第12讲 整式的加减及合并同类项（3大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年七年级上册数学（浙教版2024）

第12讲 整式的加减及合并同类项（3大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 同类项的判断 典型例题二 合并同类项 典型例题三 去括号 典型例题四 整式的加减运算 典型例题五 已知同类项求指数中字母或代数式的值 典型例题六 整式加减中的无关型问题 典型例题七 整式的加减中的化简求值 典型例题八 带有字母的绝对值化简问题 典型例题九 整式加减的应用 典型例题十 数字类规律探索 典型例题十一 图形类规律探索 知识点01 合并同类项 1. 同类项的概念：一个多项式中，字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。注意所有的常数项都是同类项。 比如：多项式a2b-a2c-4+3a2b+ab2-a2c+5-ab2中，a2b和3a2b是同类项， -a2c和-a2c是同类项，-4和5是同类项，ab2和- ab2是同类项，而a2b和-a2c不是同类项，因为它们字母不同， a2b和ab2不是同类项，因为它们虽然字母相同，但是相同字母的指数不同。 2. 合并同类项的概念：按照乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。 3. 合并同类项法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。 要点诠释： (1) 注意项的系数为负数时的情况，也就是在多项式中遇到减号时，注意此时是加了一个系数为负数的项。 (2) 字母和指数不变，也就是说，合并同类项之后，仅仅是系数发生了变化，而字母和字母的指数不会发生任何变化，否则就是错误。 (3)合并同类项之前，应该先移动项，将同类项移动到一起，在移动项的时候，要注意将减号当做负号一起移动。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列各式计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握同类项的定义、判断标准及合并同类项的法则是解题的关键：同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可，几个常数项也是同类项；同类项的判断标准及注意事项：所含的字母相同；相同字母的指数分别相等；同类项与系数无关，与字母的顺序也无关；两个单独的数也是同类项；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变． 根据同类项的定义、判断标准及合并同类项的法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，原计算错误，故选项不符合题意； B. ，原计算错误，故选项不符合题意； C. ，计算正确，故选项符合题意； D. 与不是同类项，不能合并，原计算错误，故选项不符合题意； 故选：． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）合并同类项： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则，是解题的关键．根据合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 知识点02 去括号 一、去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 要点诠释： (1) 去括号法则实际上是根据乘法分配律得到的结论：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘。 (2) 去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号。 (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号。 （4）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形。 二、添括号法则 （1）添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； （2）添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号。 要点诠释： (1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的。 (2)去括号和添括号的关系如下： 如：， 【即时训练】 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．根据去括号的法则直接求解即可． 【详解】解：A、，故选项A计算错误； B、，故选项B计算正确； C、，故选项C计算错误； D、，故选项D计算错误． 故选：B． 【即时训练】 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期中） ① ②，步骤①的依据是 ． 【答案】去括号法则 【分析】本题主要查了去括号．根据去括号法则计算，即可． 【详解】解： 所以步骤①的依据是去括号法则． 故答案为：去括号法则 知识点03 整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 要点诠释： （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项。 （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来。 (3)整式加减的最后结果的要求： ①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止； ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列； ③不能出现带分数，带分数要化成假分数。 【即时训练】 1．（2024七年级上·浙江宁波·专题练习）若一个长方形的周长为，其中一条边长为，则与其相邻的一条边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减， 根据长方形的周长与边之间的关系得出另一条边长为，再根据整式的加减法法则计算即可． 【详解】解：根据题意得另一条边长为． 故选：C． 【即时训练】 2．（23-24七年级上·浙江温州·期末）一个长方形的周长为，其中长为，则宽为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式加减的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 【详解】解：长方形的宽为， 故答案为：． 【典型例题一 同类项的判断】 【例1】（24-25七年级上·浙江舟山·期末）下列各组中，是同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型． 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．据此作答即可． 【详解】解：A、相同字母的指数不相同，不是同类项，不符合题意； B、所含字母不相同，不是同类项，不符合题意； C、是同类项，符合题意； D、所含字母不相同，不是同类项，不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）下列说法正确的是（   ） A．单项式的次数是五 B．单项式的系数是 C．是四次三项式 D．与是同类项 【答案】A 【分析】此题主要考查了多项式和单项式以及同类项，正确把握相关定义是解题关键．直接利用单项式的定义以及多项式的次数和项数的定义，同类项的概念分别分析得出答案． 【详解】解：、单项式的次数是五，故本选项符合题意； 、单项式的系数是，故本选项不符合题意； 、是二次三项式，故本选项不符合题意； 、与不是同类项，故本选项不符合题意； 故选：． 【例3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）写出的一个同类项 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据同类项的定义：如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，写出符合条件的结果即可，本题答案不唯一． 【详解】解：与是同类项的为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了同类项，解本题的关键在熟练掌握同类项的定义． 【例4】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）若关于x、y的单项式和单项式的和仍是单项式，则= ． 【答案】 【分析】由题意可判断与是同类项，从而可求出m和n的值，再代入中计算即可． 【详解】解：∵关于x、y的单项式和单项式的和仍是单项式， ∴与是同类项， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查同类项、求代数式的值，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 1．（24-25七年级上·浙江丽水·期中）下列式子是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，据此进一步判断即可． 【详解】解：A、与所含字母不同，不是同类项，故此选项错误，不符合题意；        B、与相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项错误，不符合题意； C、与相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项错误，不符合题意； D、与所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，是同类项，故此选项正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了同类项的判断，解题的关键是掌握同类项的概念． 2．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）关于、、、的多项式（其中、为正整数）中，恰有两项是同类项，则是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了同类项的概念，一元一次方程的解法，分两种情况讨论：当，是同类项时，当，是同类项时，再根据同类项的定义列方程，解方程组可得答案，掌握“含有相同字母，相同字母的指数也相同的单项式是同类项”是解题的关键． 【详解】当与是同类项时， ，，解得：，， ∴； 当与是同类项时， ，，解得：，， ∴； 综上可知：的值是或， 故答案为：或． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·课后作业）你能写出的几个同类项吗？ 【答案】答案不唯一，如，． 【分析】根据同类项定义：如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同,那么就称这两个单项式为同类项，写出几个即可． 【详解】解：的同类项可以是：，等，答案不唯一． 【点睛】本题考查了同类项的定义，熟知定义是解题的关键． 【典型例题二 合并同类项】 【例1】（24-25七年级上·山西吕梁·期末）下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了合并同类项：将同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变．根据合并同类项法则逐一判断即可得答案． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）“一夜连双岁，五更分二年．”于时光而言，除夕就是一座桥梁，上承旧岁的欢娱，下启崭新的一年，2024年的龙年春节尤其喜庆，某商店销售某种龙年吉祥物，第一天售出m件．第二天的销售量比第一天的3倍少1件，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第二天售出的吉祥物数量 B．第二天比第一天多售出的吉祥物数量 C．两天一共售出的吉祥物数量 D．第二天比第一天少售出的吉祥物数量 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，熟练掌握代数式的计算是解题的关键．根据题意解答即可． 【详解】解：∵第一天售出m件，第二天的销售量比第一天的3倍少1件， ∴第二天售出的该商品数量是件， ∴两天一共售出的该商品数量为件， 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·四川自贡·期中）化简 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了合并合并同类项，根据合并同类项法则：把同类项的系数相加减，字母及字母的指数不变合并即可． 【详解】解：， 故答案为： 【例4】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）如果单项式与的和仍然是一个单项式，则 （结果不含m和n）． 【答案】/ 【分析】本题考查的是合并同类项，熟知把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项是解题的关键．由题意可得，两个单项式为同类项，根据同类项的定义，“所含字母相同且相同字母的指数相等”，求解即可． 【详解】解：由题意可得，单项式与为同类项， 则，， 解得，， 则． 故答案为： 1．（24-25七年级上·湖南永州·期末）下列说法中，正确的有（   ） ①=()=1 ；②3x2y4xy2=x2y；③3л x2y的系数是3，次数是2；④若一个数的倒数等于它本身，则这个数是1或1；⑤|a|=|2|，则a=2 A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个 【答案】A 【分析】①根据有理数的加法法则判断即可，绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ②根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变； ③根据单项式的定义判断即可，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数； ④根据倒数的定义判断即可，倒数：乘积是1的两数互为倒数； ⑤根据绝对值的性质判断即可，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：①−＝−（）＝−，故原结论错误； ②3x2y与4xy2不是同类项，所以不能合并，故原结论错误； ③−3πx2y的系数是−3π，次数是3，故原结论错误； ④若一个数的倒数等于它本身，则这个数是1或−1，说法正确； ⑤|a|＝|−2|，则a＝±2，故原结论错误． 所以正确的有1个． 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的加法，合并同类项，单项式，倒数以及绝对值，掌握相关定义与运算法则是解答本题的关键． 2．（24-25七年级上·浙江衢州·期中）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为 ． …… 【答案】 【分析】由图形可得规律为“品”字型上方的数为，规律为m的指数依次增大，系数为2n-1，下方第一格的数为，规律为m的指数依次增大，系数为2的n次方，下方第二格的数为上方的数加上下方第一格的数，由此问题可求解． 【详解】解：由图形可得：“品”字型上方的数为，规律为m的指数依次增大，系数为2n-1，下方第一格的数为，规律为m的指数依次增大，系数为2的n次方，下方第二格的数为上方的数加上下方第一格的数， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查图形规律及合并同类项，解题的关键是根据图形中所给数据得到规律． 3．（24-25七年级上·北京·期末）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是_________； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把看成一个整体，运用合并同类项法则进行计算即可； （2）把变形，得到，再根据整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：把看成一个整体， 则 ； 故答案为：； （2）∵， ∴原式． 【点睛】本题主要考查了整式的加减，解决问题的关键是运用整体思想；给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． 【典型例题三 去括号】 【例1】（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号法则，去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“−”，去括号后，括号里的各项都改变符号．顺序为先大后小． 根据去括号法则逐个计算即可． 【详解】解：A． ，故此选项错误，不符合题意； B． ，故此选项错误，不符合题意； C． ，故此选项正确，符合题意； D． ，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 【例2】（2024七年级上·浙江宁波·专题练习）下列变形中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的去括号法则，解题的关键是正确理解去括号与添括号法则．根据去括号与添括号法则即可判断答案． 【详解】解：A、计算正确，不符合题意； B、计算正确，不符合题意； C、，所以选项C计算正确，不符合题意； D、因为，，所以D选项错误，符合题意． 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）将算式（﹣7）﹣（＋10）﹣（﹣8）﹣（＋5）改写成省略加号和括号的形式是 ． 【答案】﹣7﹣10+8﹣5 【分析】根据去括号的法则省略括号和加号即可得出答案． 【详解】解：（﹣7）﹣（+10）﹣（﹣8）﹣（+5） ＝﹣7+（﹣10）+8+（﹣5） ＝﹣7﹣10+8﹣5； 故答案为：﹣7﹣10+8﹣5； 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，括号前是“+”号时，将括号连同它前边的“+”号去掉，括号内各项都不变；括号前是“-”号时，将括号连同它前边的“-”去掉，括号内各项都要变号． 【例4】（24-25六年级上·浙江湖州·期末）王老师在黑板上书写了一个正确的整式加减运算等式，随后用手盖住了一部分，如图所示，所盖住的部分为 ． 【答案】 【分析】用x2-5x+1减去-3x+2即可得到被手遮住的部分． 【详解】根据题意得 （x2-5x+1）-（-3x+2） = x2-5x+1+3x-2 = 故答案为： 【点睛】本题考查了整式的加减．注意两个多项式相减时，每个多项式都要加括号，去括号时还要注意符号变化． 1．（24-25七年级上·广东梅州·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据整式加减法法则逐项计算并判定即可． 【详解】解：A、 ， 原计算错误，故此选项不符合题意； B、 ， 原计算正确，故此选项符合题意； C、 ， 原计算错误，故此选项不符合题意； D、 ， 原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查整式加减混合运算，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知x为有理数，则|1－x|＋|1－2x|＋|1－3x|＋…＋|1－10x|的最小值为 【答案】/ 【分析】取不同范围内，去绝对值符号，得到不同的式子，可列出所有范围，再求其最小值． 【详解】解：（1）当时，原式， （2）当时，原式， 最小值为； （3）当时，原式， 最小值为； （4）当时，原式， 最小值为； （5）当时，原式， 最小值为； （6）当时，原式， 最小值为； 根据趋势，时，该区域内的最小值会逐渐增加， 最小值为， 故答案是：． 【点睛】本题考查了含绝对值的代数式求最值问题，解题的关键通过分类讨论取绝对值符号进行求解． 3．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）（1）先化简，再求值：，其中； （2）小辉同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下： 计算：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 ①老师说小辉同学的解法是错误的，则他从第______步开始出错，错误的原因是 ； ②请直接写出正确的化简结果． 【答案】（1）；；（2）①二，括号外面是“—”号，去括号后，括号内第三项符号未改变；② 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，掌握去括号法则成为解题的关键． （1）先去括号，然后再合并同类项即可； （2）根据整式加减运算的步骤逐步判定和计算即可解答． 【详解】解：       ,                          当时，． 解：（2）①二，括号外面是“-”号，去括号后，括号内第三项符号未改变 ②． ． 【典型例题四 整式的加减运算】 【例1】（24-25七年级上·北京顺义·期末）已知公式，其中，，均不为零，且．若用含有，的式子表示，则为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的加减，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．先找出最简分母，方程两边同乘以最简公分母，再求R即可． 【详解】解：， 方程两边同乘， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，数学实践活动课上张涛同学从电脑上设计了两幅图形，从电脑上显示图形的面积是图形的面积的3倍，他将图形向右移动一段距离，使与的一部分重合（如阴影部分所示），若已知图形的面积为，不重合部分的面积分别用表示，则的值等于（    ） A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，根据题意可推出，再根据图形A和图形B的面积关系即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵图形的面积是图形的面积的3倍，图形的面积为， ∴， ∴， 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·浙江·期末）已知，，则 0（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】本题考查了整式的加减，非负数的性质．计算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）我们知道整式的加减运算，是在学习了整式的前提下进行的，是有一定基础的，如两个多项式相减的计算：．请你根据上面的例子，把七年级数学上册第四章《整式的加减》知识结构图补充完整：① ；② ；③ ． 【答案】 单项式 多项式 合并同类项 【分析】本题考查了整式的加减，整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号先去括号，然后再合并同类项． 【详解】解：列代数式表示数量关系得到单项式或多项式，化简需去括号，合并同类项，即整式的加减． 故答案为：单项式，多项式，合并同类项． 1．（2024七年级上·浙江宁波·专题练习）已知有理数a，b，c在数轴上的对应位置如图，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值化简，掌握数轴的大小比较方法，绝对值化简方法．整式的加减法则是解题关键．首先根据有理数a，b，c在数轴上的对应位置可以得到，然后就分别可以得到，，，最后利用绝对值的性质即可化简． 【详解】解：依题意得： ， ∴， ∴ ． 故选：C． 2．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）将9个代数式填入九宫格的方格中，使得九宫格的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个代数式的和都相等．已知九宫格中的部分代数式如图所示，则 ．（用含有的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 设最中间的代数式为P，再根据九宫格的两条对角线上的3个代数式的和都相等列出等式，然后整理即可解答． 【详解】解：设最中间的代数式为P， 由题意可得，， 整理得：． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 作差法 在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是将数或代数式进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一、所谓“作差法”就是通过作差、变形，利用差的符号来确定它们的大小．例如，要比较和的大小，我们可以用得到2．因为2大于零，所以大于零，因此． 任务： (1)比较大小：_________． (2)比较和的大小，并说明理由． (3)已知，比较A与的大小关系． 【答案】(1) (2)当时， ；当时， ；当时， (3) 【分析】本题考查了作差法比较大小，整式的加减运算，掌握作差法比较大小的方法是解题的关键． （1）利用作差法比较大小即可． （2）利用作差法比较大小即可． （3）利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为： ； （2）解：， 当时， ， 当时， ， 当时，； （3）解：， ∵任何数的平方都大于等于0，即， ∴， ． 【典型例题五 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【例1】（24-25七年级上·广东东莞·期末）若和是同类项，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了同类项的概念，根据同类项的概念可求，的值，然后代入求值即可，解题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：（）所含字母相同；（）相同字母的指数相同． 【详解】解：∵和是同类项， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 【例2】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）若与的和为单项式，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项、同类项“如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相等，则这两个单项式是同类项”，熟记同类项的定义是解题关键．先判断出与是同类项，再根据同类项的定义可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵与的和为单项式， ∴与是同类项， ∴， ∴， 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）若与是同类项，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了同类项，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．直接利用同类项的定义分析得出答案． 【详解】解：∵与是同类项，， ∴， ∴， 故答案为：3． 【例4】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如果单项式与是同类项，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了同类项的定义和求代数式的值．根据同类项的定义得到，代入求值即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴ ∴ 故答案为：． 1．（23-24七年级上·山东德州·期中）若与是同类项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了同类项的概念，根据同类项的概念可求，的值，从而求出代数式的值，解题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：（）所含字母相同；（）相同字母的指数相同． 【详解】∵与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：． 2．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）若与是同类项，则 ； 【答案】0 【分析】根据“同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同”求出a、b的值，然后代入可计算即可解答． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， ∴． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了同类项的知识，掌握同类项中的两个相同是关键，①所含字母相同，②相同字母的指数相同． 3．（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）（1）单项式与是次数相同的单项式，求m的值． （2）已知单项式与单项式是同类项，求的值． 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题考查单项式的相关概念同类项的定义，解题的关键是掌握单项式系数、次数的相关概念．单项式中，所有字母的指数和叫单项式的次数，数字因数叫单项式的系数，通常系数不为0，以及字母和字母指数相同的单项式是同类项． （1）根据单项式次数的定义，得出，即可解答； （2）根据同类项的定义，得出，，求出m和n的值，再将其代入，即可解答． 【详解】解：（1）由题意得：， 解得：， 所以m的值为4． （2）∵单项式与单项式是同类项， ∴，， 所以， 所以原式：， 所以的值为． 【典型例题六 整式加减中的无关型问题】 【例1】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）若关于的代数式的值与无关，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键， 由代数式的值与x取值无关，求出a与b的值即可． 【详解】解：原式 ∵代数式的值与x取值无关， ∴， 解得：； 故选：D． 【例2】（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知多项式化简后不含项．则m的值是（　　） A．3 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则以及去括号法则，是解题的关键．先将多项式进行化简，根据化简后不含项可得项的系数为0，即可进行求解． 【详解】解：原式 ， ∵化简后不含项， ∴， 解得：． 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·浙江衢州·期中）如果多项式与的和中不含项，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查的是整式的加减运算中与某项无关，掌握“与某项无关则合并同类项后某项的系数为”是解本题的关键.先把含的同类项合并，再利用含项的系数为，从而可得答案. 【详解】解： 多项式与的和中不含项， 解得： 故答案为： 【例4】（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）当 时，多项式中不含项． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的定义，根据题意，先合并同类项，然后令的系数为，即可求解． 【详解】解： ， 依题意，， 解得：， 故答案为：． 1．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知代数式，在代数式M中任取k项，与代数式N中的任意k项进行交换，化简后的结果分别记作，这样的操作称作“k项互换操作”．例如：当时，将代数式M中的第一项a和第二项与代数式N中的第二项和第三项交换，得到．下列说法：①存在“k项互换操作”，使得；②存在“k项互换操作”，使得；③所有的，共有16种不同的运算结果，其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减．①当时，将代数式M中的项与代数式N中的项交换，即可求解；②可以判断不存在；③分别找出代数式M和代数式N中可以交换的组数，据此计算即可求解． 【详解】解：①当时，将代数式M中的项与代数式N中的项交换， 则， ，故①正确； ②代数式M与代数式N中，只有项系数都是1，而其余3项系数都互为相反数，而相反的系数需要两两配对交换才能消去，所以不能完全消去， 所以不存在，故②错误； ③当时， 代数式M中可以交换的项有，，，； 代数式N中可以交换的项有，，，； 所以，共有种结果，故③正确； 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖北黄石·期中）定义：若，则称a与b是关于数n的“平衡数”．比如3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与 (k为常数)始终是数n的“平衡数”，则它们是关于 的“平衡数”． 【答案】3 【分析】根据题干定义，直接建立等式，然后根据始终是有理数n的“平衡数”，可得到与的取值无关，从而求出，即可得出结论． 【详解】解： 由题意： ， ∵与（为常数）始终是数的“平衡数”， ∴的值与的取值无关， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查新定义问题，涉及到整式的加减计算以及取值无关型问题，理解题意，掌握整式的加减运算法则是解题关键． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）【感悟数学方法】 已知：． （1）计算：； （2）若的值与字母的取值无关，求的值． 【解决实际问题】请利用上述问题中的数学方法解决下面问题： 新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，已知甲型号口罩每箱进价为元，乙型号口罩每箱进价为元．该医药公司根据疫情，决定购进两种口罩共箱，有多种购进方案．甲型口罩的每箱售价为元，乙型口罩的售价为每箱元．而且为了及时控制疫情，公司决定每售出一箱甲型口罩，返还顾客现金元．乙型口罩售价不变．设购进箱甲型口罩，要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，求的值． 【答案】[感悟数学方法]：（1）；（2）；[解决实际问题]：． 【分析】本题考查了整式加减与实际应用； [感悟数学方法]：（1）将、的值代入计算整式的加减即可得； （2）根据“值与字母的取值无关”，令的系数为，即可求解； [解决实际问题]：设经销商购进甲型口罩箱，从而可得购进乙型口罩箱，再根据题意列出利润的表达式，然后参照（2）的方法求解即可得． 【详解】[感悟数学方法]： （1）解：∵ ∴ （2） ∵的值与字母的取值无关， ∴ ∴ [解决实际问题]：设经销商购进甲型口罩箱，则购进乙型口罩箱， 经销商的利润为： 要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同， 则， 解得． 【典型例题七 整式的加减中的化简求值】 【例1】（24-25七年级上·浙江宁波·课后作业）当时，多项式与的和是（    ） A．0 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先由整式的加法进行化简计算，然后把代入计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ． 当时， 原式． 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是掌握整式加减的运算法则，正确的进行化简． 【例2】（24-25七年级上·浙江·期中）老师布置一道多项式的运算：先化简再求值：，其中，一位同学将“”抄成“”，其余运算正确，结果却是对的，则关于和的值叙述正确的是（    ） A．一定是2，一定是 B．不一定是2，一定是 C．一定是2，不一定是 D．不一定是2，不一定是 【答案】B 【分析】先去括号再合并同类项，结合“一位同学将x=-2抄成x=2，其余运算正确，结果却是对的”分析答题即可． 【详解】解：（2x2-3x+1）-（ax2+bx-5） =2x2-3x+1-ax2-bx+5 =（2-a）x2-（3+b）x+6， ∵将“x=-2”抄成“x=2”，其余运算正确，结果却是对的， ∴二次项系数2-a可取任意实数，一次项系数-（3+b）的值为0， ∴a不一定是2，b一定是-3． 故选：B． 【点睛】本题主要考查多项式的运算，难度适中，正确理解整式的运算法则，以及运算顺序是关键． 【例3】（24-25七年级上·安徽淮南·期中）已知，则 的结果是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值及平方的非负性得出，再利用整式的加减运算法则化简求值即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ， 当时， 原式， 故答案为： 【点睛】题目主要考查绝对值及平方的非负性，整式加减运算的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键． 【例4】（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知多项式，，当时，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】先化简可得结果为，再代入计算可得化简结果为，再把代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 当时， 原式． 故答案为：-1. 【点睛】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，掌握“化简的先后顺序”是解本题的关键． 1．（24-25七年级上·河北邢台·期末）如果a﹣4b＝0，那么多项式2（b﹣2a+10）+7（a﹣2b﹣3）的值是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用整式的加减计算法则和去括号法则化简，由此求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选A． 【点睛】本题主要考查了整式的加减--化简求值，去括号，熟知相关计算法则是解题的关键． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“英华数”，定义新运算：将一个“英华数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记，例如：a=13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，，和与11的商，所以．根据以上定义，回答下列问题： （1）计算： ． （2）若m，n都是“英华数”，且，则 ． 【答案】 9 【分析】（1）根据的含义计算即可； （2）设m的十位数字、个位数字分别为b、c，n的十位数字、个位数字分别为d、e，则可分别表示出原两位数及两个数位交换后的新两位数，从而求得及；再由，可得这两个两位数的个位之和为，十位之和为，则可求得结果的值． 【详解】（1）对调个位与十位后得，则； 故答案为：9； （2）设m的十位数字、个位数字分别为b、c，n的十位数字、个位数字分别为d、e，则，，两个数位交换后的新两位数分别为，， ∴，同理； ∵， ∴这两个两位数的个位之和为，十位之和为，即，； ∴； 故答案为：． 【点睛】本题是新定义问题，考查了列代数式、求代数式的值，理解题中的概念、运用整体思想是解题的关键． 3．（2025·山西运城·模拟预测）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 议一议：求代数式的值，其中． 把代入后求值． 把看成一个字母a，这个代数式可以简化为 (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】已知，则的值为__________． 【答案】(1)，，过程见解析 (2)2 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值； （1）把看成整体，先合并，再代入计算即可； （2）把看成整体，先合并，再代入计算即可； 【详解】（1）解： ； 当时， 原式； （2）解：∵， ∴ ． 【典型例题八 带有字母的绝对值化简问题】 【例1】（23-24七年级上·江苏泰州·期中）若a是有理数，则值可能是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的性质和化简，分、和时三种情况讨论，去绝对值符号，计算即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 综上，值可能是5， 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·重庆万州·期末）下列四个结论中，其中正确的是（    ）． ①若的运算结果中不含项，则常数项为； ②若与是同类项，且；则 ③若，，则的结果有三个； ④若，则． A．①②③④ B．②③④ C．①④ D．①②④ 【答案】C 【分析】先根据整式的加减进行计算，再由运算结果中不含项，可得，从而得到常数项为，故①正确；再根据与是同类项，可得，从而得到，进而得到，故②错误；根据绝对值的性质化简，可得有两个结果，故③错误；先根据绝对值的性质化简，再合并同类项，可得判断④正确． 【详解】解：① ， ∵运算结果中不含项， ∴，即， ∴常数项为，故①正确； ②∵与是同类项， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②错误； ③∵，得中必有两正一负， 若，原式， 若，原式， 若，原式， 故有两个结果，故③错误； ④∵， ∴， ∴， 故④正确， 故选：C 【点睛】本题主要考查了整式的加减混合运算，绝对值的性质，同类项，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【例3】（23-24七年级上·广西玉林·阶段练习）当时，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·山东济南·期中）阅读材料：，即当时，．请用上述结论解决问题：已知a，b，c是有理数，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据，可得，，进而得出，再由，确定a、b、c三个数中负数的个数，再根据绝对值的性质进行计算即可． 【详解】∵，， ∴a、b、c中一负两正， 不妨设，，， ∵， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查绝对值的意义，有理数的乘法和加法，理解绝对值的意义，确定当时，的值，是正确解答的关键． 1．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知，对多项式任意添加绝对值运算(不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况)后仍只含有减法运算，称这种操作为“绝对操作”．例如：，等．下列说法： ①至少存在一种“绝对操作”，使其化简的结果与原多项式相等； ②不存在任何“绝对操作”，使其化简的结果与原多项式之和为0； ③若只添加两个绝对值，化简所有可能的“绝对操作”共有5种不同的结果． 其中正确的个数是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案． 【详解】解：,故说法①正确． 若使其运算结果与原多项式之和为，需出现 显然无论怎么添加绝对值，都无法使的符号为负号，故说法②正确， ， ， ， ，与第2种相同，舍去， 共有4种不同运算结果，故说法③错误． 故选：C． 【点睛】本题考查新定义题型，根据所给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）一组数：，其中，若（，且n为自然数），则 ． 【答案】191 【分析】本题考查了数字规律，解题的关键是由所给的式子从特殊到一般分析出存在的规律；分别求出，，，，再分析其中的规律，再进行求解即可． 【详解】解：， ，解得：； ，解得：； ，解得：； ，解得：； …， 则， ， 故答案为：191． 3．（24-25七年级上·云南曲靖·阶段练习）阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道：，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 如化简代数式时，可令和，分别求得和，称分别为与的零点值．在有理数范围内，零点值：，，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： ①；②；③． 从而化简代数式时，可分为以下3种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上所述，原式； 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)当时， ； (2)化简代数式： (3)的最大值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】此题考查绝对值的意义，整式的加减运算的应用，理解绝对值的意义，利用分类讨论思想是解题的关键． （1）直接根据绝对值的意义化简即可； （2）先求出零值点，再根据绝对值的意义化简即可； （3）先求出零值点，再根据绝对值的意义化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：； （2）解：令和， ∴和， 当时， ； 当时， ； 当时， ； ∴； （3）解：令和， ∴和， 当时， ； 当时， ， ∵， ∴； 当时， ； ∴的最大值为2． 故答案为：2． 【典型例题九 整式加减的应用】 【例1】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）弟弟有a支铅笔，姐姐的铅笔比弟弟的2倍少1支，姐姐和弟弟的铅笔一共有（   ） A．支 B．支 C．支 D．支 【答案】D 【分析】此题考查列代数式，整式加减的应用．先表示出姐姐的铅笔的数，即可求得姐姐和弟弟一共的铅笔数． 【详解】解：∵姐姐的铅笔比弟弟的2倍少1支，， ∴姐姐的铅笔的数是支， 则姐姐和弟弟的铅笔一共有支 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·山西朔州·阶段练习）将两边长分别为和的正方形纸片按图1、图2两种方式放置于长方形中，（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长为，图2中阴影部分的周长为，则与满足的数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查整式加减的应用．根据周长的计算公式，列出式子计算解答． 【详解】解：由题意知： ， 四边形是长方形， ， ， 同理： ， ， 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）某人买了甲、乙两个品牌的衬衣共m件，其中甲品牌衬衣比乙品牌衬衣多2件．已知甲品牌衬衣的单价为80元，乙品牌衬衣的单价为60元，则买这m件衬衣共需要付款 元． 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式，关键是把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来． 由题意得，乙品牌的衣服为件，则甲品牌的衣服为件，根据单价和数量以及总价的关系列出代数式即可． 【详解】解：买这m件衬衣需付款：（元）． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·四川绵阳·期中）如图，四边形的面积为，五边形的面积为，两个阴影部分的面积分别为，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减的应用，设重叠部分面积为 ， 可理解为 ，即两个多边形面积的差． 【详解】解：设重叠部分面积为 ， ， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·江西九江·期中）甲、乙、丙、丁四个车站的位置如图所示，求： (1)丙、丁两站的距离； (2)甲、丁两站的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查整式的加减的实际应用，熟练掌握整式加减的运算法则是解答本题的关键． （1）图中乙、丙的距离为，乙、丁的距离为，则丙、丁两站的距离，化简即可； （2）图中甲、乙的距离为，乙、丁的距离为，则甲、丁两站的距离，化简即可． 【详解】（1）解：根据题意得：乙、丙的距离为，乙、丁的距离为， 则丙、丁两站的距离， 答：丙、丁两站的距离为； （2）解：根据题意得：甲、乙的距离为， 则甲、丁两站的距离． 2．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，某影厅共有16排座位，第1排有m个座位，第2排比第1排多6个座位，第3排及后面每排座位数相同，都比第2排多n个座位． (1)用含m，n的式子表示该影厅所有的座位数； (2)图中的阴影区域为居中区域，仔细观察图形，若，，求该影视厅的居中区域的座位数． 【答案】(1)个 (2)该影视厅的居中区域的座位数为214个 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、列代数式及代数式求值，能根据题意用，表示出每排的座位数是解题的关键． （1）根据所给座位的个数关系，先得出第2排的座位数，再进一步得出第3排的座位数，即可求解； （2）用表示出图中阴影部分座位数的个数，再将的值代入计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为第1排有个座位，第2排比第1排多6个座位， 所以第2排的座位个数为个． 又因为第3排及后面每排座位数相同，都比第2排多个座位， 所以第3至16排的座位个数为个． ， 所以影厅所有的座位数有个； （2）解：由阴影部分可知， 第1排阴影部分中的座位个数为个， 第2排阴影部分中的座位个数为个， 第3至16排阴影部分中每排的座位个数都为个， 所以阴影部分中的座位总个数为：（个， 当时，（个， 即该影视厅的居中区域的座位数为214个． 3．（24-25七年级上·广东江门·期末）【知识背景】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，其中，“作差法”就是常用方法之一．若要比较M与N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 【问题情境】春节将至，某电商在促销活动期间，客服在为买家包装商品时用到长、宽、高分别为a厘米、b厘米、c厘米的箱子，准备采用如图所示的图1、图2、图3三种打包方式，所需打包带的长度分别为（每条打包带绕一圈，且不计接头处的长）． 【探究任务】请解决下列问题： (1)用含a、b、c的代数式分别表示； (2)当时，三种打包方式中，哪种方式最节省打包带？并说明你的理由． 【答案】(1) (2)图2中方式最节省打包带，理由见解析 【分析】本题考查列代数式，整式的加减运算，解题的关键是理解题意，正确列出代数式． （1）根据图形列出代数式即可； （2）利用求差法比较大小即可． 【详解】（1）解：由图可知：； （2）图2中方式最节省打包带． 理由：∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴． ∴图2中方式最节省打包带． 【典型例题十 数字类规律探索】 【例1】（24-25六年级上·山东威海·阶段练习）有一列数，，，，，从第二个数开始，每个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若，则为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查数字的变化规律，有理数的减法和除法．根据题意分别求出，，，由此得到规律进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， 数列每3个数为一个周期循环， ∵， ∴个数与第一个数相等，即， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·广东深圳·期末）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，它的前四种化合物的分子结构模型如图所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．按照这一规律，第100种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（    ） A．198 B．200 C．202 D．204 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字规律的变化问题， 分别数出第①，②，③，④结构模型中氢原子的个数，进而得出变化规律，即可解答． 【详解】解：第①个结构模型中有（个）氢原子； 第②个结构模型中有（个）氢原子； 第③个结构模型中有（个）氢原子； 第④个结构模型中有（个）氢原子， 第100种化合物的结构模型中有（个）氢原子． 故选：C． 【例3】（23-24七年级上·广西河池·期中）若a是不为1的有理数，我们把上称为a的差倒数，已知，是的差倒数，是的差倒数…以此类推，的差倒数 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类的规律探究．解题的关键在于根据题意推导一般性规律． 由题意知，，，，……，即每3个数循环一次，由，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，，，…… ∴每3个数循环一次， ∵， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·广东佛山·期中）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及数学常识．根据题意，依次得出，，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知 ， ， ， ， …， 所以． 当时，． 故答案为：． 1．（23-24七年级上·河南郑州·期中）如下表所示，从左到右，在每一个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 9 a b x 2 …… (1)可求得______，第2022个格子中的数为______． (2)判断：前m个格子中所填整数之和可能为2022吗？若能，求出m的值；若不能，请说明理由； 【答案】(1)9，2 (2)不能，见解析 【分析】本题考查数字的规律； （1）根据任意三个相邻格子中所填整数之和都相等可知此表是由三个整数重复排列而成，而表格中给出9，，2，此就是这三个数重复出现，且必须是按9，，2这样的顺序重复才能符合要求，由此即可解决问题． （2）可先计算出这三个数的和，再照规律计算． 【详解】（1）解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ∴ ∴， ∵后面格子里有一个2， ∴， ∴表格中9，，2循环出现， ∴第2022个格子中的数为2； 故答案为：9；2 （2）解：前m个方格中所填整数之和不能为2022．理由如下： ∵， ∴当时，； 当时，； 当时， ∵m为整数， ∴不存在m的值，使前m个方格中所填整数之和为2022． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）将10枚硬币背面朝上放在桌子上，依次编号为①，②，③…⑩，记正面朝上为“+”，背面朝上为“-”，某兴趣小组同学依次按照如下规则进行翻硬币游戏：第1次把所有编号能被1整除的硬币翻一次，第2次把所有编号能被2整除的硬币翻一次，第3次把所有编号能被3整除的硬币翻一次……第次把所有编号能被整除的硬币翻一次，游戏结束． (1)将下列表格补充完整： 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 翻次 1 2 2 3 2 4 4 4 结果 + - - + - - - - (2)若有20枚硬币，在游戏结束时，所有正面朝上的硬币的编号为__________； (3)按照上述规则，若共有枚硬币在游戏结束时朝上，则硬币数量最多为_________枚（用含有的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①④⑨⑯ (3) 【分析】本题主要考查了数字变化规律，用代数式表示， （1）编号⑦能被1和7整数，所以翻次为2，结果为“”，编号⑨能被1，3和9整除，所以翻次为3，结果为“”，填表即可； （2）列出所有游戏结果，可得答案； （3）根据前20枚硬币的结果，得出前4次硬币数量最多的枚数，即可得出答案． 【详解】（1）解：编号⑦能被1和7整数，所以翻次为2，结果为“”，编号⑨能被1，3和9整除，所以翻次为3，结果为“”，填表即可； 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 翻次 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 结果 （2）解：结合（1），可知有20枚硬币，在游戏结束时，所有正面朝上的硬币的编号为①④⑨⑯． 故答案为：①④⑨⑯； 编号 ⑪ ⑫ ⑬ ⑭ ⑮ ⑯ ⑰ ⑱ ⑲ ⑳ 翻次 2 6 2 4 4 5 2 6 2 6 结果 （3）解：当有1枚硬币正面朝上，最多可以有枚硬币； 当有2枚硬币正面朝上，最多可以有枚硬币； 当有3枚硬币正面朝上，最多可以有枚硬币； 当有4枚硬币正面朝上，最多可以有枚硬币， ， 当有n枚硬币正面朝上，最多可以有枚硬币． 故答案为：． 3．（2025·山东潍坊·模拟预测）【问题提出】 甲、乙两人轮流从一堆石子中取石子，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始石子总数为n，探究先手或后手必胜的策略． 【问题探究】 （1）基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，填写下表并总结规律： 石子总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 先手是否有必胜的策略 是 是 否 结论：当n为______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． （2）扩展情形分析：若每次最多取3颗（）． 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略． 当时，先手第一次取______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． （3）数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． 【问题解决】 当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择______（先手或后手），你的必胜策略是什么？ 【问题拓展】 若规则改为每次至少取2颗（最后一次可取1颗），最多取4颗，其余策略不变．当时，先手第一次应取______颗以确保必胜． 【答案】 问题探究：（1）是，是，否，是，；（2），；（3） 问题解决：先手，具体策略为先手第一次取颗，后面每次都与后手和为，则先手必胜； 问题拓展： 【分析】本题考查逻辑推理，以及找规律，解题的关键在于根据基础情形逐步扩展到一般情况． 问题探究：（1）分析涉及表格每个数字是否先手有必胜的策略，找到规律即可． （2）利用（1）中规律求解即可； （3）利用（1）和（2）中规律求解即可； 问题解决：利用（3）的结论求解即可． 问题拓展：先手第一次取完后，留下是的倍数即可先手必胜． 【详解】解：问题探究：（1）当时，先手取1颗，后面每次都与后手和为，即可先手必胜； 当时，先手取2颗，后面每次都与后手和为，即可先手必胜； 当时，不管先手取多少，后手每次都与先手和为，即可后手必胜； 当时，先手取1颗，后面每次都与后手和为，即可先手必胜； ∴填写下表并总结规律： 石子总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 先手是否有必胜的策略 是 是 否 是 是 否 是 结论：当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． 故答案为：是，是，否，是，； （2）当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略． 当时，先手第一次取1颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． 故答案为：，； （3）数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为的倍数时，不管先手取多少，后手每次都与先手和为，则后手必胜，即后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． 故答案为：； 问题解决：∵， ∴选择先手可以必胜，具体策略为先手第一次取颗，后面每次都与后手和为，则先手必胜． 故答案为：先手； 问题拓展：若规则改为每次至少取2颗（最后一次可取1颗），最多取4颗，其余策略不变．当时，先手第一次应取颗，后面不管后手怎么取都可以保证先手获胜． 故答案为：． 【典型例题十一 图形类规律探索】 【例1】（24-25七年级上·河北邢台·期中）五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5．若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从为第二次“移位”．若小宇从编号为4的顶点开始，第2019次“移位”后，那么他所处的顶点的编号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题对图形变化规律的考查，根据“移位”的定义，找出每4次移位为一个循环组进行循环是解题的关键．根据“移位”的特点确定出前几次的移位情况，从而找出规律，然后解答即可． 【详解】解：根据题意，小宇从编号为4的顶点开始， 第1次移位到达点3， 第2次移位到达点1， 第3次移位到达点2， 第4次移位到达点4， …， 依此类推，4次移位后回到出发点， ． 所以第2019次移位为第504个循环组的第3次移位，到达点2． 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）如图是一组有规律的图案，图1中有4条线段，图2中有7条线段，图3中有10条线段，……，按此规律图10中的线段条数为（   ） A．40 B．34 C．31 D．37 【答案】C 【分析】本题考查了图形类的规律探索，观察可知后面一个图形比前面一个图形多3条线段，据此规律求解即可． 【详解】解：∵图1中有条线段， 图2中有条线段， 图3中有条线段， ……， ∴图n中有条线段， ∴图10中有条线段， 故选C． 【例3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”分别用了8根、14根、20根火柴……，则要搭17条“金鱼”需要的火柴数为 根． 【答案】104 【分析】本题考查了图形规律的探究．根据每增加一条“金鱼”，需要增加6根火柴列代数式即可求解． 【详解】解：第一条金鱼用了根火柴； 第2条金鱼用了根火柴； 第3条金鱼用了根火柴； 第n条金鱼用了根火柴； 则第17条金鱼用了根火柴， 故答案为：104． 【例4】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，慧慧制定了一种密码规则，根据该规则将密文“”翻译成明文为 ． 【答案】梦虽遥，追则能达。 【分析】本题考查了观察归纳能力，解题关键是发现密文规则，找出数字代表的字母即可． 【详解】解：数字代表的字是梦；数字代表的字是虽；数字代表的字是遥；数字代表的是“，”；数字代表的字是追；数字代表的字是则；数字代表的字是能；数字代表的字是达；数字代表的是“。”； “”翻翻译成明文为“梦虽遥，追则能达。”， 故答案为：梦虽遥，追则能达。． 1．（2025·安徽淮北·模拟预测）如图，利用黑白两种颜色的五边形组成的图案，根据图案组成的规律回答下列问题： (1)图案④中黑色五边形有______个，白色五边形有______个； (2)图案中黑色五边形有______个，白色五边形有______个；（用含的式子表示） (3)图案中的白色五边形可能为2023个吗？若可能，请求出的值；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)4，13 (2)， (3)可能， 【分析】（1）观察可知，除第一个以外，每增加一个黑色五边形，相应的白色五边形增加三个，即可解答． （2）根据观察分析出白色五边形的块数与图形序号之间的关系，并由此猜想数列的通项公式，解答问题． （3）根据通项公式解答出的值即可判断． 【详解】（1）∵第1个图形中黑色五边形的个数为1，白色五边形的个数为4； 第2个图形中墨色五边形的个数为2，白色五边形的个数为， 第3个图形中墨色五边形的个数为3，白色五边形的个数为； ∴第4个图形中界色五边形的个数为4，白色五边形的个数为． （2）由（1）可得：第个图形中黑色五边形的个数为，白色五边形的个数为． （3）可能，理由如下：由题意得，解得，故图案中的白色五边形可能为2023个． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，每个小正方形的面积均为1 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式：____________ …… 据此规律： (1)请写出第3个等式：___； (2)猜想第n个等式为___（用含n的等式表示）； (3)已知如上图所示的一个草垛的最底端有2020支小正方形草束，则这堆草垛共有多少支草束？ 【答案】(1) (2) (3)1021110支 【分析】（1）根据所给的等式左边和右边的形式进行解答即可； （2）分析所给的等式，等式左边是偶数之和，右边是连续整数乘积，得出结果； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：（1）由题意得：第3个等式为：， 故答案为：； （2）（2）∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， ...， ∴第n个等式：， 故答案为：（n＋1）（n＋2）； （3）（3）∵草垛的最底端有2020支小正方形草束， ∴． 答：这堆草垛中共有1021110支草束． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，分析等式规律题时，观察等式的两边的特征，解答的关键是由所给的图形分析出存在的规律． 3．（24-25六年级上·山东威海·期末）【信息提取】“转化”是一种解决问题的常用策略，借助图形可以发现并建立相应的数量关系，进而找到问题解决的方法．如在计算“”时，可以利用图1进行绘图得到图2，将问题转化为“”，实现简便计算． 【问题探究】 （1）利用图3进行绘图，并依据绘图进行简便计算：； （2）猜想：= ；（直接写结果） 【问题解决】 （3）计算：． 【答案】（1）图见解析；   （2）  （3） 【分析】本题考查有理数的混合运算，利用图形对简便计算有理的运算是解题的关键． （1）把正方形看作单位量“1”，利用图形把转化成进行计算即可． （2）仿（1）的方法即可得出答案； （3）将转化成，再利用（2）的结论计算即可． 【详解】解：（1）如图， 由图可得： ． （2）， 故答案为：． （3） ． 1．（24-25七年级上·浙江台州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项法则即可求出答案．解题的关键是熟练掌握合并同类项的发展，本题属于基础题型． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D． 2．（24-25七年级上·广西贺州·期中）若一个多项式与的和是，则这个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的减法． 根据题意，所求多项式等于减去已知多项式，通过整式的减法运算即可求解． 【详解】解：∵一个多项式与的和是， ∴这个多项式是， 故选：A． 3．（23-24七年级上·重庆北碚·期末）如图，已知数轴上点所对应的数都不为0，且是的中点，如果，则原点的大致位置在（    ） A．的左边 B．与之间 C．与之间 D．的右边 【答案】B 【分析】本题考查了数轴与绝对值结合．数轴与绝对值结合，先根据绝对值的性质，判断出，，的大致取值，再根据图形和已知等式确定原点位置． 【详解】解：是的中点，则， 因而①，则， ②，则， ③，则， 所以原式，则， 因为，则、异号，并且， 就是， 因而点在，之间． 故选：B． 4．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）如图，图案是晋商大院窗格的一部分，其中“O”代表窗纸上所贴的剪纸，则第6个图中所贴剪纸“O”的个数为（   ）    A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】本题是对图形变化规律的考查，观察出后一个图形比前一个图形多3个剪纸这一规律是解题的关键． 观察图形，后一个图形比前一个图形多3个剪纸，然后写出第n个图形的剪纸的表达式，再把代入表达式进行计算即可得解． 【详解】解：第1个图形有5个剪纸， 第2个图形有8个剪纸， 第3个图形有11个剪纸， …， 依此类推，第n个图形有个剪纸， 当时，， 故选：B． 5．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①，卡片长为x、宽为y）不重叠地放在一个长为a、宽为b的长方形中（如图②），涂色部分表示长方形未被卡片覆盖的部分，则图②中两块涂色部分的周长和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了整式的加减的应用，根据题意求出两块阴影部分的周长和是解本题的关键．由小长方形卡片的长为x，宽为y，由图②表示出上面与下面两块阴影部分的周长和，根据题意得到：，代入计算即可得到结果． 【详解】解：设小长方形卡片的长为x，宽为y， 根据题意得：， 则图②中两块阴影部分周长和是 ． 故选：A 6．（24-25七年级上·河南南阳·期末）写出的一个同类项 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项，熟练掌握定义是解题的关键．根据同类项即含有字母相同且相同字母的指数相同，根据定义判断，与系数无关． 【详解】解：例如， 故答案为：（答案不唯一） 7．（24-25七年级上·山东日照·期末）已知与的和是单项式，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了同类项、单项式的概念，求代数式的值，由已知得到两个单项式是同类项是解答此题的关键． 根据同类项的概念：所含字母相同，且相同字母的指数也相等的两个单项式；求得a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：单项式与的和仍是一个单项式， 单项式与是同类项， ，，即， ； 故答案为：． 8．（24-25七年级上·北京通州·期中）如果代数式的值是0，那么代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据题意得到，再把所求式子去括号后合并同类项得到，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵代数式的值是0， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 9．（2025·湖南怀化·模拟预测）现有长短、形状、质地完全相同的筷子，仅颜色不同，共有红、橙、黄、绿、蓝、紫六种颜色，每种颜色各根.闭上眼至少随机摸出 根筷子，才能保证摸出的筷子中至少有双.（同色两根为一双） 【答案】 【分析】本题考查了数字规律，假设先摸的是红、橙、黄、绿、蓝、紫根，再摸一根就可成为一双筷子，根，摸出第二双，需要根，摸出第三双，需要根，以此类推，摸出第双，需要（根），掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：假设先摸的是红、橙、黄、绿、蓝、紫根，再摸一根就可成为一双筷子，（根）， 摸出第二双，需要（根），摸出第三双，需要（根）， ； 以此类推，摸出第双，需要（根）， ∴闭上眼至少随机摸出根筷子，才能保证摸出的筷子中至少有双， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，在正方形中放入正方形和正方形，点在上，且点在一条直线上．若阴影部分面积为，则阴影部分周长为 ．（用含的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了整式计算的应用，延长交于点M，由题意可得，设，用表示阴影部分的面积，即可得到与的关系，即可表示出阴影部分的周长，熟练进行整式的计算是解题的关键． 【详解】解：延长交于点M，如图， 四边形，和都为正方形， , ,即, 设，则， 阴影部分的面积为， ， ， ， 阴影部分的周长为． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·北京·期中）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项的规则进行解答即可． 【详解】解： ． 12．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）已知整式和满足：，． (1)求整式（用所含、的代数式表示）； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查整式的加减，掌握整式加减法法则是解题的关键． （1）根据，代入计算，根据整式的加减运算法则计算即可； （2）先得出，根据的值与的取值无关，得出，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解： ∵的值与的取值无关， ∴， ∴． 13．（24-25七年级上·福建莆田·期中）小睿同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下： 计算： 解：原式 ． (1)小睿同学的解答正确吗？如果正确，给出各步计算的依据；如果不正确，请给出正确的计算过程． (2)当时，求此代数式的值． 【答案】(1)不正确，正确过程见解析 (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，代数式求值，熟知整式的加减计算法则并正确化简是解题的关键； （1）根据解答过程可知，去括号时，有对应项没有乘以系数，以及对应项没有变号，根据整式的加减计算法则写出正确的过程即可； （2）根据（1）所求代值计算即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，小睿同学的解答过程错误，原因是第一步去括号时，第一个括号里面的没有乘以3，第二个括号没有变号，没有乘以2， 正确过程如下： ； （2）解：当时，原式． 14．（2025·安徽·模拟预测）如图，研究平面内若干条直线的交点情况，记直线条数为，交点个数的最大值为．如图1，当时，；如图2，当时，；如图3，当时，． (1)当时，______； (2)试写出关于的表达式．当时，求的值． 【答案】(1)； (2)，； 【分析】（1）本题考查图形规律，根据图形的数量关系找到规律即可得到答案； （2）本题考查图形规律，根据图形的数量关系找到规律即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ∵当时，，时，，当时，， ∴， 当时， ， 故答案为：； （2）解：由（1）得，， 当时， ． 15．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）学校运动场是学生进行各类体育运动的主要场所，图①是某校的运动场规划图．该运动场的跑道可以简单地抽象为由若干个圆心相同的半圆和长方形组成的图形，如图②所示．已知最小的半圆的半径为a米，每个跑道的宽度均为b米，共有8个跑道，其中长方形跑道部分的长为100米． (1)该运动场跑道8的周长与跑道1的周长相差多少米？（用含a，b的式子表示，结果保留） (2)如图②，若该运动场规划为400米标准跑道，跑道1的起跑线在A处，为使各跑道终点线相同，当时，跑道8的起跑线应设在B点前方多少米处？（取3.14，结果精确到十分位） 【答案】(1)该运动场跑道8的周长与跑道1的周长相差米 (2)跑道8的起跑线应设在B点前方米处 【分析】本题主要考查列代数式和整式的加减，读懂题意找出数量关系是解答本题的关键． （1）根据圆和矩形的周长公式即可得到结论； （2）由（1）知跑道8的周长与跑道1的周长相差米，将代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：跑道1的长度为米，跑道8的长度为米， （米）， 答：该运动场跑道8的周长与跑道1的周长相差米； （2）解：由（1）知跑道8的周长与跑道1的周长相差米， 当时，则（米） 答：跑道8的起跑线应设在B点前方米处． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 整式的加减及合并同类项（3大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 同类项的判断 典型例题二 合并同类项 典型例题三 去括号 典型例题四 整式的加减运算 典型例题五 已知同类项求指数中字母或代数式的值 典型例题六 整式加减中的无关型问题 典型例题七 整式的加减中的化简求值 典型例题八 带有字母的绝对值化简问题 典型例题九 整式加减的应用 典型例题十 数字类规律探索 典型例题十一 图形类规律探索 知识点01 合并同类项 1. 同类项的概念：一个多项式中，字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。注意所有的常数项都是同类项。 比如：多项式a2b-a2c-4+3a2b+ab2-a2c+5-ab2中，a2b和3a2b是同类项， -a2c和-a2c是同类项，-4和5是同类项，ab2和- ab2是同类项，而a2b和-a2c不是同类项，因为它们字母不同， a2b和ab2不是同类项，因为它们虽然字母相同，但是相同字母的指数不同。 2. 合并同类项的概念：按照乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。 3. 合并同类项法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。 要点诠释： (1) 注意项的系数为负数时的情况，也就是在多项式中遇到减号时，注意此时是加了一个系数为负数的项。 (2) 字母和指数不变，也就是说，合并同类项之后，仅仅是系数发生了变化，而字母和字母的指数不会发生任何变化，否则就是错误。 (3)合并同类项之前，应该先移动项，将同类项移动到一起，在移动项的时候，要注意将减号当做负号一起移动。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列各式计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）合并同类项： ． 知识点02 去括号 一、去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 要点诠释： (1) 去括号法则实际上是根据乘法分配律得到的结论：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘。 (2) 去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号。 (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号。 （4）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形。 二、添括号法则 （1）添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； （2）添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号。 要点诠释： (1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的。 (2)去括号和添括号的关系如下： 如：， 【即时训练】 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期中） ① ②，步骤①的依据是 ． 知识点03 整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 要点诠释： （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项。 （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来。 (3)整式加减的最后结果的要求： ①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止； ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列； ③不能出现带分数，带分数要化成假分数。 【即时训练】 1．（2024七年级上·浙江宁波·专题练习）若一个长方形的周长为，其中一条边长为，则与其相邻的一条边长为（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（23-24七年级上·浙江温州·期末）一个长方形的周长为，其中长为，则宽为 ． 【典型例题一 同类项的判断】 【例1】（24-25七年级上·浙江舟山·期末）下列各组中，是同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例2】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）下列说法正确的是（   ） A．单项式的次数是五 B．单项式的系数是 C．是四次三项式 D．与是同类项 【例3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）写出的一个同类项 ． 【例4】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）若关于x、y的单项式和单项式的和仍是单项式，则= ． 1．（24-25七年级上·浙江丽水·期中）下列式子是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）关于、、、的多项式（其中、为正整数）中，恰有两项是同类项，则是 ． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·课后作业）你能写出的几个同类项吗？ 【典型例题二 合并同类项】 【例1】（24-25七年级上·山西吕梁·期末）下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）“一夜连双岁，五更分二年．”于时光而言，除夕就是一座桥梁，上承旧岁的欢娱，下启崭新的一年，2024年的龙年春节尤其喜庆，某商店销售某种龙年吉祥物，第一天售出m件．第二天的销售量比第一天的3倍少1件，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第二天售出的吉祥物数量 B．第二天比第一天多售出的吉祥物数量 C．两天一共售出的吉祥物数量 D．第二天比第一天少售出的吉祥物数量 【例3】（24-25七年级上·四川自贡·期中）化简 ． 【例4】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）如果单项式与的和仍然是一个单项式，则 （结果不含m和n）． 1．（24-25七年级上·湖南永州·期末）下列说法中，正确的有（   ） ①=()=1 ；②3x2y4xy2=x2y；③3л x2y的系数是3，次数是2；④若一个数的倒数等于它本身，则这个数是1或1；⑤|a|=|2|，则a=2 A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个 2．（24-25七年级上·浙江衢州·期中）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为 ． …… 3．（24-25七年级上·北京·期末）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是_________； (2)已知，求的值． 【典型例题三 去括号】 【例1】（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024七年级上·浙江宁波·专题练习）下列变形中错误的是（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）将算式（﹣7）﹣（＋10）﹣（﹣8）﹣（＋5）改写成省略加号和括号的形式是 ． 【例4】（24-25六年级上·浙江湖州·期末）王老师在黑板上书写了一个正确的整式加减运算等式，随后用手盖住了一部分，如图所示，所盖住的部分为 ． 1．（24-25七年级上·广东梅州·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知x为有理数，则|1－x|＋|1－2x|＋|1－3x|＋…＋|1－10x|的最小值为 3．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）（1）先化简，再求值：，其中； （2）小辉同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下： 计算：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 ①老师说小辉同学的解法是错误的，则他从第______步开始出错，错误的原因是 ； ②请直接写出正确的化简结果． 【典型例题四 整式的加减运算】 【例1】（24-25七年级上·北京顺义·期末）已知公式，其中，，均不为零，且．若用含有，的式子表示，则为（） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，数学实践活动课上张涛同学从电脑上设计了两幅图形，从电脑上显示图形的面积是图形的面积的3倍，他将图形向右移动一段距离，使与的一部分重合（如阴影部分所示），若已知图形的面积为，不重合部分的面积分别用表示，则的值等于（    ） A．15 B．16 C．18 D．20 【例3】（24-25七年级上·浙江·期末）已知，，则 0（填“>”“<”或“=”）． 【例4】（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）我们知道整式的加减运算，是在学习了整式的前提下进行的，是有一定基础的，如两个多项式相减的计算：．请你根据上面的例子，把七年级数学上册第四章《整式的加减》知识结构图补充完整：① ；② ；③ ． 1．（2024七年级上·浙江宁波·专题练习）已知有理数a，b，c在数轴上的对应位置如图，则（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）将9个代数式填入九宫格的方格中，使得九宫格的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个代数式的和都相等．已知九宫格中的部分代数式如图所示，则 ．（用含有的代数式表示） 3．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 作差法 在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是将数或代数式进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一、所谓“作差法”就是通过作差、变形，利用差的符号来确定它们的大小．例如，要比较和的大小，我们可以用得到2．因为2大于零，所以大于零，因此． 任务： (1)比较大小：_________． (2)比较和的大小，并说明理由． (3)已知，比较A与的大小关系． 【典型例题五 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【例1】（24-25七年级上·广东东莞·期末）若和是同类项，则的值是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）若与的和为单项式，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例3】（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）若与是同类项，则 ． 【例4】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如果单项式与是同类项，那么 ． 1．（23-24七年级上·山东德州·期中）若与是同类项，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）若与是同类项，则 ； 3．（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）（1）单项式与是次数相同的单项式，求m的值． （2）已知单项式与单项式是同类项，求的值． 【典型例题六 整式加减中的无关型问题】 【例1】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）若关于的代数式的值与无关，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【例2】（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知多项式化简后不含项．则m的值是（　　） A．3 B． C．1 D．2 【例3】（24-25七年级上·浙江衢州·期中）如果多项式与的和中不含项，则的值为 ． 【例4】（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）当 时，多项式中不含项． 1．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知代数式，在代数式M中任取k项，与代数式N中的任意k项进行交换，化简后的结果分别记作，这样的操作称作“k项互换操作”．例如：当时，将代数式M中的第一项a和第二项与代数式N中的第二项和第三项交换，得到．下列说法：①存在“k项互换操作”，使得；②存在“k项互换操作”，使得；③所有的，共有16种不同的运算结果，其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级上·湖北黄石·期中）定义：若，则称a与b是关于数n的“平衡数”．比如3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与 (k为常数)始终是数n的“平衡数”，则它们是关于 的“平衡数”． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）【感悟数学方法】 已知：． （1）计算：； （2）若的值与字母的取值无关，求的值． 【解决实际问题】请利用上述问题中的数学方法解决下面问题： 新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，已知甲型号口罩每箱进价为元，乙型号口罩每箱进价为元．该医药公司根据疫情，决定购进两种口罩共箱，有多种购进方案．甲型口罩的每箱售价为元，乙型口罩的售价为每箱元．而且为了及时控制疫情，公司决定每售出一箱甲型口罩，返还顾客现金元．乙型口罩售价不变．设购进箱甲型口罩，要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，求的值． 【典型例题七 整式的加减中的化简求值】 【例1】（24-25七年级上·浙江宁波·课后作业）当时，多项式与的和是（    ） A．0 B．4 C． D． 【例2】（24-25七年级上·浙江·期中）老师布置一道多项式的运算：先化简再求值：，其中，一位同学将“”抄成“”，其余运算正确，结果却是对的，则关于和的值叙述正确的是（    ） A．一定是2，一定是 B．不一定是2，一定是 C．一定是2，不一定是 D．不一定是2，不一定是 【例3】（24-25七年级上·安徽淮南·期中）已知，则 的结果是 ． 【例4】（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知多项式，，当时，代数式的值为 ． 1．（24-25七年级上·河北邢台·期末）如果a﹣4b＝0，那么多项式2（b﹣2a+10）+7（a﹣2b﹣3）的值是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“英华数”，定义新运算：将一个“英华数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记，例如：a=13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，，和与11的商，所以．根据以上定义，回答下列问题： （1）计算： ． （2）若m，n都是“英华数”，且，则 ． 3．（2025·山西运城·模拟预测）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 议一议：求代数式的值，其中． 把代入后求值． 把看成一个字母a，这个代数式可以简化为 (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】已知，则的值为__________． 【典型例题八 带有字母的绝对值化简问题】 【例1】（23-24七年级上·江苏泰州·期中）若a是有理数，则值可能是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【例2】（24-25七年级上·重庆万州·期末）下列四个结论中，其中正确的是（    ）． ①若的运算结果中不含项，则常数项为； ②若与是同类项，且；则 ③若，，则的结果有三个； ④若，则． A．①②③④ B．②③④ C．①④ D．①②④ 【例3】（23-24七年级上·广西玉林·阶段练习）当时，化简： ． 【例4】（24-25七年级上·山东济南·期中）阅读材料：，即当时，．请用上述结论解决问题：已知a，b，c是有理数，，，则的值为 ． 1．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知，对多项式任意添加绝对值运算(不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况)后仍只含有减法运算，称这种操作为“绝对操作”．例如：，等．下列说法： ①至少存在一种“绝对操作”，使其化简的结果与原多项式相等； ②不存在任何“绝对操作”，使其化简的结果与原多项式之和为0； ③若只添加两个绝对值，化简所有可能的“绝对操作”共有5种不同的结果． 其中正确的个数是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）一组数：，其中，若（，且n为自然数），则 ． 3．（24-25七年级上·云南曲靖·阶段练习）阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道：，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 如化简代数式时，可令和，分别求得和，称分别为与的零点值．在有理数范围内，零点值：，，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： ①；②；③． 从而化简代数式时，可分为以下3种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上所述，原式； 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)当时， ； (2)化简代数式： (3)的最大值为 ． 【典型例题九 整式加减的应用】 【例1】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）弟弟有a支铅笔，姐姐的铅笔比弟弟的2倍少1支，姐姐和弟弟的铅笔一共有（   ） A．支 B．支 C．支 D．支 【例2】（24-25七年级上·山西朔州·阶段练习）将两边长分别为和的正方形纸片按图1、图2两种方式放置于长方形中，（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长为，图2中阴影部分的周长为，则与满足的数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）某人买了甲、乙两个品牌的衬衣共m件，其中甲品牌衬衣比乙品牌衬衣多2件．已知甲品牌衬衣的单价为80元，乙品牌衬衣的单价为60元，则买这m件衬衣共需要付款 元． 【例4】（24-25七年级上·四川绵阳·期中）如图，四边形的面积为，五边形的面积为，两个阴影部分的面积分别为，，则的值为 ． 1．（24-25七年级上·江西九江·期中）甲、乙、丙、丁四个车站的位置如图所示，求： (1)丙、丁两站的距离； (2)甲、丁两站的距离． 2．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，某影厅共有16排座位，第1排有m个座位，第2排比第1排多6个座位，第3排及后面每排座位数相同，都比第2排多n个座位． (1)用含m，n的式子表示该影厅所有的座位数； (2)图中的阴影区域为居中区域，仔细观察图形，若，，求该影视厅的居中区域的座位数． 3．（24-25七年级上·广东江门·期末）【知识背景】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，其中，“作差法”就是常用方法之一．若要比较M与N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 【问题情境】春节将至，某电商在促销活动期间，客服在为买家包装商品时用到长、宽、高分别为a厘米、b厘米、c厘米的箱子，准备采用如图所示的图1、图2、图3三种打包方式，所需打包带的长度分别为（每条打包带绕一圈，且不计接头处的长）． 【探究任务】请解决下列问题： (1)用含a、b、c的代数式分别表示； (2)当时，三种打包方式中，哪种方式最节省打包带？并说明你的理由． 【典型例题十 数字类规律探索】 【例1】（24-25六年级上·山东威海·阶段练习）有一列数，，，，，从第二个数开始，每个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若，则为（    ） A． B．4 C． D． 【例2】（24-25七年级上·广东深圳·期末）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，它的前四种化合物的分子结构模型如图所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．按照这一规律，第100种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（    ） A．198 B．200 C．202 D．204 【例3】（23-24七年级上·广西河池·期中）若a是不为1的有理数，我们把上称为a的差倒数，已知，是的差倒数，是的差倒数…以此类推，的差倒数 ． 【例4】（24-25七年级上·广东佛山·期中）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则 ． 1．（23-24七年级上·河南郑州·期中）如下表所示，从左到右，在每一个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 9 a b x 2 …… (1)可求得______，第2022个格子中的数为______． (2)判断：前m个格子中所填整数之和可能为2022吗？若能，求出m的值；若不能，请说明理由； 2．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）将10枚硬币背面朝上放在桌子上，依次编号为①，②，③…⑩，记正面朝上为“+”，背面朝上为“-”，某兴趣小组同学依次按照如下规则进行翻硬币游戏：第1次把所有编号能被1整除的硬币翻一次，第2次把所有编号能被2整除的硬币翻一次，第3次把所有编号能被3整除的硬币翻一次……第次把所有编号能被整除的硬币翻一次，游戏结束． (1)将下列表格补充完整： 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 翻次 1 2 2 3 2 4 4 4 结果 + - - + - - - - (2)若有20枚硬币，在游戏结束时，所有正面朝上的硬币的编号为__________； (3)按照上述规则，若共有枚硬币在游戏结束时朝上，则硬币数量最多为_________枚（用含有的式子表示）． 3．（2025·山东潍坊·模拟预测）【问题提出】 甲、乙两人轮流从一堆石子中取石子，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始石子总数为n，探究先手或后手必胜的策略． 【问题探究】 （1）基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，填写下表并总结规律： 石子总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 先手是否有必胜的策略 是 是 否 结论：当n为______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． （2）扩展情形分析：若每次最多取3颗（）． 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略． 当时，先手第一次取______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． （3）数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． 【问题解决】 当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择______（先手或后手），你的必胜策略是什么？ 【问题拓展】 若规则改为每次至少取2颗（最后一次可取1颗），最多取4颗，其余策略不变．当时，先手第一次应取______颗以确保必胜． 【典型例题十一 图形类规律探索】 【例1】（24-25七年级上·河北邢台·期中）五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5．若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从为第二次“移位”．若小宇从编号为4的顶点开始，第2019次“移位”后，那么他所处的顶点的编号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）如图是一组有规律的图案，图1中有4条线段，图2中有7条线段，图3中有10条线段，……，按此规律图10中的线段条数为（   ） A．40 B．34 C．31 D．37 【例3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”分别用了8根、14根、20根火柴……，则要搭17条“金鱼”需要的火柴数为 根． 【例4】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，慧慧制定了一种密码规则，根据该规则将密文“”翻译成明文为 ． 1．（2025·安徽淮北·模拟预测）如图，利用黑白两种颜色的五边形组成的图案，根据图案组成的规律回答下列问题： (1)图案④中黑色五边形有______个，白色五边形有______个； (2)图案中黑色五边形有______个，白色五边形有______个；（用含的式子表示） (3)图案中的白色五边形可能为2023个吗？若可能，请求出的值；若不可能，请说明理由． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，每个小正方形的面积均为1 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式：____________ …… 据此规律： (1)请写出第3个等式：___； (2)猜想第n个等式为___（用含n的等式表示）； (3)已知如上图所示的一个草垛的最底端有2020支小正方形草束，则这堆草垛共有多少支草束？ 3．（24-25六年级上·山东威海·期末）【信息提取】“转化”是一种解决问题的常用策略，借助图形可以发现并建立相应的数量关系，进而找到问题解决的方法．如在计算“”时，可以利用图1进行绘图得到图2，将问题转化为“”，实现简便计算． 【问题探究】 （1）利用图3进行绘图，并依据绘图进行简便计算：； （2）猜想：= ；（直接写结果） 【问题解决】 （3）计算：．      1．（24-25七年级上·浙江台州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广西贺州·期中）若一个多项式与的和是，则这个多项式是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·重庆北碚·期末）如图，已知数轴上点所对应的数都不为0，且是的中点，如果，则原点的大致位置在（    ） A．的左边 B．与之间 C．与之间 D．的右边 4．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）如图，图案是晋商大院窗格的一部分，其中“O”代表窗纸上所贴的剪纸，则第6个图中所贴剪纸“O”的个数为（   ）    A．19 B．20 C．21 D．22 5．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①，卡片长为x、宽为y）不重叠地放在一个长为a、宽为b的长方形中（如图②），涂色部分表示长方形未被卡片覆盖的部分，则图②中两块涂色部分的周长和是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·河南南阳·期末）写出的一个同类项 ． 7．（24-25七年级上·山东日照·期末）已知与的和是单项式，则 ． 8．（24-25七年级上·北京通州·期中）如果代数式的值是0，那么代数式的值是 ． 9．（2025·湖南怀化·模拟预测）现有长短、形状、质地完全相同的筷子，仅颜色不同，共有红、橙、黄、绿、蓝、紫六种颜色，每种颜色各根.闭上眼至少随机摸出 根筷子，才能保证摸出的筷子中至少有双.（同色两根为一双） 10．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，在正方形中放入正方形和正方形，点在上，且点在一条直线上．若阴影部分面积为，则阴影部分周长为 ．（用含的代数式表示） 11．（24-25七年级上·北京·期中）化简：． 12．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）已知整式和满足：，． (1)求整式（用所含、的代数式表示）； (2)若的值与的取值无关，求的值． 13．（24-25七年级上·福建莆田·期中）小睿同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下： 计算： 解：原式 ． (1)小睿同学的解答正确吗？如果正确，给出各步计算的依据；如果不正确，请给出正确的计算过程． (2)当时，求此代数式的值． 14．（2025·安徽·模拟预测）如图，研究平面内若干条直线的交点情况，记直线条数为，交点个数的最大值为．如图1，当时，；如图2，当时，；如图3，当时，． (1)当时，______； (2)试写出关于的表达式．当时，求的值． 15．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）学校运动场是学生进行各类体育运动的主要场所，图①是某校的运动场规划图．该运动场的跑道可以简单地抽象为由若干个圆心相同的半圆和长方形组成的图形，如图②所示．已知最小的半圆的半径为a米，每个跑道的宽度均为b米，共有8个跑道，其中长方形跑道部分的长为100米． (1)该运动场跑道8的周长与跑道1的周长相差多少米？（用含a，b的式子表示，结果保留） (2)如图②，若该运动场规划为400米标准跑道，跑道1的起跑线在A处，为使各跑道终点线相同，当时，跑道8的起跑线应设在B点前方多少米处？（取3.14，结果精确到十分位） 学科网（北京）股份有限公司 $$