4.5 相似三角形判定定理的证明（分层作业）数学北师大版九年级上册

4.5 相似三角形判定定理的证明 1．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，点，分别在，边上，，若，，，则等于（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，，下列添加的条件不能使的是（    ）．    A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·全国·课后作业）在与’中，有下列条件，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（ ）组． ①； ②； ③；④． A． B． C． D． 5．（九年级上·浙江金华·期中）如图，要使△ACD∽△ABC，需要补充的一个条件是（    ） A． B． C． D． 6．（九年级上·山东青岛·单元测试）如图，中，，，平分，且．那么与相似的是（ ） A．△DBE B．△ADE C．△ABD D．△BDC和△ADE 7．（九年级上·江苏无锡·期中）在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为E,图中的相似三角形共有（    ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 8．（九年级上·全国·单元测试）如图，，゜，，．当 ， 时，． 9．（九年级上·全国·单元测试）如图，已知，，，，要使，只要 ． 10．（九年级·全国·单元测试）如图，在中，、分别是、上的点，，且，则的周长与的周长的比为 ． 11．（九年级上·山东青岛·单元测试）如图，中，，，垂足为，若，，则为 ．    12．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，． (1)尺规作图：在上取一个点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，连接，求证：． 1．（九年级上·全国·期中）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③S△AEF：S△CAB=1：4；④AF2=2EF2．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，正方形与正方形有公共顶点，连接、、，，． (1)求线段的长． (2)若点是平面内一动点，求的最小值． 3．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． (1)若，求的长； (2)如果，求证：． 4．（24-25九年级上·海南儋州·期中）如图，在四边形中，是的中点，和交于点，，． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，，，求的长． 5．（九年级上·全国·期末）在矩形中，，，为边上一点，连接，过作垂直． 求证：； 若设，，求与的函数解析式． 6．（黑龙江绥化·中考真题）如图①，在正方形中，，为对角线上任意一点（不与重合），连接，过点作，交线段于点.    （1）求证：； （2）若，求证：； （3）如图②，连接交于点．若，求的值．    1．（九年级上·全国·专题练习）如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=6，AC=4，AD=3，当AP的长度为 时，△ADP与△ABC相似． 2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平行四边形ABCD中，，点E为BC边上一点，点F为AC延长线上一点，连接AE，EF，若，，，则平行四边形的面积为 ． 3．（·江西·一模）操作：在中，，，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交射线、于、两点．图，，是旋转三角板得到的图形中的种情况． 研究： 三角板绕点旋转，观察线段和之间有什么数量关系，并结合图加以证明； 三角板绕点旋转，是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出为等腰三角形时的长）；若不能，请说明理由； 若将三角板的直角顶点放在斜边上的处，且，和前面一样操作，试问线段和之间有什么数量关系？并结合图加以证明． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.5 相似三角形判定定理的证明 1．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，点，分别在，边上，，若，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是根据，则，则，求出，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的定理是解题关键．利用勾股定理分别求出每个三角形的三边长，再根据两三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似判断即可． 【详解】解：①中三角形三边分别为，2，， ②中三角形三边分别为，3，， ③中三角形三边分别为，，， ④中三角形三边分别为2，，， ∵， ∴是相似三角形的是①和④． 故选D． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，，下列添加的条件不能使的是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定．熟知相似三角形的判定方法把每个选项逐一分析即可得出． 【详解】A．，，，，，故该选项不合题意； B．，，，，，，故该选项不合题意； C．，，，，，理由同A选项，故该选项不符合题意； D．，，不能证明两三角形相似，故该选项符合题意； 故选：D 4．（22-23九年级上·全国·课后作业）在与’中，有下列条件，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（ ）组． ①； ②； ③；④． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定进行解答即可． 【详解】解：能判断△ABC∽△A′B′C′的有①②或②④或③④，共3组， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 5．（九年级上·浙江金华·期中）如图，要使△ACD∽△ABC，需要补充的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于两三角形有公共角，若根据有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件，则∠ACD=∠B；若根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似添加条件，则，然后对各选项进行判断． 【详解】∵∠CAD=∠BAC， ∴当∠ACD=∠B时,△ACD∽△ABC； 当,即时,△ACD∽△ABC. 故选:D. 【点睛】考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键. 6．（九年级上·山东青岛·单元测试）如图，中，，，平分，且．那么与相似的是（ ） A．△DBE B．△ADE C．△ABD D．△BDC和△ADE 【答案】D 【分析】两个角相等三角形互为相似三角形． 【详解】（1）∵AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC， ∴∠DBC=36°， ∵∠C=∠C，∠A=∠DBC， ∴△BDC∽△ABC． ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC． 故选D． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，常用的判定方法有： ①有两个对应角相等的三角形相似； ②有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似； ③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 7．（九年级上·江苏无锡·期中）在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为E,图中的相似三角形共有（    ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】D 【分析】由矩形的性质可以得出∠ADC=∠ABC=90°，∠DCA=∠BAC，∠DAC=∠BCA，DE⊥AC就有∠AED=∠CED=90°，进而得出∠ADE=∠ACD，∠DAC=∠CDE，就有△AED∽△DEC，△AED∽△ADC，△AED∽△CBA，△DEC∽△ADC，△DEC∽△CBA, △CBA∽△ADC就可以得出结论． 【详解】： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=∠ABC=90,AD∥BC,CD∥BA， ∴∠DCA=∠BAC，∠DAC=∠BCA. ∵DE⊥AC， ∴∠AED=∠CED=90. ∴∠DAE+∠ADE=90， ∵∠DAE+∠ACD=90,∠ADE+∠EDC=90， ∴∠ADE=∠ACD.∠DAE=∠EDC. ∴△AED∽△DEC,△AED∽△ADC,△AED∽△CBA,△DEC∽△ADC,△DEC∽△CBA. △CBA∽△ADC共有6对. 故答案选D. 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质. 8．（九年级上·全国·单元测试）如图，，゜，，．当 ， 时，． 【答案】 , 【分析】根据相似三角形的判定方法得到当，∠A＝∠A′时，△ABC∽△A′B′C′，然后把AB＝8，∠A＝50゜，A′B′＝4，A′C′＝3代入计算即可． 【详解】当，∠A＝∠A′时，△ABC∽△A′B′C′． ∵AB＝8，∠A＝50゜，A′B′＝4，A′C′＝3，∴∠A′＝50°，，∴AC＝6． 故答案为6，50°． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 9．（九年级上·全国·单元测试）如图，已知，，，，要使，只要 ． 【答案】 【分析】根据对应边成比例的两个三角形互为相似三角形可以求解. 【详解】解:∠ACB=,AC=4,BC=3, , 要使,有, ,, 故答案为: 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理,关键是知道对应边成比例两个三角形互为相似三角形. 10．（九年级·全国·单元测试）如图，在中，、分别是、上的点，，且，则的周长与的周长的比为 ． 【答案】 【分析】由于,易证得△ADE∽△ABC;已知了AD、AB的比例关系,即可得到两个三角形的相似比,根据相似三角形的周长比等于相似比即可得解. 【详解】∵, ∴△ADE∽△ABC; ∴C△ADE∽C△ABC=AD:AB=1:3; 即△ADE的周长与△ABC的周长的比为. 故答案为. 【点睛】此题主要考查的是相似三角形的判定与性质:相似三角形的一切对应线段(包括对应边、对应中线、对应高、对应角平分线等)的比等于相似比,面积比等于相似比的平方. 11．（九年级上·山东青岛·单元测试）如图，中，，，垂足为，若，，则为 ．    【答案】 【分析】首先证，然后根据相似三角形的对应边成比例求出的长. 【详解】中，，， ， 又 ， ， ，即. 故答案为：. 【点睛】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，题目比较简单. 12．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，． (1)尺规作图：在上取一个点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，连接，求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作的平分线交于点即可； （2）由，得，由，，则，由，即可得证． 【详解】（1）解：作的平分线交于点， 理由：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故点即为所作； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查基本作图—作角平分线，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，正确地作出的平分线是解题的关键． 1．（九年级上·全国·期中）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③S△AEF：S△CAB=1：4；④AF2=2EF2．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】①根据四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，可得∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确； ②根据点E是AD边的中点，以及AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，根据相似三角形对应边成比例，可得CF=2AF，故②正确； ③根据△AEF∽△CBF得到EF与BF的比值，据此求出S△AEF=S△ABF，S△AEF=S△BCF，可得S△AEF：S△CAB=1：6，故③错误； ④根据AA可得△AEF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得AF2=2EF2，故④正确． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC=90°， ∴∠EAC=∠ACB， ∵BE⊥AC， ∴∠ABC=∠AFE=90°， ∴△AEF∽△CAB，故①正确； ∵AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴=， ∵AE=AD=BC， ∴=， ∴CF=2AF，故②正确； ∵△AEF∽△CBF， ∴EF：BF=1：2， ∴S△AEF=S△ABF，S△AEF=S△BCF， ∴S△AEF：S△CAB=1：6，故③错误； ∵△AEF∽△CAB， ∴∠AEF=∠BAF， ∵∠AFE=∠BFA=90°， ∴△AEF∽△BAF， ∴， AF2=EF•BF=2EF2，故④正确． 故选B． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算的综合应用，正确作出辅助线是解题的关键．解题时注意，相似三角形的对应边成比例． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，正方形与正方形有公共顶点，连接、、，，． (1)求线段的长． (2)若点是平面内一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明，即可求出． （2）根据则判断出点在以为圆心，为半径的圆上运动，当三点共线，且在上时，最小，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵正方形与正方形， ∴，， ， ， ， ， ∴， ． （2）解：∵， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， 当三点共线，且在上时，最小，最小值． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆的概念，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是证明三角形相似． 3．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． (1)若，求的长； (2)如果，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，由平行线分线段成比例定理得，继而得到，根据平行四边形性质得，推出，可得结论； （2）根据中点的定义及已知得，由（1）知，推出，即可得证． 【详解】（1）解：如图，连接交于点， ∵点和点分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴的长为； （2）证明：∵为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点．掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定是解题的关键． 4．（24-25九年级上·海南儋州·期中）如图，在四边形中，是的中点，和交于点，，． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）证明是的中位线，得，，继而推出，，根据相似三角形的判定即可得证； （2）由（1）知：，根据平行四边形的判定即可得证； （3）根据三角形中位线的性质推出，，继而得到，，由平行四边形的性质得，最后利用勾股定理可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴； （2）由（1）知：，即， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （3）解：∵，，， ∴， 由（1）知：，， ∴，， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， 在中，， ∴的长为． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 5．（九年级上·全国·期末）在矩形中，，，为边上一点，连接，过作垂直． 求证：； 若设，，求与的函数解析式． 【答案】证明见解析 （2） 【分析】（1）要求的两个相似三角形中，已有一对直角对应相等，可利用垂直得到其余一组锐角相等即可得到相似． （2）利用相似求得函数关系式． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴． ∵垂直， ∴． ∴． ，． ∴． ∴． 解：∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与反比例函数，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与根据实际问题列反比例函数关系式. 6．（黑龙江绥化·中考真题）如图①，在正方形中，，为对角线上任意一点（不与重合），连接，过点作，交线段于点.    （1）求证：； （2）若，求证：； （3）如图②，连接交于点．若，求的值．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）. 【分析】(1)如图，过分别作交于点，交于点，则四边形是平行四边形，先证明四边形是正方形，继而证明，即可得结论； (2)由(1)得，，根据比例线段可得，，再根据可得，从而求得AN、BN长即可得结论； (3)把绕点逆时针旋转得到，连接，，进而可推导得出，，证明是等腰直角三角形，继而证明，可得MG=HG，根据题意设，则，根据勾股定理可求得，再结合正方形的性质可求得a的值，继而证明， 根据相似三角形的性质即可求得答案. 【详解】(1)如图，过分别作交于点，交于点，则四边形是平行四边形，    四边形是正方形， ，， ， 平行四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ； (2)由(1)得：，， ， ，， ， ， ，， ； (3)把绕点逆时针旋转得到，连接，    ，， ，，，. ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，，则， 正方形的边长为， ， ， ， ，， ，， ， ， . 【点睛】本题考查的是四边形的综合题，涉及了正方形判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强，正确把握相关的判定定理与性质定理是解题的关键. 1．（九年级上·全国·专题练习）如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=6，AC=4，AD=3，当AP的长度为 时，△ADP与△ABC相似． 【答案】2或． 【分析】分别根据当△ADP∽△ACB时，当△ADP∽△ABC时，求出AP的长即可． 【详解】当△ADP∽△ACB时， ∴， ∴， 解得AP=. 当△ADP∽△ABC时， ∴， ∴， 解得AP=2， ∴当AP的长度为2或时，△ADP和△ABC相似． 故答案为2或． 【点睛】考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论得出是解题关键． 2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平行四边形ABCD中，，点E为BC边上一点，点F为AC延长线上一点，连接AE，EF，若，，，则平行四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】由得，过A作于H，过E作于G，设，则，由，，可证，进而得，即可解出x的值，在中，根据勾股定理可求得，最后根据平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 设，则， ， ， 和都是等腰三角形， ， 过A作于H，过E作于G， 则， ， ， ， ，即， 解得（舍去）， ， ∴在中，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、平行四边形的面积公式、解分式方程等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质． 3．（·江西·一模）操作：在中，，，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交射线、于、两点．图，，是旋转三角板得到的图形中的种情况． 研究： 三角板绕点旋转，观察线段和之间有什么数量关系，并结合图加以证明； 三角板绕点旋转，是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出为等腰三角形时的长）；若不能，请说明理由； 若将三角板的直角顶点放在斜边上的处，且，和前面一样操作，试问线段和之间有什么数量关系？并结合图加以证明． 【答案】证明见解析；（2）共有四种情况：①当点与点重合，即时，；②，此时； ③当时，此时；④当在的延长线上，且时，此时；． 【详解】试题分析：（1）连接PC，通过证明△PCD≌△PBE，得出PD=PE； （2）分为点C与点E重合、CE=、CE=1、E在CB的延长线上四种情况进行说明； （3）作MH⊥CB，MF⊥AC，构造相似三角形△MDF和△MHE，然后利用对应边成比例，就可以求出MD和ME之间的数量关系． （1）连接PC， 因为△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点， ∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACB=45°． ∴∠ACP=∠B=45°． 又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE， ∴∠DPC=∠BPE． ∴△PCD≌△PBE． ∴PD=PE； （2）△PBE是等腰三角形， ①当PE=PB时，此时点C与点E重合，CE=0； ②当BP=BE时，E在线段BC上，CE=；E在CB的延长线上，CE=； ③当EP=EB时，CE=1； （3）过点M作MF⊥AC，MH⊥BC ∵∠C=90°， ∴四边形CFMH是矩形即∠FMH=90°，MF=CH． ∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°， ∴∠DMF=∠EMH， ∵∠MFD=∠MHE=90°， ∴△MFD∽△MHE， 考点：旋转问题的综合题 点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$