精品解析：山西省忻州市静乐县部分学校2024-2025学年下学期5月月考八年级数学试卷

2024—2025学年八年级第二学期阶段三质量检测 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，对角线，相交于点O，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，菱形的顶点B在直线上，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，是边上的高，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 7. 已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 某超市购进一批儿童玩具，经市场调研发现每日销售数量（个）是销售单价（元）的一次函数，与的部分数据如下表： 销售单价元 每日销售数量个 根据上述信息可知，关于的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形的边上有一动点，连接，，以，为边作平行四边形．在点从点移动到点的过程中，平行四边形的面积（ ） A. 先变大后变小 B. 先变小后变大 C. 一直变大 D. 保持不变 10. 某天小明从家骑自行车前往图书馆，中途休息一段时间后，继续骑自行车到达图书馆．小明离家的距离与离开家的时间之间的函数关系如图所示．则下列描述正确的是（ ） A. 休息结束后小明离家的距离关于离开家的时间的函数解析式为 B. 小明家到图书馆的距离为 C. 小明休息前的骑行速度大于休息后的骑行速度 D. 小明从家到图书馆共骑行 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 12. 写出一个一次函数的解析式，使该函数的图象不经过第一象限，这个一次函数的解析式为__________（写出一个即可） 13. 命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是_____________________． 14. 如图，一次函数与的图象相交于点，则不等式的解集是__________． 15. 如图，在边长为4的正方形中，点G为的中点，连接，作的垂直平分线，分别交，，于点E，P，F，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）． （2）． 17. 已知一次函数的图象经过点，． （1）求该一次函数的解析式． （2）请你在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象． 18. 如图，在四边形中，已知，，，，且，连接，判断的形状，并说明理由． 19. 根据下面的项目式学习报告，完成相应的任务． 项目主题 探索烘焙温度与烘焙时间之间的关系 项目背景 学校劳动课上开展了烘焙实践课，同学们发现烘焙某种面点时，当烘焙温度大于且小于时，烘焙温度和烘焙时间之间存在关系，并对这种关系展开探索 驱动问题 在一定范围内，烘焙温度与烘焙时间之间是否存在某种特定关系 项目数据 设置不同的烘焙温度，对应的烘焙时间如下表所示： 烘焙温度 … 160 170 180 190 200 … 烘焙时间 … 30 27.5 25 22.5 20 … 项目结论 …… （1）根据表中数据可知，当烘焙温度大于且小于时，烘焙时间y是烘焙温度x的__________函数（填“一次”或“正比例”），则y关于x的函数解析式为__________． （2）已知某次烘焙时间是，请你根据（1）中的函数解析式计算这次的烘焙温度． 20. 某中学积极响应“五育并举”号召，决定购买一批篮球和足球．已知篮球的单价为150元，足球的单价为90元．学校计划购买篮球和足球共80个．要求购买的足球的数量不超过篮球数量的2倍． （1）学校最多能购买多少个足球？ （2）请通过计算帮学校决策，购买篮球和足球各多少个时总费用最低，总费用最低是多少？ 21. 下面是小华同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日 星期日 关于特殊四边形的作图思考 如图1，点E是的边上的一点． 问题：求作菱形，使点F、G，H分别在边、、所在的直线上，且对角线的交点与的对角线交点O重合． 作法：如图2．连接，相交于点O，连接并延长，交边于点G．过点O作的垂线分别交，所在的直线于点H，F，依次连接点E，F，G，H，则四边形即为所求作的菱形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∵四边形是平行四边形， （依据）． 在和中，，，， ， ． …… 任务： （1）填空：材料中的“依据”是__________． （2）补全材料中的省略号部分的证明过程． （3）请用尺规在图3中作矩形，使点F，C、B分别在边，，所在的直线上，且对角线的交点与平行四边形的对角线交点O重合．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） 22. 新能源汽车不仅能缓解城市空气污染，还能优化电网负荷．某新能源汽车充电站白天时段（）每度电元，为增加人气，该充电站提供两种优惠方案． 方案一：白天时段每度电享受九折优惠． 方案二：先花元购买一次性充电优惠卡（充电费额外计算），然后白天时段每度电享受七五折优惠． （1）请分别写出方案一的充电费用（元）、方案二的充电费用（元）与充电数量（度）之间的函数表达式． （2）小张的爸爸某天白天来到该充电站给新能源汽车充电，请你帮小张的爸爸想想选择哪种方案更划算． 23. 综合与探究 问题背景 在学习正方形的性质之后，勤学小组对正方形进行了进一步的研究．如图1，在正方形中，对角线，相交于点O，E为边上一点，连接，过点O作的垂线，交于点F． 探究发现 （1）试判断线段和线段的数量关系，并说明理由． 深入探究 点E是上的一个动点（不与点B，C重合），连接，交于点H． （2）如图2，当点H恰好是的中点时，试判断四边形的形状．并说明理由． （3）若，是否存在与全等的情况？若存在，请直接写出的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年八年级第二学期阶段三质量检测 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式加法、减法、除法、乘法法则逐一验证各选项即可，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类二次根式无法合并，原选项运算错误，不符合题意； 、与不是同类二次根式无法合并，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 故选：． 3. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则称是的函数，其中叫函数的自变量．据此进行逐一判断即可． 【详解】解：A、满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，故 A不符合题意； B、满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，故 B不符合题意； C、满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，故 C不符合题意； D、不满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，故 D符合题意； 故选：D． 4. 如图，在中，对角线，相交于点O，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键 ． 由平行四边形的性质可得，平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分，两组对角分别相等，据此分析选项即可 ． 【详解】解：在中，对角线，相交于点O， 则有，，但，A错误，不符合题意； 平行四边形的对角线并不相等，即，B错误，不符合题意； 平行四边形的两组对角分别相等，即，，C正确，符合题意 ； 平行四边形的对角线没有平分内角的性质，即，D错误，不符合题意 ．   故选：C ． 5. 如图，菱形的顶点B在直线上，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质求角度，等腰三角形的性质，熟知以上知识是解题的关键．先求出，根据菱形性质得出，即得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，在中，，，，是边上的高，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等面积法，先根据勾股定理算出，以及三角形面积公式得，再结合是边上的高，则，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是边上的高， ∴ 解得， 故选：B 7. 已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数中，得随的增大而增大，从而求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由一次函数中， ∴随的增大而增大， ∵， ∴， 故选：． 8. 某超市购进一批儿童玩具，经市场调研发现每日销售数量（个）是销售单价（元）的一次函数，与的部分数据如下表： 销售单价元 每日销售数量个 根据上述信息可知，关于的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，设关于的函数解析式为，把和代入得，然后求出的值即可，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】解：设关于的函数解析式为， 把和代入得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为， 故选：A． 9. 如图，矩形的边上有一动点，连接，，以，为边作平行四边形．在点从点移动到点的过程中，平行四边形的面积（ ） A. 先变大后变小 B. 先变小后变大 C. 一直变大 D. 保持不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．由矩形的性质可得，由平行四边形的性质可得，即． 【详解】解：四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ， 故选：D． 10. 某天小明从家骑自行车前往图书馆，中途休息一段时间后，继续骑自行车到达图书馆．小明离家的距离与离开家的时间之间的函数关系如图所示．则下列描述正确的是（ ） A. 休息结束后小明离家的距离关于离开家的时间的函数解析式为 B. 小明家到图书馆的距离为 C. 小明休息前的骑行速度大于休息后的骑行速度 D. 小明从家到图书馆共骑行 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，从函数图象中获得信息，解题的关键是熟练掌握待定系数法求出一次函数解析式．根据待定系数法求出一次函数解析式即可判断A选项；根据函数图象可以直接判定B选项；先分别求出小明休息前的骑行速度和休息后的骑行速度，然后进行比较，即可判定C选项；根据图象求出骑行时间即可判断D选项． 【详解】解：A．设休息结束后小明离家的距离关于离开家的时间的函数解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴休息结束后小明离家的距离关于离开家的时间的函数解析式为，故A正确； B．根据函数图象可知：小明家到图书馆的距离为，故B错误； C．小明休息前的骑行速度为：， 休息后的骑行速度为：， ∴小明休息前的骑行速度等于休息后的骑行速度，故C错误； D．小明从家到图书馆共骑行，故D错误． 故选：A． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，据此列出一元一次不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：在实数范围内有意义， 解得． 12. 写出一个一次函数的解析式，使该函数的图象不经过第一象限，这个一次函数的解析式为__________（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质：当，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；当，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大．根据不经过第一象限，得出，，写出一个一次函数解析式即可． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第一象限， ∴一次函数图象经过第二、三、四象限， ∴，， ∴这个一次函数的解析式可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是_____________________． 【答案】如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形. 【解析】 【详解】解：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件， 那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题. 因此，“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是“如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形”. 故答案为：如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形. 14. 如图，一次函数与的图象相交于点，则不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，把代入，求出的值，图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴， 由图象可知：不等式的解集是； 故答案为：． 15. 如图，在边长为4的正方形中，点G为的中点，连接，作的垂直平分线，分别交，，于点E，P，F，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作，交于点，连接，易得四边形为平行四边形，得到，证明，得到，设，在中，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵正方形，边长为4， ∴，，， 过点作，交于点，连接， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵作的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 设，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 即：， 解得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （）利用平方差和完全平方公式展开，再合并即可； 本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的乘法运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 已知一次函数的图象经过点，． （1）求该一次函数的解析式． （2）请你在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象． 【答案】（1）该一次函数的解析式为； （2） 解：如图，即为的图象： 【解析】 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、画一次函数的图象，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式． （1）将与代入，求出、后即可得解； （2）在平面直角坐标系中找到与，相连即可得到一次函数的图象． 【小问1详解】 解：将与代入， 得， 解得， 该一次函数的解析式为； 【小问2详解】 略 18. 如图，在四边形中，已知，，，，且，连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】 解：是直角三角形，理由如下： 在中，，，， 由勾股定理可得， 在中，，，， 即， 又， ， 由勾股定理的逆定理可得是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是勾股定理、勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 先由勾股定理得出，再证得即可由勾股定理的逆定理得出是直角三角形． 【详解】略 19. 根据下面的项目式学习报告，完成相应的任务． 项目主题 探索烘焙温度与烘焙时间之间的关系 项目背景 学校劳动课上开展了烘焙实践课，同学们发现烘焙某种面点时，当烘焙温度大于且小于时，烘焙温度和烘焙时间之间存在关系，并对这种关系展开探索 驱动问题 在一定范围内，烘焙温度与烘焙时间之间是否存在某种特定关系 项目数据 设置不同的烘焙温度，对应的烘焙时间如下表所示： 烘焙温度 … 160 170 180 190 200 … 烘焙时间 … 30 27.5 25 22.5 20 … 项目结论 …… （1）根据表中数据可知，当烘焙温度大于且小于时，烘焙时间y是烘焙温度x的__________函数（填“一次”或“正比例”），则y关于x的函数解析式为__________． （2）已知某次烘焙时间是，请你根据（1）中的函数解析式计算这次的烘焙温度． 【答案】（1）一次， （2）． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）观察表格可知，温度每升高，时间减少，得到烘焙时间y是烘焙温度x的一次函数，待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入（1）中的解析式进行求解即可； 【小问1详解】 解：观察表格可知，温度每升高，时间减少， ∴烘焙时间y是烘焙温度x的一次函数， 设函数解析式为，把代入，得： ，解得， ∴； 故答案为：一次，； 【小问2详解】 解：把代入中，解得． 答：这次的烘焙温度为． 20. 某中学积极响应“五育并举”号召，决定购买一批篮球和足球．已知篮球的单价为150元，足球的单价为90元．学校计划购买篮球和足球共80个．要求购买的足球的数量不超过篮球数量的2倍． （1）学校最多能购买多少个足球？ （2）请通过计算帮学校决策，购买篮球和足球各多少个时总费用最低，总费用最低是多少？ 【答案】（1）学校最多能购买53个足球． （2）购买足球53个，篮球27个时，总费用最低，总费用最低是8820元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设购买足球x个，则购买篮球个．根据购买的足球的数量不超过篮球数量的2倍建立不等式求解即可； （2）设购买篮球和足球的总费用为w元，购买足球x个，分别求出购买篮球和足球的费用，进而列出w关于x的一次函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设购买足球x个，则购买篮球个． 由题意得， 解得． 为正整数，且为最大值， 取值为53． 答：学校最多能购买53个足球． 【小问2详解】 解：设购买篮球和足球的总费用为w元，购买足球x个． 根据题意得． ， 的值随x的增大而减小． 由（1）知x的最大值为53． 当时，w有最小值，最小值为8820，． 答：购买足球53个，篮球27个时，总费用最低，总费用最低是8820元． 21. 下面是小华同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日 星期日 关于特殊四边形的作图思考 如图1，点E是的边上的一点． 问题：求作菱形，使点F、G，H分别在边、、所在的直线上，且对角线的交点与的对角线交点O重合． 作法：如图2．连接，相交于点O，连接并延长，交边于点G．过点O作的垂线分别交，所在的直线于点H，F，依次连接点E，F，G，H，则四边形即为所求作的菱形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∵四边形是平行四边形， （依据）． 在和中，，，， ， ． …… 任务： （1）填空：材料中的“依据”是__________． （2）补全材料中的省略号部分的证明过程． （3）请用尺规在图3中作矩形，使点F，C、B分别在边，，所在的直线上，且对角线的交点与平行四边形的对角线交点O重合．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） 【答案】（1）平行四边形的对角线互相平分 （2） 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ， 在和中，，，， ， ． 四边形是平行四边形． ∵， 四边形是菱形． （3） 解：如图，四边形即为所求作的矩形． ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 根据作图可知：， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，填空即可； （2）证明，得出．证明四边形是平行四边形．根据，即可证明结论； （3）连接，，交于点O，连接，并延长交于点G，以点O为圆心，为半径画圆，交于点F，连接并延长，交于点H，连接，，，，则四边形即为所求． 【小问1详解】 解：由四边形是平行四边形，得出的依据是：平行四边形的对角线互相平分； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质，尺规作图，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定方法． 22. 新能源汽车不仅能缓解城市空气污染，还能优化电网负荷．某新能源汽车充电站白天时段（）每度电元，为增加人气，该充电站提供两种优惠方案． 方案一：白天时段每度电享受九折优惠． 方案二：先花元购买一次性充电优惠卡（充电费额外计算），然后白天时段每度电享受七五折优惠． （1）请分别写出方案一的充电费用（元）、方案二的充电费用（元）与充电数量（度）之间的函数表达式． （2）小张的爸爸某天白天来到该充电站给新能源汽车充电，请你帮小张的爸爸想想选择哪种方案更划算． 【答案】（1） （2）若小张的爸爸计划充电小于20度，选择方案一更划算；若小张的爸爸计划充电等于20度，两种方案都一样；若小张的爸爸计划充电大于20度，选择方案二更划算 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的应用——方案问题，结合临界点分析，明确了不同充电量下的最优选择．关键在于正确理解方案的费用结构，并通过方程求解临界值． （1）根据方案一为直接折扣，方案二含固定费用加折扣直接写出答案即可； （2）分情况讨论：通过建立一次函数关系式，并求解临界点，确定不同充电量时的最优方案即可． 【小问1详解】 解： 方案一白天时段每度电享受九折优惠， . 方案二先花元，然后白天时段每度电享受七五折优惠， . 【小问2详解】 分情况讨论： ①当时，，解得； ②当时，，解得； ③当时，，解得. 综上所述，若小张的爸爸计划充电小于20度，选择方案一更划算；若小张的爸爸计划充电等于20度，两种方案都一样；若小张的爸爸计划充电大于20度，选择方案二更划算． 23. 综合与探究 问题背景 在学习正方形的性质之后，勤学小组对正方形进行了进一步的研究．如图1，在正方形中，对角线，相交于点O，E为边上一点，连接，过点O作的垂线，交于点F． 探究发现 （1）试判断线段和线段的数量关系，并说明理由． 深入探究 点E是上的一个动点（不与点B，C重合），连接，交于点H． （2）如图2，当点H恰好是的中点时，试判断四边形的形状．并说明理由． （3）若，是否存在与全等的情况？若存在，请直接写出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】 （1），理由如下： 在正方形中，有 ， ∴ ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． （2）四边形是正方形，理由如下： 由（1），同理可得， ∴， ∵点H恰好是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴ ∴， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． （3）存在与全等的情况，此时的长度为． 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，继而推导出，再证明，即可解答； （2）由，得，证明是的垂直平分线，则可推导出，即可解答； （3）判断出在与全等时，只满足当，则， 在中，由勾股定理，得到，求出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 (3) 存在与全等的情况，此时的长度为． 由与可得 在与全等时，只满足当，如图， 有， 在正方形中，有 ， ∴ 即， 解得或（不符合题意，舍去）． ∴， ∴． 故存在与全等的情况，此时的长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $