专题2.5 点、线间的对称关系（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题2.5 点、线间的对称关系（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】 【题型1 点关于点的对称问题】 1 【题型2 直线关于点的对称问题】 2 【题型3 求点关于直线的对称点】 3 【题型4 求两点的对称轴】 4 【题型5 直线关于直线的对称问题】 4 【题型6 光线反射问题】 5 【题型7 将军饮马问题】 6 【题型8 对称关系中的最值问题】 7 知识点1 点关于点的对称 1．点关于点的对称 求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解. 设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0). 【题型1 点关于点的对称问题】 【例1】（24-25高二上·辽宁鞍山·阶段练习）点关于点的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二·全国·课堂例题）已知不同的两点与关于点对称，则（    ） A． B．14 C． D．5 【变式1-2】（2025高三·全国·专题练习）点关于点的对称点为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·江苏宿迁·开学考试）已知点与关于坐标原点对称，则等于（    ） A．5 B．1 C． D． 知识点2 直线关于点的对称 1．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤： (1)由平行直线系设出直线l'的方程； (2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)； (3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程. 【题型2 直线关于点的对称问题】 【例2】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【变式2-1】（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·陕西宝鸡·一模）直线关于点对称的直线方程（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一下·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 知识点3 点关于直线的对称 1．两点关于某直线对称 设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y). (1)直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则. (2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则. (3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y). 则，由此可求出B(x,y). (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 【题型3 求点关于直线的对称点】 【例3】（24-25高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·江西·阶段练习）点关于直线对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·四川遂宁·期中）已知直线：，则点关于对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型4 求两点的对称轴】 【例4】（24-25高一下·河北保定·期末）若点，关于直线l对称，则l的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·四川内江·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·江苏常州·期中）点与点关于直线l：对称，则的值为 ． 【变式4-3】（24-25高二·全国·课后作业）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的一般式方程为 . 知识点4 点关于直线的对称 1．直线关于直线对称 直线关于直线对称有两种类型： (1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则交点P必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2. (2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离相等，由平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2. 【题型5 直线关于直线的对称问题】 【例5】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知直线，点.求： （1）直线关于点对称的直线的方程； （2）直线关于直线的对称直线的方程. 【变式5-3】（24-25高二·全国·课后作业）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【题型6 光线反射问题】 【例6】（24-25高二上·河北唐山·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）如图已知，，，若光线从点射出，直线反射后到直线上，再经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知点 ，直线 . (1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程； (2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程. 【变式6-3】（24-25高二上·四川·期中）在等腰直角三角形中，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、反射后又回到原点，光线经过的重心.（若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有. (1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标； (2)求点的坐标； (3)求的周长. 【题型7 将军饮马问题】 【例7】（24-25高二上·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二上·河北石家庄·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【变式7-3】（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【题型8 对称关系中的最值问题】 【例8】（24-25高二上·吉林长春·期中）已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 【变式8-1】（24-25高二上·重庆·开学考试）已知点，在直线上存在一点，使最小，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知直线的方程为. (1)当时，求点到直线的距离； (2)当时，为直线上一动点，若，，求的最小值. 【变式8-3】（24-25高二上·河南南阳·期中）已知直线：． (1)若直线m与平行，且m，之间的距离为，求m的方程； (2)P为上一点，点，，求取得最大值时点P的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 点、线间的对称关系（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】 【题型1 点关于点的对称问题】 1 【题型2 直线关于点的对称问题】 3 【题型3 求点关于直线的对称点】 5 【题型4 求两点的对称轴】 7 【题型5 直线关于直线的对称问题】 9 【题型6 光线反射问题】 11 【题型7 将军饮马问题】 15 【题型8 对称关系中的最值问题】 19 知识点1 点关于点的对称 1．点关于点的对称 求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解. 设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0). 【题型1 点关于点的对称问题】 【例1】（24-25高二上·辽宁鞍山·阶段练习）点关于点的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据中点坐标公式求解即可. 【解答过程】设点坐标为， 则由题意可得，解得， 所以点坐标为, 故选：B. 【变式1-1】（24-25高二·全国·课堂例题）已知不同的两点与关于点对称，则（    ） A． B．14 C． D．5 【答案】C 【解题思路】根据中点公式，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【解答过程】因为两点与关于点对称， 可得，即，解得， 所以. 故选：C. 【变式1-2】（2025高三·全国·专题练习）点关于点的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，则由中点坐标公式可得，，解出，从而可得点的坐标 【解答过程】设，则，，∴，， ∴点， 故选：D. 【变式1-3】（24-25高二上·江苏宿迁·开学考试）已知点与关于坐标原点对称，则等于（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据关于原点对称点的性质确定参数，即得答案. 【解答过程】由与关于坐标原点对称，则， 所以. 故选：B. 知识点2 直线关于点的对称 1．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤： (1)由平行直线系设出直线l'的方程； (2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)； (3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程. 【题型2 直线关于点的对称问题】 【例2】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【解题思路】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。 【解答过程】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B. 【变式2-1】（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【解答过程】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 【变式2-2】（2025·陕西宝鸡·一模）直线关于点对称的直线方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设所求直线上任一点为，则求出其关于点对称的点，代入直线中化简可得答案 【解答过程】设所求直线上任一点为，则其关于点对称的点为， 因为点在直线上， 所以，化简得， 所以所求直线方程为， 故选：B. 【变式2-3】（24-25高一下·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据直线关于直线外一点的对称直线互相平行可知其斜率，再取上一点求其关于点的对称点，即可求出的方程. 【解答过程】由题意得，故设， 在l上取点，则点关于点的对称点是， 所以，即， 故直线的方程为. 故选：C. 知识点3 点关于直线的对称 1．两点关于某直线对称 设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y). (1)直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则. (2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则. (3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y). 则，由此可求出B(x,y). (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 【题型3 求点关于直线的对称点】 【例3】（24-25高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据斜率关系以及中点关系，即可列方程求解. 【解答过程】设关于直线的对称点坐标为， 则，解得，故对称点坐标为， 故选：B. 【变式3-1】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点． 【解答过程】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ， 点关于直线的对称点的坐标为， 即． 故选：D． 【变式3-2】（24-25高二上·江西·阶段练习）点关于直线对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两对称点的中点在直线上，对称点连线与直线垂直列出方程组得解. 【解答过程】设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得， 故选：A. 【变式3-3】（24-25高二上·四川遂宁·期中）已知直线：，则点关于对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据垂直斜率关系，以及中点在直线上即可列方程求解. 【解答过程】设点关于对称的点为，则，解得， 故选：B. 【题型4 求两点的对称轴】 【例4】（24-25高一下·河北保定·期末）若点，关于直线l对称，则l的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据A，B关于直线l对称，直线l经过AB中点且直线l和AB垂直，可得l的方程. 【解答过程】由题意可知AB中点坐标是， ， 因为A，B关于直线l对称， 所以直线l经过AB中点且直线l和AB垂直， 所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程为， 即， 故选：A. 【变式4-1】（24-25高二上·四川内江·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意直线为线段的中垂线，先求出直线的斜率及中点坐标，再根据两直线垂直的性质得到直线的斜率，最后利用点斜式求出方程，化简即可得出. 【解答过程】因为点关于直线对称的点为，所以直线为线段的中垂线， 因为，中点为，且， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为即. 故选：D. 【变式4-2】（24-25高二上·江苏常州·期中）点与点关于直线l：对称，则的值为 ． 【答案】 【解题思路】根据垂直关系和中点在直线上可求，从而可求的值. 【解答过程】因为，故，而的中点为， 故，所以，所以， 故答案为：. 【变式4-3】（24-25高二·全国·课后作业）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的一般式方程为 . 【答案】 【解题思路】利用折痕所在直线与两点连线垂直可得所求直线斜率，利用中点在折痕所在直线上可得所求直线方程. 【解答过程】点与点连线斜率，折痕所在直线斜率， 又点与点的中点为， 折痕所在直线方程为：，即. 故答案为：. 知识点4 点关于直线的对称 1．直线关于直线对称 直线关于直线对称有两种类型： (1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则交点P必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2. (2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离相等，由平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2. 【题型5 直线关于直线的对称问题】 【例5】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果. 【解答过程】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线上，， 故选：D. 【变式5-1】（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件判断，可设，利用对称性可知与间的距离等于与间的距离，列方程求解即得. 【解答过程】因为，所以，设直线的方程为且. 因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离. 由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）. 所以直线的方程为. 故选：D. 【变式5-2】（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知直线，点.求： （1）直线关于点对称的直线的方程； （2）直线关于直线的对称直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解题思路】（1）求出关于点的对称点，利用在直线上，即得解； （2）先求解关于直线的对称点的坐标，再求解与的交点N，由两点式得到直线方程 【解答过程】（1）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 在直线上，， 即. （2）在直线上取一点，如， 则关于直线的对称点必在上. 设对称点为，则 解得. 设与的交点为，则由 得. 又经过点， 由两点式得直线方程为. 【变式5-3】（24-25高二·全国·课后作业）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】（1）； （2） ． 【解题思路】（1）由于，所以，可设的方程为，在直线上取点，求出点关于直线的对称点，代入方程，即得解； （2）与的交点坐标为也在上，另取上不同于的一点，求出关于的对称点为，利用两个点坐标求出直线方程，即得解 【解答过程】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 【题型6 光线反射问题】 【例6】（24-25高二上·河北唐山·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据对称点在反射光线上，即可根据两点求解斜率，即可得直线方程. 【解答过程】点关于轴的对称点为， 故，在反射光线所在的直线上，故， 直线方程为，即， 故选：C. 【变式6-1】（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）如图已知，，，若光线从点射出，直线反射后到直线上，再经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由点关于轴的对称点，设点关于直线的对称点列方程组求出，，从而求出直线，联立，得点坐标，由此能求出光线所在的直线方程． 【解答过程】由题意知，过点和点的直线为，且点， 设光线分别射在上的处， 由于光线从点经两次反射后又回到点， 根据反射规律，则 作出点关于的对称点，作出点关于的对称点， 则 所以共线， 因为，所以， 点关于轴的对称点 设点关于直线的对称点 所以，解得， 所以直线，即 联立，得， 所以直线，即光线L所在的直线方程为 故选：C． 【变式6-2】（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知点 ，直线 . (1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程； (2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据平行设出直线方程，再根据点在线上求参即可； （2）设点关于直线的对称点为，再根据斜率及中点在直线上求出，最后应用两点式写出直线方程. 【解答过程】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为， 故可设直线的方程为， 因为点在直线上， 所以， 所以， 所以直线的方程为 （2）设点关于直线的对称点为． 由题意得， 解得，所以点的坐标为， 所以反射光线所在直线斜率为， 直线方程为． 【变式6-3】（24-25高二上·四川·期中）在等腰直角三角形中，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、反射后又回到原点，光线经过的重心.（若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有. (1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标； (2)求点的坐标； (3)求的周长. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，写出三个顶点的坐标，即可求出该三角形重心的坐标； （2）设，求出点直线、的对称点、的坐标，根据、、、共线且光线经过的重心，结合斜率公式可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出点的坐标； （3）由对称性可知，，可得出的周长为，结合两点间的距离公式求解即可. 【解答过程】（1）在等腰直角三角形中，，则， 以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、， 故的重心的坐标为，即； （2）设，关于直线、的对称点分别设为、，则， 设，直线的方程为， 则，解得，即， 由光的反射原理可知、、、共线，且光线经过的重心， 故，解得或（舍去），故. （3）由（2）可得、，由题意可知，， 故的周长. 【题型7 将军饮马问题】 【例7】（24-25高二上·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】作点关于直线的对称点为，则最短路程为.根据点关于 直线的对称问题，列方程组，可求得，再应用两点间的距离公式求即可. 【解答过程】如图，作点关于直线的对称点为，    则，解得， 所以. 则“将军饮马”的最短总路程为. 故选：C. 【变式7-1】（24-25高二上·河北石家庄·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将已知变形设出，，则为点分别到点，的距离之和，则，即可根据两点间距离计算得出答案. 【解答过程】， ， 设，，， 则为点分别到点，的距离之和， 点关于轴的对称点的坐标为， 连接， 则， 当且仅当，，三点共线时取等号， 故选：B. 【变式7-2】（24-25高二上·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出点关于直线的对称点为，则线段的长度即为最短总路程，再利用两点间的距离公式进行求解． 【解答过程】设点关于直线的对称点为， 则，解得， ，又点 故“将军饮马”的最短总路程为． 故选：A． 【变式7-3】（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【答案】B 【解题思路】由题意画出图形，则由三角形三边关系可知点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 三点共线满足题意，其中点为点关于直线的对称点，对于A，由根据被垂直平分求出的坐标进一步可求得方程对比即可；对于B，联立直线方程求解即可；对于C，由两点求出斜率，写出直线的点斜式方程，化简对比即可；对于D，根据两点间距离公式求解即可. 【解答过程】如图所示： 由题意可知在的同侧，设点关于直线的对称点为， 三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 对于A，直线的斜率为，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是，即，故A正确； 对于B，联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，故B正确； 对于C，由C选项分析可知点，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，，即“将军饮马”走过的总路程为，故D错误. 故选：B. 【题型8 对称关系中的最值问题】 【例8】（24-25高二上·吉林长春·期中）已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【解题思路】利用两点的距离公式结合“将军饮马”模型计算最值即可. 【解答过程】如图，为点到原点和到点的距离之和， 即． 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 则，当三点共线时，取到最小值， 且最小值为． 故选：D. 【变式8-1】（24-25高二上·重庆·开学考试）已知点，在直线上存在一点，使最小，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，点A、B在直线的同侧，利用轴对称的性质求出点关于直线的对称点的坐标，可知直线与的交点就是所求的点，进而求得答案. 【解答过程】设为点关于直线的对称点，则的中点为， 由轴对称的性质，可得，解得，即. 直线的方程为，即， 由，解得，即直线与交于点. ，当点三点共线时， 即直线上的点与重合时，达到最小值， 故满足条件的点坐标为. 故选：C. 【变式8-2】（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知直线的方程为. (1)当时，求点到直线的距离； (2)当时，为直线上一动点，若，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）运用点到线的距离公式求解即可. （2）设点关于直线的对称点，求出坐标，结合求解即可. 【解答过程】（1）当时，直线的方程为， 所以点到直线的距离为. （2）当时，直线的方程为， 设点关于直线的对称点，如图所示， 则，解得，即， 所以， 故的最小值为. 【变式8-3】（24-25高二上·河南南阳·期中）已知直线：． (1)若直线m与平行，且m，之间的距离为，求m的方程； (2)P为上一点，点，，求取得最大值时点P的坐标． 【答案】(1)或； (2). 【解题思路】（1）设出直线m的方程，利用平行线间距离公式列式求解. （2）求出点关于直线的对称点坐标，结合图形，利用线段和差关系确定点位置，进而求出其坐标. 【解答过程】（1）由直线m与平行，设直线m的方程为， 由m，之间的距离为，得，解得或， 所以直线m的方程为或. （2）设点关于直线：的对称点为， 则，解得，即， 而，当且仅当三点共线时取等号， 直线的方程为，即， 由，解得，点， 所以取得最大值时点P的坐标.    2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $