专题02 利用空间向量求距离、夹角问题（压轴题9大类型专项训练）数学人教A版2019选择性必修第一册

专题02 利用空间向量求距离、夹角问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、求点到线的距离 1 类型二、求点到面的距离 2 类型三、求线面距、面面距、异面直线间的距离 4 类型四、距离中的最值范围问题 5 类型五、求异面直线所成角 7 类型六、求直线与平面所成角 8 类型七、已知线面角求其他量 10 类型八、求二面角及平面与平面所成角 11 类型九、已知二面角求其他量 13 压轴专练 14 类型一、求点到线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 一、单选题 1．（24-25高二下·甘肃白银·期末）已知空间中有，，三点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西晋中·期末）在长方体中，，，点满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（   ） A． B． C． D． 类型二、求点到面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，有一个三棱柱，其中，，，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 3．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，点E在棱上，且，则点B到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·福建龙岩·期中）如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 类型三、求线面距、面面距、异面直线间的距离 1、异面直线的距离（线线距） （1）公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条. （2）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度. 2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 一、单选题 1．（23-24高二上·河北沧州·月考）两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖南邵阳·月考）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 类型四、距离中的最值范围问题 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·云南玉溪·月考）在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川绵阳·月考）已知正方体的棱长为2，点P为线段上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东佛山·期末）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是3，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，则MN的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高二下·江苏盐城·月考）已知长方体中，，点为侧面内任一点（含边界），且点到点的距离与到面的距离相等，点分别为的中点，则三棱锥的体积的最大值为 ． 6．（24-25高二上·上海·期末）如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ． 类型五、求异面直线所成角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤： （1）建立适当的空间直角坐标系， （2）求出两条异面直线的方向向量的坐标， （3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角， （4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角． 3、求两条异面直线所成角的两个关注点 （1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角． （2）范围：异面直线所成角的范围是，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值． 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏·开学考试）直三棱柱中，，，则与所成角为 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·陕西西安·期末）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025高二·全国·专题练习）在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为28，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 类型六、求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 一、单选题 1．（23-24高二上·福建南平·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的正弦值为（  ） A． B． C． D．1 2．（24-25高二上·山东济宁·月考）在四棱锥中，底面为正方形，底面分别为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽亳州·月考）将边长为1的正方形及其内部绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与C在平面的同侧，则直线与平面所成的角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广西河池·月考）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，E为棱的中点，则到平面的夹角余弦值为（   ） A． B． C． D． 类型七、已知线面角求其他量 一、单选题 1．（23-24高二上·广西·期末）如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东广州·期末）在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河南洛阳·月考）如图，在四面体中，平面平面是边长为6的正三角形，是等腰直角三角形，是的中点，，若平面，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高二上·辽宁大连·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，为棱的中点，且为棱上的一点，若与平面所成角的正弦值为，则 .    5．（24-25高二上·辽宁·期中）已知正方体的棱长为1，点，分别是线段，上的两个动点，若与底面所成角的度数为，则线段长度的取值范围是 . 类型八、求二面角及平面与平面所成角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为钝二面角（取负），则； 一、单选题 1．（24-25高二上·山东·月考）已知平面，的法向量分别为，，则平面，的夹角的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东湛江·期末）在棱长为2的正方体中，若，则平面与平面夹角的余弦值（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二·全国·假期作业）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东东莞·月考）在正方体中，平面经过点B，D，平面经过点A，，当平面，分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江苏泰州·月考）如图，在体积为5的多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，为BC的中点，.则平面PCD与平面QAB夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 类型九、已知二面角求其他量 一、单选题 1．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 2．（23-24高二上·陕西宝鸡·月考）如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（    ）      A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在四棱锥中，底面是正方形，底面，若二面角的大小为，则的值为 ． 4．（23-24高二上·安徽亳州·期末）在正方体中，设，若二面角的平面角的正弦值为，则实数的值为 ． 5．（24-25高二上·河南·月考）如图，将两个相同的四棱锥与对称摆放组成一个多面体，已知平面，四边形是边长为2的正方形，若平面与平面的夹角为，则该多面体的体积为 . 6．（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，在三棱柱中中，两两互相垂直，是线段上的点，平面与平面所成锐二面角为，当最小时， .    一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁锦州·期中）若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线，所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东湛江·月考）直线的方向向量与共线，平面的一个法向量为，则直线和平面的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖北武汉·期末）在四棱锥中，，，，则此四棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·重庆·月考）在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·辽宁·期末）如图，平面ABCD，，，，，点M为BQ的中点，若，则N到平面CPM的距离为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·北京顺义·一模）六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·重庆·月考）在棱长为1的正方体中，分别是线段的中点，则直线到平面的距离是（    ）    A． B． C． D． 8．（24-25高二上·河南驻马店·期末）青铜豆最早见于商代晚期，盛行于春秋战国时期，它不仅可以作为盛放食物的铜器.还是一件十分重要的礼器，图①为河南出土的战国青铜器—方豆，豆盘以上是长方体容器和正四棱台的斗形盖.图②是与主体结构相似的几何体，其中，，，点为上一点，且，点为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 9．（23-24高二上·河南漯河·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 10．（23-24高二下·江苏连云港·月考）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 11．（2024高二·全国·专题练习）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，，且，为的中点，则二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·北京·期中）如图，在正方体中，点是线段上任意一点，则与平面所成角的正弦值不可能是（    ）    A． B． C． D．1 13．（23-24高二上·山东泰安·月考）三棱柱的侧棱与底面垂直，，，N是BC的中点，点P在上，且满足，当直线PN与平面ABC所成的角最大时的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 14．（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，侧面为矩形，平面平面，，为的中点，，，若点到直线的距离为2，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·河北邢台·月考）如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 16．（24-25高二上·四川眉山·月考）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为的正方体中，直线与之间的距离是（     ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·辽宁·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高二上·北京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图，在四棱锥中，已知：平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，若点是中点，则四棱锥体积的最大值是（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 20．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 三、填空题 21．（24-25高二上·陕西榆林·期末）如图，在长方体中，，，点为线段的中点，点是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，则 ． 22．（24-25高二上·北京·月考）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，E，F分别为PC，CD的中点，，且二面角的平面角大于，则的取值范围是 . 23．（24-25高二上·河南南阳·月考）在四棱柱中，平面，，，，，其中，.若与底面所成角的正弦值为，则的最大值是 . 24．（23-24高二上·宁夏·月考）如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，则当平面与平面所成角的余弦值为时，三棱锥的体积为 .    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 利用空间向量求距离、夹角问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、求点到线的距离 1 类型二、求点到面的距离 4 类型三、求线面距、面面距、异面直线间的距离 8 类型四、距离中的最值范围问题 13 类型五、求异面直线所成角 20 类型六、求直线与平面所成角 24 类型七、已知线面角求其他量 28 类型八、求二面角及平面与平面所成角 34 类型九、已知二面角求其他量 39 压轴专练 46 类型一、求点到线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 一、单选题 1．（24-25高二下·甘肃白银·期末）已知空间中有，，三点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间中点到直线距离的向量方法，构造方向向量，根据公式，求出点到直线的距离即可. 【详解】由题意得，， 所以点到直线的距离. 故选：A. 2．（24-25高二上·山西晋中·期末）在长方体中，，，点满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法求点到直线的距离即可. 【详解】 如图所示，建立空间直角坐标系， 以为坐标原点，以、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，设点到直线的距离为， 所以，， 根据点到直线距离公式有：， 所以. 故选：C 3．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线的距离. 【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，得， 由点E在棱BC上，且，得，的重心， 则，，，， 所以点G到直线AE的距离. 故选：A 类型二、求点到面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方体建系，分别求出相关点和向量的坐标，计算出平面APQ的法向量坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得. 【详解】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，平面的中心，平面的中心， 于是，， 设平面的法向量为，则，取，得， 则点B到平面APQ的距离为. 故选：B 2．（24-25高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，有一个三棱柱，其中，，，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】直接利用点到平面距离的向量公式求解即可． 【详解】设平面的法向量， 则，令，则，， 则平面的一个法向量为， 因平面平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，即． 故选：C. 3．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出平面的一个法向量，利用点到平面距离的向量求法计算可得结果. 【详解】设平面的一个法向量为， 则，令，可得，； 所以， 则点到平面的距离为. 故选：D 4．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，点E在棱上，且，则点B到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及点到面的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为，则． 令，则，，∴． ∴点B到平面的距离． 故选：C 5．（24-25高二下·福建龙岩·期中）如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，设，连接，证明平面，再以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】连接，设，连接， 由，得，所以， 因为底面是菱形，所以， 又因为，且，在平面内， 所以平面， 在中，，，所以， 如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 故，，， 设平面的法向量为， 则有，令，得， 所以点到平面的距离. 故选：C. 类型三、求线面距、面面距、异面直线间的距离 1、异面直线的距离（线线距） （1）公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条. （2）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度. 2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 一、单选题 1．（23-24高二上·河北沧州·月考）两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量求解 【详解】∵两平行平面分别经过坐标原点O和点， 且两平面的一个法向量， ∴两平面间的距离． 故选：A 2．（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B 3．（23-24高二上·湖南邵阳·月考）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D.      4．（24-25高二下·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，可得且交于，再由面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影， 所以面， 连接，，则且交于. 因为 面， 所以，. 所以以，，为 ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 则，，，，， 所以，. 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有 ，即，取. 又因为， 所以异面直线与的距离. 所以异面直线与的距离为. 故选：B 类型四、距离中的最值范围问题 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量求得点到直线的距离的表达式，再由二次函数性质可求得最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，可得， 设，所以可得； 因此， 因此点到直线的距离为 . 当（满足题意）时，取得最小值，即点到直线的距离的最小值为. 故选：A 2．（24-25高二上·云南玉溪·月考）在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点O，由题意得，接着建立空间直角坐标系求出向量和平面的法向量即可根据向量法的点到平面距离公式求解. 【详解】连接交于点O， 由题意，得，， ， 如图，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，设， 所以，       设平面的一个法向量为，则， 所以，取， 则， 设顶点B到平面距离为d， 则， 当时， 当时，， 所以当即时点B到平面距离最大为. 故选：A. 3．（23-24高二上·四川绵阳·月考）已知正方体的棱长为2，点P为线段上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出一个与都垂直的向量的坐标，根据空间距离的向量求法即可求得答案. 【详解】以A为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，    则， 故， 设， 则； 设为与都垂直的向量， 则，令，则， 因为由题意点P到直线的距离的最小值可认为是异面直线和的之间的长度， 故点P到直线的距离的最小值为， 故选：A 4．（24-25高二上·广东佛山·期末）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是3，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，则MN的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，证明两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法求出最小值. 【详解】由正方形，得，而平面平面，平面， 得平面，又四边形是正方形，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，， 设与都垂直的向量，则，令，得， 所以的最小值为. 故选：B 【点睛】思路点睛：求两条异面直线上两点间距离最小值，可以利用空间向量求出两条异面直线的公共法向量，再求投影长即可. 二、填空题 5．（24-25高二下·江苏盐城·月考）已知长方体中，，点为侧面内任一点（含边界），且点到点的距离与到面的距离相等，点分别为的中点，则三棱锥的体积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】构建合适的空间直角坐标系，若且，可得，再应用向量法求到面的距离的最大值，最后应用三棱锥的体积公式求最大体积. 【详解】由题意，构建如下图示的空间直角坐标系，则，，，， 若且，则，整理得， 由，，是面的一个法向量， 则，取，则， 又，则到面的距离， 综上，，故时， 显然是边长为的等边三角形，故， 所以三棱锥的体积的最大值为. 故答案为： 6．（24-25高二上·上海·期末）如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ． 【答案】 【分析】如图以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，根据题意设，然后利用空间向量求出点到的最小距离，从而可求出点的坐标，进而可求出的长 【详解】如图以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ，， 则， 设，则， 因为‖，所以，得， 所以（），则， 设点到的距离为，则 ， 所以当时，取得最小值，此时的面积取得最小值， 所以， 所以 故答案为： 类型五、求异面直线所成角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤： （1）建立适当的空间直角坐标系， （2）求出两条异面直线的方向向量的坐标， （3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角， （4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角． 3、求两条异面直线所成角的两个关注点 （1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角． （2）范围：异面直线所成角的范围是，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值． 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏·开学考试）直三棱柱中，，，则与所成角为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三棱柱的性质，建立空间直角坐标系，结合向量的坐标运算和向量夹角公式，即可求解. 【详解】根据题意，以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，令， 则，，，，所以，， 设与所成角为，则，所以与所成角为. 故选：C. 2．（24-25高二上·陕西西安·期末）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解. 【详解】依题意，，， 设直线与直线的夹角为，则， 所以直线与直线夹角的正弦值. 故选：C 3．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求两异面直线夹角的余弦值. 【详解】在直三棱柱中以B为顶点，BA为x轴，在平面ABC内过点B作垂直于AB的直线为y轴，为z轴建立空间直角坐标系如图所示：   ， ，， 设异面直线与所成角为， 则. 故选：A 4．（2025高二·全国·专题练习）在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为28，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：通过作辅助线构造异面直线所成角，再利用四棱台体积公式求出高，结合平面几何知识和余弦定理求解. 解法二：建立空间直角坐标系，求出相关向量，利用向量的夹角公式求解，再根据异面直线所成角的范围得到结果. 【详解】解法一：过点作，交于点，则为异面直线与所成的角或其补角. 设该正四棱台的高为，则，得. ，故. 过点作交于点，则， .连接，易得， 在中，利用余弦定理可得， 故异面直线与所成角的余弦值为. 解法二：设该正四棱台的高为，上底面与下底面的中心分别为，，连接，由题知，得.由正四棱台的性质知平面， 以为坐标原点，过点分别与平行的直线为轴，轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，， 所以，，， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 类型六、求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 一、单选题 1．（23-24高二上·福建南平·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的正弦值为（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】设与所成角的大小为，则，从而计算可得. 【详解】设与所成角的大小为， 则， 故与所成角的正弦值为. 故选：A 2．（24-25高二上·山东济宁·月考）在四棱锥中，底面为正方形，底面分别为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，得出直线方向向量，利用线面角公式计算即可得. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设， 则，，，， 由分别为的中点，则，， 则，，, 设平面的法向量为， 则，设，则， 所以平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， . 故选：C. 3．（23-24高二上·安徽亳州·月考）将边长为1的正方形及其内部绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与C在平面的同侧，则直线与平面所成的角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】由题意，，， 如图所示，建立空间直角坐标系．    则， ∴ 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， ∴． 故选：D． 4．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系.求平面的一个法向量，以及直线的方向向量，则即为所求. 【详解】如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系. 则平面的一个法向量为， 设正三棱柱中，，则，， 所以，所以, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A 5．（24-25高二上·广西河池·月考）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，E为棱的中点，则到平面的夹角余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】底面ABCD为等腰梯形，， 如图，在底面ABCD中，过点D作，垂足为H， 以D为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 则， 可得，， 设平面的法向量为，则， 令，则， 可得平面的一个法向量为， 设到平面的夹角为， 则， 可得，所以到平面的夹角余弦值为. 故选：B． 类型七、已知线面角求其他量 一、单选题 1．（23-24高二上·广西·期末）如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出各点坐标，求得平面法向量，利用线面角公式计算化简求得答案. 【详解】由正三棱柱，且，根据坐标系可得：，，又是正三棱柱的底面内一动点，则，所以，又平面ABC，所以是平面ABC的一个法向量，因为直线PA和底面ABC所成的角为， 所以，整理得，又z＝2，所以. 故选:A. 2．（24-25高二上·广东广州·期末）在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，用向量法即可求出底面边长，即可求解. 【详解】 如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设底面正方形边长为， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，可取， 所以， 因直线与平面所成角的余弦值为， 故直线与平面所成角的正弦值为， 所以，解得 故正四棱柱的体积为， 故选：B. 3．（24-25高二上·河南洛阳·月考）如图，在四面体中，平面平面是边长为6的正三角形，是等腰直角三角形，是的中点，，若平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出及平面的法向量，利用它们数量积为0求解即可. 【详解】连接，由为等边三角形，则， 又平面平面，是交线，平面， 所以平面，又平面，所以, 因为为等腰三角形，是的中点，所以， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则． ， ， ． 设平面的一个法向量为，则 取，则． 因为平面，所以，解得． 故选：A 二、填空题 4．（23-24高二上·辽宁大连·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，为棱的中点，且为棱上的一点，若与平面所成角的正弦值为，则 .    【答案】/ 【分析】根据给定条件，证得平面，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即得. 【详解】过点作，交于点，由，为中点，得， 又，且，平面，则平面， 而平面，有，又是矩形，则两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图：    由，，为中点，得，为的中点， 则点，，，，， ，,，， 令，， 设平面法向量为，则，令，得， 由与平面所成角的正弦值为，得， 解得，所以. 故答案为： 5．（24-25高二上·辽宁·期中）已知正方体的棱长为1，点，分别是线段，上的两个动点，若与底面所成角的度数为，则线段长度的取值范围是 . 【答案】 【分析】由三点共线，引入两个参数，，由与底面所成角为得出，的数量关系以及各自的范围，进一步将长度表示为的函数即可得解. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，，， 由题意可设，，其中， 所以， 显然为平面的法向量， 所以， 化简得， 显然（否则矛盾）， 从而，解得， ， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上的最小值为，最大值为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于得到，，由此即可得解. 类型八、求二面角及平面与平面所成角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为钝二面角（取负），则； 一、单选题 1．（24-25高二上·山东·月考）已知平面，的法向量分别为，，则平面，的夹角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两个平面的夹角公式，再利用两个平面的夹角，即可求得结果. 【详解】由向量与， 得， 又，则，所以平面，的夹角的大小为． 故选：C． 2．（24-25高二上·广东湛江·期末）在棱长为2的正方体中，若，则平面与平面夹角的余弦值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求解求解. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ，由，得， 则， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 所以平面与平面夹角的余弦值. 故选：D 3．（25-26高二·全国·假期作业）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据面面垂直的性质定理，可得平面，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后利用向量法直接求解面面角的余弦值即可． 【详解】如图，连接， 因为为中点， 所以， 又平面底面，平面底面平面， 所以平面，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，由， 可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，得， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为． 故选：B． 4．（24-25高二上·广东东莞·月考）在正方体中，平面经过点B，D，平面经过点A，，当平面，分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据题意转化为过体对角线的平面与平面夹角的余弦值，利用向量坐标法求平面的法向量，即可求解. 【详解】如图：因为正方体中过体对角线的截面面积最大， 所以题目转化为求平面与平面夹角的余弦值， 以D点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，平面与平面的夹角为， 因为平面，平面，所以， 且，，平面， 所以平面，同理平面， 所以为平面的一个法向量，为平面的一个法向量， ，，， ，，则. 故选：C. 5．（23-24高二下·江苏泰州·月考）如图，在体积为5的多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，为BC的中点，.则平面PCD与平面QAB夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，再根据体积公式，结合棱柱与棱锥的体积关系，结合等体积法可得，即可建立空间直角坐标系，运用法向量求解. 【详解】在中，由余弦定理可得， 所以，所以，所以． 又因为，平面, 所以平面,平面，所以． 由于,所以四边形为平行四边形，所以． 又，所以，所以． 因为，所以， 又，平面，所以平面，则面． 取中点，连接，由面，面，则面面，面面， 根据已知易知，所以为三棱柱， 设，多面体的体积为， 则 ． 解得． 建立如图所示的空间直角坐标系，则，． 则平面的一个法向量，且， 设平面的一个法向量，则即取． 所以，平面与平面夹角的余弦值为． 故选：C 类型九、已知二面角求其他量 一、单选题 1．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 【答案】B 【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 2．（23-24高二上·陕西宝鸡·月考）如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设出，，求出两平面的法向量，从而根据两平面的所成角得到方程，求出，求出BE的长的最大值. 【详解】依题意，，，两两互相垂直， 以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.      设，（，，且m，n不同时为0）， 则，，，所以，. 设平面AEF的一个法向量为， 则， 令，得，则， 显然为平面ABC的一个法向量. 因为平面与平面所成角的大小为， 所以， 即， 得， 所以，所以当时，m取得最大值，最大值为. 故选：B 二、填空题 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在四棱锥中，底面是正方形，底面，若二面角的大小为，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量坐标，再利用面面角的向量求法列式计算即得. 【详解】四棱锥的底面是正方形，底面， 建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，， 设平面和平面的法向量分别为， 则，令，得； ，令，得， 依题意，解得，所以. 故答案为：1 4．（23-24高二上·安徽亳州·期末）在正方体中，设，若二面角的平面角的正弦值为，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量方法用表示二面角的平面角的余弦值，建立方程求解即可. 【详解】建立空间直角坐标系如图所示， 设棱长为1，, 则， ， 设平面，平面的一个法向量分别为， 所以，，即，， 分别令，则， 故， 设二面角的平面角为， 由，则， 故由， 解得或. 5．（24-25高二上·河南·月考）如图，将两个相同的四棱锥与对称摆放组成一个多面体，已知平面，四边形是边长为2的正方形，若平面与平面的夹角为，则该多面体的体积为 . 【答案】 【分析】由题中条件可得平面，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面与平面的法向量，根据题中条件和向量夹角公式求出，然后利用棱锥的体积公式求解. 【详解】∵平面，平面，∴，， 又，，平面，∴平面， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则, ， 设平面的法向量为， 由，令，则，， 设平面的法向量为， 由，令，则，， 若平面与平面的夹角为， 则，解得， 所以该多面体的体积为. 故答案为：. 6．（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，在三棱柱中中，两两互相垂直，是线段上的点，平面与平面所成锐二面角为，当最小时， .    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设出的长，求出平面与平面的法向量，借助面面角的向量求法求出关系，再判断当取最小时的长，进而求得的大小. 【详解】在三棱柱中，两两垂直，建立空间直角坐标系，如图：    依题意，设，则， 则，， 设平面的法向量为，则，令，得， 平面的法向量， 由平面与平面所成（锐）二面角为，得， 化简得，当取得最大值时，最小，此时，， 且，所以. 故答案为: 【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算． 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁锦州·期中）若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线，所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量夹角的坐标表示求出线线角. 【详解】向量与， 得， 而，则， 所以直线，所成角的大小. 故选：B 2．（23-24高二上·广东湛江·月考）直线的方向向量与共线，平面的一个法向量为，则直线和平面的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量求出直线与平面夹角的正弦即可. 【详解】设直线和平面的夹角为，则， 所以直线和平面的夹角的余弦值是. 故选：B 3．（24-25高二上·湖北武汉·期末）在四棱锥中，，，，则此四棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件，求平面的法向量，再求向量在法向量上的投影向量的大小即可得结论. 【详解】设平面的法向量为， 则，又，， 所以， 令，可得，， 所以为平面的一个法向量， 又， 所以向量在法向量上的投影向量的大小为， 所以四棱锥的高为. 故选：D. 4．（24-25高二下·重庆·月考）在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，取中点，平面即为平面再根据线面角的向量法求解即可. 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 取中点，因为是棱的中点，故， 又平面，平面，则平面， 故平面即为平面 ， ， 设平面的一个法向量为，即， 令则，即为平面的一个法向量， 线面角的正弦值为. 故选：C 5．（24-25高二上·辽宁·期末）如图，平面ABCD，，，，，点M为BQ的中点，若，则N到平面CPM的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求点面距离即可. 【详解】因为平面，，易知AD，CD，PD两两垂直， 以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 依题意得，，，. 所以，，， 设为平面CPM的法向量，则，即， 不妨设，可得， 由，得， 则N到平面CPM的距离为. 故选：B 6．（2025·北京顺义·一模）六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法求平面与平面的夹角即可. 【详解】 设正八面体的棱长为，连接、相较于点，连接， 根据正八面体的性质可知为正方形，，平面， 建立如图所示，以为坐标原点， 分别以、、为、、轴的空间直角坐标系， ，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 则有：，所以， ，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 则有：，所以， 设平面与平面夹角为，则， 平面与平面夹角的余弦值为. 故选：D 7．（24-25高二上·重庆·月考）在棱长为1的正方体中，分别是线段的中点，则直线到平面的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，结合线面平行以及点面距公式求得直线到平面的距离. 【详解】由题意，构建如图示的空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，则点到平面的距离， 又，平面，平面，则平面， 所以点到平面的距离，即直线到平面的距离，为.    故选：D 8．（24-25高二上·河南驻马店·期末）青铜豆最早见于商代晚期，盛行于春秋战国时期，它不仅可以作为盛放食物的铜器.还是一件十分重要的礼器，图①为河南出土的战国青铜器—方豆，豆盘以上是长方体容器和正四棱台的斗形盖.图②是与主体结构相似的几何体，其中，，，点为上一点，且，点为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合长方体及正四棱台的结构特征建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线线角的余弦值. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，在正四棱台中， 点到平面距离为, 则，， 因此， 所以异面直线与夹角的余弦值为. 故选：A    9．（23-24高二上·河南漯河·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，令， 则， 设平面的法向量为， ∵，，则， 令，则，∴， 又平面的法向量为， 故， 设平面与平面所成角为，，则， 故平面与平面夹角的正弦值为. 故选：C. 10．（23-24高二下·江苏连云港·月考）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式计算即可． 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以点到平面的距离为， 故选：D． 11．（2024高二·全国·专题练习）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，，且，为的中点，则二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分别以直线为轴，轴，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可得到结果. 【详解】 分别以直线为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，，，，， ∴，， 设为平面的一个法向量， 由，取，则， 取平面的一个法向量， 设二面角为，则， ∴． 故选:C 12．（23-24高二上·北京·期中）如图，在正方体中，点是线段上任意一点，则与平面所成角的正弦值不可能是（    ）    A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出与平面所成角的余弦值范围，即可得出正弦值的范围. 【详解】以为原点建立空间直角坐标系如图：设棱长为1， 则，设， 所以，平面的法向量为 ， 所以则与平面所成角的正弦值取值范围为. 对比各选项，C项不可能. 故选：C    13．（23-24高二上·山东泰安·月考）三棱柱的侧棱与底面垂直，，，N是BC的中点，点P在上，且满足，当直线PN与平面ABC所成的角最大时的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN与平面ABC所成的角，即可求得结论． 【详解】如图，以AB，AC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，， 平面ABC的一个法向量为， 设直线PN与平面ABC所成的角为， ， 当时，，此时角最大． 故选：D．      14．（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，侧面为矩形，平面平面，，为的中点，，，若点到直线的距离为2，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，证得平面，进而建系，利用异面直线夹角向量法求解即可； 【详解】取的中点，连接，则，因为平面平面， 且平面与平面交于，所以平面. 如图，以为坐标原点，分别以，的方向为轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.设， 则，，，，所以，， 所以点到直线的距离， 解得.因为，， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 15．（23-24高二上·河北邢台·月考）如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为菱形纸片沿对角线折成直二面角， 所以平面平面， 因为是菱形，是的中点， 所以，， 而平面平面，平面， 所以平面，而平面， 所以， 以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴， 为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，． 设平面的法向量为， 则得取，则， 得平面的一个法向量为， 易得平面的一个法向量为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 故选：A    16．（24-25高二上·四川眉山·月考）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为的正方体中，直线与之间的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设点为上一点， 则点到距离的最小值即为直线与之间的距离，利用空间中点到直线的距离公式结合二次函数的最值即可求解. 【详解】 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设点为上一点， 则点到距离的最小值即为直线与之间的距离， 已知正方体棱长为2，所以， 设，所以，， 设与共线的单位向量， 所以点到的距离 ， 令， 则当时，， 所以直线与之间的距离为. 故选：. 17．（24-25高二上·辽宁·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得点到直线的距离的取值范围，即可得解. 【详解】因为平面，， 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接，则、，设，其中， 所以，， 则点到直线的距离 ， 设，因为，所以，则. 所以，点到直线的距离的最小值为， 故选：A. 18．（24-25高二上·北京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离，进而利用向量法求异面直线与的距离，从而可得面积的最小值. 【详解】因为，点到直线的距离最小时面积取得最小值, 而点在线段上，直线与互为异面直线， 因此点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离. 下面用向量法求异面直线与的距离： 以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，,, ，，, 设异面直线与公垂线的方向向量为，则， 即，得， 令，则，即， 于是异面直线与的距离为， 又， 所以面积的最小值为. 故选：B 19．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图，在四棱锥中，已知：平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，若点是中点，则四棱锥体积的最大值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据两两垂直建立空间直角坐标系，然后得到各点的坐标，再应用二面角的空间向量解法得到参数的关系式，最后根据体积公式得到最值即可. 【详解】因为平面且， 所以以为轴建立空间直角坐标系，如图所示，     ， 因为已知是四边形内部一点，所以设， 其中且（即点在平面内部）， 则， 因为平面平面，所以平面的法向量为， 又因为， 设平面的法向量为， 则，即，由题易得，令，则， 所以， 因为二面角的平面角大小为， 所以， 即，解得①， 因为点是中点，所以到平面的距离为， 所以要使得四棱锥体积的最大， 则，即要取到最大值， 由①知时， 此时点不在四边形内部，矛盾， 故当时体积取到最大值，此时， 所以， 故选：D 【点睛】方法点睛：碰到两两垂直的线段时，往往可以借助空间向量法来解决，需要在求解法向量的时候注意不求错即可. 二、多选题 20．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】空间向量法求两点间距离判断A，求点到直线距离判断B，应用点到平面距离判断C，求面面距离判断D选项. 【详解】以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意知，， ， ． 设平面的法向量为， 所以则可得平面的一个法向量为． 点F到点E的距离，故A正确； 点F到直线的距离为，故B正确； 点F到平面的距离，故C正确； 由正方体的性质可知，平面平面， 平面到平面的距离即为点F到平面的距离．故D错误． 故选：ABC． 三、填空题 21．（24-25高二上·陕西榆林·期末）如图，在长方体中，，，点为线段的中点，点是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，则 ． 【答案】 【分析】以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，根据直线与平面所成角的向量求法可得答案. 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， ， 设为平面的一个法向量， 可得，即，令，则， 所以， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得，或舍去， 所以，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量求解. 22．（24-25高二上·北京·月考）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，E，F分别为PC，CD的中点，，且二面角的平面角大于，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设，向量法表示出二面角的平面角的余弦值，结合题意建立关于k的不等式，解之即可得到实数k的取值范围． 【详解】以A为原点，以为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图所示， 设，则， ，，且平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则 ，取，有，可得 ，                                                   设二面角的大小为，则， 化简得，所以， 所以实数k的取值范围. 故答案为： 23．（24-25高二上·河南南阳·月考）在四棱柱中，平面，，，，，其中，.若与底面所成角的正弦值为，则的最大值是 . 【答案】（或） 【分析】以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算计算向量与平面的法向量，由线面夹角的正弦公式列方程可得的关系，结合基本不等式求最值即可得结论. 【详解】因为四棱柱中，平面，， 所以如图所示，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 则，， 所以. 易得是平面的一个法向量. 所以， 即. 因为，，所以， 当且仅当时，等号成立.令，则，解得或（舍去）， 则，故的最大值为. 故答案为：（或）. 24．（23-24高二上·宁夏·月考）如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，则当平面与平面所成角的余弦值为时，三棱锥的体积为 .    【答案】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法结合面面角求出，再根据锥体的体积公式即可得解. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 设， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有， 令，则，所以， 因为轴平面， 则可取平面的法向量为， 则，解得或（舍去）， 所以， 故. 故答案为：.      【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下： （1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）； （3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$