专题01 集合10大重点题型（专项训练）高一数学人教A版2019必修第一册

专题01 集合 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、数集与点集 1 题型二、集合中元素的互异性应用（常考点） 3 题型三、集合与元素中的参数问题 4 题型四、子集、真子集的个数 6 题型五、集合间的基本关系中的参数问题（重点） 7 题型六、集合的交、并、补运算 10 题型七、韦恩图和容斥原理 11 题型八、集合的基本运算中的参数问题（难点） 14 题型九、集合中的结构不良问题 17 题型十、集合的新定义问题 20 B综合攻坚・能力跃升 23 【说明】试题或者解析中区间的概念说明：设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 题型一、数集与点集 1．（24-25高一上·湖北·期中）下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据元素和集合的关系进行判断，得到答案. 【详解】，①正确；，②正确； 为元素，为集合，两者不能用等号连接，应，③错误； ，④错误；，⑤错误；，⑥正确. 故选：A 2．（24-25高一上·福建泉州·月考）方程组解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】解方程求方程组的解，进而写出解集. 【详解】由，解得或， 所以方程组解集是. 故选：C. 3．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据集合描述法用列举法求出集合中元素得解. 【详解】因为集合，， 所以, 故选：D 4．集合中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】，，可能的取值为，分别代入可得，得到元素个数. 【详解】因为，所以．又，所以， 所以可能的取值为，分别代入可得， 所以集合A中共有6个元素． 故选：D 题型二、集合中元素的互异性应用（常考点） 1．已知集合中含有两个元素，则实数的取值范围是 ；若，则 ． 【答案】 或 【分析】根据集合的互异性求解即可. 【详解】对于①，由集合的互异性知，； 对于②，当时，即或， 由集合的互异性得满足条件，不满足； 当时，即或， 由集合的互异性得满足条件，不满足； 综上所述，或. 故答案为：①，②或. 2．已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ． 【答案】且 【分析】根据集合中元素的互异性求解. 【详解】由集合中元素的互异性可知，，解得且， 故答案为：且 3．（24-25高一上·浙江·开学考试）若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据集合相等，对应元素相同，即可求解 【详解】由于集合等于集合，所以， 此时可得，则，可得， 当，不满足集合元素互异性,故舍， 所以， 所以， 故答案为： 4．（24-25高一上·青海西宁·月考）已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）转化条件或，验证元素的互异性即可求解； （2）按照，讨论，验证即可求解. 【详解】（1）∵， 当，即时，此时，不成立， 当，即，此时，成立， ∴； （2）由题意可得，， 若，则，不符合题意， 若，则，不符合题意， 故不存在实数a和x的值，使得. 题型三、集合与元素中的参数问题 1．（24-25高一上·安徽·月考）已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合中的元素特征得出不等式组可解得结果. 【详解】由且，得 解得， 故选：A． 2．（24-25高一上·上海虹口·月考）若集合的子集只有两个，则实数 ． 【答案】0或 【分析】根据题意知道A有一个元素，然后讨论a是否为0，然后得出a的值即可． 【详解】的子集只有两个，有一个元素， ①时，，满足题意； ②时，，解得， 或． 故答案为：0或． 3．若集合中至多有一个元素，求k的取值范围． 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论，结合判别式列式求解即可. 【详解】因为集合中至多有一个元素， 当时，，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：k的取值范围或. 4．（24-25高一上·云南红河·期中）记关于的方程的解集为，且恰有3个元素． (1)证明：； (2)若以中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求a,b的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为的值为62． 【分析】（1）先对原方程进行等价变形；再根据题意、求根公式和两个方程判别式之间的关系可得出，进而可证得. （2）先根据求出方程的三个实数根；再根据题意，利用勾股定理列出关于方程求解即可. 【详解】（1）证明：原方程等价于或， 即或. 因为关于的方程的解集为，且恰有3个元素， 所以方程或均有实数根， 由求根公式可得：，， ，. 由于， 所以当时，恰有3个元素，即． （2）由（1）知，，原方程等价于或， 则两个方程的三个根分别为. 若它们是直角三角形的三边， 则且 解得：． 故的值为，的值为62． 题型四、子集、真子集的个数 1．（24-25高一上·湖北恩施·月考）已知集合，则集合的真子集个数为（    ） A．1 B．7 C．15 D．31 【答案】C 【分析】由集合中元素个数，判断真子集的个数. 【详解】，共有4个元素，故集合的真子集个数为. 故选：C. 2．若，则集合M的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】因为为M的真子集，所以，且M中至少还有一个元素．又，所以或或，故满足条件的集合M有3个． 3．已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，联立方程组，求得集合中的元素个数，进而的集合的子集的个数，得到答案. 【详解】根据题意，联立方程组，可得， 所以，解得，即集合， 所以集合的子集个数为2个． 故选：C． 4．已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据题设有则，结合集合的描述得，即可确定子集个数. 【详解】由，则，又，且 所以，故子集个数为. 故选：B 5．（24-25高一上·吉林长春·月考）若，，则集合B的非空真子集的个数为 . 【答案】6 【分析】用穷举法求出集合，再求集合B的非空真子集的个数即可. 【详解】由题意，当，或时，或； 当，或时，或； 当，或时，或； 综合以上可知，； 所以集合B的非空真子集的个数为， 故答案为：6 6．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据真子集的个数得，即可求解. 【详解】因为集合有15个真子集，所以集合中包含4个元素， 所以，所以，则实数的取值范围为． 故答案为： 题型五、集合间的基本关系中的参数问题（重点） 1．已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据，列不等式组，求解即可. 【详解】因为，又 ，且 ， 所以需满足， 解得 . 故选：C 2．已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．0，1或 【答案】D 【分析】按照Q为空集和Q不是空集分类讨论，利用集合关系及方程的解列式求解即可. 【详解】，， 由题意，当Q为空集时，，满足； 当Q不是空集时，， 由得或，解得或． 综上，a的值是0，1或. 故选：D 3．如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的关系可得的范围. 【详解】因为，不等式（1）的解集是：； 不等式（2）的解集是：， 因为，不等式组的解集是， 所以，不等式组的解集在数轴上的大致范围，如图所示，    仔细观察数轴，要想保证有公共部分，不等式的解集的部分，必须在的左边或与3相等，因此，的范围应该是：，所以的范围是. 故选：D. 4．（24-25高一上·广西南宁·月考）设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（   ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先解出集合，再由得到，最后根据包含关系求出实数即可； 【详解】， 因为，所以， 所以， 对应实数的值分别为， 其组成集合的子集个数为个. 故选：D. 5．（24-25高一上·青海西宁·月考）集合，集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，分和两种情况讨论即可. 【详解】因为， ①当时，，解得， ②当时，， 解得， 综上所述，的取值范围是为：. 故选：A 6．（23-24高一上·上海浦东新·月考）已知集合，若，求的取值范围 【答案】或 【分析】根据给定条件，按集合是空集和非空集合，结合集合的包含关系列式求解作答. 【详解】依题意，当时，，解得，此时有，则， 当时，由，得或，解得或， 所以的取值范围是或. 故答案为：或 题型六、集合的交、并、补运算 1．（24-25高一上·河南郑州·月考）已知全集，，. (1)求，； (2)求，. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据条件化简集合，利用集合的基本运算得到结果. （2）根据补集的概念计算，利用集合的基本运算得到结果. 【详解】（1）由题意得，，，， ∴. （2）由题意得，，， ∴，. 2．（24-25高一上·天津·期中）已知全集，集合或. (1)求； (2)求； (3)求. 【答案】(1)或； (2)或； (3). 【分析】（1）根据并集的概念求解； （2）先利用补集的概念求出，再利用并集的概念求解； （3）先利用补集的概念求出，再利用交集的概念求解. 【详解】（1）∵集合或， ∴或. （2）∵全集，集合， ∴或， 又或， ∴或. （3）∵全集，或，∴， 又因为或， ∴. 3．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，，求： (1)，； (2)，． 【答案】(1)或， (2)或，. 【分析】（1）根据集合的交并补运算即可； （2）根据集合的交并补运算即可. 【详解】（1）由， 可得， 则或，， （2）由题意得或， ， 因此或， . 题型七、韦恩图和容斥原理 1．若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据韦恩图可知图中阴影部分表示的集合为，结合补集和交集的定义与运算即可求解. 【详解】由图可知图中阴影部分表示的集合为. 又或，， 所以. 故选：A 2．（24-25高一上·河北保定·期中）某班同学参加课外兴趣小组，有三个兴趣小组可供选择，要求每位同学至少选择一个小组，经统计有20人参加奥数小组，16人参加编程小组，10人参加书法小组，同时参加奥数小组和编程小组的有12人，同时参加奥数小组和书法小组的有6人，同时参加编程小组和书法小组的有5人，三种都参加的有3人，则该班学生人数为（    ） A．27 B．23 C．26 D．29 【答案】C 【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题. 【详解】作出韦恩图，如图所示， 可知5人只喜欢奥数，2人只喜欢编程，2人只喜欢书法， 同时喜欢奥数和编程但不喜欢书法的有9人， 同时喜欢编程和书法但不喜欢奥数的有2人， 同时喜欢奥数和书法但不喜欢编程的有3人， 三种都喜欢的有3人， 则该班学生人数为. 故选：C. 3．（24-25高一上·陕西榆林·月考）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(    ). A．10 B．9 C．7 D．4 【答案】A 【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解. 【详解】有15人参加篮球社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋 社团的有3人，没有人同时参加三个社团，所以只参加篮球社团的9人； 设同时参加AI社团和围棋社团有人，因为有8人参加AI社团， 同时参加篮球社团和AI社团的有3人，所以只参加AI社团的有人； 又因为有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人， 所以只参加围棋社团的有人.综上所述，共有30人参加了学校社团， 所以，解得， 故只参加围棋社团的人数为人. 故选：A. 4．（24-25高一上·福建福州·月考）（多选题）图中阴影部分用集合表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据交集、补集以及图象等知识来确定正确答案. 【详解】根据图象可知，阴影部分表示的集合是， 所以AB选项正确、C选项错误. 而，不符合题意，D选项错误. 故选：AB 5．（24-25高一上·江苏苏州·月考）（多选题）下图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】结合韦恩图，利用交并补的定义表述即得. 【详解】由图形可知，阴影部分用集合符号可以表示为或者. 故选：AD. 题型八、集合的基本运算中的参数问题（难点） 1．设全集，集合，则的值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】根据补集运算以及集合相等解方程可得结果. 【详解】由以及可得； 即，所以，解得. 故选：A 2．（24-25高一下·河南·月考）已知集合，集合B满足，则a的所有可能取值的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题设等式得出与的关系，确定的可能取值，即得所有可能取值的集合. 【详解】易知，所以，因此或π， 所以a的所有可能取值的集合为． 故选：D． 3．已知集合，若，则实数（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据列式，由此求得的值. 【详解】由得， 所以或， 解得. 故选：C 4．（24-25高一上·天津·期中）已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）应用集合的交补运算求集合； （2）根据题设有，讨论、列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，或， 则，； （2）由，且，则， 当时，，即； 当时，，即； 所以. 5．已知全集. (1)若中有四个元素，求和q的值； (2)若，求实数q的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据全集及条件可判断方程有相等实根即可得解； （2）转化为方程无实根，利用判别式求解即可. 【详解】（1）因为中有四个元素，所以A为单元素集合， 则方程有两个相等的实数解. 又由根与系数的关系知，这两个相等解的积为4， 所以只有，从而，所以. 所以. （2）由知，即方程无解， 所以，解得， 故实数q的取值范围是. 6．设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】解：（1）解法1  易知，所以．又，且，所以，解得，故实数的取值范围是． 解法2  由，知，又，，所以，解得，故实数的取值范围是． （2）因为，，，所以，解得，故实数的取值范围是． （3）因为，或，，所以，解得，故实数的取值范围是． 7．（23-24高一上·浙江·期中）已知集合，．请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)条件选择见解析，. 【分析】(1)取化简，化简A，再根据交集的定义求； (2)若选①，由可得，讨论的正负，由条件列不等式求a的取值范围；若选②，讨论的正负，化简集合，结合条件列不等式求a的取值范围；若选③，讨论的正负，化简集合，结合条件列不等式求a的取值范围. 【详解】（1）由题意得，． 当时，， ∴； （2）选择①． ∵，∴， 当时，，不满足，舍去； 当时，，要使，则，解得； 当时，，此时，不满足，舍去． 综上，实数的取值范围为． 选择② ∵，∴， 当时，，不满足，舍去； 当时，，要使，则，解得； 当时，，此时，不满足，舍去． 综上，实数的取值范围为． 选择③ ∵，∴， 当时，，不满足，舍去； 当时，，要使，则，解得； 当时，，此时，不满足，舍去． 综上，实数的取值范围为． 题型九、集合中的结构不良问题 1．在①或；②或这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中． 问题：已知全集，，且_________，求. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案见解析 【分析】根据所选条件，先求得，进而求得. 【详解】，则. 若选择①，或， 则. 若选择②，或， 则. 2．（23-24高一上·福建宁德·月考）已知集合． (1)若集合，求a的取值范围． (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：______，若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，得到不等式，即可求解； （2）分别选择条件①②③，根据，分和，两种情况讨论，结合集合的运算，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：当时，可得，解得， 所以a的取值范围为． （2）解：选择条件①：，因， 当时，，解得，此时满足； 当时，要使得，则满足或，解得， 所以的取值范围为. 选择条件②：，可得， 因为， 当时，，解得，此时满足； 当时，要使得，则，此时无解， 所以的取值范围为． 选择条件③：，因为， 当时，，解得，此时满足； 当时，要使得，则，解得， 所以的取值范围为． 3．（24-25高一上·山东青岛·月考）设全集为，集合. (1)当时，求图中阴影部分表示的集合; (2)在①;②;③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意可知，阴影部分表示的集合是，通过集合运算解决即可； （2）选择①②③，均可得，这里注意集合为空集这种情况，再通过子集之间的包含关系求解即可. 【详解】（1）由集合知，，解得或，所以， 当时，结合图知. （2）选择①②③，均可得. 当时，，解得; 当时，或，解得或，即. 综上所述，实数的取值范围是. 4．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在（2）问中的横线上，并求解，若__________，求实数的取值范围． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1) (2)条件选择见解析， 【分析】（1）当时，利用补集和并集可求得集合； （2）若选①，分、两种情况讨论，根据可得出关于的不等式组，综合可得出实数的取值范围； 若选②，分、两种情况讨论，在时直接验证即可，在时，根据可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； 若选③，分析可得，同①. 【详解】（1）解：当时，，或， 所以，，因此，. （2）解：若选①，当时，则时，即当时，成立， 当时，即当时，即当时， 由可得，解得，此时. 综上，； 若选②，当时，则时，即当时，成立， 当时，即当时，即当时， 由可得，解得，此时. 综上，； 若选③，由可得， 当时，则时，即当时，成立， 当时，即当时，即当时， 由可得，解得，此时. 综上，. 题型十、集合的新定义问题 1．（24-25高一上·山东青岛·月考）在研究集合时，用来表示有限集合中元素的个数.集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用新定义与集合的交集运算得到，进而求得的取值范围，从而得解. 【详解】根据题意可知集合中有两个元素， 又，，所以， 则. 故选：A. 2．（24-25高一下·湖南长沙·期末）设集合，若集合满足，，称为集合的一个“三分划”（不考虑的顺序，即与视作同一种情况）．对于集合，在的所有“三分划”中，满足集合中元素之和相等的“三分划”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】求出集合中所有元素的和，进而得出三个集合中元素之和，然后通过列举法找出满足条件的“三分划”的个数. 【详解】集合的总和为： 每个子集的和应为： 列举所有和为且满足三分划条件的子集组合： 组合一：     组合二： 组合三： 共种不同的分法. 故选：D. 3．（23-24高一上·江苏连云港·月考）对于集合，集合记作，例如，，则有：．若已知，则集合 ． 【答案】 【分析】根据题中规则求解即可. 【详解】根据题意，集合中只有元素2， 所以. 故答案为：. 4．（23-24高一上·江苏南京·月考）我们知道，如果结合，那么的子集的补集为且.类似地，对于集合，我们把集合且叫作集合与的差集，记作.例如，，，则有，.若，，则 . 【答案】. 【分析】按定义解题即可. 【详解】由定义可知. 故答案为：. 5．（24-25高一上·广东广州·月考）已知，是的子集，定义集合且，若，则称集合是的恰当子集. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求的值并说明理由. 【答案】(1)，集合是的恰当子集 (2)，或，；理由见解析 【分析】（1）利用给定定义求出集合并进行判断即可. （2）利用给定定义求出，进而建立关于的方程，求解参数值即可. 【详解】（1）若，有， 由，则， 满足，集合是的恰当子集. （2）若（）是的恰当子集，则 得到，由，则或 当时，，此时，，满足题意， 当时，，此时，，满足题意， 综上可得，或，. 6．（24-25高一上·海南海口·月考）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)能，0或 【分析】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解； （2）根据新定义运算可得，代入即可求解； （3）利用（1）（2）的结论，结合给定的集合运算结果，按是否为空集分类求解. 【详解】（1）对任意的，有，， 全集且， 则 由，得，或，或， 当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2），由且，，得，， 因此，所以. （3）由（1）（2）知，，，则， 假设集合，能满足，则，或且， 又，当时，；当时，解得，经验证，或都符合要求， 所以实数的值为0或. 1．（23-24高一上·河北·月考）已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ） ① ② ③ ④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究n为奇数、n为偶数可计算③，由定义可得④，依次判断即可求得结果. 【详解】对于①，； 对于②，中解得，故； 对于③，当n为奇数时，；当n为偶数时，， 所以； 对于④，. 所以与M相等的集合个数有2个. 故选：C. 2．已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【分析】利用列举法表示集合A即可得出元素个数. 【详解】，共6个元素. 故选：C. 3．设全集，集合，，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合并集的定义以及补集的定义即可求解. 【详解】由，可得，，故， 故选：B 4．（24-25高一上·福建福州·月考）已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合间的基本关系及集合的基本运算，借助Venn图即可求解. 【详解】由得当时，，故选项A不正确； ，当时，，故选项B不正确； 当时，，故选项C不正确； 因为，所以，故选项D正确. 故选：D. 5．（24-25高一上·北京通州·期中）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 【答案】B 【分析】写出72在大于3时的全部因数，为了满足题意集合中的元素需要成对出现，所以看作只有4个元素的集合，求非空子集的个数即可得到结果. 【详解】∵， ∴满足“，则”的的集合是的子集， 但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现， ∴将集合看作有4个元素，求其非空子集个数为：. 故选：B. 6．（24-25高一上·广东广州·月考）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由新定义，列举计算即可； 【详解】当都是偶数或都是奇数时， 则或或或或或或或或； 当是偶数，是奇数时，，或； 当是奇数，是偶数时，，或； 集合中含有个元素，它的子集个数为， 故选：B 7． ，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可得，从而可讨论B是否为空集建立不等关系解出的范围即可． 【详解】已知集合，， ，， ①当时，满足，此时，故； ②当时，因，则，解得． 综上，． 故选：A. 8．（24-25高一上·山西大同·月考）已知集合或，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】分、、三种情况讨论，求出集合，在时，直接验证即可；在、这两种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为集合或，，且，分以下几种情况讨论： （1）当时，，合乎题意； （2）当时，，则， 因为时，解得； （3）当时，，则， 因为，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 9．（24-25高一上·江苏无锡·月考）一群学生参加学科夏令营，每名同学参加至少一个学科考试．已知有80名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，45名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的4倍，则学生总数为（    ） A．100名 B．108名 C．120名 D．前三个答案都不对 【答案】A 【分析】分别设出只参加一科，只参加两科和三科都参加的学生数，按照条件列出等式计算，可得出结果. 【详解】设只参加了数学、物理、化学考试的学生数分别为，，； 参加了两门学科考试的同学中参加了数学和物理、物理和化学、化学和数学的学生数分别为，，； 同时参加了三门学科考试的学生数为，如图． 根据题意，有， 前面三个等式相加，可得． 由第四个等式可得，， 因此， 解得．因此学生总数为． 故选：A. 10．（24-25高一上·山东·期中）在山东省实验中学科技节中，高一李明同学定义了可分比集合：若对于集合满足对任意，，都有，则称是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A，B均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】方法一：根据可分比集合，再通过时成立，时不成立得到正整数的最大值为7；方法二：分析出，再证明满意题意. 【详解】解法一：一方面，取满足题意，则； 另一方面，若，不妨设，则，则，此时，且，矛盾！ 综上所述，正整数的最大值为7. 解法二：，则，又，即若，内的数均不属于， 若，则，则，又，矛盾， 所以，当时，符合，所以． 故选：B. 11．（23-24高一上·江西吉安·期末）（多选题）如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由已知韦恩图分析出了阴影部分所表示的集合的元素满足的条件，进而根据集合运算的定义可得答案. 【详解】根据图中阴影可知，符合题意， 又，∴也符合题意． 故选：AC 12．（23-24高一上·山西朔州·月考）（多选题）已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（    ） A．集合C的所有非空真子集个数是2 B．集合C的所有非空真子集个数是6 C．集合C的所有子集个数是4 D．集合C的所有子集个数是8 【答案】BD 【分析】计算得，根据题意得到，考虑和这两种情况，分别计算再结合子集及非空真子集即可. 【详解】由题意，， 因为， 所以， 当时，，合题意， 当时，，， 因为， 所以或，所以或， 故． 集合C的子集个数为，D选项正确，C选项错误， 集合C的非空真子集个数为，B选项正确，A选项错误. 故选：BD. 13．（24-25高一上·安徽亳州·月考）已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是 ． 【答案】 【分析】根据，当时，求解；当时，求解即可. 【详解】由题意，, 当时，则， 则， 又， 所以集合. 故答案为：. 14．（24-25高一上·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【答案】 【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可. 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 15．（24-25高一上·广东珠海·月考）已知集合，则满足条件的集合个数为 个． 【答案】 【分析】求出集合中的元素，再根据集合间的包含关系求得满足题意的子集个数即可得出答案. 【详解】易知集合，； 因为可得， 又，所以集合中一定含有，且不能同时全部包含； 满足条件的集合的个数即为求集合的真子集的个数， 所以满足条件的集合个数为个. 故答案为： 16．已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出集合，再由，得，即可求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以，即． 由，得，得，故实数的取值范围是． 故答案为：. 17．含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值． 【答案】 【分析】本题根据集合相等以及集合元素的互异性列出等式得出的值，再计算 即可. 【详解】由可得0且（否则不满足集合中元素的互异性）． 所以，或 解得，或． 经检验，满足题意． 所以． 18．已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）分和进行求解； （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素，进行求解； （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，进行求解. 【详解】（1）当时，原方程变为， 此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ，即， 原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素． （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素． 当，即时，原方程无实数解． 结合（1）知，当或时中至多有一个元素． （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素， 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由得． 综上可知当时，中至少有一个元素． 19．已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】解：（1）由于，所以解得． （2）若选①，由得． 当时，则，解得，满足条件； 当时，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选②，． 当时，，解得，满足条件： 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选③，． 当时，，解得，满足条件； 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 20．已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求，利用并集的概念求解即可得到结果. （2）若选①，分析和，利用子集的概念即可得到结果. 若选②，分析和，利用即可得到结果. 若选③：由可得，同①的分析可得结果. 【详解】（1）当时，， 因为或，所以， 故. （2）若选①：当时，，，成立. 当时，，由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选②：当时，，，成立. 当时，， 由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选③：由可得. 当时，，，成立. 当时，，由可得解得，所以. 综上，的取值范围是. 21．（24-25高一上·山东潍坊·月考）已知集合， (1)求； (2)若定义集合，求中元素的个数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列举法表示出，然后根据交集的概念求解出； （2）先分析和的可能取值，然后分析取值时对应的取值个数，由此可确定出中元素的个数. 【详解】（1）由题意可知，， ， 所以. （2）由，，可得，共种结果， 由，，可得，共种结果， 当或时，此时或， 所以可以为中的一个值，共可以构成个不同的元素； 当时，对于中的任意一个值， 都可以选择，此时取与对应的值，可取中的一个值， 所以可以为中的一个值，共可以构成个不同元素， 所以中一共有个元素. 22．（23-24高一上·河南洛阳·期中）若集合A具有①，，②若，则，且时，这两条性质，则称集合A是“好集”． (1)分别判断集合，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由． (2)设集合A是“好集”，求证：若，则． (3)对任意的一个“好集”A，判断命题“若，，则”的真假，并说明理由． 【答案】(1)有理数集Q是“好集”，集合B不是“好集”，理由见解析 (2)证明见解析 (3)命题“若，则”为真命题，理由见解析 【分析】利用“好集”的定义，结合元素与集合的关系解决即可. 【详解】（1）集合B不是“好集”，理由如下： 因为，，， 所以集合B不是“好集”． 有理数集Q是“好集”，理由如下： 因为，，对任意，，都有，且时，， 所以有理数集Q是“好集”． （2）因为集合A是“好集”，所以． 若，则，即， 所以，即，命题得证． （3）命题“若，则”为真命题，理由如下： 当x，y中有0或1时，显然有． 当x，y中不存在0，1时，由“好集”的定义得，，， 所以，所以． 所以由（2）可得，同理得， 当或时，显然有． 当或时，显然有， 所以，所以， 由（2）得，所以． 综上得时，． 23．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·月考）定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． (1)求集合的生成集； (2)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； (3)若集合，的生成集为，求证． 【答案】(1) (2)或或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义计算即可求解； （2）根据定义计算出集合中的元素，再根据的子集个数为4个得出中有2个元素，分别列出方程，求解即可； （3），，根据作差法得出，结合，即可证明． 【详解】（1）由题可知： ①当时，， ②当时，， ③当，或时，， 所以． （2）①当时，， ②当时，， ③当，或，时，， 的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或或， 解得或或（舍去）． （3）证明：，， ， ， ，即， ，又，所以， 综上可得． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、数集与点集 1 题型二、集合中元素的互异性应用（常考点） 2 题型三、集合与元素中的参数问题 2 题型四、子集、真子集的个数 3 题型五、集合间的基本关系中的参数问题（重点） 3 题型六、集合的交、并、补运算 4 题型七、韦恩图和容斥原理 4 题型八、集合的基本运算中的参数问题（难点） 5 题型九、集合中的结构不良问题 6 题型十、集合的新定义问题 7 B综合攻坚・能力跃升 8 【说明】试题或者解析中区间的概念说明：设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 题型一、数集与点集 1．（24-25高一上·湖北·期中）下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25高一上·福建泉州·月考）方程组解集是（    ） A． B． C． D．或 3．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．集合中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型二、集合中元素的互异性应用（常考点） 1．已知集合中含有两个元素，则实数的取值范围是 ；若，则 ． 2．已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ． 3．（24-25高一上·浙江·开学考试）若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为 ． 4．（24-25高一上·青海西宁·月考）已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 题型三、集合与元素中的参数问题 1．（24-25高一上·安徽·月考）已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海虹口·月考）若集合的子集只有两个，则实数 ． 3．若集合中至多有一个元素，求k的取值范围． 4．（24-25高一上·云南红河·期中）记关于的方程的解集为，且恰有3个元素． (1)证明：； (2)若以中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求a,b的值． 题型四、子集、真子集的个数 1．（24-25高一上·湖北恩施·月考）已知集合，则集合的真子集个数为（    ） A．1 B．7 C．15 D．31 2．若，则集合M的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 4．已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 5．（24-25高一上·吉林长春·月考）若，，则集合B的非空真子集的个数为 . 6．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 题型五、集合间的基本关系中的参数问题（重点） 1．已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A． B．或 C． D．或 2．已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．0，1或 3．如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广西南宁·月考）设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（   ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 5．（24-25高一上·青海西宁·月考）集合，集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·上海浦东新·月考）已知集合，若，求的取值范围 题型六、集合的交、并、补运算 1．（24-25高一上·河南郑州·月考）已知全集，，. (1)求，； (2)求，. 2．（24-25高一上·天津·期中）已知全集，集合或. (1)求； (2)求； (3)求. 3．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，，求： (1)，； (2)，． 题型七、韦恩图和容斥原理 1．若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河北保定·期中）某班同学参加课外兴趣小组，有三个兴趣小组可供选择，要求每位同学至少选择一个小组，经统计有20人参加奥数小组，16人参加编程小组，10人参加书法小组，同时参加奥数小组和编程小组的有12人，同时参加奥数小组和书法小组的有6人，同时参加编程小组和书法小组的有5人，三种都参加的有3人，则该班学生人数为（    ） A．27 B．23 C．26 D．29 3．（24-25高一上·陕西榆林·月考）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(    ). A．10 B．9 C．7 D．4 4．（24-25高一上·福建福州·月考）（多选题）图中阴影部分用集合表示正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏苏州·月考）（多选题）下图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C． D． 题型八、集合的基本运算中的参数问题（难点） 1．设全集，集合，则的值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．9 2．（24-25高一下·河南·月考）已知集合，集合B满足，则a的所有可能取值的集合为（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，若，则实数（    ） A． B． C． D．或 4．（24-25高一上·天津·期中）已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求实数a的取值范围. 5．已知全集. (1)若中有四个元素，求和q的值； (2)若，求实数q的取值范围. 6．设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 7．（23-24高一上·浙江·期中）已知集合，．请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围． 题型九、集合中的结构不良问题 1．在①或；②或这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中． 问题：已知全集，，且_________，求. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 2．（23-24高一上·福建宁德·月考）已知集合． (1)若集合，求a的取值范围． (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：______，若，求a的取值范围． 3．（24-25高一上·山东青岛·月考）设全集为，集合. (1)当时，求图中阴影部分表示的集合; (2)在①;②;③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 4．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在（2）问中的横线上，并求解，若__________，求实数的取值范围． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 题型十、集合的新定义问题 1．（24-25高一上·山东青岛·月考）在研究集合时，用来表示有限集合中元素的个数.集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南长沙·期末）设集合，若集合满足，，称为集合的一个“三分划”（不考虑的顺序，即与视作同一种情况）．对于集合，在的所有“三分划”中，满足集合中元素之和相等的“三分划”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24高一上·江苏连云港·月考）对于集合，集合记作，例如，，则有：．若已知，则集合 ． 4．（23-24高一上·江苏南京·月考）我们知道，如果结合，那么的子集的补集为且.类似地，对于集合，我们把集合且叫作集合与的差集，记作.例如，，，则有，.若，，则 . 5．（24-25高一上·广东广州·月考）已知，是的子集，定义集合且，若，则称集合是的恰当子集. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求的值并说明理由. 6．（24-25高一上·海南海口·月考）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由. 1．（23-24高一上·河北·月考）已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ） ① ② ③ ④ A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 3．设全集，集合，，（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·福建福州·月考）已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（    ）. A． B． C． D． 5．（24-25高一上·北京通州·期中）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 6．（24-25高一上·广东广州·月考）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 7． ，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·山西大同·月考）已知集合或，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 9．（24-25高一上·江苏无锡·月考）一群学生参加学科夏令营，每名同学参加至少一个学科考试．已知有80名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，45名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的4倍，则学生总数为（    ） A．100名 B．108名 C．120名 D．前三个答案都不对 10．（24-25高一上·山东·期中）在山东省实验中学科技节中，高一李明同学定义了可分比集合：若对于集合满足对任意，，都有，则称是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A，B均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 11．（23-24高一上·江西吉安·期末）（多选题）如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·山西朔州·月考）（多选题）已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（    ） A．集合C的所有非空真子集个数是2 B．集合C的所有非空真子集个数是6 C．集合C的所有子集个数是4 D．集合C的所有子集个数是8 13．（24-25高一上·安徽亳州·月考）已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是 ． 14．（24-25高一上·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 15．（24-25高一上·广东珠海·月考）已知集合，则满足条件的集合个数为 个． 16．已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 17．含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值． 18．已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 19．已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 20．已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 21．（24-25高一上·山东潍坊·月考）已知集合， (1)求； (2)若定义集合，求中元素的个数. 22．（23-24高一上·河南洛阳·期中）若集合A具有①，，②若，则，且时，这两条性质，则称集合A是“好集”． (1)分别判断集合，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由． (2)设集合A是“好集”，求证：若，则． (3)对任意的一个“好集”A，判断命题“若，，则”的真假，并说明理由． 23．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·月考）定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． (1)求集合的生成集； (2)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； (3)若集合，的生成集为，求证． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$