第二十二章二次函数 专题训练 课件-2025-2026学年人教版数学九年级上册

专题二 本章重难点 第二十二章　二次函数 1 　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、二次函数的图象和性质 【例1】（2024·贵州）如图Z22－2－1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的 部分图象与x轴的一个交点的横坐标是－3，顶点坐标是（－1， 4），则下列说法正确的是（　D　） D A. 二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C. 当x＜－1时，y随x的增大而减小 D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 图Z22－2－1 【例2】（2024·甘南州）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的 图象如图Z22－2－2所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a＋ c；③4a＋2b＋c＞0；④2c＜3b；⑤a＋b＜m（am＋b）（m≠1）. 其中正确结论个数有（　C　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【例3】（2024·滨州）将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度， 再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 ⁠ ⁠. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 C （1， 2） 图Z22－2－2 1. （2024·陕西）已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函 数y的几组对应值如下表： x … －4 －2 0 3 5 … y … －24 －8 0 －3 －15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　D　） A. 图象的开口向上 B. 当x＞0时，y随x的增大而增大 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线x＝1 D 【对点训练】 2. （2024·东营）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图 Z22－2－3所示，则下列结论正确的是（　D　） 图Z22－2－3 D A. abc＜0 B. a－b＝0 C. 3a－c＝0 D. am2＋bm≤a－b（m为任意实数） 3. （2024·内江）已知二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移2个 单位长度得到抛物线C，点P（2，y1），Q（3，y2）在抛物线C 上，则y1 y2（填“＞”或“＜”）. ＜ 二、二次函数与一元二次方程、不等式 【例4】（2024·长春）若抛物线y＝x2－x＋c（c是常数）与x轴没 有交点，则c的取值范围是 ⁠. 【例5】如图Z22－2－4，二次函数y＝ax2＋c的图象与一次函数y ＝kx＋c的图象在第一象限的交点为A，点A的横坐标为1，则关于x 的不等式ax2＋c＜kx＋c的解集为 ⁠. c＞ 0＜x＜1 图Z22－2－4 【对点训练】 4. （2024·宁夏）若二次函数y＝2x2－x＋m的图象与x轴有交点， 则m的取值范围是 ⁠. 5. 二次函数y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图Z22－2－5所示，则y ＞0的解集是 ⁠. 图Z22－2－5 m≤ －1＜x＜9 三、求二次函数的解析式 【例6】（2022·东营改编）如图Z22－2－6，抛物线y＝ax2＋bx－ 3与x轴交于点A（－1，0），B（3，0），与y轴交于点C. （1）求抛物线的解析式； 解：（1）将点A（－1，0），B（3，0） 代入y＝ax2＋bx－3，得 解得 ∴抛物线的解析式是y＝x2－2x－3. 图Z22－2－6 （2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标. 解：（2）如答图Z22－2－1，连接CB交对称轴于点Q. ∵y＝x2－2x－3＝（x－1）2－4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. 令x＝0，则y＝－3. ∴C（0，－3）. ∵点A，B关于对称轴x＝1对称， ∴AQ＝BQ. ∴AC＋CQ＋AQ＝AC＋CQ＋BQ≥AC＋BC. 答图Z22－2－1 当C，B，Q三点共线时，△ACQ的周长最小. 设直线BC的解析式为y＝kx＋d. ∵C（0，－3），B（3，0）， ∴ 解得 ∴直线BC的解析式为y＝x－3. 对于y＝x－3，当x＝1时，y＝1－3＝－2. ∴Q（1，－2）. 6. （2024·牡丹江）如图Z22－2－7，二次函数y＝x2＋bx＋c的图 象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（－1， 0），点C的坐标为（0，－3），连接BC. （1）求二次函数的解析式； 【对点训练】 图Z22－2－7 解：（1）将点A（－1，0），C（0，－3）代入y＝ x2＋bx＋c，得解得 ∴二次函数的解析式为y＝x2－x－3. （2）点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，求当△BCP的 面积最大时，BC边上的高PN的值. 解：（2）令y＝0，则0＝x2－x－3. 解得x1＝－1，x2＝6. ∴点B的坐标为（6，0）. ∴BC＝＝＝3. 设直线BC的解析式为y＝mx＋n. 答图Z22－2－3 将点C（0，－3），B（6，0）代入，得解得 ∴直线BC的解析式为y＝x－3. 如答图Z22－2－3，过点P作PD⊥x轴交BC于点D. 设点P的坐标为，则点D的坐标为. ∴PD＝t－3－＝－t2＋3t. ∴S△PBC＝PD·OB＝××6 ＝－（t－3）2＋. ∴当t＝3时，S△PBC有最大值为. ∴S△PBC＝BC·PN，即＝×3·PN.解得PN＝. 答图Z22－2－3 四、实际问题与二次函数 【例7】（2024·贵州）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行 销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y （盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对 应值. 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 日销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … 　　（1）求y与x的函数表达式； 解：（1）设y与x的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）. 把（12，56），（14，52）代入，得 解得 ∴y与x的函数表达式为y＝－2x＋80. （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利 润是多少？ 解：（2）设日销售利润为w元. w＝（x－10）（－2x＋80） ＝－2x2＋100x－800 ＝－2（x－25）2＋450. ∵－2＜0， ∴当x＝25时，w取得最大值，最大值为450. 答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润 是450元. （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m 元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润 为392元，求m的值. 解：（3）w＝（x－10－m）（－2x＋80） ＝－2x2＋（100＋2m）x－800－80m. ∵最大利润为392元， ∴＝392. 整理，得m2－60m＋116＝0.∴（m－2）（m－58）＝0. 解得m1＝2，m2＝58.当m＝58时，x＝－＝54， ∴每盒糖果的利润为54－10－58＝－14（元），舍去. ∴m的值为2. 7. （2024·滨州）春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院 每天运营成本为2 000元，该影院每天售出的电影票数量y（张） 与售价x（元/张）之间满足一次函数关系（30≤x≤80，且x是整 数），部分数据如下表： 电影票售价x/（元·张－1） 40 50 售出电影票数量y/张 164 124 【对点训练】 （1）求y与x之间的函数关系式； 解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx＋b. 把（40，164），（50，124）代入， 得 解得 ∴y与x之间的函数关系式是y＝－4x＋324. （2）设该影院每天的利润（利润＝票房收入－运营成本）为w （元），求w与x之间的函数关系式； 解：（2）由题意，得w＝x（－4x＋324）－2 000＝－4x2＋324x －2 000. ∴w与x之间的函数关系式是w＝－4x2＋324x－2 000. （3）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润 是多少？ 解：（3）由（2）知，w＝－4x2＋324x－2 000＝－4 ＋4 561. ∵30≤x≤80，且x是整数， ∴当x＝40或41时，w取得最大值，最大值为4 560. 答：该影院将电影票售价定为40元/张或41元/张时，每天获利最 大，最大利润是4 560元. 【例8】（2024·武汉）如图Z22－2－8①，16世纪中叶，我国发明 了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖.火箭第一级 运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火 箭第二级，火箭第二级沿直线运行. 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图Z22－2－8②， 以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立 平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2＋x和直线y＝－x＋b.其 中，当火箭运行的水平距离为9 km时，自动引发火箭的第二级. （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6 km， ①写出a，b的值； 解：（1）①∵y＝ax2＋x经过点（9，3.6）， ∴81a＋9＝3.6. 解得a＝－. ∵y＝－x＋b经过点（9，3.6）， ∴－×9＋b＝3.6. 解得b＝8.1. ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 1.35 km，求这两个位置之间的距离； ②由①得y＝－x2＋x＝－＋（0≤x≤9）. ∴火箭运行的最高点是 km.∴－1.35＝2.4（km）. 对于y＝－x2＋x，当y＝2.4时，2.4＝－x2＋x. 整理，得x2－15x＋36＝0. 解得x1＝12（不合题意，舍去），x2＝3. 对于y＝－x＋8.1，当y＝2.4时，2.4＝－x＋8.1. 解得x＝11.4.∴11.4－3＝8.4（km）. 答：这两个位置之间的距离为8.4 km. （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距 离超过15 km. 图Z22－2－8 （2）当－＜a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km. 【提示】当x＝9时，y＝81a＋9. ∴火箭第二级的引发点的坐标为（9，81a＋9）. 设火箭落地点与发射点的水平距离为15 km. ∴y＝－x＋b经过点（9，81a＋9），（15，0）. ∴解得， ∴当－＜a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km. 8. （2024·江西）如图Z22－2－9，一小球从斜坡点O以一定的方 向弹出，球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2＋bx（a＜0）刻 画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画，小球飞行的水平距离x（m） 与小球飞行的高度y（m）的变化规律如表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … 图Z22－2－9 （1）①m＝ ，n＝ ⁠； ②小球的落点是A，求点A的坐标； 3 6 解：（1）②将点和（2，6）代入y＝ax2＋ bx，得解得 ∴二次函数解析式为y＝－x2＋4x. 联立解得 ∴点A的坐标是. ①小球飞行的最大高度为 m； ②求v的值. 8 （2）小球飞行高度y（m）与飞行时间t（s）满足关系：y＝－5t2 ＋vt. 解：（2）②∵y＝－5t2＋vt＝－5＋， ∴＝8. 解得v＝4（负值舍去）. ∴v的值为4. 五、二次函数综合题 【例9】（2024·泸州）如图Z22－2－10，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A（3，0），与y轴交于点 B，且关于直线x＝1对称. （1）求抛物线的解析式； 解：（1）∵抛物线经过A（3，0），抛物线关于 直线x＝1对称， ∴抛物线和x轴的另外一个交点为（－1，0）. 将（3，0），（－1，0）代入y＝ax2＋bx＋3， 得解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 图Z22－2－10 （2）当－1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t－1，求t的值； 解：（2）∵当－1≤x≤t时，y的取值范围是 0≤y≤2t－1， ∴－1＜t≤3. ①当－1＜t＜1时，当x＝t时，y取最大值， ∴－t2＋2t＋3＝2t－1.解得t＝－2或t＝2，均不合 题意，舍去； ②当1≤t≤3时，在对称轴x＝1处，y取最大值， ∴－1＋2＋3＝2t－1.解得t＝2.5. 综上所述，t的值为2.5. （3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂 线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存 在，说明理由. 解：（3）存在.理由如下： 由抛物线的解析式，得点B（0，3）. 由点A，B的坐标，得直线AB的解析式为y＝－x＋3. 设C（m，－m2＋2m＋3），则D（m，－m＋3）（0＜m＜3）. ∴CD＝－m2＋2m＋3－（－m＋3）＝－m2＋3m， BD＝＝ m，BC＝＝ . 答图Z22－2－2 如答图Z22－2－2. ①当BC为菱形对角线时，对应菱形为BDCE'， 则BD＝CD. ∴m＝－m2＋3m. 解得m＝3－或m＝0（不合题意，舍去）. ∴BD＝m＝3－2，即菱形的边长为3－2； ②当BD为菱形的对角线时，对应菱形为菱形BCDE，则CD＝BC. ∴－m2＋3m＝. 解得m＝2或m＝0（不合题意，舍去）. ∴CD＝－m2＋3m＝－22＋3×2＝2，即菱形的边长为2. 综上所述，菱形的边长为3－2或2. 9. （2023·枣庄）如图Z22－2－11，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A （－1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线 的顶点，直线AM与y轴交于点D. （1）求该抛物线的表达式； 解：（1）∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A（－1， 0），C（0，3）两点， ∴解得 ∴该抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3. 【对点训练】 图Z22－2－11 （2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH＋DH的 最小值； 解：（2）∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，∴顶点M（1，4）. 设直线AM的解析式为y＝kx＋d. 把A，M两点坐标代入上式， 得解得 ∴直线AM的解析式为y＝2x＋2. 对于y＝2x＋2，当x＝0时，y＝2，∴D（0，2）. 如答图Z22－2－4，作点D关于x轴的对称点D' （0，－2），连接D'M，D'H，则DH＝D'H. ∴MH＋DH＝MH＋D'H≥D'M，即MH＋DH的最小值为D'M. ∵D'M＝＝， ∴MH＋DH的最小值为. 答图Z22－2－4 （3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使 得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直 接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（3）点Q的坐标为（1，3）或（1，1）或（1，5）. 【提示】由（2），得D（0，2），M（1，4）. ∵点P是抛物线上一动点， ∴设P（m，－m2＋2m＋3）. ∵抛物线y＝－x2＋2x＋3的对称轴为直线x＝1， ∴设Q（1，n）. ①当DM，PQ为对角线时，DM，PQ的中点重合， ∴解得∴Q（1，3）； ②当DP，MQ为对角线时，DP，MQ的中点重 合，∴解得 ∴Q（1，1）； ③当DQ，PM为对角线时，DQ，PM的中点重合， ∴解得∴Q（1，5）. 综上所述，点Q的坐标为（1，3）或（1，1） 或（1，5）. 谢 谢 ! $$第二十二章　二次函数 专题四 中考新动向 1 1. （2022·广东）如图Z22－4－1，抛物线y＝x2＋bx＋c（b，c是 常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4， 点P为线段AB上的动点，过点P作PQ∥BC交AC于点Q. （1）求该抛物线的解析式； 图Z22－4－1 （2）求△CPQ面积的最大值，并求此时点P的坐标. 【考点】二次函数综合题. 【核心能力考查】运算能力，推理能力. 【答案】解：（1）∵A（1，0），AB＝4， ∴B（－3，0）. 将点A（1，0），B（－3，0）代入y＝x2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3. （2）如图Z22－4－2，过点Q作QE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x 轴于点F. 设P（m，0），则PA＝1－m. ∵y＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4， ∴C（－1，－4）.∴CF＝4. 图Z22－4－2 ∵PQ∥BC，∴△PQA∽△BCA. ∴＝，即＝. ∴QE＝1－m. ∴S△CPQ＝S△PCA－S△PQA ＝PA·CF－PA·QE ＝（1－m）×4－（1－m）（1－m） ＝－（m＋1）2＋2. ∵a＝－＜0，－3＜m＜1， ∴当m＝－1时，S△CPQ有最大值为2. ∴△CPQ面积的最大值为2，此时点P的坐标为（－1，0）. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图Z22－4－3 2. （2023·广东）如图Z22－4－3，抛物线y＝ax2＋c经过正方形 OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（　　） A. －1 B. －2 C. －3 D. －4 【考点】二次函数图象及其性质；二次函数图象上点的坐标特 征；正方形的性质. 【核心能力考查】几何直观，运算能力，推理能力. 【答案】B. 3. （2024·广东）若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次 函数y＝x2的图象上，则（　　） A. y3＞y2＞y1 B. y2＞y1＞y3 C. y1＞y3＞y2 D. y3＞y1＞y2 【考点】二次函数图象上点的坐标特征. 【核心能力考查】运算能力，推理能力. 【答案】A. 4. （2024·广东）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工 程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销 欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按 每吨5万元出售，平均每天可售出100 t.市场调查反映：如果每吨 降价1万元，每天销售量相应增加50 t.该果商如何定价才能使每天 的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值.（题中“元” 为人民币） 【考点】二次函数的应用. 【核心能力考查】运算能力，模型观念，应用意识. 【答案】解：设该果商定价为每吨x万元时，每天的“利润”为w 万元，每天的“销售收入”为y万元. 由题意，得w＝（x－2）[100＋50（5－x）]＝－50（x－4.5）2＋ 312.5. ∵－50＜0， ∴当x＝4.5时，w有最大值，最大值为312.5； 由题意，得y＝x[100＋50（5－x）]＝－50（x－3.5）2＋612.5. ∵－50＜0， ∴当x＝3.5时，y有最大值，最大值为612.5. 答：该果商定价为每吨4.5万元时，才能使每天的“利润”最大， 最大值为312.5万元； 该果商定价为每吨3.5万元时，才能使每天的“销售收入”最大， 最大值为612.5万元. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1. （2024·眉山）定义运算：a⊗b＝（a＋2b）（a－b），例如 4⊗3＝（4＋2×3）（4－3），则函数y＝（x＋1）⊗2的最小值为 （　B　） A. －21 B. －9 C. －7 D. －5 B 2. （2024·乐山）已知二次函数y＝x2－2x（－1≤x≤t－1），当x ＝－1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的 取值范围是（　C　） A. 0＜t≤2 B. 0＜t≤4 C. 2≤t≤4 D. t≥2 C 3. （2024·广西）如图Z22－4－4，壮壮同学投掷实心球，出手 （点P处）的高度OP是 m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到 达最高点时，水平距离是5 m，高度是4 m.若实心球落地点为M， 则OM＝ m. ​ 图Z22－4－4 1. （2024·甘肃）如图Z22－4－5①为一汽车停车棚，其棚顶的横 截面可以看作是抛物线的一部分，如图Z22－4－5②是棚顶的竖 直高度y（m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（m）近似满足 函数关系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的图象，点B（6，2.68）在图 象上.若一辆厢式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4 m，高DE＝1.8 m的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内. （填“能”或“不能”） 能 生活情境 图Z22－4－5 2. （2024·兰州改编）在校园科技节期间，科普员为同学们进行 了水火箭的发射表演，图Z22－4－6①是某型号水火箭的实物 图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线.为了解水火 箭的相关性能，同学们进一步展开研究，如图Z22－4－6②建立 直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处.科普员提供了该型 号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距 离地面OA的竖直高度y（m）与离发射点O的水平距离x（m）的几 组关系数据如下： x/m 0 3 4 10 15 20 22 27 y/m 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 科技情境 （1）根据如表，请确定抛物线的表达式； 图Z22－4－6 解：（1）由题意，得抛物线的 对称轴是直线x＝＝15. ∴抛物线的顶点为（15，9）. ∴可设抛物线的表达式为y＝a（x－15）2＋9. 把点（10，8）代入，得a（10－15）2＋9＝8. 解得a＝－. ∴抛物线的表达式为y＝－（x－15）2＋9. （2）当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5 m时，水火箭距 离地面的竖直高度为 m. 图Z22－4－6 5 3. 某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于 是他们走进汽车研发中心考察，了解刹车距离. 图Z22－4－7 综合与实践 【知识背景】“道路千万条，安全第一条.”刹车系统是车辆行驶 安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要 继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离（如图 Z22－4－7）. 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车 在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试.兴趣 小组成员记录其中一组数据如下表： 刹车后行驶的时间t/s 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y/m 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时 间t（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当 刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止. 【问题解决】请根据以上信息，回答下列问题： （1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； 解：（1）设y关于t的函数解析式为y＝at2＋bt＋c. 将（0，0），（1，27），（2，48）代入上式， 得解得 ∴y关于t的函数解析式为y＝－3t2＋30t. （2）汽车刹车后，4 s内行驶了多长的距离？ 解：（2）当t＝4时，y＝－3×42＋30×4＝72. 答：汽车刹车后，4 s内行驶了72 m. （3）若汽车司机发现正前方80 m处有一辆抛锚的车停在路面，立 刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明 理由. 解：（3）不会. 理由如下：∵y＝－3t2＋30t＝－3（t－5）2＋75， ∴当t＝5时，汽车完全停止，行驶了75 m. ∵75＜80， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车. 4. 某次项目式学习研究中，智慧小组的研究如下： 【研究课题】为班级年度优秀学生设计奖杯. 项目式学习 素 材 1 如图Z22－4－8是奖杯的设计稿，设计稿的上半 部分呈抛物线形，抛物线的最低点为点C，A与B 均为最高点，且A，B两点之间的距离为16 cm， 点A到杯底EF的竖直高度为24 cm；下半部分是 一个等腰三角形底座CEF，CD⊥EF于点D，图中 所有的点都在同一平面内. 图Z22－4－8 素 材 2 以杯底EF所在直线为x轴，过点A且垂直于EF的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线部分满足函数关系式：y＝x2＋bx＋c（b，c为常数）. 素 材 3 在距离杯底的竖直高度为12 cm的M，N两点处贴上装饰图案（点M在点N的左侧，图案大小忽略不计）. 图Z22－4－8 【任务解决】 （1）求该奖杯抛物线部分的函数表达式； 解：（1）由题意，得A（0，24），B（16，24）. 把A（0，24），B（16，24）代入y＝x2＋bx＋c， 得解得 ∴抛物线部分的函数表达式为y＝x2－4x＋24. （2）求抛物线最低点C到杯底EF的竖直高度CD； 解：（2）∵y＝x2－4x＋24＝（x－8）2＋8， ∴C（8，8）. ∴抛物线最低点C到杯底EF的竖直高度CD为8 cm. （3）求M，N两点之间的水平距离. 解：（3）对于y＝x2－4x＋24，令y＝12，则x2－4x＋24＝12. 解得x1＝4，x2＝12. ∴M（4，12），N（12，12）. ∴MN＝12－4＝8（cm）， 即M，N两点之间的水平距离为8 cm. 5. 如图Z22－4－9，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x－2与x 轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）与x轴的另一个交点为点B（－1，0），点P是抛物线位 于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别 交直线AC于点E，点F. 综合探究 图Z22－4－9 解：（1）对于y＝x－2，令y＝0，则x－2＝0.∴x＝4. 令x＝0，则y＝－2. ∴A（4，0），C（0，－2）. 把A（4，0），B（－1，0），C（0，－2）代入y＝ax2＋bx＋ c，得解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2. （1）求抛物线的解析式； （2）点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角 形，求点D的坐标； 解：（2）设点D（m，0）. 由点A，C，D的坐标，得AC2＝20，AD2＝（m－4）2，CD2＝m2 ＋4. ∵△ACD是以AC为腰的等腰三角形， ∴AC＝AD或AC＝CD， 即20＝（m－4）2或20＝m2＋4. 解得m＝4＋2或4－2或4（不合题意，舍去）或－4. ∴点D的坐标是（4＋2，0）或（4－2，0）或（－4，0）. （3）当EF＝AC时，求点P的坐标； 解：（3）设点P，则F. ∵EP∥x轴，∴yE＝yP＝t2－t－2. ∵E，C，F，A共线，EF＝AC， ∴yF－yE＝yA－yC， 即t－2－＝0－（－2）. 解得t1＝t2＝2. ∴点P的坐标是（2，－3）. （4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛 物线对称轴的垂线，垂足为M，连接NA，MP，则NA＋MP的最小 值为 ⁠. ​ 解：（4）【提示】∵抛物线对称轴为直线x＝＝， ∴MN＝. ∴如答图Z22－4－1，作点A关于y轴的对称点A'（－4，0），将 点A'向右平移个单位长度（即MN的长度），得到点 A″，连接PA″交抛物线对称轴于点M， 过点M作MN⊥y 轴于点N，连接A'N. ∵A'A″∥MN且A'A″＝MN， ∴四边形A'A″MN为平行四边形. ∴A'N＝A″M. 答图Z22－4－1 ∴NA＋MP＝A'N＋MP＝A″M＋MP≥A″P. 当A″，M，P三点共 线时，NA＋MP最小，最小值为A″P＝＝. 6. 如图Z22－4－10，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A（－1，0），B（5，0），与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，点E为抛物线上的点，且在BC的上方，作EM∥y轴，交BC于点M. （1）求抛物线的解析式； 解：（1）将点A（－1，0），B（5，0）代入y＝ －x2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5. 综合运用 图Z22－4－10 （2）当EM＝时，求点E的坐标； 解：（2）对于y＝－x2＋4x＋5，令x＝0，则y＝5. ∴C（0，5）. 设直线BC的解析式为y＝dx＋n. 将点C（0，5），B（5，0）代入y＝dx＋n中，得 解得 ∴直线BC的解析式为y＝－x＋5. 设E（m，－m2＋4m＋5），则M（m，－m＋5） （0＜m＜5）. ∴EM＝－m2＋4m＋5－（－m＋5）＝－m2＋5m ＝. 解得m1＝m2＝. 此时，y＝－＋4×＋5＝. ∴点E的坐标为. （3）在平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点C，D，B，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐 标，若不存在，请说明理由. 解：（3）点N的坐标为（9，0）或（1，0）或 （－1，10）. 【提示】由题意，得抛物线的对称轴为直线 x＝－＝－＝2. ∵CD∥x轴，C（0，5），∴D（4，5）. 由平行四边形的对边平行且相等的性质，可通过 平移已知顶点来找到点N，如答图Z22－4－2. 答图Z22－4－2 ①当CD为边时，点D（4，5）由点C（0，5）向 右平移4个单位长度得到， ∴点B（5，0）向右平移4个单位长度得到N1. ∴四边形CBN1D是平行四边形. ∴N1（9，0）； 点C（0，5）由点D（4，5）向左平移4个单位长 度得到， ∴点B（5，0）向左平移4个单位长度得到N2. ∴四边形CN2BD是平行四边形. ∴N2（1，0）； 答图Z22－4－2 ②当CD为对角线时，点D（4，5）由点B（5，0）向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长 度得到， ∴点C（0，5）向左平移1个单位长度， 再向上平移5个单位长度得到N3. ∴四边形CBDN3是平行四边形. ∴N3（－1，10）. 综上所述，点N的坐标为 （9，0）或（1，0）或（－1，10）. 答图Z22－4－2 谢 谢 ! $$专题一 本章易错点例析 第二十二章　二次函数 1 易错点1.对二次函数的概念不清晰 【例1】已知函数y＝（m＋3）＋（m＋2）x＋2.当函数 是二次函数时，求m的值. 错解：根据二次函数的定义，得m2＋m－4＝2.解得m＝2或m ＝－3. 错解分析：不但应满足m2＋m－4＝2，还应满足m＋3≠0，两者缺 一不可，上述解法因忽略了隐含条件m＋3≠0，而导致错误. 正解：由题意，得m2＋m－4＝2且m＋3≠0.解得m＝2. 1. 已知二次函数y＝（k－1）（k为常数），求k的值. 解：由题意，得 解得k＝－1. 【例2】已知二次函数y＝x2－mx＋1，当x＞2时，y随x的增大而增 大，则m的取值范围是 　　　. 错解：m＝4. 错解分析：误认为必须等于2，故答案为m＝4.应根据二次函数 图象和性质，由已知条件得知，在对称轴x＝的右边时，y随x的 增大而增大；而当x＞2时，y随x的增大而增大，说明该函数的对 称轴x＝只需要满足≤2即可. 正解：m≤4.　　　　　　　　　　　　　　　　　 易错点2.对二次函数的图象和性质理解不透彻 2. 当－2≤x≤1时，二次函数y＝－（x－m）2＋m2＋1有最大值 4，则实数m的值为（　C　） A. － B. 或－ C. 2或－ D. 2或或－ C 易错点3.遇到坐标轴时忽略y轴导致出错 【例3】已知抛物线y＝x2－（a＋2）x＋9的顶点在坐标轴上，求 该抛物线的解析式. 错解：根据题意，得Δ＝[－（a＋2）]2－4×1×9＝0. 解得a＝4或a＝－8. ∴拋物线的解析式为y＝x2－6x＋9或y＝x2＋6x＋9. 错解分析：思维定式，看到坐标轴只想到x轴，忽视了y轴也是坐 标轴，造成漏解. 正解：①当抛物线y＝x2－（a＋2）x＋9的顶点在x轴上时，Δ＝ [－（a＋2）]2－4×1×9＝0.解得a＝4或a＝－8； ②当抛物线y＝x2－（a＋2）x＋9的顶点在y轴上时，对称轴是直 线x＝＝0.解得a＝－2. ∴该抛物线的解析式为y＝x2－6x＋9或y＝x2＋6x＋9或y＝x2＋9. 3. 已知抛物线y＝x2－（a＋3）x＋a＋2（a为常数）与坐标轴只有 两个交点（非原点），求a的值. 解：∵抛物线与y轴一定有一个交点， 而抛物线与坐标轴只有两个交点， ∴抛物线与x轴只有一个公共点. ∴Δ＝[－（a＋3）]2－4（a＋2）＝0. 整理，得a2＋2a＋1＝0. 解得a1＝a2＝－1. ∴a的值为－1. 易错点4.解决与二次函数相关的实际问题时忽略了自变量的取值 范围 【例4】有长为24 m的篱笆，一边利用墙（墙的最大可用长度a＝ 10 m），围成如图Z22－1－1所示的中间隔有一道篱笆的矩形花 圃，则能围成的花圃的最大面积为（　　） 图Z22－1－1 A. 40 m2 B. 48 m2 C. m2 D. m2 错解分析：设花圃的宽AB为x m，则花圃的长BC为（24－3x）m. 故S＝x（24－3x）＝－3x2＋24x＝－3（x－4）2＋48.错解误把x＝ 4代入求得最大面积为48 m2. BC的长不能超过墙长，即0＜24－ 3x≤10，可得x的取值范围是≤x＜8.而x＝4不在取值范围内， 应根据二次函数的性质，当x＝时，S有最大值，S最大值＝－ 3×＋48＝. 正解：D. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 错解：B. 4. 如图Z22－1－2，用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的 矩形菜园，墙长为18 m.设矩形菜园的边AB的长为x m，面积为S m2，其中AD≥AB. 有下列结论： ①S与x之间的函数关系式为S＝－2x2＋30x； ②x的取值范围是2≤x≤10； ③AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100 m2. 图Z22－1－2 其中，正确的结论是（　D　） A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ① D 谢 谢 ! $$第二十二章　二次函数 专题三　课标新动向 1 1. 【主题】建立二次函数模型解决数字乘积问题. 【数学活动】 （1）下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是 9，个位上的数的和等于10），通过计算可得出其中积最大的算式 是 ⁠； 91×99，92×98，…，98×92，99×91. 【阅读材料】 95×95 活动1 （2）对于以上问题从二次函数角度有如下解题思路： 设两个两位数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一 个乘数个位上的数为（10－x），写出y与x的函数关系式，并求出 上述算式中积最大的算式； 解：（2）由题意，得y＝（90＋x）[90＋（10－x）]＝（90＋x） （100－x）＝－（x－5）2＋9 025（x＝1，2，3，…，8，9）. ∵－1＜0， ∴当x＝5时，y有最大值. ∴95×95的积最大. （3）下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是 9，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100），猜想其中 哪个算式的积最大，并用函数的观点说明理由. 901×999，902×998，…，998×902，999×901. 【问题解决】 解：（3）950×950的积最大.理由： 设两个三位数的积为w，其中一个乘数的十位上的数与个位上的 数组成的数为a，则另一个乘数的十位上的数与个位上的数组成 的数为（100－a）. 由题意，得w＝（900＋a）[900＋（100－a）]＝（900＋a）（ 1 000－a）＝－（a－50）2＋902 500（a＝1，2，3，…，98，99）. ∵－1＜0，∴当a＝50时，w有最大值.∴950×950的积最大. 2. 如图Z22－3－1①，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0， 2），在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤： ①连接AM，作AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1， l2的交点为P； ②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P. 活动2 图Z22－3－1 （1）小明在图Z22－3－1①按要求已完成了①的作图，并确定了 M1，M2，M3的位置，请你帮他完成余下的作图步骤，描出对应的 P1，P2，P3，…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的 曲线L，猜想：曲线L的形状是 ⁠； 抛物线 解：（1）如答图Z22－3－1. 答图Z22－3－1 （2）对于曲线L上的任意一点P，线段PA与PM有什么关系？设点 P的坐标是（x，y），试求出x，y满足的函数关系式； 解：（2）∵l1是AM的垂直平分线， ∴PA＝PM. ∵点P的坐标为（x，y），∴点M的坐标为 （x，0）. ∵PA＝PM， ∴x2＋（y－2）2＝（y－0）2. ∴x，y满足的函数关系式为y＝x2＋1. （3）如图Z22－3－1②，点F的坐标为（1，0），点G是曲线L上 的一动点.问在x轴上是否存在点N，使得以A，F，G，N为顶点的 四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点N的坐 标；若不存在，请说明理由. 解：（3）存在.如答图Z22－3－2.∵点F，N都在x轴上， ∴当AG∥FN且AG＝FN时，点A，F，G，N可以构成平行四边 形，此时AG∥x轴. ∵点A的坐标是（0，2）， ∴点G的纵坐标为2. ∴x2＋1＝2.解得x1＝2，x2＝－2. ∴AG＝2.∴FN＝2. ∵点F的坐标是（1，0）， ∴点N的坐标为（3，0）或（－1，0）. 答图Z22－3－2 3. （跨学科与化学融合）（2023·潍坊改编）为研究某种化学 试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实 验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（g）随时间x（min） 变化的数据（0≤x≤20），并分别绘制在直角坐标系中，如图 Z22－3－2所示. 图Z22－3－2 （1）从y＝ax＋21（a≠0），y＝－0.04x2＋bx＋c中，选择适当的 函数模型分别模拟两种场景下y随x变化的函数关系，并求出相应 的函数表达式； 解：（1）观察两种场景可知，场景A为y＝－0.04x2＋bx＋c，场 景B为y＝ax＋21（a≠0）. 将（10，16），（20，3）代入y＝－0.04x2＋bx＋c， 得解得 ∴y＝－0.04x2－0.1x＋21，经验证其他点也满足； 将（5，16）代入y＝ax＋21，得5a＋21＝16.解得a＝－1. ∴y＝－x＋21，经验证其他点也满足. ∴场景A对应的函数表达式为y＝－0.04x2－0.1x＋21，场景B对 应的函数表达式为y＝－x＋21. （2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3 g.在上 述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？ 解：（2）由题图知，在场景A下，当该化学试剂发挥作用的最低 质量为3 g时，时间为20 min. 在场景B下，令y＝3，即3＝－x＋21， 解得x＝18. ∴在场景B下，该化学试剂发挥作用的时间为18 min. ∵20＞18， ∴化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长. 4. （跨学科与生物融合）在大自然里，有很多数学的奥秘，一片 美丽的心形叶片可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形 成（如图Z22－3－3①）. （1）如图Z22－3－3②，建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮 廓线可以看作是二次函数y＝mx2－4mx－20m＋5图象的一部分， 且过原点，求抛物线的解析式和顶点D的坐标； 图Z22－3－3 解：（1）把点（0，0）代入y＝mx2 －4mx－20m＋5， 得－20m＋5＝0.解得m＝. ∴抛物线的解析式为y＝x2－x. ∵y＝x2－x＝（x－2）2－1， ∴顶点D的坐标为（2，－1）. （2）如图Z22－3－3②，心形叶片的对称轴直线y＝x＋2与坐标轴 交于A，B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E，F，点 E，E'是叶片上的一对对称点，EE'交直线AB于点G，求叶片此处 的宽度EE'. 解：（2）对于y＝x＋2，当x＝6 时，y＝6＋2＝8， ∴F（6，8）； 对于y＝x2－x，当x＝6 时，y＝×62－6＝3， ∴E（6，3）.∴EF＝8－3＝5. 对于y＝x＋2，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－2. ∴A（－2，0），B（0，2）.∴OA＝OB＝2. ∴△AOB是等腰直角三角形.∴∠ABO＝45°. ∵EF∥OB，∴∠GFE＝∠ABO＝45°. ∵E，E'是叶片上的一对对称点， ∴EE'＝2EG，EG⊥FG. ∴△EFG是等腰直角三角形.∴FG＝EG. 在Rt△EFG中，EG2＋FG2＝EF2，即2EG2＝EF2. ∴EG＝EF＝.∴EE'＝2EG＝5. 5. “卢沟晓月”是著名的北京八景之一，每当黎明斜月西沉，月 色倒影水中，更显明媚皎洁.古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥， 赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓 月”，立碑于桥头.卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水 面的跨度OA约为22 m，若按如图Z22－3－4所示方式建立平面直 角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y＝－（x－11）2＋ k，求主桥拱最高点P与其在 水中倒影P'之间的距离. 图Z22－3－4 解：由图象可知，点A（22，0）在抛物线上， 把点A（22，0）代入y＝－（x－11）2＋k， 得0＝－（22－11）2＋k. 解得k＝13. ∴y＝－（x－11）2＋13. ∴主桥拱最高点P的坐标为（11，13）. ∵点P和点P'关于x轴对称， ∴PP'＝2×13＝26（m）. 答：主桥拱最高点P与其在水中倒影P'之间的距离是26 m. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 6. 如图Z22－3－5①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块 运动轨迹是抛物线的一部分.据《范蠡兵法》记载：“飞石重二十 斤，为机发，行三百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”. 在如图Z22－3－5②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜 坡OA的底部（原点O处），石块从投石机竖直方向上的点C处被 投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙AB. 已知石块运 动轨迹所在抛物线的顶点坐标是（50，25），OC＝5，OD＝75， AD＝12，AB＝9. 图Z22－3－5 解：（1）∵OC＝5， ∴C（0，5）. 设抛物线的表达式为y＝a（x－50）2＋25. 把点C（0，5）代入上式，得2 500a＋25＝5. 解得a＝－. ∴抛物线的表达式为y＝－（x－50）2＋25. （1）求抛物线的表达式； （2）通过计算说明石块能否飞越城墙AB. 解：（2）∵OD＝75，AD＝12，AB＝9， ∴BD＝AD＋AB＝21. ∴B（75，21）. 把x＝75代入y＝－（x－50）2＋25， 得y＝－×（75－50）2＋25＝20. ∵20＜21， ∴石块不能飞越城墙AB. 谢 谢 ! $$