专题25.1 锐角的三角比的意义（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级上册

专题25.1 锐角的三角比的意义 教学目标 1. 理解锐角三角比的几何意义； 2. 会求一个锐角的锐角三角比； 3. 掌握锐角三角比是否会随角度变化。 4. 知道锐角三角比的取值范围。。 教学重难点 1.重点 （1）由特殊到一般情形，引出一个锐角的正切、余切，正弦、余弦； （2）求一个锐角的锐角三角比； （3）了解一些锐角的三角比之间的特殊关系； 2.难点 （1）辨析锐角的三角比概念，并知道及其几何意义； （2）探索锐角的三角比之间的关系、取值范围等； 知识点1 锐角的三角比 一、锐角的三角比—正切、余切 Ⅰ、先看特殊情景： ①在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30,则 ②在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60,则 思考：对于一个直角三角形，如果给定了它的一个锐角的大小，那么它的对边与邻边的比值是否是一个确定的值? Ⅱ、再看一般情景： 如图所示，任意画一个锐角A,在角A的一边上任意取点，例如取B1、B2、B3三点，再分别过这三个点向另一边作垂线，垂足依次为点C1、C2、C3,从而得到三个直角三角形，即△AB1C1、△AB2C2和△AB3C3 因为这三个直角三角形有公共的锐角A,所以△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3 于是得 由此可见，如果给定直角三角形的一个锐角，那么这个锐角的对边与邻边的长度的比值就是一个确定的数. Ⅲ、 如图，当直角三角形中一个锐角的大小变化时，这个锐角的对边与邻边的长度的比值随着变化吗? 提示：比较∠DAC、∠EAC的对边与邻边的比值来确定是否变化。 Ⅳ、 通过上面的讨论，可以得到：如图,在Rt△ABC中 (∠C=90°),当锐角A的大小确定后，不论Rt△ABC的边长怎样变化，∠A的对边BC与邻边AC的比值总是确定的，即 我们把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正弦.锐角A的正切记作tanA, 同理，在Rt△ABC中 (∠C=90°),当锐角A的大小确定后，不论Rt△ABC的边长怎样变化，∠A的邻边BC与斜边AB的比值也总是确定的 我们把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余弦.锐角A的余切记作cotA, . 我们把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦.锐角A的正弦记作sinA, 同理，在Rt△ABC中 (∠C=90°),当锐角A的大小确定后，不论Rt△ABC的边长怎样变化，∠A的邻边BC与斜边AB的比值也总是确定的 我们把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦.锐角A的余弦记作cosA, 【即学即练】 1．如图，在 中，．（1）斜边 ；（2） 的对边 ；（3） 的邻边 ；（4） ． 2．在中，，那么锐角的正弦等于（      ） A． B． C． D．． 3．在Rt△ABC中，如果，那么表示的(        ) A．正弦 B．正切 C．余弦 D．余切 4．在中，．当确定时，它的正弦值是否随之确定？余弦值呢？正切值呢？为什么？ 5．在中，，于点D，下列式子表示B错误的是　　 A． B． C． D． 知识点2 锐角三角比的值的关系、比值范围 1.由正切、余切的意义可以得到， 2. 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比 3.任何一个锐角的三角比的值都是正实数，其中正弦和余弦的值小于1(为什么?). 0<sinA<1,0<cosA<1. 提示：我们可以画一个三角形，已知∠C＝90°，当锐角A无限接近90°时，a无限接近c，b无限接近0； 当锐角A无限接近0°时，b无限接近c，a无限接近0 4.锐角A的三角比tanA、cotA、sinA、cosA中， tanA>0,cotA>0;0<sinA<1,0<cosA<1. 【即学即练】 1．在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 2．在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的三角比的值（    ） A．都扩大到原来的3倍 B．都缩小为原来的3倍 C．都保持原来的数值不变 D．有的变大，有的缩小 3．已知、都是锐角，如果，那么与之间满足的关系是（ ） A．； B．°； C．°； D．°． 4．⊿ABC中，∠C=90°，下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型01 求锐角的三角比 【典例1】．如图，分别求和的正弦､余弦和正切． 【变式1】．在Rt△ABC中，∠C=90º，那么等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】．如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5】．如图，在中，，，垂足为点Q．    (1)． (2)______，______．（用正切或余切表示） 【变式6】．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有 个 （1） ；（2）；（3）；（4）． 【变式7】．中，，下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型02 求锐角的三角比的值 【典例1】．中，，下列说法正确的是（    ） A．的余切值为 B．的对边与邻边之比为 C．的余弦值 D．的正弦值不确定 【变式1】．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA＝ 【变式2】．在⊿ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则 ． 【变式3】．已知在中，∠C=90°，AC=3，AB=4，那么tanA= 【变式4】．在中，∠C=90°，AB=13，AC=5， ． 【变式5】．在中，，，，求，和的值． 【变式6】．在中，，若，，则的正切值为（   ） A． B． C． D． 【变式7】．如图，在Rt中，，求和的值． 题型03 根据比值求锐角的三角比的值 【典例1】．在Rt△ABC中，∠C＝90°， a ∶ b ＝2∶1，则tan A＝ ，cosA＝ ，sinB＝ ． 【变式1】．如图，点P是锐角的边上任意一点，过点P作于点Q．若，则（   ） A． B． C． D． 题型04 根据三边的变化求锐角三角比的变化 【典例1】．在中，，若的三边都缩小，则的值（　　） A．缩小 B．放大3倍 C．不变 D．无法确定 【变式1】．在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．都扩大到原来的3倍 B．都缩小为原来的3倍 C．都保持原来的数值不变 D．有的变大，有的缩小 题型05 锐角三角比之间的关系，取值范围等 【典例1】．中，，，，则（    ）    A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【变式1】．对于锐角，下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】．如果是锐角，则下列成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式4】．在中，，则的值（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．不确定，与的值有关 题型06 其他求锐角三角比的值 【典例1】．如图是直线的图像，求锐角的三个三角函数值． 【变式1】．如图，在正方形网格中，点都在格点上，则的正切值是 一、单选题 1．在中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角的余弦值（   ） A．扩大3倍 B．保持不变 C．扩大9倍 D．缩小3倍 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，则是∠A的（　　） A．正弦 B．余弦 C．正切 D．以上都不对 3．在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，，，，则的 值 为 （   ） A． B．2 C． D． 5．在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 7．在中，，如果的正弦值是，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 9．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列关系中错误的是（　　） A．b＝c•cosB B．b＝a•tanB C．b＝c•sinB D．a＝b•tanA 10．已知下列说法：①如果α是锐角，则sinα随着角度的增大而增大；②如果α是锐角，则cosα随着角度的增大而增大；③如果α是锐角，则tanα随着角度的增大而增大；④如果α是锐角，则cosα<1，sinα<1，tanα<1，其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．在中，，若，，则 ． 12．如果中，那么 （填的三角比） 13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA＝ 14．在以 O 为坐标原点的直角平面内有一点 A 2, 4 ，如果 AO 与 x 轴正半轴的夹角为 ， 那么 的余弦值为 . 15．如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为＿＿＿＿＿＿＿． 三、解答题 16．已知， 其中为锐角，求、、的值． 17．在中，，，求、的正切值． 18．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 19．如图，在中，． （1）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （2）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （3）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题25.1 锐角的三角比的意义 教学目标 1. 理解锐角三角比的几何意义； 2. 会求一个锐角的锐角三角比； 3. 掌握锐角三角比是否会随角度变化。 4. 知道锐角三角比的取值范围。。 教学重难点 1.重点 （1）由特殊到一般情形，引出一个锐角的正切、余切，正弦、余弦； （2）求一个锐角的锐角三角比； （3）了解一些锐角的三角比之间的特殊关系； 2.难点 （1）辨析锐角的三角比概念，并知道及其几何意义； （2）探索锐角的三角比之间的关系、取值范围等； 知识点1 锐角的三角比 一、锐角的三角比—正切、余切 Ⅰ、先看特殊情景： ①在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30,则 ②在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60,则 思考：对于一个直角三角形，如果给定了它的一个锐角的大小，那么它的对边与邻边的比值是否是一个确定的值? Ⅱ、再看一般情景： 如图所示，任意画一个锐角A,在角A的一边上任意取点，例如取B1、B2、B3三点，再分别过这三个点向另一边作垂线，垂足依次为点C1、C2、C3,从而得到三个直角三角形，即△AB1C1、△AB2C2和△AB3C3 因为这三个直角三角形有公共的锐角A,所以△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3 于是得 由此可见，如果给定直角三角形的一个锐角，那么这个锐角的对边与邻边的长度的比值就是一个确定的数. Ⅲ、 如图，当直角三角形中一个锐角的大小变化时，这个锐角的对边与邻边的长度的比值随着变化吗? 提示：比较∠DAC、∠EAC的对边与邻边的比值来确定是否变化。 Ⅳ、 通过上面的讨论，可以得到：如图,在Rt△ABC中 (∠C=90°),当锐角A的大小确定后，不论Rt△ABC的边长怎样变化，∠A的对边BC与邻边AC的比值总是确定的，即 我们把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正弦.锐角A的正切记作tanA, 同理，在Rt△ABC中 (∠C=90°),当锐角A的大小确定后，不论Rt△ABC的边长怎样变化，∠A的邻边BC与斜边AB的比值也总是确定的 我们把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余弦.锐角A的余切记作cotA, . 我们把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦.锐角A的正弦记作sinA, 同理，在Rt△ABC中 (∠C=90°),当锐角A的大小确定后，不论Rt△ABC的边长怎样变化，∠A的邻边BC与斜边AB的比值也总是确定的 我们把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦.锐角A的余弦记作cosA, 【即学即练】 1．如图，在 中，．（1）斜边 ；（2） 的对边 ；（3） 的邻边 ；（4） ． 【答案】 c b a 【分析】根据各边名称定义写出每边的代号即可． 【详解】（1）直角三角形的斜边为最长边c （2）∠B的对边是∠B正对的边b （3）∠B的邻边是a， （4）∠B的对边比斜边即等于b÷c= 故答案为①c②b③a④ 【点睛】本题考查直角三角形各边名称，熟记这些名称是解题关键． 2．在中，，那么锐角的正弦等于（      ） A． B． C． D．． 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数的定义可直接得出结果． 【详解】在中，，那么锐角的正弦=， 故选：B． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，属于基础题，需要熟练掌握锐角三角函数的定义． 3．在Rt△ABC中，如果，那么表示的(        ) A．正弦 B．正切 C．余弦 D．余切 【答案】D 【分析】根据余切的定义求解可得． 【详解】在Rt△ABC中，∵∠C=90°， ∴cotA=， 故选D． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦、余弦、正切、余切的定义． 4．在中，．当确定时，它的正弦值是否随之确定？余弦值呢？正切值呢？为什么？ 【答案】当确定时，正弦值确定，余弦值确定，正切值确定． 【分析】根据正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，可得答案． 【详解】解：在中，．当确定时，它的正弦值是随之确定， 理由是：，确定，则三角形的形状确定，对边与斜边的比值是不变的； 在中，．当确定时，它的余弦值是随之确定， 理由是：，确定，则三角形的形状确定，邻边与斜边的比值是不变的． 在中，．当确定时，它的正切值是随之确定， 理由是：，确定，则三角形的形状确定，对边与邻边的比值是不变的． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，正确掌握边角关系是解题关键． 5．在中，，于点D，下列式子表示B错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义解答即可． 【详解】解：在中，于点D， ∴∠B=∠ACD sin∠ACD= ， 故选D． 【点睛】此题考查锐角三角函数的定义，关键是掌握正弦函数是对边与斜边的比进行解答． 知识点2 锐角三角比的值的关系、比值范围 1.由正切、余切的意义可以得到， 2. 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比 3.任何一个锐角的三角比的值都是正实数，其中正弦和余弦的值小于1(为什么?). 0<sinA<1,0<cosA<1. 提示：我们可以画一个三角形，已知∠C＝90°，当锐角A无限接近90°时，a无限接近c，b无限接近0； 当锐角A无限接近0°时，b无限接近c，a无限接近0 4.锐角A的三角比tanA、cotA、sinA、cosA中， tanA>0,cotA>0;0<sinA<1,0<cosA<1. 【即学即练】 1．在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，．锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴的对边与斜边的比， ∵的三边都缩小5倍， ∴的对边与斜边的比不变， ∴的值不变． 故选：C． 2．在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的三角比的值（    ） A．都扩大到原来的3倍 B．都缩小为原来的3倍 C．都保持原来的数值不变 D．有的变大，有的缩小 【答案】C 【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角三角函数值即为直角三角形中边的比值． 【详解】解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角的三角函数值不变． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角函数，要能理解锐角三角函数的概念，明白三角函数值与边的长度无关． 3．已知、都是锐角，如果，那么与之间满足的关系是（ ） A．； B．°； C．°； D．°． 【答案】B 【详解】试题分析：根据α、β都是锐角，sinα=cosβ，可得α、β互为余角． ∵α、β都是锐角，如果sinα=cosβ， sinα=cos（90°-α）=cosβ， ∴α+β=90°， 故选B． 考点：互余两角三角函数的关系． 4．⊿ABC中，∠C=90°，下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义就可以解决． 【详解】解：如图所示，Rt△ABC中，设AC=b，BC=a，AB=c．根据锐角三角函数的定义： A、∵tanA=，cotA=， ，∴ ，故成立； B、∵tanA=，cotB=， ，∴ ，故不成立； C、∵tanA=，cotB=，∴，故不成立； D、∵cotA= ，tanB=，∴，故不成立； 故选：A． 【点睛】本题考查直角三角形中两锐角的三角函数之间的关系，结合图形容易求解． 题型01 求锐角的三角比 【典例1】．如图，分别求和的正弦､余弦和正切． 【答案】； 【分析】如图，利用勾股定理先求解 再利用锐角的正弦，余弦，正切的定义直接计算即可. 【详解】解：如图， 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握锐角的正弦，余弦，正切的定义是解题的关键. 【变式1】．在Rt△ABC中，∠C=90º，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角A的邻边a与对边b的比叫做∠A的余切，记作cotA． 【详解】解：∵∠C=90°， ∴=， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余切定义． 【变式2】．如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 利用锐角三角函数定义判断即可． 【详解】解：在中， ， 在中， ， ∵ ， ， ， 在中，， 故选：D． 【变式3】．如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦，余弦，正切的定义进行计算，即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键. 【详解】解：在中, 故选：． 【变式4】．如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义计算判断即可． 【详解】解：A、由，故该项错误，不符合题意； B、由，故该项错误，不符合题意； C、由，故该项错误，不符合题意； D、由，故该项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了三角函数，熟练掌握三角函数的基本定义是解题的关键． 【变式5】．如图，在中，，，垂足为点Q．    (1)． (2)______，______．（用正切或余切表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角的正切值可进行求解； （2）根据角的正切值可进行求解 【详解】（1）解：由题意得： ； 故答案为； （2）解：由题意得： ，； 故答案为 【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握“直角三角形中一个锐角A的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（）”是解题的关键． 【变式6】．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有 个 （1） ；（2）；（3）；（4）． 【答案】3 【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高， ∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴cosA＝＝＝． 故（1），（2），（4）正确． 故答案为：3． 【点睛】考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键． 【变式7】．中，，下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形中正切值的求法直接可得出答案． 【详解】 设的对边为，的对应边为b，的对应边为c，由题意可得： ． 故选B． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的求法是解题的关键． 题型02 求锐角的三角比的值 【典例1】．中，，下列说法正确的是（    ） A．的余切值为 B．的对边与邻边之比为 C．的余弦值 D．的正弦值不确定 【答案】D 【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：∵中，， ∴的余切值为， ∵不一定是直角三角形， ∴的对边与邻边之比不一定为，的余弦值不一定为，的正弦值不确定 故选：D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握定义是解题的关键． 【变式1】．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA＝ 【答案】 【分析】根据正弦的定义解得即可． 【详解】∵∠C=90°，AB=5，BC=4， ∴sinA=， 故答案为：． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 【变式2】．在⊿ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则 ． 【答案】 【分析】根据余弦的定义进行解答 【详解】在Rt△ABC中，AC＝， ，故填． 【点睛】本题考查三角函数的定义，余弦值＝角的邻边与斜边之比． 【变式3】．已知在中，∠C=90°，AC=3，AB=4，那么tanA= 【答案】 【分析】先利用勾股定理计算BC的长度，然后根据三角函数的定义可求得tanA的值. 【详解】如图，在Rt△ABC中， ∵∠C=90°，AC=3，AB=4 ∴根据勾股定理. ∴ . 故填. 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解决本题需注意①熟记正切的计算方法是解决本题的关键；②可先根据题意画出相应的图象，这样方便正确找出对应的线段. 【变式4】．在中，∠C=90°，AB=13，AC=5， ． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出的长，再利用余切公式． 【详解】解：中，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理以及余切定理，掌握这两个定理是解题的关键． 【变式5】．在中，，，，求，和的值． 【答案】，，． 【分析】先利用勾股定理计算出b的值，然后根据正弦、余弦和正切的定义求解． 【详解】解： ， 所以， ， ． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 【变式6】．在中，，若，，则的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理，熟记锐角的对边与邻边的比叫做的正切是解题的关键．先根据勾股定理求出，再根据正切的定义计算即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ∴， 故选：A． 【变式7】．如图，在Rt中，，求和的值． 【答案】图（1），，图（2）， 【分析】图（1）利用勾股定理求出的长度，再利用三角函数的定义求出，，图（2）利用勾股定理求出的长度，再利用三角函数的定义求出，即可． 【详解】解：如图（1），在中，由勾股定理得 ． ∴，． 如图（2），在中，由勾股定理得 ． ∴，． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理．掌握三角函数的定义是解答本题的关键． 题型03 根据比值求锐角的三角比的值 【典例1】．在Rt△ABC中，∠C＝90°， a ∶ b ＝2∶1，则tan A＝ ，cosA＝ ，sinB＝ ． 【答案】 2 / / 【分析】根据三角形函数的定义求解，即可． 【详解】解：如图： 设， ∴， ∴， ， ． 故答案为： 2 ； ； 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用，熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边，余弦等于邻边比斜边，正切等于对边比邻边是解题的关键． 【变式1】．如图，点P是锐角的边上任意一点，过点P作于点Q．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求角的正切值，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 根据正切的定义即可直接得出答案． 【详解】解：， ， 是锐角且， ， 故选：． 题型04 根据三边的变化求锐角三角比的变化 【典例1】．在中，，若的三边都缩小，则的值（　　） A．缩小 B．放大3倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正弦函数的定义，正确理解正弦函数的定义是解题的关键．变化后的三角形与原三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，可得的大小不变，即得答案． 【详解】在中，，若的三边都缩小，则变化后的三角形与原三角形相似，可知的大小没有发生变化，故的值不变． 故选C． 【变式1】．在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．都扩大到原来的3倍 B．都缩小为原来的3倍 C．都保持原来的数值不变 D．有的变大，有的缩小 【答案】C 【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角三角函数值即为直角三角形中边的比值． 【详解】解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角的三角函数值不变． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角函数，要能理解锐角三角函数的概念，明白三角函数值与边的长度无关． 题型05 锐角三角比之间的关系，取值范围等 【典例1】．中，，，，则（    ）    A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出的长，再根据直角三角形中正弦、余弦、正切的定义分别求值，即可得到答案． 【详解】解：在中 ，，， ∴， ∵，，，， ∴ ，， 故选B． 【变式1】．对于锐角，下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角的三角函数关系逐一判断即可． 【详解】解：A．，故本选项正确； B．，故本选项错误； C． ，故本选项错误； D． ，故本选项错误． 故选A． 【点睛】此题考查的是同角的三角函数关系，掌握同角的三角函数关系是解题关键． 【变式2】．若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角的正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），正确理解锐角正弦值的增减性是解题的关键．根据正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），及、、的正弦值可求解． 【详解】解：是锐角，且， ， 故选：A． 【变式3】．如果是锐角，则下列成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边，三角形的两边之和大于第三边，可得答案. 【详解】解：∵a、b是直角边，c是斜边， ∴sin+cos=+=， ∵a+b>c， ∴>1， ∴. 故选B. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，利用正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边是解题关键. 【变式4】．在中，，则的值（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．不确定，与的值有关 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的概念表示出，，所以；再根据三角形的三边关系进行分析． 【详解】解：设直角三角形中，的对边是，邻边是，斜边是． 根据锐角三角函数的概念，得 ，． 所以， 再根据三角形的三边关系，得， 故的值大于1． 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，首先理解锐角三角函数的概念，再结合三角形的三边关系进行分析． 题型06 其他求锐角三角比的值 【典例1】．如图是直线的图像，求锐角的三个三角函数值． 【答案】，，． 【分析】根据直线的图像，首先求出与坐标轴的两个交点坐标，根据勾股定理求得两交点之间的距离，进一步利用锐角三角函数的定义求出三角函数值即可． 【详解】解：如图， 直线的图象与x轴的交点A为（，0），即OA=； 与y轴的交点B为（0，5），即OB=5； 则AB==； ===， ， ． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，解题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特点以及锐角三角函数的定义． 【变式1】．如图，在正方形网格中，点都在格点上，则的正切值是 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正切的定义，连接，利用勾股定理计算出，然后利用勾股定理的逆定理可得到，再根据正切的定义进行计算即可，利用勾股定理的逆定理推动出为直角三角形是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴，，， ∴为直角三角形，， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．在中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角的余弦值（   ） A．扩大3倍 B．保持不变 C．扩大9倍 D．缩小3倍 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数．理解一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关是解题关键． 根据题意可知大小不变，即得出锐角A的余弦值保持不变． 【详解】解：∵在中，各边的长度都扩大2倍， ∴各角的大小不变，即大小不变． ∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关， ∴锐角A的余弦值保持不变． 故选B． 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，则是∠A的（　　） A．正弦 B．余弦 C．正切 D．以上都不对 【答案】B 【详解】试题分析：根据直角三角形的三角函数可得：sinA=，cosA=，tanA=，故选B． 3．在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦函数的定义：我们把锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作．由正弦函数的定义求解可得． 【详解】解：如图 ∵中，，，， ∴， ∴ 故选：A． 4．在中，，，，则的 值 为 （   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个角的正切值，根据代入数值计算，即可作答． 【详解】解：如图： ∵在中，，，， ∴, 故选：A 5．在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角形函数的定义，先根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数正切的定义求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴． 故选：B． 6．⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论． 【详解】解：如下图所示 在Rt中，=，故A不符合题意； 在Rt中，=，故B不符合题意； ∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90° ∴∠A=∠BCD ∴=tan∠BCD=，故C不符合题意； ≠，故D符合题意． 故选D． 【点睛】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键． 7．在中，，如果的正弦值是，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角的正弦三角函数的定义，即可得到答案. 【详解】∵在中，，的正弦值是， ∴sinA==， ∴， 故选A. 【点睛】本题主要考查三角函数的定义，掌握锐角的正弦三角函数的定义，是解题的关键. 8．如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义即可判断A，B，再在中，利用锐角三角函数的定义即可判断C，最后利用同角的余角相等可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义即可求出，即可判断D． 【详解】解：∵， ∴， 在中， 故A、B不符合题意； 在中，， 故C符合题意； ∵，， ∴， 在中，， ∴， 故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 9．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列关系中错误的是（　　） A．b＝c•cosB B．b＝a•tanB C．b＝c•sinB D．a＝b•tanA 【答案】A 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， 则tanA＝，tanB＝，cosB＝，sinB＝； 因而b＝c•sinB＝a•tanB，a＝b•tanA， 错误的是b＝c•cosB． 故选：A． 【点睛】本题考查三角函数的定义,熟记定义是解题的关键. 10．已知下列说法：①如果α是锐角，则sinα随着角度的增大而增大；②如果α是锐角，则cosα随着角度的增大而增大；③如果α是锐角，则tanα随着角度的增大而增大；④如果α是锐角，则cosα<1，sinα<1，tanα<1，其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】Sinα是对边与斜边的比值，cosα是邻边与斜边的比值，tanα是对边与邻边的比值，利用锐角三角函数的定义即可解答. 【详解】如果α是锐角，则sinα随着角度的增大而增大，cosα随着角度的增大而减小，tanα随着角度的增大而增大，据此可判断①和③正确，②错误；如果α是锐角，则cosα<1，sinα<1，但tanα只有在α＜45°时才小于1，故④错误； 故选择B. 【点睛】理解锐角三角函数的定义是解答此题的关键. 二、填空题 11．在中，，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正切的定义即可求解．解答本题的关键要熟练掌握正切的定义：锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作． 【详解】解：在中，，，， ， 故答案为：． 12．如果中，那么 （填的三角比） 【答案】 【分析】根据直角三角形中余弦性质求解即可 【详解】∵直角三角形中，余弦等于邻边比斜边 ∴= ∴答案为cosB 【点睛】本题主要考查了余弦的性质，熟练掌握相关性质是解题关键 13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA＝ 【答案】 【分析】根据正弦的定义解得即可． 【详解】∵∠C=90°，AB=5，BC=4， ∴sinA=， 故答案为：． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 14．在以 O 为坐标原点的直角平面内有一点 A 2, 4 ，如果 AO 与 x 轴正半轴的夹角为 ， 那么 的余弦值为 . 【答案】 【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解． 【详解】根据题意可得 所以 故答案为： 【点睛】考查锐角三角函数的定义， 坐标与图形性质， 勾股定理，掌握余弦定理的概念是解题的关键. 15．如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】或 【详解】解方程x2-4x+3=0得，x1=1，x2=3， ①当3是直角边时，∵△ABC最小的角为A，∴tanA=； ②当3是斜边时，根据勾股定理，∠A的邻边=，∴tanA=； 所以tanA的值为或． 三、解答题 16．已知， 其中为锐角，求、、的值． 【答案】，， 【分析】根据已知锐角α的正弦，设α的对边=2k，直角三角形的斜边=3k，由勾股定理求出α的邻边=k，根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】∵ ∴设α的对边=2k，直角三角形的斜边=3k，由勾股定理求出α的邻边=k， ∴，，． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义的应用，解题关键是熟练掌握三角函数定义． 17．在中，，，求、的正切值． 【答案】， 【分析】设a=3k  b=5k利用正切定义求解 【详解】解：，设a=3k ，b=5k ， 故答案为， 【点睛】本题考查了角的正切值，熟练掌握正切的概念是解题的关键. 18．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 【答案】． 【分析】分别作，垂足分别为，根据正弦的定义，在4个直角三角形中分别表示出，进而将等式变形，即可求得． 【详解】解：如图，分别作，垂足分别为， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正弦的定义，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 19．如图，在中，． （1）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （2）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （3）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】利用正切的定义：，进行运算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ （2）∵ ∴ ∴， ∴ （3）∵ ∴ ∴， ∴ 【点睛】本题考查了正切的概念，正确判断对应角的对边和邻边是解决本题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$