精品解析：辽宁省抚顺市望花区2024-2025学年九年级下学期第五次模拟数学试题

2024−2025学年度九年级教学质量检测（五） 数学试卷 （本试卷共23道题，满分120分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线顶点坐标是 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 如图所示的圆柱的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案． 【详解】解：从左边看，得到的图形是： ． 故选：B． 2. 某种药品的说明书上，贴有如右标签，若要存放该药品，则下列温度符合要求的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据有理数大小的比较方法，找出在和4之间的数即可 本题主要考查了理数大小的比较，正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．掌握有理数大小比较方法是解题关键． 【详解】解：已知药品贮藏条件要求为， ∵，故不在范围，不符合要求， ，故在范围，符合要求， ，故、不在范围，不符合要求， 故选B． 3. 光年是天文学中常用的长度单位，1光年大约是9461000000000千米，将数据9461000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，将大数用科学记数法表示时，需将其转化为的形式，其中，为整数． 【详解】解：． 故选A． 4. 如图，将一个等边三角形剪去一个角后，等于（ ） A. 240° B. 120° C. 170° D. 360° 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质．根据等边三角形的性质，得到，根据，进行求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴； 故选A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，单项式与多项式的乘法，合并同类项，需逐一验证各选项的正确性． 【详解】选项A：根据幂的乘方法则，，故，结果应为，选项A错误． 选项B：展开乘法分配律：，结果应为，选项B错误． 选项C：根据同底数幂相乘法则，，故，选项C正确． 选项D：与不是同类项，无法合并为，结果应为，选项D错误． 综上，正确答案为C． 故选C． 6. 九年级（1） 班共有 40 名同学．在一次数学课上，老师提问后要求同学举手回答， 结果有 30 名同学举手，其中男生 10 名，女生 20 名． 若老师在举手的同学中随机选择一名同学回答问题， 恰好选中女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式的知识，掌握概率公式是解题的关键．用选中女生数除以选中学生数即可解答． 【详解】解：∵结果有 30 名同学举手，其中男生 10 名，女生 20 名， ∴老师在举手的同学中随机选择一名同学回答问题， 恰好选中女生的概率是． 故选：D． 7. 下列图形，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 8. 《算法统宗》里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？若设该店有客房x间，房客y人，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设该店有客房x间，房客y人，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人，根据题意得： ． 故选：A 9. 如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解此题的关键．利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵把 ，直线与双曲线交于点和点， ∴， ∴反比例函数为：， ∴， ∴， ∴当或时，直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集是：或． 故选：D． 10. 如图，点在的内部，平分，于点，是的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 4.8 C. 4 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长交于点，证明，得到，，进而得出是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分，， ，， 又， ， ，， ， 是的中点， 是的中位线， ， 故选：C． 第二部分非选择题 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 方程的解是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先去分母，化为整式方程，再解方程，并检验即可． 【详解】解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：． 故答案为：． 12. 点的坐标为，点的坐标为，若将线段平移至的位置，点的坐标为，点的坐标为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，熟练掌握知识的应用是解题的关键． 由点的坐标为，的坐标为，点的坐标为， ，故有线段向上平移个单位，向右平移个单位至，则有，，求出的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵点的坐标为，的坐标为，点的坐标为， ， ∴线段向上平移个单位，向右平移个单位至， ∴，， 解得：， ， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，点D，E分别在，边上，，若，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．因为，所以，由，得到，利用相似三角形的性质，即得答案． 【详解】， ， ， ， ． 14. 如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴的负半轴交于点B，点B坐标为，如果点P在轴上，且是等腰三角形，则P的坐标为________． 【答案】、、、． 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的关系，等腰三角形的性质与分类讨论思想，正确运用等腰三角形两腰相等的性质列出方程是关键步骤； 令，即可得到点A的坐标，然后根据点的坐标，得，；若是等腰三角形，且点在轴上，故点的位置有三种情况，由等腰三角形的性质分别求得即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于点A，与轴的负半轴交于点B，点B坐标为， ∴， ∴，， 在中，， 因为是等腰三角形， 所以：①如图1，当时，，点的坐标为， ②如图2，当时，点的坐标为或， ③如图，3，当时，设点的坐标为，根据题意， , , ∴， 解得． 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为，或，． 15. 如图，点是轴正半轴上一动点，点是轴正半轴上一动点，且，以点为旋转中心，将线段顺时针方向旋转，得到线段．连接，则的最大值是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，正确作辅助线得出是解题关键．取的中点，连接、、，由直角三角形斜边中点可得，由旋转的性质可证是等边三角形，从而得出，再根据求出最大值即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接、、， 在中，，点为的中点， ， 由旋转的性质可知，，， 是等边三角形， ，， ， ， 的最大值是， 故答案为： 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、分式的混合运算等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算乘方、算术平方根、化简绝对值，再计算加减法即可得； （2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 17. 电影《哪吒2》一经上映，迅速燃爆影院．与之相关的哪吒系列摆件深受欢迎，某经销商计划同时购进哪吒系列A、B两种摆件玩具．据了解，8个A摆件和5个B摆件的进价共计80元；12个A摆件和10个B摆件的进价共计140元． （1）求购进一个哪吒系列A摆件和一个B摆件各需多少元？ （2）为满足顾客需求，经销商从厂家一次性购进A、B两种摆件共200个，要求购买的总费用不超过1240元，求最多可以购买B摆件多少个？ 【答案】（1）进一个哪吒系列A摆件和一个B摆件各需5元、8元 （2）80个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并正确列方程和不等式是解题关键． （1）设购进一个A摆件和一个B摆件各需元、元，根据“8个A摆件和5个B摆件的进价共计80元；12个A摆件和10个B摆件的进价共计140元”列二元一次方程组求解即可； （2）设购买B摆件个，根据“购买的总费用不超过1240元”列不等式，取最大正整数解即可． 【小问1详解】 解：设购进一个A摆件和一个B摆件各需元、元， 根据题意得：，解得 答：进一个哪吒系列A摆件和一个B摆件各需5元、8元； 【小问2详解】 解：设购买B摆件个，则购买A摆件为个， 根据题意得：， 解得， 答：最多可以购买B摆件80个． 18. 为弘扬传统文化，某校举办“古诗词大赛”活动，活动分为“笔试”和“展演”两个阶段．“笔试”和“展演”两个阶段的成绩按照的权重计入总成绩，所有学生都参加了两个阶段的活动，随机抽取部分学生，将他们的笔试成绩和展演成绩进行收集、整理、描述和分析，学生“笔试”和“展演”的成绩（分）均为不小于70的整数，分为六个等级：A：，B：，C：，D：，E：，F：． 信息一： 笔试 展演 甲 92 89 乙 90 95 图3 信息二：已知笔试成绩中，Ｄ等级的数据（单位：分）如下： 85，85，85，85，86，87，87，88，89． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）如图1，扇形统计图中，“E等级”所对应的扇形的圆心角的度数； （2）补全图2中的频数分布直方图； （3）求在笔试阶段中，所抽取学生成绩的中位数； （4）总成绩在91分以上的学生将获得“古诗达人”称号，图3为甲、乙两位同学的笔试和面试成绩，甲、乙两名同学谁能获得“古诗达人”称号？请通过计算说明理由． 【答案】（1） （2） 补全频数分布直方图如图： （3）85.5 （4） 解：乙能获得“古诗达人”称号，理由如下： 甲：（分），乙：（分）． ∵， ∴乙能获得“古诗达人”称号． 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，频数分布直方图，中位数和加权平均数，熟知相关知识是解题的关键． （1）用360度乘以“E等级”的人数占比即可得到答案； （2）用笔试D等级的人数除以其人数占比可得参与调查的人数，进而求出B等级的人数，再补全统计图即可； （3）根据中位数的定义求解即可； （4）分别求出两人的加权 成绩， 比较即可得到答案． 【小问1详解】 图1“E等级”所对应的扇形的圆心角是： 答：图1“E等级”所对应的扇形的圆心角是． 【小问2详解】 解：∵笔试D等级共有9个数据，占比， ∴抽取了人． ∴“B等级”有人， 【小问3详解】 解：由（2）得：共抽取20名学生，将笔试成绩由小到大排列，中位数是排在第10，11位的平均数， ∵， ∴中位数为（分）． 【小问4详解】 略 19. 端午节将至，粽子飘香．某直播网店，在线销售某品牌粽子礼盒，通过分析销售情况发现，日销售量（盒）是销售单价（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售粽子的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒． 销售单价（元/盒） 16 18 日销售量（盒） 400 200 （1）求粽子的日销售量（盒）与销售单价（元/盒）的函数表达式； （2）当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大，并求此日销售最大纯利润． 【答案】（1） （2）当销售单价定为16元时，日销售纯利润最大，此日销售最大纯利润为1580元 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设出解析式，利用待定系数法求解即可； （2）设日销售纯利润为元，根据利润等于单件利润乘以销售量列出w关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设粽子的日销售量（盒）与销售单价（元/盒）的函数表达式为（）， 由题意得：， 解得：， ∴粽子的日销售量（盒）与销售单价（元/盒）的函数表达式为： 【小问2详解】 解：设日销售纯利润为元， 由题意得：， ∵，， ∴当时，有最大值，为1580元， 答：当销售单价定为16元时，日销售纯利润最大，此日销售最大纯利润为1580元． 20. 学校大扫除，为保证学生安全，要求学生只能站在地面，用长杆擦玻璃器对玻璃进行清洁，小明负责擦教室玻璃．擦玻璃器长米．且此时点，，，，，，均在同一平面．（参考数据：，，） （1）如图，当擦玻璃器端，位于玻璃上沿时，擦玻璃器与玻璃夹角为，此时端距地面的距离为米（即米）．求玻璃上沿到地面的距离；（结果精确到米） （2）如图，已知玻璃上沿和下沿的距离米，当擦玻璃器端位于玻璃下沿时，端距地面的距离为米（即米），求此时擦玻璃器与玻璃夹角的度数约为多少度． 【答案】（1）米 （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、根据特殊角三角函数值求角的度数，解题关键是熟练掌握解直角三角形的应用． （1）过点作，垂足为，推出是直角三角形，结合解直角三角形的相关运算即可求出，证明四边形是矩形后可得，则； （2）过点作，垂足为，证明四边形是矩形可得，求出后，结合特殊角的三角函数值可得此时擦玻璃器与玻璃夹角的度数． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， ， ， 是直角三角形， 在中，，， ， （米）， 在四边形中，， 四边形是矩形， ， （米）； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， ， ， 在四边形中，， 四边形是矩形， ， ， （米）， 在中，， ， 约为． 21. 如图，中，，以点为圆心，长为半径作，交于点．点为上一点，连接，，若． （1）求证：是的切线； （2）①用无刻度的直尺和圆规，在线段上求作点，使；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵在和中，，，， ∴， ∴． ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）①所作点如图所示： ② 【解析】 【分析】（1）证明，得到，即可证明是的切线； （2）①作线段的垂直平分线交于点即可； ②设则，利用勾股定理建立方程求出，利用解直角三角形得到，结合等腰三角形性质，以及三角形外角性质，推出，利用全等三角形性质求出，最后利用弧长公式求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②，， 设则， ∵， ∴是直角三角形． ∴， ∴， 解得． ∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴是等腰三角形． ∴． ∵是的外角， ∴． ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴的长为． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，弧长公式，掌握相关知识是解题的关键． 22. 阅读下列材料，完成相应任务： 三等分角问题是二千四百年前，古希腊人提出的几何三大作图问题之一，即用圆规与直尺（没有刻度，只能做直线的尺子）把一个任意角三等分，此问题曾吸引许多人去研究，但无一成功．1837年法国数学家凡齐尔（1814~1848）运用代数方法证明，仅用尺规不可能三等分任意角，但对于一些特殊角可以采用折纸或尺规作图实现三等分． （1）如图1，下面介绍一种折纸三等分直角的方法：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到了线段．观察所得的，和，这三个角有什么关系？你能证明吗？ （2）如图2，第一学习小组同学受到启发，在直角内部，利用尺规作图，构造等边，得到，实现尺规作图三等分直角，第二小组同学不甘示弱，经过讨论，研究出角的三等分尺规作图方法，并设计题目如下：如图3，已知中，，，以为圆心，长为半径画弧，交于． ①求证：； ②如图4，点，点是线段上的动点，过点作，交于点，交于点．连接，以为旋转中心，将射线顺时针方向旋转，交线段于点，若，求的值． 【答案】（1）解：．证明如下： 如图1，连接， ∵由轴对称的性质可知，是的垂直平分线，，， ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． （2）①证明：如图3 ∵， ∴是等腰三角形． ∴． ∵， ∴． 同理：． ∵是的外角， ∴． ∴． ∴． ② 【解析】 【分析】（1）连接，根据轴对称的性质，证明是等边三角形，进而得出，即可得到结论； （2）①根据等边等角的性质和三角形内角和定理，得到，，再根据三角形外角的性质，得出，即可证明结论； ②连接．先证明是等腰三角形，进而证明，得到，．再依次得出、、是等腰三角形，从而证明，得到，设，．根据相似三角形的性质求出值，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②如图4，连接． ∵， ∴是等腰三角形． ∴，． ∵，， ∴． 在与中， ， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴，． ∴是等腰三角形． ∴． ∵是的外角， ∴． 同理． ∴是等腰三角形． ∴． ∴． ∵， ∴是等腰三角形． ∴， ∵在和中，，， ∴． ∴． 设，． ∴，解得． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据相关知识找出角度之间的数量关系是解题关键． 23. 定义：在平面直角坐标系中，将点绕点顺时针旋转度，得到点，则称点为点的“度友情点”． 例如：当，即时，点的“友情点”为． （1）当，即时： ①如图1，求点的“友情点”的坐标； ②如图2，求点的“友情点”的坐标； （2）当，即时，点在图象上，点是点的“友情点”． ①求所在函数的解析式； ②在①中，点所在函数的图象与轴交于点，与轴交于点、点（点在点左侧）．点为轴上一动点，点为点的“友情点”，作射线，交点所在函数的图象于点，当，，三点中，一个点平分另外两点组成的线段时，求点的横坐标． 【答案】（1）①；② （2）①； ②或或或． 【解析】 【分析】（1）①过点作轴垂线，垂足为点，结合点为点的“友情点”，证明出，得到，，即可求出的坐标； ②过点作轴垂线，垂足为点．利用特殊角的正弦值，得出，进而得到，结合点为点的“友情点”，得出，，再利用余弦值求出，，即可求出的坐标； （2）①由二次函数图象上点的坐标特征，得到，再根据时，点是点的“友情点”，得到，，即可求解． ②先求出、、三点坐标，设，则，分两种情况讨论：当或，是线段的中点时；当，是线段的中点时， ，根据中点坐标公式得到的坐标，再代入函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：①如图1，过点作轴垂线，垂足为点，则． ∵，， ∴，， ∵， ∴． ∵点为点的“友情点” ∵，， ∴， ∴． 在与中，，，． ∴， ∴，． ∴， ∴． ②解：如图2过点作轴垂线，垂足为点． ∵在中，， ∴． ∴． ∴． ∵点为点的“友情点” ∴，， ∴． ∵在中，， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①∵点在图象上， ∴， ∵时，点是点的“友情点”， ∴，． ∴， ∴； ②解：∵当时，，解得，． ∴，． ∵当时，， ∴． 设，则， 当或，（如备用图1、2）是线段的中点时， ∴， ∴， 解得，或． 当，（如备用图3、4）是线段的中点时， ∴， ∴， 解得，或． 综上可知，点的横坐标为或或或． 【点睛】本题考查了坐标图形，旋转的性质，全等三角形的判定，解直角三角形的应用，二次函数的图象和性质，公式法一元二次方程，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年度九年级教学质量检测（五） 数学试卷 （本试卷共23道题，满分120分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线顶点坐标是 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 如图所示的圆柱的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 某种药品的说明书上，贴有如右标签，若要存放该药品，则下列温度符合要求的是（ ） A. B. C. D. 3. 光年是天文学中常用的长度单位，1光年大约是9461000000000千米，将数据9461000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将一个等边三角形剪去一个角后，等于（ ） A. 240° B. 120° C. 170° D. 360° 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 九年级（1） 班共有 40 名同学．在一次数学课上，老师提问后要求同学举手回答， 结果有 30 名同学举手，其中男生 10 名，女生 20 名． 若老师在举手的同学中随机选择一名同学回答问题， 恰好选中女生的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 下列图形，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 《算法统宗》里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？若设该店有客房x间，房客y人，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，点在的内部，平分，于点，是的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 4.8 C. 4 D. 7 第二部分非选择题 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 方程的解是_________． 12. 点的坐标为，点的坐标为，若将线段平移至的位置，点的坐标为，点的坐标为，则的值为______． 13. 如图，在中，点D，E分别在，边上，，若，则____． 14. 如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴的负半轴交于点B，点B坐标为，如果点P在轴上，且是等腰三角形，则P的坐标为________． 15. 如图，点是轴正半轴上一动点，点是轴正半轴上一动点，且，以点为旋转中心，将线段顺时针方向旋转，得到线段．连接，则的最大值是_________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）化简： 17. 电影《哪吒2》一经上映，迅速燃爆影院．与之相关的哪吒系列摆件深受欢迎，某经销商计划同时购进哪吒系列A、B两种摆件玩具．据了解，8个A摆件和5个B摆件的进价共计80元；12个A摆件和10个B摆件的进价共计140元． （1）求购进一个哪吒系列A摆件和一个B摆件各需多少元？ （2）为满足顾客需求，经销商从厂家一次性购进A、B两种摆件共200个，要求购买的总费用不超过1240元，求最多可以购买B摆件多少个？ 18. 为弘扬传统文化，某校举办“古诗词大赛”活动，活动分为“笔试”和“展演”两个阶段．“笔试”和“展演”两个阶段的成绩按照的权重计入总成绩，所有学生都参加了两个阶段的活动，随机抽取部分学生，将他们的笔试成绩和展演成绩进行收集、整理、描述和分析，学生“笔试”和“展演”的成绩（分）均为不小于70的整数，分为六个等级：A：，B：，C：，D：，E：，F：． 信息一： 笔试 展演 甲 92 89 乙 90 95 图3 信息二：已知笔试成绩中，Ｄ等级的数据（单位：分）如下： 85，85，85，85，86，87，87，88，89． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）如图1，扇形统计图中，“E等级”所对应的扇形的圆心角的度数； （2）补全图2中的频数分布直方图； （3）求在笔试阶段中，所抽取学生成绩的中位数； （4）总成绩在91分以上的学生将获得“古诗达人”称号，图3为甲、乙两位同学的笔试和面试成绩，甲、乙两名同学谁能获得“古诗达人”称号？请通过计算说明理由． 19. 端午节将至，粽子飘香．某直播网店，在线销售某品牌粽子礼盒，通过分析销售情况发现，日销售量（盒）是销售单价（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售粽子的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒． 销售单价（元/盒） 16 18 日销售量（盒） 400 200 （1）求粽子的日销售量（盒）与销售单价（元/盒）的函数表达式； （2）当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大，并求此日销售最大纯利润． 20. 学校大扫除，为保证学生安全，要求学生只能站在地面，用长杆擦玻璃器对玻璃进行清洁，小明负责擦教室玻璃．擦玻璃器长米．且此时点，，，，，，均在同一平面．（参考数据：，，） （1）如图，当擦玻璃器端，位于玻璃上沿时，擦玻璃器与玻璃夹角为，此时端距地面的距离为米（即米）．求玻璃上沿到地面的距离；（结果精确到米） （2）如图，已知玻璃上沿和下沿的距离米，当擦玻璃器端位于玻璃下沿时，端距地面的距离为米（即米），求此时擦玻璃器与玻璃夹角的度数约为多少度． 21. 如图，中，，以点为圆心，长为半径作，交于点．点为上一点，连接，，若． （1）求证：是的切线； （2）①用无刻度的直尺和圆规，在线段上求作点，使；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，连接，若，，求的长． 22. 阅读下列材料，完成相应任务： 三等分角问题是二千四百年前，古希腊人提出的几何三大作图问题之一，即用圆规与直尺（没有刻度，只能做直线的尺子）把一个任意角三等分，此问题曾吸引许多人去研究，但无一成功．1837年法国数学家凡齐尔（1814~1848）运用代数方法证明，仅用尺规不可能三等分任意角，但对于一些特殊角可以采用折纸或尺规作图实现三等分． （1）如图1，下面介绍一种折纸三等分直角的方法：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到了线段．观察所得的，和，这三个角有什么关系？你能证明吗？ （2）如图2，第一学习小组同学受到启发，在直角内部，利用尺规作图，构造等边，得到，实现尺规作图三等分直角，第二小组同学不甘示弱，经过讨论，研究出角的三等分尺规作图方法，并设计题目如下：如图3，已知中，，，以为圆心，长为半径画弧，交于． ①求证：； ②如图4，点，点是线段上的动点，过点作，交于点，交于点．连接，以为旋转中心，将射线顺时针方向旋转，交线段于点，若，求的值． 23. 定义：在平面直角坐标系中，将点绕点顺时针旋转度，得到点，则称点为点的“度友情点”． 例如：当，即时，点的“友情点”为． （1）当，即时： ①如图1，求点的“友情点”的坐标； ②如图2，求点的“友情点”的坐标； （2）当，即时，点在图象上，点是点的“友情点”． ①求所在函数的解析式； ②在①中，点所在函数的图象与轴交于点，与轴交于点、点（点在点左侧）．点为轴上一动点，点为点的“友情点”，作射线，交点所在函数的图象于点，当，，三点中，一个点平分另外两点组成的线段时，求点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $