【详解】解：如图所示，把包含A．B两点的两个格子及其隔断展开成一个平面图形， 此时，蚂蚁爬行最短距离为线段长度， 由勾股定理得，， 故答案为：． 题型十一 勾股定理的逆定理的应用——面积问题 【例11】如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状是解题的关键． 先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：连结， ∵，，， ∴， 在中，， ∴是直角三角形， ∴． 【变式11-1】如图，，，，，，求这块地的面积． 【答案】这块地的面积为 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，难度不大，解答此题的关键是连接，求出三角形的面积，再减去三角形的面积即可． 连接，由，，，利用勾股定理可求出的长，再根据，，利用勾股定理的逆定理可证，即可求出这块地的面积． 【详解】解：连结， 在中，，，， ∴， ， 在中 ，，， ∴， ∴， ∴ ， 答：这块地的面积为 【变式11-2】“一树新栽益四邻，野夫如到旧上春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形为某林场种植树林的区域，经测量，，， (1)护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径的长； (2)证明： 【答案】(1)无人机飞行路径的长为 (2)见解析 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理的逆定理证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 答：无人机飞行路径的长为； （2）证明：，， ， 是直角三角形，且， 题型十二 勾股定理的逆定理——综合拓展 【例12】在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 【变式12-1】阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值． （3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围． 【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析 【知识点】三角形三边关系的应用、勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x2的值； （3）分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x2=169， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x2=119， 故x2的值为169或119； （3）∵a=2，b=4， ∴， ∴， 若△ABC是钝角三角形， 则或， 则或， ∴或； 若△ABC是直角三角形， 则或， 则或； 若△ABC是锐角三角形， 则或， 则或， ∴． 【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键． 【变式12-2】先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 【答案】（1），，；（2）直角三角形，见解析；（3） 【知识点】数字类规律探索、勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】（1）根据已知数据即可得到结果； （2）根据勾股定理判断即可； （3）根据题意可得出，，，在根据勾股定理计算即可； 【详解】（1）∵第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； ， ∴第组：，，． （2）直角三角形； 证明：为正整数， ． 以，，为三边的三角形是直角三角形． （3），，为上列按已知方式排列顺序的某一组数， 这组数为第九列：，，， 即，，． ， ． ，， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和找规律，准确分析计算是解题的关键． 基础巩固通关测 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组数据为勾股数的是（   ） A．9，40，41 B．9，16，20 C． D． 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，熟悉相关性质是解题的关键． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，符合题意； B、，不能构成三角形，故不是勾股数，不符合题意； C、，能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意， 故选：A． 2．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点B处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在C处时距离地面的高度是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，，     ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 3．如图，在中，，分别以和为边向外作正方形，正方形的面积分别为和．若，，则的值为（    ） A．7 B．5 C．13 D．25 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意得出，再由勾股定理得出，从而可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，在边长为1的正方形网格中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的面积为4 D．点到的距离为2 【答案】C 【知识点】点到直线的距离、勾股定理与网格问题、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离等知识点，利用勾股定理求出长可判定A，利用勾股定理及其逆定理判定B，利用网格图计算三角形的面积可判定C，利用面积公式求出边的高，即可利用点到直线的距离判定D，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】A．∵，∴，正确，不符合题意； B．∵，，， ∴，∴，正确，不符合题意； C．，原结论错误，符合题意； D．点A到的距离，正确，不符合题意； 故选：C． 5．如图，将长方形纸片沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），长方形的性质，勾股定理等知识点，根据长方形的性质得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定理即可得到结论，解题关键是熟练掌握折叠的性质及勾股定理． 【详解】∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵将长方形沿着折叠，点D落在边上的点F处， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 6．如图，中，，，，将折叠后点恰好落在边上的点处，折痕为，，则线段的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】此题考查勾股定理和折叠问题，设，由折叠可知，，求出，由勾股定理得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，由折叠可知，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即线段的长为， 故选：C 7．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项． 【详解】解：A．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意． C．∵．∴整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：B． 8．如图，是我因古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若，则正方形的边长是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质、用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查勾股弦图、全等三角形的性质，勾股定理的知识点，掌握勾股弦图的结构是解题关键． 根据三角形全等性质得出，，再根据勾股定理求出，然后线段的和差即可解答． 【详解】解：∵正方形为四个全等的直角三角形拼接而成， ∴，， 在中，由勾股定理， ∴，即正方形的边长是7． 故选C． 9．如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，已知长方体长，宽，高．蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从A点爬到B点，则蜘蛛爬行的最短路程是（   ）． A．10 B． C． D．不能确定 【答案】A 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，分别把长方体沿长，宽，高展开，画出对应的示意图，利用勾股定理求出三种情况下的长，比较即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当沿着高把长方体展开时， 在中，， ∴； 如图所示，当沿着长把长方体展开时， 在中，， ∴； 如图所示，当沿着宽把长方体展开时， 在中，， ∴； ∵， ∴沿着长方体的表面从A点爬到B点，则蜘蛛爬行的最短路程是， 故选：C． 10．已知是的三边，且满足，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定以及非负数的性质，熟练掌握非负数的性质以及勾股定理的逆定理等知识是解题的关键． 根据非负数的性质可得关于的等式，继而可得，根据均大于零，且，继而可得，综合两种情况，可判断出的形状． 【详解】解：∵均大于零， ∴且， 又∵，即 故第一种情况，即， ∴是等腰三角形， 第二种情况， ∴是直角三角形 ∴等腰三角形或直角三角形 故选：． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．直角三角形的两边长为3、4，则第三边为 ． 【答案】5或 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么．分两种情况，边长为4的边是直角边，边长为4的边是斜边，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：当边长为4的边是直角边时，第三边为：， 边长为4的边是斜边时，第三边为：． 故答案为：5或． 12．能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数．请你写出三组勾股数： ． 【答案】3，4，5；6，8，10；5，12，13 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数，比较简单．满足的三个正整数，称为勾股数，满足这个条件的三个正整数有很多组，随便填3组则可． 【详解】解：∵，，， ∴三组勾股数可以是：3，4，5；6，8，10；5，12，13． 故答案为：3，4，5；6，8，10；5，12，13． 13．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为7和22，则c的面积为 ． 【答案】15 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．由“”可证，可得，由勾股定理可得c的面积b的面积a的面积即可得到答案． 【详解】解：如图， 三个正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ∵，即， 根据勾股定理的几何意义，的面积的面积的面积， 的面积的面积的面积． 故答案为：． 14．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，先计算，，，再进一步解答即可． 【详解】解：设小正方形边长为1，连接，由勾股定理可得： ，，， ∴且， ∴是等腰直角三角形，． 故答案为： 15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点都是格点，在图中找一点O，使得，则的长为 ．    【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质与判定，勾股定理的应用，先利用网格特点画出点，再利用勾股定理计算即可. 【详解】解：如图，    ∵， ∴在线段的垂直平分线上， ∴， 故答案为：． 16．如图，把长方形沿直线向上折叠，使点C落在的位置上，已知，，则 ． 【答案】 【知识点】根据等角对等边证明边相等、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的判定以及勾股定理；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．先根据折叠的性质得到，再由得到，则，可判断；设，则，然后在中利用勾股定理得到，再解方程即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 是由折叠得到， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 即的长为， ． 故答案为：． 17．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为1，则图中的大正方形的边长为 ． 【答案】 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】此题考查了正方形的面积和边长、求算术平方根等知识，根据题意得到大正方形的面积为，利用正方形的面积和算术平方根即可求出答案． 【详解】解：根据题意可得，大正方形的面积为， ∴图中的大正方形的边长为， 故答案为： 18．如图，数轴上点所表示的数分别是，过点作数轴，个单位长度，以为圆心，长为半径画弧交数轴上点的左侧一点，则点表示的数是 ． 【答案】 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理可得，进而即可求解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：∵数轴， ∴， ∵数轴上点所表示的数分别是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：． 19．已知在灯塔O的北偏东方向9海里处有一轮船A，在灯塔O的南偏东方向海里处有一轮船B，则A，B两船的距离是 海里． 【答案】 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查的是方向角问题及勾股定理，根据方向角得到直角，结合勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，，，， ， ∴， ∴， 故答案为：． 20．边长为6，8，10的内有一点到三边的距离均为，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，利用直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵62+82=102， ∴△ABC是直角三角形， ∵△ABC内有一点P到三边的距离均为m， ∴×6×m+×8×m+×10×m＝×6×8， ∴m=2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形解答． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 21．（本题8分）在中，，，点D是的中点，点E是线段上的动点，过点E作交于点F，连接，若． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4.5 【知识点】等边对等角、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知勾股定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，证明，根据垂直的定义即可得证； （2）根据勾股定理可得，再由三线合一定理得到，则可利用勾股定理求出的长，进而得到，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，， ， ， ； （2）解：， ， ，点是的中点， ，， ， ， ， 在中，， ， 解得：． 22．（本题8分）如图，在长方形中，，，为上的点，将沿折叠，使点落在长方形纳的点处．连接，已知． (1)求证：为直角三角形； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)2． 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理以及勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由折叠得，结合故，即可作答． （2）由折叠，可知．得证三点共线．再，则，结合勾股定理列式，再代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）证明：由折叠，可知． ∵且， ∴． 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形． （2）解：由折叠，可知． ∵， ∴， ∴三点共线． 设，则， ∵， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即． 解得． 即线段的长为2． 23．（本题8分）第十四届国际数学教育大会于2021年在上海举办，其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，请你用等面积法探究下列问题： (1)如图2是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请用它验证勾股定理：； (2)如图3，在中，，是边上的高，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理、以弦图为背景的计算题、等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先用两种方法表示出图形的面积，然后整理即可； （2）由勾股定理可得，再运用等面积的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵外面大正方形的面积，里面小正方形的面积个直角三角形的面积， ∴，整理，得． （2）解：在中，，， 由勾股定理，得：， 是边上的高， ， ∴． 24．（本题8分）2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案（2022年版）》，劳动课成为一门独立的课程．某校在校园一块闲置的空地上开辟了一块四边形劳动教育基地，供同学们进行劳动实践．如图，，米，米，米，米． (1)求这块地的面积； (2)利用尺规作图法将四边形分成面积相等的两个四边形．（保留作图痕迹，写出简要的作图依据） 【答案】(1)234 (2)见解析 【知识点】根据三角形中线求面积、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理证明，四边形的面积的面积的面积； （2）作线段的垂直平分线，垂足为，连接，即可． 【详解】（1）解：如图，连接． ，米，米， ， 米，米， ， ， 四边形的面积（平方米）； （2）解：如图，作图找到的中点， ， ， 四边形，四边形的面积相等． 25．（本题8分）【问题提出】 如图1，在中，，为边上一点（不与点，重合），以为直角边在右侧做等腰直角，连接． （1）的度数为______； （2）线段，，之间有怎样的数量关系，写出并说明理由； 【类比探究】 如图2，若点在边的延长线上，其他条件不变， （3）试探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）证明，得到，利用角的和差关系进行求解即可； （2）根据全等三角形的性质，结合线段的和差关系即可得出结论； （3）证明，求出为直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∴； ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴． 能力提升进阶练 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2024·江苏南京·三模）下列各组数中是勾股数的为（    ） A． B． C．7，8，9 D． 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数的知识，理解勾股数的定义是解题关键．勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ∵，，又∵，∴不是勾股数，不符合题意； B.∵ 不是正整数，∴不是勾股数，不符合题意； C. ∵，，又∵，∴7，8，9不是勾股数，不符合题意； D. ∵，∴是勾股数，符合题意． 故选：D． 2．（2025·湖南·模拟预测）三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，勾股数问题，观察可知本原勾股数的第一个数是从3开始的连续的奇数，且第一个数的平方等于第二个数加上第三个数，并且第三个数等于第二个数加1，据此规律求解即可． 【详解】解：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 9，40，41…， …．．， 以此类推，可知，第n组本原勾股数的第一个数为，且第三个数比第二个数大1，且第二个数和第三个数的和等于第一个数的平方， 设第n组本原勾股数的第二个数为，则第三个数为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的周长为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，由三角形周长计算公式可推出，设，则，由勾股定理得，解方程可得，由线段垂直平分线的性质可得到，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解；∵的周长为12， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴的周长， 故选：C． 4．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积为（   ） A．24 B．18 C．15 D．9 【答案】D 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，设，根据折叠的性质得，则，然后根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式求出答案． 【详解】解：设， 根据折叠的性质得， ∴， ∵根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴阴影部分的面积． 故选：D． 5．（24-25八年级上·河南郑州·期末）意大利著名画家达・芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．图①中两个正方形的边长分别为，，空白部分的面积为，图②中空白部分的面积为，下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图形可知，，然后即可判断哪个选项符合题意； 【详解】解：由图可得：，； 故选：A． 6．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形．图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实．如图，设每一个勾股形的两条直角边长分别为和，若，且，则黄实为（    ） A．36 B．25 C．16 D．9 【答案】D 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等图形，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设大正方形的边长为，则大正方形的面积为，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】设大正方形的边长为，则大正方形的面积为，根据勾股定理的， ∴黄实的面积为． 故选：D． 7．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，的两个顶点，均在数轴上，且，，若点表示的数是，点表示的数是，那么以点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，两点间的距离求出的长，勾股定理求出的长，再利用两点间的距离求出点D 表示的数即可． 【详解】解：∵点 A 表示的数是，点 C表示的数是， ∴， ∵ ∴，， 由作图可知：， ∴点 表示的数是； 故选：A． 8．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为和，则铅笔的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方；第二个笔筒中：直径平方；因直径相等，列方程即可求解． 【详解】解：设铅笔长度为， ， 解得，， 故铅笔的长为； 故选：C． 9．（24-25八年级上·山东青岛·期末）五根小木棒的长度分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答． 【详解】解：，，，，， ，， 以，，三根木棒能摆成直角三角形，以，，三根木棒能摆成直角三角形， 故选：C 10．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为（   ）．（边缘部分的厚度忽略不计） A．25 B． C．35 D． 【答案】A 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为的半圆的弧长，矩形的长等于． 【详解】解：将半圆柱展开，如图：，，， ， ∴， 解得（负值舍去），即他滑行的最短距离约为． 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．（20-21八年级下·河南郑州·期中）如图等腰三角形的底边长为，腰长为，一动点P(不与B，C重合)，在底边上从B向C以的速度移动，当P运动 秒时，三角形是直角三角形． 【答案】或4 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法． 先利用等腰三角形“三线合一”求出、以及边上的高，再分别讨论和为直角的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下的长，即可求出所需时间． 【详解】解：如图，作， ∵， ∴， 当点P运动到与点D重合，即为直角时，是直角三角形， 此时， ∴运动时间为(秒)； 当时，设 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 所以运动时间为(秒)； 综上可得：当P运动4秒或秒时，是直角三角形； 故答案为：或4． 12．（24-25八年级上·全国·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是 ，正方形F的面积是 ，正方形G的面积是 ． 【答案】 8 5 13 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解题的关键是熟练应用勾股定理求得正方形的边长．先由正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，得到对应的边长分别为，然后利用勾股定理求得正方形的边长分别为，从而求得正方形和的面积，正方形的边长，即可得到正方形的面积． 【详解】解：正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3， 正方形A，B，C，D的边长分别为， 由勾股定理得，正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的面积为8，正方形的面积为5，正方形的边长为， 正方形的面积为13， 故答案为：8，5，13． 13．（24-25八年级上·山西晋中·期中）利用数形结合的思想，可以比较实数的大小．若在方格纸中构造如图所示的图形（方格纸中每个小方格的边长为1），结合图形可得 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】实数的大小比较、三角形三边关系的应用、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，比较实数的大小关系，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上知识点． 根据勾股定理得出三角形的三边长，再利用三角形的三边关系即可得出结果； 【详解】解：根据图象得，画出的三角形的三边长分别为：， 根据三角形的三边关系可得：， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点，且D，F，G三点共线．已知，，则 ． 【答案】/ 【知识点】三角形内角和定理的应用、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质， 勾股定理，三角形内角和，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 先根据折叠的性质得到，，，，再利用得到，所以，设，则，根据勾股定理得到，然后解方程即可． 【详解】解：，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点， ，，，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得， 即的长为 故答案为： 15．（24-25八年级上·四川成都·期中）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的，我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形、、均为正方形．若．，则正方形的面积为 ． 【答案】169 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、勾股定理的证明方法、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：四边形、、均为正方形， ，，， ， ， ， 在中，， ， ， 正方形的面积为， 故答案为：169． 16．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确得出是解题的关键． 【详解】解：如图， 在直角中，由勾股定理得， ， ， 将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形， ， ， ， ． 故答案为：． 17．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米．当梯子的顶端沿墙面下滑 米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称． 【答案】1.7 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称的性质以及勾股定理的应用，正确求出的长是关键． 根据勾股定理可得的长，再根据轴对称的性质可得，再用减去可得答案． 【详解】解：由题意得：(米)， 梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称， 米， (米)， 即当梯子的顶端沿墙面下滑米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称． 故答案为：． 18．（22-23八年级上·山东青岛·期中）公路和公路在点处交汇，点处有一所中学，米，点到的距离为米，假设拖拉机行驶时，周围米以内会受到噪音的影响，拖拉机以千米/时的速度在公路上沿方向行驶时，学校受影响的时间为 秒． 【答案】 【知识点】三线合一、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，找出拖拉机会影响学校的路段的长度，再根据“时间路程速度”求解即可．熟练掌握勾股定理及题目情景是解本题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：如图所示，为点到直线的距离即，，，为拖拉机会影响学校的路段， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵拖拉机以千米/时的速度在公路上沿方向行驶时， 又∵， ∴， ∴学校受影响的时间为秒． 故答案为：． 19．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点．在中，，D是的中点，P是射线上一个动点，当P是中A、C两个顶点的强勾股点时，则写出的长 ． 【答案】4或16 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理及逆定理的应用，新定义“强勾股点”，直角三角形斜边中线的性质等知识；解题关键是对新定义概念的性质运用，并注意运用分类讨论的思想． 分两种情况：点是两个顶点的强勾股点时，且点在内，点是两个顶点的强勾股点时，且点在外，由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案； 【详解】解：∵是的中点， ， 若点是两个顶点的强勾股点时，且点在内，如图， ∵为的中点，， ， ， ， ； 若点是两个顶点的强勾股点时，且点在外，如图， ∵为的中点， ， ， 综上所述，的长为4或16． 故答案为：4或16． 20．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，，当长为 时，为直角三角形． 【答案】或或 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作于， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，   ， ， 当为直角三角形时，， 即， 解得，； 同理可得：当时， 由勾股定理得，， ， ， ∴， ∴， 解得：； 当时， 由得：， 解得：， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 21．（本题8分）（24-25八年级上·河南郑州·期末）“一树新栽益四邻，野夫如到旧上春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形为某林场种植树林的区域，经测量，，， (1)护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径的长； (2)证明： 【答案】(1)无人机飞行路径的长为 (2)见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理的逆定理证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 答：无人机飞行路径的长为； （2）证明：，， ， 是直角三角形，且， 22．（本题8分）（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）折纸，操作简单，富有数学趣味，，现将纸片按如图1折叠，折痕为（点、分别在边上且、不与端点重合）．    (1)当是以为顶角的等腰三角形时，翻折后点恰好落在边上，且（保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题 【分析】（1）作的平分线交于，再作线段的垂直平分线分别交于，，则为所求作； （2）连接；设，则，在中由勾股定理建立方程求出的值，再在中由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：作图如下：作的平分线交于，再作线段的垂直平分线分别交于，，则关于对称，且是等腰三角形，，则为所求作折痕；    （2）解：如图，连接；    设， ∵是等腰三角形， ∴； 由折叠知，， ∴； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： 【点睛】此题考查了折叠的性质、勾股定理、线段垂直平分线的作图和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，准确作图是解题的关键． 23．（本题8分）（21-22八年级·江苏·假期作业）如图，在中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求证：． 【答案】(1)为等腰直角三角形，理由见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问正确作出辅助线是关键． （1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，得垂直平分，则，再利用即可证明； （2）在上取一点H，使，连接，证明，得，，由等腰三角形三线合一的性质得，最后由勾股定理和等量代换可得结论． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）解：在上取一点H，使，连接，    ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 中，由勾股定理得：， ∴． 24．（本题8分）（24-25八年级上·广西南宁·期中）【阅读材料】学习整式乘法时我们有这样的发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． (1)如图1，由边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形拼成的大正方形，可知大正方形的边长为，即可求得大正方形的面积．将图1大正方形看作由4个小图形拼成，则4个小图形面积之和等于大正方形的面积．即可得到一个乘法公式_____． (2)思考：爱动脑的小东通过图1的启示，发现拼图还能解决直角三角形三边的关系．如图2，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别为，，，将它们拼成一个大的正方形，中间是一个小正方形． ①由图2中你能得到，，之间的数量关系是什么？请写出你的推理过程； ②问题解决：如图3，直线为一水渠渠岸，经测量知渠岸上点到引水点的距离为12米，渠岸上点到引水点的距离为5米，且．现需在渠岸上选一点开沟，求水沟的最小值． 【答案】(1)（完全平方和公式） (2)①，理由见详解；②水沟的最小值为米 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查乘法公式与几何图形面积的计算，全等三角形的性质，勾股定理的运用，理解图示中面积的计算，掌握乘法公式，勾股定理的计算是解题的关键． （1）根据大正方形的面积与图形中个部分面积的关系即可求解； （2）①根据题意可得，则有，，，，根据图形面积的计算方法得到，，，最后根据，代入计算即可求解；②运用勾股定理可得米，根据点到直线垂线段最短，过点作，此时的值最小，由，即可求解． 【详解】（1）解：根据图示可得， 故答案为：（完全平方公式）； （2）解：①，理由如下， 有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别为，，， ∴， ∴，，， ∴， ∵，，，， ∴， 整理得，； ②根据题意，（米），（米），， ∴（米）， 根据点到直线垂线段最短， ∴过点作，此时的值最小， ∵， ∴（米）， ∴水沟的最小值为米． 25．（本题8分）（24-25八年级上·福建泉州·期末）小明学习了勾股定理之后，探究“如何用一条已知线段构造一个直角三角形且使其周长恰好等于线段的长”． (1)如图1，已知线段，小明在线段上取点和，使得，，再将线段，，围成三角形，求证：所围成的三角形是直角三角形； (2)如图2，点为线段上一点，请在线段上作点，使，，恰好能构成一个直角三角形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)已知正方形、正方形的边长分别为有理数、有理数，且满足，，若正方形的面积等于正方形和正方形的面积之和，求证：正方形的边长也是有理数． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、作线段(尺规作图)、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）分别算出每个线段的长度，再运用勾股逆定理进行验证，即可作答． （2）以点为圆心，的长为半径，画弧交线段于一点，即，再分别以点和为圆心，画弧，交于一点D，连接，直线是的垂直平分线，即在的上方的处取一点E，使得，连接，再作的垂直平分线，与交于一点F，再以点为圆心，为半径画弧，交线段于一点，即为点，则，，在，则，所以，即可作答． （3）先设正方形C的边长为，则，因为，所以，则，整理得，结合，故，因为，所以，结合都是有理数，即正方形C的边长为有理数． 本题考查了完全平方公式以及勾股逆定理，垂直平分线的性质，第（2）问难度较大，对学生的尺规作图能力有一定的要求，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴以线段，，围成三角形，所围成的三角形是直角三角形； （2）解：依题意，使，，恰好能构成一个直角三角形，如图所示： （3）解：设正方形C的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵都是有理数， ∴也是有理数， 即正方形C的边长为有理数． 2 / 85 学科网（北京）股份有限公司 $$