精品解析：河北省承德市2024-2025学年高一下学期期末调研数学试题

承德市2024—2025学年高一下学期期末调研试题 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式计算. 【详解】, 故选：A. 2. 在中，设，，若点D满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由图形的几何性质分解向量即可求解. 【详解】 由题意. 故选：D. 3. 把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数平移伸缩变换法则求解即可. 【详解】把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）， 再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象， 则. 故选：B. 4. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量公式，结合向量数量积和模的坐标运算，即可求解. 【详解】由在上的投影向量为， 故选：C. 5. 若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则l与α所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线l的方向向量与平面的法向量的夹角后可得. 【详解】由已知，，所以l与α所成的角为， 故选：A. 6. 用斜二测画法画出的四边形OABC的直观图如图中的四边形，其中，，，则原四边形以所在直线为旋转轴，旋转一周形成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 19π 【答案】D 【解析】 【分析】先还原直观图得原图，再结合圆台的体积公式求解即可. 【详解】将直观图还原成如图所示的直角梯形： 原四边形以所在直线为旋转轴，旋转一周形成的几何体的体积为, 故选：D. 7. 在中，已知，则一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 锐角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理化角为边，再结合余弦定理变形可得. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又， 所以，，即， 所以一定是等腰三角形， 故选：B. 8. 如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，其中底面是正方形，，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取，分别求得和，将与分别用表示出来，再利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】 如图，分别取，则， 且， 而 由， ， ， 设与的所成角为， 则. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由周期公式验算即可；对于B，由奇函数定义验算即可；对于C，由代入检验法验算即可；对于D，由复合函数单调性判断即可. 【详解】对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，， 因为的定义域为关于原点对称，且恒成立， 所以是奇函数，故B正确； 对于C，因为， 所以的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，因为，且在上先增后减，故D错误. 故选：ABC. 10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ） A. B. M为的外心⇔ C. 若，则的面积是面积的 D. 若，且，则为等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】由余弦定理判断A，由正弦定理判断B，由向量的线性运算及三角形面积公式判断C，根据向量垂直与数量积的定义判断D。 【详解】对A，由余弦定理，A正确； 对B，由正弦定理得，所以，B正确； 对C，，则，， 所以，，从而，C错； 对D，是的平分线的一个方向向量，， 则的平分线与垂直，为等腰三角形，， ，所以， 所以为等边三角形，D正确， 故选：ABD。 11. 如图，在棱长为1的正方体中，E是棱上的动点，F是棱AB上的动点，过点，C，F作正方体的截面α，则（ ） A. 存在点E，使得平面 B. 三棱锥的体积是定值 C. 截面α的形状为梯形 D. 当截面α的面积取得最小值时，F为AB的中点 【答案】BD 【解析】 【分析】由线面垂直的性质判断A，由体积公式判断B，由截面的真正形状判断C，由正方体的对称性或求出截面面积的最小值判断D. 【详解】对A，矩形中，与不垂直，因此平面不可能成立，A错； 对B，平面，所以到平面的距离为定值， 所以三棱锥即三棱锥的体积为定值；B正确； 对C，当与重合时，截面即为矩形，它不是梯形，C错；（实际上可证明截面是平行四边形） 对D，由对称性可知，截面与棱相交，记交点为， 由面面平行的性质定理知，所以截面是平行四边形， 由对称性可知当为中点时，截面是菱形，面积最小，证明如下： 设，则，，又， 则， ， ， 所以，即为中点时，截面面积最小，D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，若，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标运算即可求解. 【详解】由, 因为，，所以, 故答案为： 13. 已知，，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】 根据条件求得，再利用两角和的正切公式即可得到答案. 【详解】因，则， 由，即， 所以，即， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查二倍角公式，两角和的正切求值，属于基础题. 14. 如图，在平面四边形中，，，将沿直线翻折至，使得，则三棱锥外接球的表面积为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】分析得等边三角形外接圆半径，且平面，而，从而由公式可得三棱锥外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解. 【详解】如图所示，取中点，连接， 由题意，所以， 又因为，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 因为三角形是边长为2的等边三角形， 所以其外接圆的半径， 又因为， 所以三棱锥外接球的半径， 故所求为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由诱导公式、两角和的余弦公式变形，用正弦定理化角为边，再由余弦定理求得角； （2）由面积公式和余弦定理（1）中结论列方程组求得后得周长. 【小问1详解】 因为， 所以， 由正弦定理得， 所以，又， 所以； 【小问2详解】 因为，的面积为， 则，解得，所以的周长为. 16. 如图，在正四棱台中，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：连接交于点，连接， 是正四棱台的对角面与下底面和上底面的交线，则， 又，所以，即， 所以是平行四边形，所以，， 又平面，平面，所以平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，证明，然后得证线面平行； （2）由等体积法计算：. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）平面，所以， 正四棱台中，， 作于，则是正四棱台的高，正四棱台中，，，则， ， 所以， 又，是中点，所以， 由（1）知，而， 所以， 设点到平面的距离为，则，， 所以点到平面的距离为. 【点睛】 17. 如图，在长方形ABCD中，，，M是边CD的中点，将沿直线翻折至，使得，连接，得到四棱锥． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：取中点，连接，如图， 由已知，所以，且， 中，， 又，所以， 所以，所以， 又，平面， 所以平面，而平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证明平面，再由面面垂直的判定定理可得面面垂直； （2）取中点，作，且，连接，证明平面，作于点，连接，证明是直线与平面所成角，然后求出其正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，作，且，连接， 则是平行四边形，所以，是中点，则，所以， 因为平面，平面，所以平面，即平面， 所以平面. 由（1）知平面，平面，所以，同理， 所以， 作于点，连接， 因为，平面， 所以平面，而平面，所以， 又因为平面，所以平面， 平面，则， 所以是直线与平面所成角， 在中，由得， . 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】 18. 已知向量，，且 （1）求的单调递增区间； （2）若，且，求的值； （3）若函数在区间上有三个不同的零点，从小到大依次记为，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算、二倍角公式和辅助角公式得，由整体代入法得到的单调递增区间； （2）由三角恒等变换求解即可； （3）由，解得或，依题得，由正弦函数的图象得和关于直线对称，从而得到，即可求解. 【小问1详解】 ， 所以， 由得， 所以的单调递增区间是. 【小问2详解】 若，且， 所以， 所以； 【小问3详解】 由得或， 即或， 由，可得， 由得，解得； 所以在上有两个不同的解，由图知，， 且，即， 所以， 所以. 19. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条射线，，分别为与Ox，Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）若，在仿射坐标系中，，，求； （2）在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； （3）如图，在仿射坐标系中，点B，C分别在射线Ox、射线Oy上（均与点O不重合），，，E，F分别为的中点，求的最大值． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）构造直角坐标系，得出，对应的直角坐标，通过仿射坐标系的定 （2）同（1）求出的直角坐标，利用直角坐标系中向量夹角的坐标表示求解； （3）设，同（1）表示出的直角坐标，再求出的直角坐标，然后计算数量积，在中，设，由正弦定理表示出，再利用三角函数的知识求得最大值. 【小问1详解】 ，则， 如图，以为原点构造直角坐标系， 在直角坐标系中，当时，记，则， 在仿射坐标系中，，， 则， ， 所以； 【小问2详解】 在直角坐标系中，记，则， 在仿射坐标系中，， ， 解得（舍去）或，所以； 【小问3详解】 在直角坐标系中，， 设，，，即， 则，所以， E，F分别为的中点， 则， ， 中，由正弦定理， 设，则， 所以，， ，其中为锐角，且， 因为，则， 故当时，取得最大值， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 承德市2024—2025学年高一下学期期末调研试题 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 在中，设，，若点D满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则l与α所成的角为（ ） A. B. C. D. 6. 用斜二测画法画出的四边形OABC的直观图如图中的四边形，其中，，，则原四边形以所在直线为旋转轴，旋转一周形成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 19π 7. 在中，已知，则一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 锐角三角形 8. 如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，其中底面是正方形，，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递减 10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ） A. B. M为的外心⇔ C. 若，则的面积是面积的 D. 若，且，则为等边三角形 11. 如图，在棱长为1的正方体中，E是棱上的动点，F是棱AB上的动点，过点，C，F作正方体的截面α，则（ ） A. 存在点E，使得平面 B. 三棱锥的体积是定值 C. 截面α的形状为梯形 D. 当截面α的面积取得最小值时，F为AB的中点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，若，则_______． 13. 已知，，则______. 14. 如图，在平面四边形中，，，将沿直线翻折至，使得，则三棱锥外接球的表面积为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，的面积为，求的周长． 16. 如图，在正四棱台中，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 17. 如图，在长方形ABCD中，，，M是边CD的中点，将沿直线翻折至，使得，连接，得到四棱锥． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知向量，，且 （1）求的单调递增区间； （2）若，且，求的值； （3）若函数在区间上有三个不同的零点，从小到大依次记为，，，求的值． 19. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条射线，，分别为与Ox，Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）若，在仿射坐标系中，，，求； （2）在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； （3）如图，在仿射坐标系中，点B，C分别在射线Ox、射线Oy上（均与点O不重合），，，E，F分别为的中点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $