精品解析： 重庆市璧山区三校联考2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2024-2025学年八年级春期数学期末质量监测 （全卷共三个大题，考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1. 二次根式有意义的条件是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，解不等式即可． 【详解】二次根式有意义的条件是被开方数． 解得． 故选：B． 2. 下列等式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中是的函数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】函数的定义：设在某变化过程中有两个变量，如果对于在某一范围内的每一个确定值，都有唯一确定的值与它对应，那么就称是的函数． 【详解】（1）、（2）满足对于在某一范围内的每一个确定值，都有唯一确定的值与它对应，符合函数的定义； （3），当时，有两个值与之对应，所以不是的函数； （4），当时，有两个值与之对应，所以不是的函数； （5），当时，有两个值与之对应，所以不是的函数； 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数的定义，知晓函数的定义并且准确的判断出结论是解决本题的关键． 3. 八（3）班七个兴趣小组人数分别为4、4、5、、6、6、7，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题可先算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数． 【详解】解：∵某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，6，6，7．已知这组数据的平均数是5， ∴x＝5×7−4−4−5−6−6−7＝3， ∴这一组数从小到大排列为：3，4，4，5，6，6，7， ∴这组数据的中位数是：5． 故选：B． 【点睛】本题考查的是中位数和平均数的定义，熟知中位数的定义是解答此题的关键． 4. 估计的运算结果应在（ ） A. 1到2之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，利用二次根式的性质进行化简，无理数的估算等知识．熟练掌握二次根式的乘法运算，利用二次根式的性质进行化简，无理数的估算是解题的关键． 由题意知，，由，可得，即，然后判断作答即可． 【详解】解：， ∵， ∴，即， 故选：C． 5. 饭后小刘散步到明镜石公园，先在公园休息一会儿，然后再跑步回家，下面能反映小刘离家的距离y（单位：m）与时间x（单位：分）的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数图象的识别，解题的关键是理解题意，能够利用排除法求解． 根据小刘的活动方式及活动轨迹，利用排除法求解． 【详解】解：小刘最后跑步回家，因此最后的y值为0，排除A选项； 小刘在公园休息一会儿，因此中间有一段时间y值不变，排除D选项； 小刘散步到公园，再从公园跑步回家，因此回家用时较少，排除B选项， 故选C． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两条对角线相等的四边形是矩形 B. 有一个角为直角的平行四边形是菱形 C. 两条对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 顺次连接四边形各边的中点所构成的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，难度不大． 利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形，故错误，是假命题； C、不是正方形两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是正方形，故错误，是假命题； D、顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，正确，是真命题， 故选：D． 7. 如图，菱形中，O为的中点，M为的中点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，中位线定理，勾股定理，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 先利用中位线定理求出菱形的边的长，再利用菱形的性质求得，从而可得，再利用勾股定理求得的长． 【详解】解：∵O为的中点，M为的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴，   故选：C ． 8. 小明和小亮在同一条笔直的跑道上进行500米匀速跑步训练，他们从同一地点出发，先到达终点的人原地休息，已知小明先出发2秒，在跑步的过程中，小明和小亮的距离（米）与小亮出发的时间（秒）之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 小明的速度是4米/秒； B. 小亮出发100秒时到达终点； C. 小明出发125秒时到达了终点； D. 小亮出发20秒时，小亮在小明前方10米． 【答案】D 【解析】 【分析】先求出两人的速度，以及图象中的、的值，由此即可判断． 【详解】解：根据题意，时，小明出发2秒行驶的路程为8米， 所以，小明的速度米秒，故A正确， 先到终点的人原地休息， 秒时，小亮先到达终点，故B正确， 小亮的速度米秒， （米； （秒， 小明出发125秒时到达了终点，故C正确， 小亮出发20秒，小亮走了米，小明走了米， 米， 小亮在小明前方12米，故D错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，求出两人的速度是解题的关键，学会读懂题目信息，搞清楚路程、速度、时间之间的关系，属于中考常考题型． 9. 已知直线：与直线：都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，为轴上任意一点，连接、，有以下说法：①方程组的解为；②为直角三角形；③；④当的值最小时，点的坐标为．其中正确的说法个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；求出，，，得到，得到为直角三角形；求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当的值最小时，点P的坐标为． 【详解】解：①∵直线：与直线：都经过， ∴方程组的解为， 故①正确，符合题意； ②把，代入直线：，可得， 解得， ∴直线：， 把代入直线：，可得， 中，令，则， ∴， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，， 故②正确，符合题意； ③在直线：中，令，则， ∴， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ④点A关于y轴对称的点为， 由点C、的坐标得，直线的表达式为：， 令，则， ∴当的值最小时，点P的坐标为， 故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，解答本题的关键要明确：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 10. 如图，在正方形中，，E为边上一动点（不与端点重合），交于点F，过点F作交于点H，过点H作于点G，连接，．给出下列结论： ①；②；③ ；④．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，连接，延长交于，证明，得出，，再证明，得出，即可判断①；由等腰直角三角形的性质即可判断②；连接交于，则，证明，得出，求出，即可判断③；根据直角三角形的性质即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：①连接，延长交于， ∵为正方形的对角线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①错误； ②∵，， ∴，故②正确； ③连接交于，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④若，则， ∴，这与直角三角形的斜边大于直角边矛盾，故④错误； 综上所述，正确的有②③，共个， 故选：B． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一个多边形的内角和与外角和的差为，这个多边形是____________边形． 【答案】7##七 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和的公式，n变形内角和公式：，借助公式即可解出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得：， 解得：， 这个多边形是7边形， 故答案为：7． 12. 南开中学举行校园歌手大赛，小南同学的音准与节奏、音色与音质、表现力与情感表达的得分分别是85分，95分，90分，若依次按的比例确定成绩，则小南的最终成绩是_______ 分． 【答案】90 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的定义是解题的关键． 根据加权平均数定义可得． 【详解】解：小南的最终成绩为（分） 故答案为：90． 13. 如图，一次函数与一次函数的图像交于点，则关于的不等式的解集是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，正确理解一次函数与一元一次不等式间的关系是解题的关键．从函数的角度看，就是寻求使的值大于的自变量的取值范围，即在两直线交点的左侧部分自变量的值是不等式的解集，由此即得答案． 【详解】根据图象得，当时，， 即关于的不等式的解集是． 故答案为：． 14. 已知点关于轴的对称点为，且在直线上，把直线的图象向右平移2个单位后，所得的直线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图形与几何变换，先利用点关于轴的对称点为，求出点，再根据点在一次函数图像上，可得出．最后根据一次函数图像的平移可得出答案． 【详解】解：点关于轴的对称点为， ∴， ∵在直线， ∴， ∴， ∴直线， 把直线向右平移2个单位后， 所得的直线解析式为， 故答案为：． 15. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论． 勾股定理与图形的面积存在密切的关系， 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，若的面积为6，，，则阴影部分的周长为___________． 【答案】28 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用、正方形的性质等知识点，掌握勾股定理的内容是解题的关键． 先根据勾股定理和正方形的性质可得，再根据勾股弦图可得，再结合的面积为6可得，再运用完全平方公式可得，最后再求周长即可． 【详解】解：根据勾股定理得：， ， 正方形的面积是25， ， 的面积为6，即， ， ， 即， 阴影部分的周长为． 故答案为：28． 16. 若一次函数的图象不经过第四象限，且关于的不等式组的解集是，则满足所有条件的整数之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据一元一次不等式组的解集求参数，不等式组的整数解，由一次函数的图象可得，得到，又根据不等式组的解集可得，即得，得到的整数值，把它们相加即可求解，掌握一次函数的图象和解不等式组是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴， 解得， 又不等式组， 由得，， 由得，， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴， ∴的取值范围为， ∴的整数值为，，，，， ∴满足所有条件的整数之和为， 故答案为：． 17. 四边形是边长为4的正方形，点E在边所在的直线上，连接，以为边，作正方形（点D，点F在直线的同侧），连接，若，则的长为______． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，作辅助线构建直角三角形全等是解决问题的关键．分点E在线段上，在线段延长线上，在线段延长线上三种情况，过作交直线于点，作于，证明，通过全等三角形的性质用表示出，求出，由勾股定理建立方程求解即可得出答案． 【详解】解：当点E在线段上时，过作交的延长线于点，作交延长线于，如图所示，则四边形是矩形， ∴，， 四边形与四边形是正方形， ，， ， ， ，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 在中，由勾股定理得， ∴, ∴（舍去）或（舍去），故此种情况不成立； 如图所示，当点E在延长线上时，过作于点，作交延长线于， 同理可得，， ， 在中，由勾股定理得， ∴, 解得或（舍去）； 如图所示，当点E在延长线上时，过作交直线于点，作交延长线于， 同理可得，， ， 在中，由勾股定理得， ∴, 解得或（舍去）； 综上所述，的长为1或． 故答案为：1或． 18. 如图，平行四边形在平面直角坐标系中， ， ，．若点M在平面直角坐标系内，点F在直线上（不在坐标轴上），且以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形，则所有符合条件的点F的坐标为__________． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质、坐标与图形及菱形的判定，分情况：①是邻边，点F在射线上时；②是邻边，点F在射线上时；③是对角线时，作垂直平分线交射线于点；④是对角线时，的垂直平分线经过点，分别求出即可． 【详解】解：连接， 在中，， ， ，， ， ， 设直线的解析式为，把， 代入， ， 解得：， 直线的解析式为， ①是邻边，点F在射线上时，， 所以点F与B重合， 即，由题意舍去 ②是邻边，点F在射线上时， ∴M在射线上，且垂直平分， ∴， ∴； ③是对角线时，作垂直平分线交射线于点， 设 的中点 在中， ， 解得：， ④是对角线时，的垂直平分线经过点， 设 的中点 在中， ， 解得：或（不合题意舍去） 综上所述，所有符合条件的点F的坐标为或或或． 故答案为：或或或 三、解答题：（本大题6个小题，每小题13分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）2 （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查二次根式和混合运算和分式的化简求值，按照运算顺序计算是解题关键． （1）先运算分母有理化、花间二次根式和立方根，然后合并同类二次根式解答即可； （2）先运算完全平方、负整数指数次幂和绝对值，然后合并同类二次根式解答即可； （3）先运算括号内的分式，然后把除法化为乘法约分，再根据同分母分式的加法计算，最后代入x的值求值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： • • ， 当时，原式． 20. 学习了平行四边形的相关知识后，小外进行了拓展性研究．他发现，过平行四边形对角线的交点作一条直线与一组对边相交于两点，再过对角线的交点作这条直线的垂线，与另一组对边相交于两点，可利用证明三角形全等得到这四点形成的四边形是菱形，根据他的思路完成以下作图和填空： （1）如图，在四边形中，点是对角线的交点，过点的直线分别交边，于，，用尺规过点作的垂线，与边，分别相交于，，连接，，，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，求证：四边形是菱形． 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， , , ， 同理可得 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 【答案】（1）如下图所示，即为所求， （2），，． 【解析】 【分析】本题主要考查了过直线上一点作已知直线的垂线、平行四边形的性质、菱形的判定． 由平行四边形的性质可知点是线段的中点，分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧分别交于两点，过两点作直线，即为所求； 根据平行四边形的性质可知，，根据平行线的性质可知，利用可证，根据全等三角形的性质可证，同理可证，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形，又由作图可知，从而可证四边形是菱形． 【小问1详解】 解：如下图所示， 分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧， 两弧分别交于两点，过两点作直线， 直线即为所求， 连接，，，即可； 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ， 在和中， , ,， ， 同理可得， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 故答案为：，，． 21. 为了解学生对 DeepSeek等智能软件的使用情况，某校举办了智能软件使用技能竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．)，下面给出了部分信息： 八年级抽取20名学生的竞赛成绩为： 65，66，70，75，77，81，82，82，82，83 84，87，88，89，92，95，96，98，98，100 九年级抽取20名学生的竞赛成绩在B组的数据是：81，88，85，87，86，82． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表九年级所抽学生的竞赛成绩统计图 年级 八年级 九年级 平均数 84.5 84.5 中位数 83.5 b 众数 a 79 方差 102.75 122.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：　　，　　，　　； （2）请根据以上数据进行分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的技能竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级有800名学生，九年级有600名学生，请估计八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀（）的学生共有多少名？ 【答案】（1）82，，30； （2） 解：八年级学生竞赛成绩较好，理由： 八、九年级的平均分均为分，八年级的中位数高于九年级的中位数，整体上看八年级学生竞赛成绩较好； （3）该校八、九年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数约是人． 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，样本估计总体． （1）根据表格及中位数及众数的定义进行求解； （2）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果； （3）样本估计总体可进行求解． 【小问1详解】 解：根据八年级学生竞赛成绩可知：82出现次数最多，则众数为82，即， 九年级竞赛成绩中组：（人）， 组：6（人），所占百分比为， 组：所占百分比为， 组：人，所占百分比为，则， ∴九年级的中位数为从大到小排列的第个同学竞赛成绩的平均数， 由于，中位数为组第个同学竞赛成绩的平均数,， 故答案为：，，30； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校八、九年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数约是人． 22. 为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． （1）求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ （2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进至少要花多少钱？ 【答案】（1）购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元 （2）最少要花3210元钱 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，再依题意列出，进行计算，即可作答． （2）先设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个，根据种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，得，解得，再设购进、两种哪吒玩偶所需元，得，运用一次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍， ∴设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， ∵某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共15个． ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 则（元） ∴购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， 【小问2详解】 解：∵该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个， ∴设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个， ∵种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍， ∴， 解得， 设购进、两种哪吒玩偶所需元， ∵、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， ∴， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵，且为正整数， ∴当时，有最小值，且， 即此次购进至少要花3210钱． 23. 如图1，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，到达C点时停止运动．点P在线段上的运动速度为每秒个单位长度，在线段上的运动速度为每秒3个单位长度．设点P的运动时间为x秒（），的面积为y： （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质 （3）结合函数图象，若直线与该函数图象有1个交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 函数图象如下所示： 当时，y随x的增大而增大 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质与判定及二次根式的运算，熟练掌握一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质与判定及二次根式的运算是解题的关键； （1）过点A作于点E，由题意易得，然后分当点P在线段上时，当点P在线段上时，进而分类求解即可； （2）根据（1）中函数解析式可进行画函数图象，然后问题可求解； （3）根据（2）中函数图象可进行求解． 【小问1详解】 解：过点A作于点E，如图所示： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当点P在线段上时，由题意得：，则，过点P作于点F，延长交的延长线于点G，如图所示， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ； 当点P在线段上时，如图， 由题意得：， ∴； 综上所述：； 【小问2详解】 该函数的一条性质是当时，y随x的增大而增大； 【小问3详解】 解：当经过点时，则，即， 当经过点时，则， 当经过点时，则，即， ∴要使与该函数图象有1个交点，则需满足或． 24. 在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程． 问题呈现过点的直线为常数且分别交轴的正半轴和轴的正半轴于点和，探究并说明是定值． （1）特例探究如图1，过点的直线分别交轴和轴于点和，求的值； （2）一般证明 ①时，直接写出_____； ②求出的值； （3）类比推广如图2，已知，点在轴的正半轴上，过且不与轴平行的直线交直线于第一象限点，若总有，请探究：直线是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由． 【答案】（1） （2）①1；②1； （3）是， 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及一次函数的图象和性质，函数表达式的求解等知识，解题的关键是： （1），，则； （2）①先求出点、的坐标分别为：、，将点的坐标，，代入一次函数表达式得：，然后代入计算可； ②由①知，，，，则； （3）待定系数法求出直线的表达式为，设直线的表达式为：，联立方程组求出点，求出，，代入，整理得，即可求解． 即可求解． 【小问1详解】 解：当，则；当，则，解得， ∵直线分别交轴和轴于点和， ∴点、的坐标分别为：、， ∴，， 则； 【小问2详解】 解：①当，则；当，则，解得， ∵直线分别交轴和轴于点和， ∴点、的坐标分别为：、， ∴，， 将点的坐标代入一次函数表达式得：， ∴当，时，， ∴， ∴， 故答案为：1； ②由①知，，，， 则； 【小问3详解】 解：设直线的表达式为：， 则， 解得 ∴， 设直线的表达式为：， 联立上述两式得：， 解得：，则点， 由点、的坐标得，，则， 同（2）可求点，则， ，即， 解得：， 则， 当时，， 即直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年八年级春期数学期末质量监测 （全卷共三个大题，考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1. 二次根式有意义的条件是( ) A. B. C. D. 2. 下列等式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中是的函数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 八（3）班七个兴趣小组人数分别为4、4、5、、6、6、7，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 估计的运算结果应在（ ） A. 1到2之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 5. 饭后小刘散步到明镜石公园，先在公园休息一会儿，然后再跑步回家，下面能反映小刘离家的距离y（单位：m）与时间x（单位：分）的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两条对角线相等的四边形是矩形 B. 有一个角为直角的平行四边形是菱形 C. 两条对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 顺次连接四边形各边的中点所构成的四边形是平行四边形 7. 如图，菱形中，O为的中点，M为的中点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 小明和小亮在同一条笔直的跑道上进行500米匀速跑步训练，他们从同一地点出发，先到达终点的人原地休息，已知小明先出发2秒，在跑步的过程中，小明和小亮的距离（米）与小亮出发的时间（秒）之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 小明的速度是4米/秒； B. 小亮出发100秒时到达终点； C. 小明出发125秒时到达了终点； D. 小亮出发20秒时，小亮在小明前方10米． 9. 已知直线：与直线：都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，为轴上任意一点，连接、，有以下说法：①方程组的解为；②为直角三角形；③；④当的值最小时，点的坐标为．其中正确的说法个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在正方形中，，E为边上一动点（不与端点重合），交于点F，过点F作交于点H，过点H作于点G，连接，．给出下列结论： ①；②；③ ；④．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一个多边形的内角和与外角和的差为，这个多边形是____________边形． 12. 南开中学举行校园歌手大赛，小南同学的音准与节奏、音色与音质、表现力与情感表达的得分分别是85分，95分，90分，若依次按的比例确定成绩，则小南的最终成绩是_______ 分． 13. 如图，一次函数与一次函数的图像交于点，则关于的不等式的解集是______． 14. 已知点关于轴的对称点为，且在直线上，把直线的图象向右平移2个单位后，所得的直线解析式为______． 15. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论． 勾股定理与图形的面积存在密切的关系， 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，若的面积为6，，，则阴影部分的周长为___________． 16. 若一次函数的图象不经过第四象限，且关于的不等式组的解集是，则满足所有条件的整数之和为______． 17. 四边形是边长为4的正方形，点E在边所在的直线上，连接，以为边，作正方形（点D，点F在直线的同侧），连接，若，则的长为______． 18. 如图，平行四边形在平面直角坐标系中， ， ，．若点M在平面直角坐标系内，点F在直线上（不在坐标轴上），且以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形，则所有符合条件的点F的坐标为__________． 三、解答题：（本大题6个小题，每小题13分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． （3）先化简，再求值：，其中． 20. 学习了平行四边形的相关知识后，小外进行了拓展性研究．他发现，过平行四边形对角线的交点作一条直线与一组对边相交于两点，再过对角线的交点作这条直线的垂线，与另一组对边相交于两点，可利用证明三角形全等得到这四点形成的四边形是菱形，根据他的思路完成以下作图和填空： （1）如图，在四边形中，点是对角线的交点，过点的直线分别交边，于，，用尺规过点作的垂线，与边，分别相交于，，连接，，，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，求证：四边形是菱形． 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， , , ， 同理可得 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 21. 为了解学生对 DeepSeek等智能软件的使用情况，某校举办了智能软件使用技能竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．)，下面给出了部分信息： 八年级抽取20名学生的竞赛成绩为： 65，66，70，75，77，81，82，82，82，83 84，87，88，89，92，95，96，98，98，100 九年级抽取20名学生的竞赛成绩在B组的数据是：81，88，85，87，86，82． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表九年级所抽学生的竞赛成绩统计图 年级 八年级 九年级 平均数 84.5 84.5 中位数 83.5 b 众数 a 79 方差 102.75 122.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：　　，　　，　　； （2）请根据以上数据进行分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的技能竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级有800名学生，九年级有600名学生，请估计八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀（）的学生共有多少名？ 22. 为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． （1）求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ （2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进至少要花多少钱？ 23. 如图1，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，到达C点时停止运动．点P在线段上的运动速度为每秒个单位长度，在线段上的运动速度为每秒3个单位长度．设点P的运动时间为x秒（），的面积为y： （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质 （3）结合函数图象，若直线与该函数图象有1个交点，请直接写出m的取值范围． 24. 在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程． 问题呈现过点的直线为常数且分别交轴的正半轴和轴的正半轴于点和，探究并说明是定值． （1）特例探究如图1，过点的直线分别交轴和轴于点和，求的值； （2）一般证明 ①时，直接写出_____； ②求出的值； （3）类比推广如图2，已知，点在轴的正半轴上，过且不与轴平行的直线交直线于第一象限点，若总有，请探究：直线是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $