专题02 常用逻辑用语（压轴题5大类型专项训练）数学人教A版2019必修第一册

专题02 常用逻辑用语 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、充分必要条件的判断及参数问题 1 类型二、充要条件的判断与证明 3 类型三、命题的真假判断及参数问题 4 类型四、常用逻辑用语与集合的综合考查 5 类型五、常用逻辑用语结合新定义问题 7 压轴专练 8 【说明】试题或者解析中区间的概念说明：设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 类型一、充分必要条件的判断及参数问题 1、充分必要条件的判断 若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则 (1)若A⊆B,则p是q的充分条件. (2)若B⊆A,则p是q的必要条件. (3)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件. (4)若B⫋A,则p是q的必要不充分条件. (5)若A不是B的子集且B不是A的子集,则p是q的既不充分也不必要条件. 2、参数问题 根据条件与结论之间的充分、必要性求解参数的取值范围问题,首先根据条件和结论对应的命题理出推出关系,并将该推出关系转化为构成条件和结论对应的集合的子集、真子集关系,再构建不等式(组)求解. 一、单选题 1．（24-25高一下·天津·月考）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·贵州遵义·月考）已知是的充分不必要条件，是的充要条件，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·四川泸州·期末）已知实数x，y，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·江西·月考）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（24-25高一上·湖南邵阳·月考）“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（    ） A． B．m<1 C． D． 6．（23-24高一上·河北秦皇岛·月考）已知是一元二次方程的两个不等实根，则“且”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 类型二、充要条件的判断与证明 证明p是q的充要条件分两步,一是充分性,将p当作已知条件,结合命题的前提条件,推证q;二是必要性,将q当作已知条件,结合命题的前提条件,推证p. 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏连云港·月考）设，，，则“关于的方程有一个根是1”是“”的（    ）条件 A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 2．（24-25高一上·江苏淮安·期中）设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 3．（24-25高一上·陕西西安·月考）给出下列各组条件： ①：，：；②：，：； ③：，：方程有实根；④：或，：. 其中是的充要条件的有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 二、解答题 4．（24-25高一上·安徽淮南·月考）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 5．（24-25高一上·上海·月考）已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 类型三、命题的真假判断及参数问题 1、全称量词命题与存在量词命题的真假判定的技巧 （1）全称量词命题的真假判定: 要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只需举出集合M中的一个x,使得 p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). （2）存在量词命题的真假判定: 要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x,使p(x)成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题. 2、利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧 （1）含参数的全称量词命题为真时,常转化为不等式的恒成立问题来处理,最终通过构造函数转化为求函数的最值问题. （2）含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解的问题来处理,最终借助根的判别式或函数等相关知识来解决. （3）根据含有量词的命题的真假求参数的取值范围,若是直接求解比较简单,就可以直接求解参数的取值范围;若是直接求解比较复杂,可以根据原命题与其否定必然真假相反,转化为命题的否定问题. 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，命题是奇数，则（   ） A．是奇数．是假命题 B．是奇数．是真命题 C．是奇数．是真命题 D．是奇数．是假命题 2．（23-24高一上·广东肇庆·月考）命题“对于任意，都有”的否定命题是（   ） A．存在，使 B．存在，使 C．对于任意，不都有 D．对于任意，都没有 3．（23-24高一上·山东淄博·期中）下列命题的否定为假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25高一上·浙江·期中）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 二、填空题 5．（24-25高一上·江苏常州·期中）命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为 . 6．（24-25高一上·云南昭通·月考）若命题“，”为真命题，则实数k的最大值为 7．（24-25高一上·福建厦门·月考）已知命题：“，，使得”是假命题，则实数m的取值范围是 . 8．（23-24高一上·江苏无锡·月考）已知命题“，都有”，且是假命题，则实数的取值范围是 . 类型四、常用逻辑用语与集合的综合考查 一、单选题 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·江苏常州·月考）已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·湖南长沙·月考）设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，命题“，使得”，则命题p的否定为 ；若p为假命题，则实数a的取值范围是 . 三、解答题 7．（24-25高一上·河南南阳·月考）已知集合，或. (1)求，； (2)若集合，且为假命题，求的取值范围． 8．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，. (1)若，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 9．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 类型五、常用逻辑用语结合新定义问题 一、单选题 1．（23-24高一上·上海闵行·月考）已知是非空数集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集.给出两个命题：命题：若非空集合，是封闭集，则是封闭集；命题：若非空集合，是封闭集，且，则是封闭集.则（    ） A．命题真命题真 B．命题真命题假 C．命题假命题真 D．命题假命题假 2．（23-24高一上·陕西咸阳·月考）若实数满足，且，则称与互补．记，那么是与互补的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·湖南长沙·月考）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（    ） A． B． C．若，则 D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 4．（24-25高一上·北京·期中）我们用记号表示不超过的最大整数，如，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一上·江西新余·月考）定义，设是某集合的三个子集，且满足，则下列正确的是（   ） A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的既不充分也不必要条件 二、解答题 6．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，． (1)若，定义集合或，求； (2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若___________，求实数的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 一、单选题 1．（24-25高一上·广东·期中）已知命题，；命题，，则（   ） A．和都是假命题 B．和都是假命题 C．和都是假命题 D．和都是假命题 2．（24-25高一上·河南·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（23-24高一上·江西南昌·月考）已知非空集合，则的充要条件是（   ） A．， B．， C．，且， D．， 4．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．，或 D．，或 5．（24-25高一下·上海·期末）已知，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 6．（24-25高一上·四川自贡·月考）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（24-25高一上·湖北·月考）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·江苏徐州·月考）如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（25-26高一上·全国·课后作业）设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·福建泉州·月考）甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 11．（2024·江苏南通·模拟预测）已知为的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·湖南长沙·月考）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·湖南·月考）在整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．下列结论正确的是（    ） A． B． C．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” D．若，则 二、多选题 14．（2025高一·全国·专题练习）十七世纪法国数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”.经历三百多年，于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理.根据前面叙述，下列命题正确的为（    ） A．存在至少一组正整数组是关于x，y，z的方程的解； B．关于x，y的方程有正有理数解； C．关于x，y的方程没有正有理数解； D．当整数时，关于x，y，z的方程有正实数解. 三、填空题 15．（23-24高一上·湖南常德·月考）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 ． 16．（23-24高一上·福建莆田·月考）已知命题“，”，命题“，”．若命题和命题都是真命题，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题 17．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18．（24-25高一上·全国·课堂例题）证明：，，，是等式恒成立的充要条件． 19．（23-24高一上·河南·期中）已知集合，． (1)若，均有，求实数的取值范围； (2)若，设：，，求证：成立的充要条件为． 20．（24-25高一上·贵州遵义·月考）已知：关于的方程有实根，：关于的方程的解在内. (1)若是真命题，求的取值范围； (2)若和中恰有一个是真命题，求的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 常用逻辑用语 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、充分必要条件的判断及参数问题 1 类型二、充要条件的判断与证明 4 类型三、命题的真假判断及参数问题 7 类型四、常用逻辑用语与集合的综合考查 11 类型五、常用逻辑用语结合新定义问题 16 压轴专练 21 【说明】试题或者解析中区间的概念说明：设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 类型一、充分必要条件的判断及参数问题 1、充分必要条件的判断 若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则 (1)若A⊆B,则p是q的充分条件. (2)若B⊆A,则p是q的必要条件. (3)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件. (4)若B⫋A,则p是q的必要不充分条件. (5)若A不是B的子集且B不是A的子集,则p是q的既不充分也不必要条件. 2、参数问题 根据条件与结论之间的充分、必要性求解参数的取值范围问题,首先根据条件和结论对应的命题理出推出关系,并将该推出关系转化为构成条件和结论对应的集合的子集、真子集关系,再构建不等式(组)求解. 一、单选题 1．（24-25高一下·天津·月考）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】，得，得或，所以“”不是“”的充分条件， 反过来，能推出，“”是“”的必要条件. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2．（24-25高一上·贵州遵义·月考）已知是的充分不必要条件，是的充要条件，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的概念求解即可. 【详解】由题意知，，， 所以可得，而推不出， 则是的充分不必要条件， 故选：A 3．（23-24高一上·四川泸州·期末）已知实数x，y，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件定义判断即可. 【详解】当,取,可得,充分条件不成立; ,必要条件成立; 故选：B. 4．（24-25高一上·江西·月考）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】由推不出，例如， 由可得或，当时不能推出， 例如； 所以是的既不充分又不必要条件， 故选：D 5．（24-25高一上·湖南邵阳·月考）“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（    ） A． B．m<1 C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得的取值范围，再根据充分不必要条件即可得结论. 【详解】“方程至多有一个实数解”的充要条件 为，解得， 又是的充分不必要条件， 故选：. 6．（23-24高一上·河北秦皇岛·月考）已知是一元二次方程的两个不等实根，则“且”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】举反例，对充分性和必要性进行证明或判断. 【详解】取，，而，， 所以由且不能推出且， 取，，满足且， 所以由且不能推出且， 所以且是且的既不充分也不必要条件. 故选：D. 类型二、充要条件的判断与证明 证明p是q的充要条件分两步,一是充分性,将p当作已知条件,结合命题的前提条件,推证q;二是必要性,将q当作已知条件,结合命题的前提条件,推证p. 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏连云港·月考）设，，，则“关于的方程有一个根是1”是“”的（    ）条件 A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】分别验证充分性和必要性得到答案. 【详解】若是方程的根，则； 若，则，即是方程的根. 综上所述：关于的方程有一个根是1是的充要条件. 故选：A. 2．（24-25高一上·江苏淮安·期中）设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 【答案】A 【分析】将化为求解，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】由，则，可得或，即至少有一个为1， 所以“”的充要条件为至少有一个为1，故只有A符合，其它选项均不符. 故选：A 3．（24-25高一上·陕西西安·月考）给出下列各组条件： ①：，：；②：，：； ③：，：方程有实根；④：或，：. 其中是的充要条件的有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】A 【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐个判定，即可求解. 【详解】①由，即中至少有一个为0， 又由，可得且，即同时为0， 即，所以是的必要不充分条件； ②由，可得，即， 所以，可得，即， 所以是的充要条件. ③方程有实数根的充要条件是，解得， 所以，所以是有实数根的充分不必要条件. ④：或，：. 所以，所以或是的必要不充分条件. 故选：A. 二、解答题 4．（24-25高一上·安徽淮南·月考）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【答案】证明见解析. 【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可. 【详解】充分性： 若，则， 即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 5．（24-25高一上·上海·月考）已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】由已知结合二次方程根的存在条件检验充分及必要性即可证明. 【详解】证明：（充分性）将代入方程， 得，即， 解得，为整数根； 将代入方程， 得，即， 解得或，为整数根； 所以是两个方程的根都是整数的充分条件； （必要性）若方程有实根， 则，即， 若方程有实根， 则即，即， 所以上述两个方程都有实根等价于， ，， 当时，方程可化为，无整数根； 当时，方程可化为，无整数根； 当时，上述两个方程都有整数根， 所以上述两个方程都有整数根的必要条件是； 综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是. 类型三、命题的真假判断及参数问题 1、全称量词命题与存在量词命题的真假判定的技巧 （1）全称量词命题的真假判定: 要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只需举出集合M中的一个x,使得 p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). （2）存在量词命题的真假判定: 要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x,使p(x)成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题. 2、利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧 （1）含参数的全称量词命题为真时,常转化为不等式的恒成立问题来处理,最终通过构造函数转化为求函数的最值问题. （2）含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解的问题来处理,最终借助根的判别式或函数等相关知识来解决. （3）根据含有量词的命题的真假求参数的取值范围,若是直接求解比较简单,就可以直接求解参数的取值范围;若是直接求解比较复杂,可以根据原命题与其否定必然真假相反,转化为命题的否定问题. 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，命题是奇数，则（   ） A．是奇数．是假命题 B．是奇数．是真命题 C．是奇数．是真命题 D．是奇数．是假命题 【答案】A 【详解】因为，且1是奇数，所以A正确． 2．（23-24高一上·广东肇庆·月考）命题“对于任意，都有”的否定命题是（   ） A．存在，使 B．存在，使 C．对于任意，不都有 D．对于任意，都没有 【答案】B 【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解. 【详解】解：因为命题“对于任意，都有”是全称量词命题， 所以其否定命题为存在量词命题，即“存在，使”. 故选：B. 3．（23-24高一上·山东淄博·期中）下列命题的否定为假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据原命题与其否定真假性相反可得. 【详解】选项A：因无实数解，故命题，为假命题，其否定为真命题，故A错误； 选项B：当时，，当时，， 故，即命题，为假命题，其否定为真命题，故B错误； 选项C：当时，因为， 所以，即， 故命题，为真命题，其否定为假命题，故C正确； 选项D：，因，所以不一定为有理数， 故命题，为假命题，其否定为真命题，故D错误. 故选：C 4．（24-25高一上·浙江·期中）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【分析】代入或1并结合全称命题的否定判断即可； 【详解】当时，成立，所以命题为真命题； 当或1时，命题为假命题，所以为真命题； 故选：C. 二、填空题 5．（24-25高一上·江苏常州·期中）命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】即无解，据此可得答案 【详解】因，，则在R上无解， 则. 故答案为： 6．（24-25高一上·云南昭通·月考）若命题“，”为真命题，则实数k的最大值为 【答案】 【分析】由题意可得，利用单调性可求在的最小值. 【详解】命题“，”为真命题， 所以，又在上单调递增， 所以，所以， 所以实数k的最大值为. 故答案为：. 7．（24-25高一上·福建厦门·月考）已知命题：“，，使得”是假命题，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】先分析得命题是真命题的等价条件，从而求得的取值范围，进而求得命题为假命题时的取值范围，由此得解. 【详解】若命题：“，，使得”是真命题， 则它等价于， 因为，，则， 所以当命题为假命题时，. 故答案为：. 8．（23-24高一上·江苏无锡·月考）已知命题“，都有”，且是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据是假命题，则是真命题.进而得到，根据集合之间的包含关系构造不等式组，计算即可. 【详解】是假命题，则是真命题. 由于，都有， 则. 可得 . 实数的取值范围是. 故答案为：. 类型四、常用逻辑用语与集合的综合考查 一、单选题 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得到，再逐项判断即可. 【详解】由，可得， 所以错误，错误， 错误，，即，正确. 故选：D. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若命题p为真，则集合B中所有的元素都在集合A中，即.又，所以解得，故. 3．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】若，则,分与讨论，结合元素的互异性求出，再根据充分条件与必要条件的定义即可判断. 【详解】若，则. ①若，则，则，满足； ②若，则或. 时，，满足； 时，与元素的互异性相矛盾，故舍去. 综上所述，若，或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 4．（24-25高一上·江苏常州·月考）已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得出两个集合之间的关系：，再对集合B中的不等式求解，分类讨论研究即可． 【详解】由题意知： ①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故； 综上所述：． 故选：A． 5．（23-24高一上·湖南长沙·月考）设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系及交集的定义，结合充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】1.判断充分性 已知，所以. 又因为，即中的元素都在中.而中的元素都不在中， 所以和没有公共元素，即. 由此可知，当“存在集合使得，”时，能推出“”， 所以“存在集合使得，”是“”的充分条件. 2. 判断必要性 已知，即和没有公共元素.此时取集合， 那么对于全集，就是由所有不属于但属于的元素组成的集合.如图， 因为和没有公共元素，所以中的元素都不属于，即， 同时（即）.所以当“”时， 能推出“存在集合使得，”， 所以“存在集合使得，”是“”的必要条件. 则“存在集合使得，”是“”的充分必要条件. 故选：C. 二、填空题 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，命题“，使得”，则命题p的否定为 ；若p为假命题，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】若p为假命题，则其否定命题“”为真命题.当时，集合，符合；当时，因为，所以由，得对于任意恒成立，所以，则.综上，当p为假命题时，. 三、解答题 7．（24-25高一上·河南南阳·月考）已知集合，或. (1)求，； (2)若集合，且为假命题，求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）由集合的交并补运算可得解； （2）转化条件为，对是否为空集讨论即可得解. 【详解】（1）由或，则， 又，则或， 故或； （2）∵为假命题， ∴为真命题，即， 又，， 当时，，即，； 当时，由可得， ，或， 解得， 综上，m的取值范围为. 8．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，. (1)若，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用集合的基本运算即可得到结果. （2）由是的充分条件可得，讨论和，根据子集的概念即可得结果. 【详解】（1）当时，，， ∴. （2）∵是的充分条件，∴. 当时，，即，满足； 当时，， 由可得，解得. 综上，实数的取值范围为或. 9．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，可得或， 因为，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 类型五、常用逻辑用语结合新定义问题 一、单选题 1．（23-24高一上·上海闵行·月考）已知是非空数集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集.给出两个命题：命题：若非空集合，是封闭集，则是封闭集；命题：若非空集合，是封闭集，且，则是封闭集.则（    ） A．命题真命题真 B．命题真命题假 C．命题假命题真 D．命题假命题假 【答案】C 【分析】对命题举反例说明即可；对于命题：设，由是封闭集，可得，从而判断为正确； 【详解】对命题：令，则集合是封闭集， 故， 但，故不是封闭集，故命题假； 对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集， 所以， 同理可得， 所以， 所以是封闭集，故命题真； 故选：C 2．（23-24高一上·陕西咸阳·月考）若实数满足，且，则称与互补．记，那么是与互补的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】解：因为， 所以，即， 显然， 所以，所以，且， 所以是与互补的充分条件； 当与互补时，则有，且， 所以，中至少有一个数为0， 所以，， 所以， 所以是与互补的必要条件； 所以是与互补的充要条件. 故选：C. 3．（24-25高一上·湖南长沙·月考）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（    ） A． B． C．若，则 D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 【答案】C 【分析】根据“类”的定义可直接判断AB均错误，根据可得，即C正确，整数属于同一“类”的充要条件是“”，即D错误. 【详解】对于A，易知，能被整除，因此可得，即A错误； 对于B，可得，因此可得，可得B错误； 对于C，由可设， 所以，即，所以C正确； 对于D，整数属于同一“类”，则余数相同，作差余数为0，即，可知充分性成立； 若，则除以5之后的余数相同，故整数属于同一“类”， 因此整数属于同一“类”的充要条件是“”，即D错误. 故选：C 4．（24-25高一上·北京·期中）我们用记号表示不超过的最大整数，如，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据定义，利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当，时，满足， 此时，，即， 所以“”不是“”的充分条件； 当，时，，， 此时，，即，此时， 所以“”不是“”的必要条件， 综上所述“”是“”既不充分也不必要条件， 故选：D. 5．（24-25高一上·江西新余·月考）定义，设是某集合的三个子集，且满足，则下列正确的是（   ） A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】作出示意图，由可知两个阴影部分均为，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】如图，由于，故两个阴影部分均为， 于是，， 若，则IIV， 而，成立; 反之，若， 则由于，， . 故是的充要条件， 故选：A. 二、解答题 6．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，． (1)若，定义集合或，求； (2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若___________，求实数的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据集合间运算的新定义直接得解； （2）根据集合间的关系及命题的充分必要性列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）由已知当时，， 又， 则； （2）若选①，则由，得， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，，解得， 且，解得； 综上所述，实数的取值范围为； 若选②，由“”是“”的充分不必要条件， 则， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，，解得， 且且不同时取等号，解得； 综上所述，实数的取值范围为. 一、单选题 1．（24-25高一上·广东·期中）已知命题，；命题，，则（   ） A．和都是假命题 B．和都是假命题 C．和都是假命题 D．和都是假命题 【答案】B 【分析】根据条件可分析出命题为真命题，命题为假命题，则为假命题，为真命题，依次判断各选项即可. 【详解】由得，故命题是真命题，是假命题； 由得，，无解，故是假命题，是真命题，综上，和都是假命题. 故选：B. 2．（24-25高一上·河南·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】结合特例及平方数和绝对值的定义，根据充分条件和必要条件的概念判断即可. 【详解】若，，满足，但不成立； 若，则，则成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．（23-24高一上·江西南昌·月考）已知非空集合，则的充要条件是（   ） A．， B．， C．，且， D．， 【答案】D 【分析】根据充要条件的定义判断． 【详解】由，可得集合中存在元素不在集合中，结合各选项可得，的充要条件是，． 故选：D． 4．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．，或 D．，或 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的否定的定义判断即可. 【详解】命题，的否定为：，或， 故选：C. 5．（24-25高一下·上海·期末）已知，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件来判断. 【详解】当时，一定成立，故充分性成立， 当时，则，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 6．（24-25高一上·四川自贡·月考）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】通过，得，再根据充要条件的判断方法判断即可. 【详解】因为，，，所以中的元素都是中的元素， 又因为，，，所以中的元素都是中的元素， 所以，所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 7．（24-25高一上·湖北·月考）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题； 因为集合，集合， 所以，当时，即时，成立， 当时， 由“，”得，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A 8．（23-24高一上·江苏徐州·月考）如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据取整函数的定义，结合特列法以及充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】如果，那么和的整数部分是相同的，所以， 即“”是“”的必要条件， 如果，那么和的整数部分不一定相同， 例如，所以“”不是“”的充分条件. 综上，“”是“的必要不充分条件. 故选：B. 9．（25-26高一上·全国·课后作业）设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记边a，b，c所对的角分别为A，B，C．根据题意，则，故证明如下：必要性，在中，假设是锐角，作，为垂足，如图1．显然，即．充分性，在中，因为，所以不是直角．假设为钝角，如图2，作，交BC的延长线于点．则，即，与矛盾．故为锐角，则，都为锐角，即为锐角三角形． 10．（24-25高一上·福建泉州·月考）甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 【答案】C 【分析】根据此数为小于5的正整数得到，再推出C是A的真子集，A是B的真子集，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】因为此数为小于5的正整数， 故， 因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件， 所以C是A的真子集，A是B的真子集， 故且，解得， 故“”中的数字可以是1或2. 故选：C 11．（2024·江苏南通·模拟预测）已知为的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得到集合的关系，作出集合的图，由图对各个选项进行判断. 【详解】因为，所以，如图： 对于选项A，由题意知是的真子集，故，故A不正确； 对于选项B，由是的真子集且都不是空集知，，，故B正确； 对于选项C，由是的真子集知，，故C不正确． 对于选项D，由是的真子集，故，故D不正确． 故选：B 12．（23-24高一上·湖南长沙·月考）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到命题的一个充要条件，然后将充分不必要条件转化为真子集，再结合选项即可得到结果. 【详解】命题“”为真命题， 可化为命题“”恒成立， 时显然成立． 当时只需的最小值即可．解得． 故命题“”为真命题的一个充要条件是， 由选项可知，A符合题意． 故选：A． 13．（24-25高一上·湖南·月考）在整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．下列结论正确的是（    ） A． B． C．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” D．若，则 【答案】D 【分析】由“类”的定义代入计算可判断A、B、D，分别验证C选项的充分性和必要性可判断C. 【详解】对于A，因为，所以，A错误． 对于B，每个整数除以4所得的余数只有0，1，2，3，没有其他余数，所以，又， 所以，B错误． 对于C，若，则， 所以； 若，则，不妨设， 则，所以， 所以a，b除以4所得的余数相同，即属于同一“类”． 故整数a，b属于同一“类”的充要条件是“”，C错误． 对于D，由，可设， 则， 因为，所以，D正确． 故选：D. 二、多选题 14．（2025高一·全国·专题练习）十七世纪法国数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”.经历三百多年，于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理.根据前面叙述，下列命题正确的为（    ） A．存在至少一组正整数组是关于x，y，z的方程的解； B．关于x，y的方程有正有理数解； C．关于x，y的方程没有正有理数解； D．当整数时，关于x，y，z的方程有正实数解. 【答案】CD 【分析】对于A：根据题意分析判断即可；对于BC：注意到BC选项是对立的，结合题意分析判断即可；对于D：举例说明即可. 【详解】对于A：当整数时，关于x，y，z的方程没有正整数解， 故方程没有正整数解，A错误； 对于BC：没有正整数解，即，， 没有正有理数解，B错误，C正确； 对于D：方程，当满足条件，故有正实数解，D正确. 故选：CD. 三、填空题 15．（23-24高一上·湖南常德·月考）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题，即可由恒成立求解最值求解. 【详解】命题“”的否定为“”，且其否定为真命题，所以， 故答案为： 16．（23-24高一上·福建莆田·月考）已知命题“，”，命题“，”．若命题和命题都是真命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，分别求得命题和命题都是真命题时，实数的取值范围，列出不等式组，即可求解. 【详解】由命题“，”，可得， 因为命题为真命题，所以； 又由命题“，”，可得，解得或， 因为命题和命题都是真命题，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 17．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入算出，根据并集概念计算即可； （2）根据交集概念，结合空集条件，由此列不等式来求得取值范围. （3）根据充分不必要条件转化为集合与集合的关系，由此列不等式来求得取值范围. 【详解】（1）当时，由得，， （2），. 又.实数的取值范围. （3）“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集， ，. . 实数的取值范围是. 18．（24-25高一上·全国·课堂例题）证明：，，，是等式恒成立的充要条件． 【答案】证明见解析. 【分析】利用充分性和必要性的定义证明即可. 【详解】证明：充分性： 若，，，， 则等式自然恒成立． 必要性： 由于等式恒成立，分别令、1、、，并代入上式， 得 由此，可得，，，． 故，，，是等式恒成立的充要条件. 19．（23-24高一上·河南·期中）已知集合，． (1)若，均有，求实数的取值范围； (2)若，设：，，求证：成立的充要条件为． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据二次不等式，解得集合的元素，利用分类讨论思想，可得答案； （2）根据充要条件的定义，利用集合之间的包含关系，可得答案. 【详解】（1）． 因为，均有，所以． 当时，，满足题意； 当时，，解得，所以． 综上，，即的取值范围是． （2）证明：充分性：当时，则， 所以当时，，所以，为真命题，充分性成立； 必要性：若：，为真命题，则：，为假命题． 先求：，为真命题时的范围， 因为，所以，由：，，得． 则或，解得或，所以． 因为：，为假命题，所以. 综上，若，则成立的充要条件为． 20．（24-25高一上·贵州遵义·月考）已知：关于的方程有实根，：关于的方程的解在内. (1)若是真命题，求的取值范围； (2)若和中恰有一个是真命题，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由命题是真命题求出的取值范围，根据其补集即可得出是真命题时的取值范围； （2）利用判别式求出为真时的范围，分真假，假真两种情况求解即可. 【详解】（1）由解得， 所以，解得， 因为命题是真命题，则命题是假命题， 所以或. 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，命题是真命题，即， 若为真命题，即关于的方程有实数根， 因此，解得， 则为假命题时，. 当真假时，则，解得； 当假真时，则，解得. 综上，和中恰有一个是真命题时，的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$