第04讲：空间向量及其运算的坐标表示【八大题型】-2025-2026学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019）

第04讲：空间向量及其运算的坐标表示 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. (2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 知识点二　空间一点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk. 在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 知识点三　空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a. 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 知识点四　空间向量的坐标运算：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 知识点五　空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝；cos〈a，b〉＝＝ . 知识点六　空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，：则P1P2＝||＝. 【例题详解】 题型一、求空间点的坐标 1．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据终点坐标减去起点坐标，即为所求向量的坐标，即可得解. 【详解】设，则，所以，解得， 所以点坐标为. 故选：B. 2．（23-24高二上·广东揭阳·阶段练习）在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用空间向量的坐标运算求解． 【详解】因为，， 设，故， 故，解得， 故. 故选：B 3．（22-23高二上·北京·期中）已知平行四边形，且，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出顶点的坐标，由列出方程组，求出的坐标. 【详解】设， 则，， 由题意得：，即，解得：， 故顶点的坐标为. 故选：D 题型二、空间向量的坐标运算 4．（24-25高二上·重庆长寿·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量坐标运算得出结果. 【详解】若，则. 故选：B. 5．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的坐标运算计算即可. 【详解】空间向量，则. 故选：D. 6．（23-24高二上·广东江门·期末）若，，则（   ） A． B． C．8 D．10 【答案】A 【分析】先求出和的向量坐标，再利用向量的数量积公式计算. 【详解】 则. 故选：A. 题型三、空间向量平行坐标问题 7．（24-25高二上·广西河池·期末）已知向量，，若与共线，则实数x的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据向量共线定理即可求得. 【详解】解：由题设，有，， 则，可得 故选：. 8．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据向量共线即可求解. 【详解】由于，故，故，则， 故选：A 9．（24-25高二上·北京房山·期末）已知，，如果与为共线向量，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量共线的坐标表示可得答案. 【详解】若与为共线向量，则， 解得. 故选：B. 题型四、空间向量垂直坐标问题 10．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知空间向量，，若，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用空间向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，， 又，所以，解得， 故选：D. 11．（24-25高二下·全国·开学考试）已知向量，．若，则（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】由向量垂直的坐标表示列出等式求解即可； 【详解】因为，则． 因为，， 所以，解得． 故选：A． 12．（24-25高二上·广东惠州·期末）已知空间向量，若，则实数等于（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】即等价于. 【详解】因为且,所以,解得, 故选：D． 题型五：空间向量模长坐标问题 13．（24-25高二上·湖南益阳·期末）已知两个向量，则 . 【答案】 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】, 故答案为： 14．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知向量，则 . 【答案】3或 【分析】先利用向量的线性坐标运算求出的坐标，再求出，然后求出即可. 【详解】， 所以，解得或， 故答案为：3或 15．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求值. 【答案】(1)7； (2)19或13. 【分析】（1）根据给定条件，利用向量共线列式求出，再利用向量线性运算及模的坐标表示求解. （2）由向量垂直及模的坐标表示求出，进而求出向量的数量积. 【详解】（1）向量，由，得，解得， ，而，则， 所以. （2）由，得，即，解得， 由，得，解得， 当时，； 当时，， 所以值是19或13. 题型六：空间向量夹角坐标问题 16．（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量 则与的夹角为 【答案】120° 【分析】利用空间向量夹角的坐标运算求角的大小. 【详解】由题设，又， 所以. 故答案为： 17．（23-24高二上·江西九江·期末）已知向量.若，则与的夹角为 . 【答案】 【分析】根据空间向量的垂直的坐标表示求出m的值，再根据向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】， 又，， 而，故与的夹角为， 故答案为： 18．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知向量，，其中，，． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1)； (2)0 【分析】（1）由数量积和模的坐标表示计算； （2）由向量夹角的坐标表示求解． 【详解】（1）由题意，则， 所以，； （2）， ． 题型七：空间向量的投影问题 19．（24-25高二上·山东·期中）在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据投影向量的概念以及空间向量数量积的坐标运算求解. 【详解】由题，， 所以， ， 则在方向上的投影向量的坐标为 . 故答案为: . 20．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知空间四点，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】结合题意求出所需要的坐标和模长，再利用投影向量坐标公式求解即可. 【详解】由题意得，，，， 则，，， 设两向量所成的角为θ，则向量在向量上的投影向量为 ，故答案为： 21．（24-25高二上·上海黄浦·期末）给定点，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【分析】根据向量投影的定义及数量积、模长的坐标表示求在方向上的数量投影. 【详解】由题设，， 所以. 故答案为： 题型八：空间向量坐标综合问题 22．（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知 (1)，求的坐标； (2)求； (3)若与互相垂直，求实数的值. 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）由空间向量平行，得出，设，再利用列方程，进而求得； （2）先求得，，再利用公式即可求得的值； （3）利用空间向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值． 【详解】（1）由题可知，， 由，得，设， 因为， 所以，解得， 所以或． （2）因为、、，，， 所以，， 则. （3）因为，， 又与垂直， 所以， 解得或． 23．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知向量，且. (1)求向量与的夹角； (2)求的值； (3)若向量与互相垂直，求的值． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）由向量模的坐标运算得出，再根据向量数量积的定义及运算律求解即可； （2）由及已知条件求得，即可求模； （3）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可． 【详解】（1）因为，. 得，所以. 由，可得， 因为，所以向量与的夹角为. （2）， 故4. （3）由向量与互相垂直，得， ，整理得，解得. 24．（24-25高二上·山东聊城·阶段练习）已知空间向量. (1)求在上的投影向量； (2)若，求； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）按照投影向量定义计算即可； （2）先根据算出，然后计算； （3）先根据算出，然后计算. 【详解】（1）由投影向量的定义， 在上的投影向量为. （2）若，则，所以，所以 （3）若，则，所以，进而. 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的定义可得结果. 【详解】根根据空间中点的坐标确定方法知， 在空间中，点在坐标平面上的投影坐标，竖坐标为0，横坐标与纵坐标不变. 所以空间向量在坐标平面上的投影向量是：. 故选：C. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知向量，，且与垂直，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】依据条件，计算坐标，再利用数量积为0计算即可. 【详解】因，，则， 因与垂直，则，得. 故选：C 3．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求模即可. 【详解】设、，向量，且， ，解得， 又因为，所以，解得， 所以， 故选：． 4．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知空间向量，，，则等于（   ） A．18 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的坐标运算计算得解. 【详解】由，，得，而， 所以. 故选：B 5．（24-25高二上·广东汕头·期末）已知空间向量，，，若，，共面，则实数（   ） A．2 B．3 C．13 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用共面向量定理列式计算得解. 【详解】由空间向量，，共面，得，即， 则，解得. 故选：D. 6．（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知空间向量，，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量夹角的余弦公式计算即可. 【详解】因为，， 所以，，， 所以与的夹角的余弦值是， 故选：B 7．（24-25高二上·广东梅州·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，，点为的中点，，则（    ）     A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式计算得解. 【详解】在四棱锥中，平面，且四边形为正方形， 则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，的中点， ，， 所以. 故选：C 8．（24-25高二上·安徽安庆·期末）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出可判断选项C；根据三点的坐标求出向量的坐标，结合空间向量共线的运算可判断选项B；结合空间向量数量积的坐标表示可判断选项A；结合空间向量夹角的求法可判断选项D. 【详解】对于C，，，， 所以，故C错误； 对于B，因为不存在，使得，所以B错误； 对于A，因为，所以A正确； 对于D，因为，故D错误． 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高二上·广东·期末）已知向量，则（    ） A． B．同方向上的单位向量的坐标为 C． D．在上的投影向量的模为 【答案】BD 【分析】根据空间向量的运算逐项判断即可. 【详解】因为，，所以. 对于A：因为，故A错误； 对于B：因为，即方向上的单位向量是，故B正确； 对于C：因为，故C错误； 对于D：由，故D正确. 故选：BD. 10．（24-25高二上·河南郑州·期末）已知空间向量 ，则下列结论正确的是（    ） A． 与 共面 B． C．在上的投影向量为 D．与夹角的余弦值为 【答案】AD 【分析】我们可以利用平面向量的基本定理判断选项A；然后利用向量的坐标运算计算其他选项即可. 【详解】假设与共面，则有解，即有解， 解得 ，故选项A正确； ，所以，故选项B错误； 在上的投影向量为，故选项C错误； ，故选项D正确； 故选：AD 11．（24-25高二上·湖南长沙·期末）下列四个结论正确的是（    ） A．任意向量，若，则或或 B．若空间中点满足，则三点共线 C．空间中任意向量都满足 D．已知向量，若，则为钝角 【答案】AB 【分析】由，则或或，从而可判断A； 根据，可得，从而可判断B； 根据空间向量数量积的定义即可判断C； 根据为钝角，求出x的范围，即可判断D. 【详解】解：对于A，，则或或，即或或，故A正确； 对于B，因为，则，即，所以，所以A，B，C三点共线，故B正确； 对于C，，是与共线得向量， ，是与共线得向量， 而与方向不确定，故无法确定与是否相等，故C错误； 对于D，，若，则， 当时，则存在唯一实数，使得，即， 所以，解得， 所以当，且时，为钝角，故D错误. 故选：AB. 12．（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）已知空间向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若在上的投影向量为，则 C．若，则 D．若与夹角为锐角，则 【答案】ACD 【分析】对于A：结合向量垂直的性质即可求解；对于B：利用投影的几何意义即可求解；对于C：结合向量的四则运算即可求解； 对于D：根据向量的夹角公式即可求解. 【详解】对于A：，， 又，， 即：， 解得：，故A选项正确； 对于B：在上的投影向量为：，即， 代入坐标化简可得：， 故，无解，故B选项错误； 对于C：， ，解得：，故C选项正确； 对于D：与夹角为锐角， ，解得：， 且与不共线，即，解得：， 所以与夹角为锐角，解得：，故D选项正确； 故选：ACD. 三、填空题 13．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知空间向量，，若，则 . 【答案】16 【分析】根据向量坐标运算求，结合向量垂直坐标表示列方程求. 【详解】因为空间向量，， 所以， 因为， 所以，解得. 故答案为：. 14．（24-25高二上·北京·期末）已知向量，且，则实数 ， ． 【答案】 【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，求出的值，从而求出的坐标，再利用坐标法求模. 【详解】因为，且， 所以，解得，则， 所以， 所以. 故答案为：； 15．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知在直三棱柱中，，，，是的中点，若，则 ． 【答案】 【分析】以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，设，得到，，根据列等式即可求出，从而得到． 【详解】解：以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，设， 则由题意：，，， 则，，， 解得，即． 故答案为： 16．（24-25高二上·黑龙江大庆·期末）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记，其中．则MN的长的最小值为 .    【答案】 【分析】根据面面垂直性质可证得平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系；利用空间中两点间距离公式可表示出；将整理为，由二次函数最值可得结果. 【详解】平面平面，平面平面，，平面，平面， 则以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，， ，，， ； 则， 当时，最小，最小值为. 故答案为：. 17．（24-25高二上·上海·期末）已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解． 【详解】是空间相互垂直的单位向量， 设，，设， 又，， 又， ， ，其中， ， ， 当且仅当时取得等号， 的最小值是4． 故答案为：4． 四、解答题 18．（24-25高二上·安徽合肥·期末）知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）先求出，，根据向量共线得到方程，求出； （2）由题意得到，且与不同向共线，从而得到不等式，求出答案. 【详解】（1）因为，， 所以，， 因为，所以，解得：； （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线， 由（1）知，，， 故， 解得且，即的取值范围为且. 19．（24-25高二上·江西景德镇·期末）已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量，求； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2)3； (3). 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）求出的坐标，再结合向量共线及模的坐标表示求解. （3）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【详解】（1）由，得 （2）由（1）得，而量，因此， 所以. （3）由（1）知，， 由，得 ， 所以 20．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得出，可求出的值，求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值； （2）利用空间向量数量积的坐标运算可得出向量与夹角的余弦值. 【详解】（1）因为向量，，且，则，解得， 所以，，则， 故. （2）， 所以，. 因此，向量与夹角的余弦值为. 21．（24-25高二上·北京·期中）设，向量，且. (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）首先利用向量的共线和向量的垂直求出向量的坐标，进一步求出向量的模； （2）利用向量的线性运算和向量的夹角运算求出结果. 【详解】（1）向量，且， 故，解得. 由于， 所以，解得. 故， 所以， 故. （2）由于，故， 故. 22．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）在三棱柱中，已知底面正三角形边长为2，三棱柱的高为3. (1)建立适当的直角坐标系，标出所有点的坐标； (2)设AA1中点为点E，BC中点为点F，求出、； (3)求出. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）以的中点为原点，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，再写出各点的坐标即可； （2）写出的坐标，再根据向量的坐标表示即可得解； （3）根据计算即可. 【详解】（1）以的中点为原点，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意知，，则，，，，，； （2）由题意知，，故； （3），所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲：空间向量及其运算的坐标表示 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. (2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 知识点二　空间一点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk. 在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 知识点三　空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a. 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 知识点四　空间向量的坐标运算：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 知识点五　空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝；cos〈a，b〉＝＝ . 知识点六　空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，：则P1P2＝||＝. 【例题详解】 题型一、求空间点的坐标 1．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东揭阳·阶段练习）在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·北京·期中）已知平行四边形，且，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型二、空间向量的坐标运算 4．（24-25高二上·重庆长寿·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·广东江门·期末）若，，则（   ） A． B． C．8 D．10 题型三、空间向量平行坐标问题 7．（24-25高二上·广西河池·期末）已知向量，，若与共线，则实数x的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 8．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．2 C． D． 9．（24-25高二上·北京房山·期末）已知，，如果与为共线向量，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型四、空间向量垂直坐标问题 10．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知空间向量，，若，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·全国·开学考试）已知向量，．若，则（    ） A．1 B． C．4 D． 12．（24-25高二上·广东惠州·期末）已知空间向量，若，则实数等于（   ） A． B． C．1 D．3 题型五：空间向量模长坐标问题 13．（24-25高二上·湖南益阳·期末）已知两个向量，则 . 14．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知向量，则 . 15．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求值. 题型六：空间向量夹角坐标问题 16．（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量 则与的夹角为 17．（23-24高二上·江西九江·期末）已知向量.若，则与的夹角为 . 18．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知向量，，其中，，． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 题型七：空间向量的投影问题 19．（24-25高二上·山东·期中）在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 20．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知空间四点，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 . 21．（24-25高二上·上海黄浦·期末）给定点，则在方向上的数量投影为 . 题型八：空间向量坐标综合问题 22．（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知 (1)，求的坐标； (2)求； (3)若与互相垂直，求实数的值. 23．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知向量，且. (1)求向量与的夹角； (2)求的值； (3)若向量与互相垂直，求的值． 24．（24-25高二上·山东聊城·阶段练习）已知空间向量. (1)求在上的投影向量； (2)若，求； (3)若，求的值. 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知向量，，且与垂直，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 3．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知空间向量，，，则等于（   ） A．18 B． C． D． 5．（24-25高二上·广东汕头·期末）已知空间向量，，，若，，共面，则实数（   ） A．2 B．3 C．13 D． 6．（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知空间向量，，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广东梅州·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，，点为的中点，，则（    ）     A． B． C． D． 8．（24-25高二上·安徽安庆·期末）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·广东·期末）已知向量，则（    ） A． B．同方向上的单位向量的坐标为 C． D．在上的投影向量的模为 10．（24-25高二上·河南郑州·期末）已知空间向量 ，则下列结论正确的是（    ） A． 与 共面 B． C．在上的投影向量为 D．与夹角的余弦值为 11．（24-25高二上·湖南长沙·期末）下列四个结论正确的是（    ） A．任意向量，若，则或或 B．若空间中点满足，则三点共线 C．空间中任意向量都满足 D．已知向量，若，则为钝角 12．（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）已知空间向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若在上的投影向量为，则 C．若，则 D．若与夹角为锐角，则 三、填空题 13．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知空间向量，，若，则 . 14．（24-25高二上·北京·期末）已知向量，且，则实数 ， ． 15．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知在直三棱柱中，，，，是的中点，若，则 ． 16．（24-25高二上·黑龙江大庆·期末）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记，其中．则MN的长的最小值为 .    17．（24-25高二上·上海·期末）已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 四、解答题 18．（24-25高二上·安徽合肥·期末）知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 19．（24-25高二上·江西景德镇·期末）已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量，求； (3)若，求的值. 20．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 21．（24-25高二上·北京·期中）设，向量，且. (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 22．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）在三棱柱中，已知底面正三角形边长为2，三棱柱的高为3. (1)建立适当的直角坐标系，标出所有点的坐标； (2)设AA1中点为点E，BC中点为点F，求出、； (3)求出. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$