专题17：平面向量的概念、线性运算及坐标表示 （6大考点+16大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题17 平面向量的概念、线性运算及坐标表示 知识点一 向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点二．向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 【注意】 （1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． （2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． （3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件． （4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，． 知识点三．平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 推论1：若，则． 推论2：若，则． 知识点四．平面向量共线定理 1．共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2.三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 3.中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B D A C B 4.线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． 知识点五．平面向量的坐标表示及坐标运算 1、平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （1）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （2）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （3）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 2．平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， 【方法技巧与总结】 （1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． 即． （2），当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立． （3）特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立． （4）减法公式：，常用于向量式的化简． （5）、、三点共线，这是直线的向量式方程． 考点一 平面向量的有关概念 题型01：平面向量有关概念辨析 【名师点拨】平行向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． (4)是与a同方向的单位向量． 【例1】（2024奉贤中学三模）设，是非零向量，“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案. 【详解】由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出， 由表示同向且模相等，则， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 【跟踪训练】 1.（2025格致中学三模）已知向量，与共线且方向相反的单位向量 . 【答案】 【分析】利用与共线且方向相反的单位向量为，即可得出答案. 【详解】，，所以与共线且方向相反的单位向量是： . 故答案为： 2.（2022·江苏一模）平面内三个单位向量，，满足，则（       ） A．，方向相同 B．，方向相同 C．，方向相同 D．，，两两互不共线 【答案】A 【解析】 【分析】 根据，得，两边利用单位向量的平方等于1，即可求出，解得，方向相同. 【详解】 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以 所以， 所以，方向相同， 故选：A. 3．（2025上海高三阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则与的方向相同或者相反 B．若，为非零向量，且，则与共线 C．若，则存在唯一的实数使得 D．若，是两个单位向量，且．则 【答案】B 【分析】对于A，当时，该选项错误；对于B， 表示与方向相同的单位向量，表示与方向相同的单位相同，所以与共线，所以该选项正确；对于C，当，为非零向量时，不存在，所以该选项错误；对于D，计算得，所以该选项错误． 【详解】对于A，当时，与的方向可以既不相同也不相反，所以该选项错误； 对于B，，为非零向量，表示与方向相同的单位向量，表示与方向相同的单位相同，由于，所以与共线，所以该选项正确； 对于C，当，为非零向量时，不存在，所以该选项错误； 对于D，由得，所以，所以该选项错误． 故选：B． 考点二 平面向量的线性运算 题型02：平面向量的线性运算 【名师点拨】平面向量线性运算的常见类型及解题策略 (1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义． (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值． 【例2】（2025上海高三阶段练习）如图，在平行四边形中，，点E满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，点满足，可得， 则. 故选：A. 【跟踪训练】 1.（2025上海高三阶段练习）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　) A.－ B．－ C.＋ D．＋ 【答案】A 【解析】 法一：如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A. 2．（2025上海高三阶段练习）已知为所在平面内一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性表示和加减法运算即可求解. 【详解】如图， 因为，所以是线段的四等分点，且, 所以, 故A,B错误； 由，可得，故C正确，D错误， 故选:C. 题型03：由平面向量的线性运算求参数 【例3】（2024闵行区高三预测）在正六边形中，，若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算法则和运算律求解即可. 【详解】 ， 所以，所以. 故选：D. 【跟踪训练】 1．（2025上海高三阶段练习）已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算可将转化为，则得到的值，进而即可求解． 【详解】因为，边的中点为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，即， 因为， 所以，，故. 故选：D． 2.（2025上海高三阶段练习）如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】　法一：由题图可得＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋.因为＝r＋s，所以r＝，s＝，则2r＋3s＝1＋2＝3. 法二：因为＝2，所以－＝2(－)，整理，得＝＋＝＋(＋)＝＋，以下同法一． 法三：如图，延长AD，BC交于点P，则由＝得DC∥AB，且AB＝4DC. 又＝2，所以E为PB的中点，且＝. 于是，＝(＋)＝＝＋.以下同法一． 法四：如图，建立平面直角坐标系xAy，依题意可设点B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m＞0，h＞0. 由＝r＋s，得(4m，2h)＝r(4m，0)＋s(3m，3h)， 所以解得 所以2r＋3s＝1＋2＝3. 题型04：由平面向量的运算判断四边形的形状 【例4】（2025复兴高级中学高三模拟）在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据相等向量的性质，结合平面向量加法和减法的几何意义、矩形的判定定理进行求解即可. 【详解】由，所以四边形ABCD是平行四边形， 由，所以平行四边形ABCD的对角线相等， 因此该四边形是矩形， 故选：C 【跟踪训练】 1.（2025七宝中学高三阶段练习）已知是平面四边形，设：，：是梯形，则是的条件（    ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据向量共线的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】在四边形中， 若， 则，且， 即四边形为梯形，充分性成立； 若当，为上底和下底时， 满足四边形为梯形， 但不一定成立，即必要性不成立； 故是的充分不必要条件. 故选：A 2．【多选】（2023·全国·高三专题练习）下列有关四边形的形状，判断正确的有（    ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为梯形 C．若，则四边形为菱形 D．若，且，则四边形为正方形 【答案】AB 【分析】依据平行四边形判定定理判断选项A；依据梯形判定定理判断选项B；依据菱形判定定理判断选项C；依据正方形判定定理判断选项D. 【详解】选项A：若，则，，则四边形为平行四边形.判断正确； 选项B：若，则，，则四边形为梯形. 判断正确； 选项C：若，则， 则，即.仅由不能判定四边形为菱形.判断错误； 选项D：若，则，，则四边形为平行四边形， 又由，可得对角线，则平行四边形为菱形. 判断错误. 故选：AB 考点三 共线向量定理的应用 题型05：向量共线问题 【名师点拨】利用共线向量定理解题的策略 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据． (2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. (3)若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 【例5】（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，，则“”是“存在，使得”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用向量共线的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当，时，满足，但不存在，使得； 当时，可得； 所以“”是“存在，使得”的必要不充分条件. 故选：A 【跟踪训练】 1．（2025上海高三阶段练习）已知为单位向量，则“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】对于前者是否能推出后者，我们举出反例即可，对于后者是否推前者，由后者可得共线且同方向，则，即后者能推出前者，最后即可判断. 【详解】若，则，但此时不存在，使得， 故不存在，使得，故前者无法推出后者， 若存在，使得，则共线且同方向， 此时，故后者可以推出前者， 故“”是“存在,使得的必要不充分条件”， 故选：B. 2．（2025上海高三阶段练习）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断. 【详解】若，则存在唯一的实数，使得，故，而， 存在使得成立，所以“”是“存在，使得”的充分条件， 若且，则与方向相同，故此时，所以“”是“存在，使得”的必要条件， 故“”是“存在，使得”的充分必要条件， 故选：C 3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，，则与共线的条件为（　 ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】对、是否共线进行分类讨论，结合平面向量共线的基本定理可得出结果. 【详解】当时，因为，则存在实数，使得， 则，此时； 当、不共线时，因为，则存在实数，使得，即， 所以，. 因此，与共线的条件为或. 故选：D. 4．（2023·全国·高三专题练习）已知P是△ABC所在平面内的一点，若，其中λ∈R，则点P一定在（　　） A．AC边所在的直线上 B．BC边所在的直线上 C．AB边所在的直线上 D．△ABC的内部 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算整理可得，再结合向量共线分析即可. 【详解】∵， ∴，则，则 ∴ ∴P点在AC边所在直线上． 故选：A． 题型06：三点共线问题 【例6】（2024·浙江·模拟预测）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】C 【分析】由平面向量共线定理求解即可. 【详解】因为向量，是平面上两个不共线的单位向量，所以，可以作为一组基底， 对于A，因为，，若三点共线， 设，，则，无解，所以三点不共线，故A错误； 对于B，若三点共线， 设，，则，无解，所以三点不共线，故B错误； 对于C，因为， 因为有公共点，所以三点共线，故C正确. 对于D，因为， ，设，， 则，无解，所以三点不共线，故D错误； 故选：C. 【跟踪训练】 1．（2025上海高三阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（       ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 【答案】D 【解析】 【分析】 根据给定条件逐项计算对应三点确定的某两个向量，再判断是否共线作答. 【详解】 平面向量，不共线，，，， 对于A，，与不共线，A不正确； 对于B，因，，则与不共线，B不正确； 对于C，因，，则与不共线，C不正确； 对于D，，即， 又线段与有公共点，则，，三点共线，D正确. 故选：D 2．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是（    ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量定理逐项判断作答. 【详解】向量，不共线，且，，， ，则有，而有公共点B，有A，B，D共线，A是； ，不存在实数，使得，因此不共线，A，B，C不共线，B不是； ，不存在实数，使得，因此不共线，B，C，D不共线，C不是； ，不存在实数，使得，因此不共线，A，C，D不共线，D不是. 故选：A 3．（2025上海高三阶段练习）已知点是平面内任意一点，则“存在，使得”是“三点共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算即可得到结论. 【详解】充分性：由得， 故，则，故三点共线，所以充分性成立， 必要性：若三点共线，由共线向量定理可知，从而，所以，所以， 所以必要性成立. 综上所述：”是“三点共线”的充要条件. 故选：C 题型07：向量共线定理的应用 【例7】（2025上海高三阶段练习）在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（       ） A．9 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量共线定理得推论得到，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值. 【详解】 因为点F为线段BC上任一点（不含端点）， 所以， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A 【例8】（2024·上海松江·二模）已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】取的中点，由题意可得，从而推得三点共线，进而得出，即可得出答案. 【详解】取的中点，则， 又，又因为， 故三点共线，即点在中线上运动， 在正三角形中，， 又，，则， 故. 故答案为： 【跟踪训练】 1．（2024松江二中月考）如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点若，，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 先利用条件找到，则，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】 ，，又， ∴， ∴， 又、、三点共线， ∴， ∴， 当且仅当，即时取等， ∴的最小值为． 故答案为： 2．（2025上海高三阶段练习）如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的的最小值是（       ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面向量共线定理可设，，，，再结合得，最后运用基本不等式可求解. 【详解】 设，，，， 则，，，，. 所以， 当且仅当，时等号成立. 所以的的最小值是. 3．（2025延安中学高三开学考试）如图，中点是线段上两个动点，且，则的最小值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】 设，，由，，，共线可得， 再利用乘“1”法求解最值. 【详解】 设，， ，，，共线，，． ，则， 点，是线段上两个动点，，． 则的最小值为． 故答案为：． 【点睛】 由向量共线定理的推论得到是解题关键，乘“1”法求解最值是基本不等式求最值的常用方法.. 考点四 平面向量基本定理及应用 题型08：对基向量概念的理解 【例9】（2024·上海·三模）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基底，则 ． 【答案】/ 【分析】利用基底的定义可得，再利用共线向量的坐标表示求解即得. 【详解】由，不能组成平面上的一个基底，得，而，， 因此，所以. 故答案为： 【跟踪训练】 1.（2023青浦二模）设、是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基的是（ ）． （A）和 （B）和 （C）和 （D）和 答案：C 2.（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】C 【解析】对A：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对B：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对C：对 和，因为是不共线的两个非零向量， 且存在实数，使得， 故和共线，不可作基底； 对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底. 故选：C. 3．（2025上海高三阶段练习）已知向量是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断两个向量是否共线即可确定两个向量是否能作为一组基底. 【详解】对于A，假设共线，则存在，使得， 因为不共线，所以没有任何一个能使该等式成立， 即假设不成立，也即不共线，则能作为基底； 对于B，假设共线，则存在，使得， 即无解，所以没有任何一个能使该等式成立， 即假设不成立，也即不共线，则能作为基底； 对于C，因为，所以两向量共线， 不能作为一组基底，C错误； 对于D，假设共线，则存在， 使得， 即无解，所以没有任何一个能使该等式成立， 即假设不成立，也即不共线，则能作为基底， 故选:C. 题型09：用基底表示向量 【例10】（2025上海高三阶段练习）如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝(　　) A.－　　　　 B．－ C．－＋ D．－＋ 【答案】C 【解析】法一：如图 取AB的中点G，连接DG，CG，则易知四边形DCBG为平行四边形，所以＝＝－＝－，所以＝＋＝＋＝＋＝＋，于是＝－＝－＝－＝－＋，故选C. 法二：＝＋＝＋＝－＋＝－＋ ＝－＋＋＋(＋＋)＝－＋. 【跟踪训练】 1.（2025上海高三阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若＝m＋，则实数m的值为________． 【答案】 【解析】由N是OD的中点，得＝＋＝＋(＋)＝＋，又因为A，N，E三点共线，故＝λ，即m＋＝λ，又与不共线，所以 解得故实数m＝. 2.（2025上海高三阶段练习）如图，在△ABC中，点D，D，E分别为BC和BA的三等分点，点D靠近点B，AD交CE于点P，设，，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，， 所以， 又，所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以， 故选：B. 题型10：利用平面向量基本定理求参数 【例11】（2025上海高三阶段练习）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近B的四等分点，CD与AE交于点F，若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意推出，可得，推出，根据向量的加减运算，用基底表示出，和比较，可得，即得答案. 【详解】 连结DE， 由题意可知，， 所以，则， 所以，所以，， 则， 故， 又，所以，，则， 故选：A 【跟踪训练】 1.如图，在中，M为BC的中点，，则m＋n＝（       ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】 【分析】 利用向量的线性运算可求的值. 【详解】 ，而， 故， 而且不共线，故， 2.在三角形ABC中，点D在边BC上，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】 由平面向量基本定理得到，，从而求出答案. 【详解】 由已知，得， 所以， 因为，所以，， 所以． 故答案为： 3．在中，M，N分别是AB，AC的中点，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】将分别用表示，根据平面向量基本定理即可求解. 【详解】,, 故 ， 故，解得. 所以. 故选:A. 考点五 平面向量的坐标运算 题型11：平面向量的坐标运算 【例12】（2025上海高三阶段练习）已知点，，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量的坐标表示即可得出答案. 【详解】已知点，，则向量. 故选：D. 【跟踪训练】 1.（2025上海高三阶段练习）已知点A(－1,1)，B(0,2)，若向量＝(－2,3)，则向量＝(　　) A．(3，－2) B．(2，－2) C．(－3，－2) D．(－3,2) 【答案】D 【解析】由已知，得＝－＝(1,1)，则＝－＝(－2,3)－(1,1)＝(－3,2)． 2.（2025上海高三阶段练习）（多选）已知向量，，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A,B,C 【解析】，A符合题意；，B符合题意； ，则，C符合题意；，D不符合题意.故答案为：ABC. 题型12：求点的坐标 【例13】（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形可得进而即得． 【详解】因为，，，由平行四边形可得， 设，则， 所以，即的坐标为. 故选：B. 【例14】 为坐标原点，，若点在直线上，且，是的中点，则点的坐标为 ． 【答案】或 【解析】由题可知，，点在直线上，则， 又，， 设点，则，， ①当时，则， ，解得：，， 是的中点， ，解得：，. ②当时，则， ，解得：，， 是的中点， ，解得：，， 综上可得，点的坐标为或. 故答案为：或. 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）已知两点、，点满足，则的坐标为___________. 【答案】 【分析】设点，利用平面向量的坐标运算可得出关于、的方程组，即可求得点的坐标. 【详解】设点，由可得， 所以，，解得，故点. 故答案为：. 2.已知点，向量，，点满足，则点的坐标为 ． 【答案】 【解析】因为点，向量，， 所以，， 设，则， ， 因为，所以，解得，所以. 故答案为： 考点六 向量共线的坐标表示 题型14：利用向量共线求坐标或参数 【名师点拨】1．平面向量共线的充要条件的两种形式 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0． (2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb. 2．利用向量共线求参数值 向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由向量平行求参数值．当两向量的坐标均非零时，可以利用坐标对应成比例来求解． 【例15】已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________． 【答案】(2，4) 【解析】因为在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，所以＝2.设点D的坐标为(x，y)，则＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，所以解得故点D的坐标为(2，4)． 【例16】（2022·江苏·高三专题练习）在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（       ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】 【分析】 建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答. 【详解】 在正方形ABCD中，以点A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图， 令，则，， ，因， 于是得，解得， 所以的值为. 故选：B 【跟踪训练】 1.(2020·江西吉安一中、新余一中等八所中学联考)已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　) A．－　　 B．　　　 C.　　 D． 【答案】A 【解析】＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)．因为A，B，C三点共线，所以，共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－. 2．（24-25高三上·上海金山·期末）已知向量，若，则实数 ． 【答案】 【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求参数. 【详解】由题意，则. 故答案为： 3．（（2024·上海崇明·二模）已）已知向量，若，则 . 【答案】 【分析】由空间向量数量积垂直的坐标表示列出方程即可求解. 【详解】已知向量，若，则，解得. 故答案为：. 4．（2025·上海宝山·二模）已知向量，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由共线向量的坐标表示，建立方程，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：D. 5．（2023春·甘肃兰州·高三校考开学考试）已知向量＝（－1，2），＝（3，m），m∈R，则“m＝－6”是“∥”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由平面向量线性运算及共线的的坐标表示运算可得解. 【详解】由题意得＝（2，2＋m），由，得－1×（2＋m）＝2×2，所以m＝－6. 当m＝－6时，＝（2，－4）＝－2（－1，2），可得， 则“m＝－6”是“”的充要条件. 故选：A. 6．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，向量，，若，则实数______. 【答案】 【分析】根据题意可知，不共线，若，则，使得，代入结合向量相等运算． 【详解】根据题意可知，不共线 若，则，使得，即 则可得，解得 故答案为：． 题型15：利用向量共线解决三点共线问题 【例17】（2023·全国·高三专题练习）已知，且三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的共线定理的坐标运算即可求解. 【详解】由，得, 因为三点共线，所以，即，解得. 所以. 故选：A. 【跟踪训练】 1．（2023·海南·校联考模拟预测）已知向量，，，若点，，三点共线，则实数_________． 【答案】/0.5 【分析】根据向量共线定理可知，根据向量坐标计算即可. 【详解】，， 因为点，，三点共线，所以，解得. 故答案为：. 2.已知向量，若三点共线，则 . 【答案】 【解析】由，又三点共线， 所以与共线，得，解得. 故答案为： 题型16：共线向量坐标表示的应用 【例18】（2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，向量，，且． (1)求的大小； (2)若，，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平行向量的坐标公式代入化简即可得出答案；           （2）由余弦定理求出，设边上的高为，由三角形的面积公式带入计算即可得出答案. 【详解】（1）因为，，且，所以. 由正弦定理得，因为，所以， 所以，所以. 因为，所以. （2）在中，因为，                        所以， 所以. 解得，或（舍），设边上的高为， 因为， 所以. 【跟踪训练】 1.（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考二模）已知向量，． （1）当时，求的值； （2）求在上的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）首先根据得到，再利用同角三角函数关系求解即可. （2）首先根据题意得到，再利用三角函数性质求解最大值即可. 【详解】（1）因为，所以，所以， ． （2）. 因为，所以， 所以，所以， 所以． 2．（2023秋·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，若， （1）求角C的大小； （2）若，求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用推出a，b，c的关系，利用余弦定理求出C的大小即可. （2）由正弦定理可得，得出，将化简得，进而求出答案. 【详解】解：（1），则， . 由余弦定理得，故有. （2）， ，即. 【点睛】本题考查了平行向量与共线向量，余弦定理、正弦定理的运用. 1．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（   ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.6~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.7 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 2．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 【答案】 ； 【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 3．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ． 【答案】15 【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，，解得． 故答案为：15． 4．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 5．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则 ． 【答案】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：， 解方程可得：. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题17 平面向量的概念、线性运算及坐标表示 知识点一 向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：___________________________________ ④相等向量：___________________________________ ⑤相反向量：__________________________________ 知识点二．向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 【注意】 （1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． （2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． （3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件． （4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，． 知识点三．平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 推论1：若，则． 推论2：若，则． 知识点四．平面向量共线定理 1．共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且___________，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2.三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中__________. A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 3.中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B D A C B 4.线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． 知识点五．平面向量的坐标表示及坐标运算 1、平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （1）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （2）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （3）设，，则=_________，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 2．平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， 考点一 平面向量的有关概念 题型01：平面向量有关概念辨析 【名师点拨】平行向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． (4)是与a同方向的单位向量． 【例1】（2024奉贤中学三模）设，是非零向量，“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练】 1.（2025格致中学三模）已知向量，与共线且方向相反的单位向量 . 2.（2022·江苏一模）平面内三个单位向量，，满足，则（       ） A．，方向相同 B．，方向相同 C．，方向相同 D．，，两两互不共线 3．（2025上海高三阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则与的方向相同或者相反 B．若，为非零向量，且，则与共线 C．若，则存在唯一的实数使得 D．若，是两个单位向量，且．则 考点二 平面向量的线性运算 题型02：平面向量的线性运算 【名师点拨】平面向量线性运算的常见类型及解题策略 (1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义． (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值． 【例2】（2025上海高三阶段练习）如图，在平行四边形中，，点E满足，则（    ）． A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（2025上海高三阶段练习）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　) A.－ B．－ C.＋ D．＋ 2．（2025上海高三阶段练习）已知为所在平面内一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 题型03：由平面向量的线性运算求参数 【例3】（2024闵行区高三预测）在正六边形中，，若，则（    ） A． B．3 C． D． 【跟踪训练】 1．（2025上海高三阶段练习）已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 2.（2025上海高三阶段练习）如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 题型04：由平面向量的运算判断四边形的形状 【例4】（2025复兴高级中学高三模拟）在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【跟踪训练】 1.（2025七宝中学高三阶段练习）已知是平面四边形，设：，：是梯形，则是的条件（    ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2．【多选】（2023·全国·高三专题练习）下列有关四边形的形状，判断正确的有（    ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为梯形 C．若，则四边形为菱形 D．若，且，则四边形为正方形 考点三 共线向量定理的应用 题型05：向量共线问题 【名师点拨】利用共线向量定理解题的策略 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据． (2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. (3)若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 【例5】（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，，则“”是“存在，使得”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练】 1．（2025上海高三阶段练习）已知为单位向量，则“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025上海高三阶段练习）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，，则与共线的条件为（　 ） A． B． C． D．或 4．（2023·全国·高三专题练习）已知P是△ABC所在平面内的一点，若，其中λ∈R，则点P一定在（　　） A．AC边所在的直线上 B．BC边所在的直线上 C．AB边所在的直线上 D．△ABC的内部 题型06：三点共线问题 【例6】（2024·浙江·模拟预测）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【跟踪训练】 1．（2025上海高三阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（       ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 2．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是（    ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 3．（2025上海高三阶段练习）已知点是平面内任意一点，则“存在，使得”是“三点共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 题型07：向量共线定理的应用 【例7】（2025上海高三阶段练习）在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（       ） A．9 B．8 C．4 D．2 【例8】（2024·上海松江·二模）已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是 . 【跟踪训练】 1．（2024松江二中月考）如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点若，，则的最小值为__________． 2．（2025上海高三阶段练习）如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的的最小值是（       ） A．4 B． C． D．2 3．（2025延安中学高三开学考试）如图，中点是线段上两个动点，且，则的最小值为______． 考点四 平面向量基本定理及应用 题型08：对基向量概念的理解 【例9】（2024·上海·三模）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基底，则 ． 【跟踪训练】 1.（2023青浦二模）设、是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基的是（ ）． （A）和 （B）和 （C）和 （D）和 2.（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 3．（2025上海高三阶段练习）已知向量是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（    ） A． B． C． D． 题型09：用基底表示向量 【例10】（2025上海高三阶段练习）如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝(　　) A.－　　　B．－ C．－＋ D．－＋ 【跟踪训练】 1.（2025上海高三阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若＝m＋，则实数m的值为________． 2.（2025上海高三阶段练习）如图，在△ABC中，点D，D，E分别为BC和BA的三等分点，点D靠近点B，AD交CE于点P，设，，则＝（    ） A． B． C． D． 题型10：利用平面向量基本定理求参数 【例11】（2025上海高三阶段练习）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近B的四等分点，CD与AE交于点F，若，则（       ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.如图，在中，M为BC的中点，，则m＋n＝（       ） A．1 B． C． D．2 2.在三角形ABC中，点D在边BC上，若，，则______． 3．在中，M，N分别是AB，AC的中点，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 考点五 平面向量的坐标运算 题型11：平面向量的坐标运算 【例12】（2025上海高三阶段练习）已知点，，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（2025上海高三阶段练习）已知点A(－1,1)，B(0,2)，若向量＝(－2,3)，则向量＝(　　) A．(3，－2) B．(2，－2) C．(－3，－2) D．(－3,2) 2.（2025上海高三阶段练习）（多选）已知向量，，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 题型12：求点的坐标 【例13】（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例14】 为坐标原点，，若点在直线上，且，是的中点，则点的坐标为 ． 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）已知两点、，点满足，则的坐标为___________. 2.已知点，向量，，点满足，则点的坐标为 ． 考点六 向量共线的坐标表示 题型14：利用向量共线求坐标或参数 【名师点拨】1．平面向量共线的充要条件的两种形式 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0． (2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb. 2．利用向量共线求参数值 向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由向量平行求参数值．当两向量的坐标均非零时，可以利用坐标对应成比例来求解． 【例15】已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________． 【例16】（2022·江苏·高三专题练习）在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（       ） A． B． C． D．2 【跟踪训练】 1.已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　) 2．（24-25高三上·上海金山·期末）已知向量，若，则实数 ． 3．（（2024·上海崇明·二模）已）已知向量，若，则 . 4．（2025·上海宝山·二模）已知向量，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．已知向量＝（－1，2），＝（3，m），m∈R，则“m＝－6”是“∥”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，向量，，若，则实数______. 题型15：利用向量共线解决三点共线问题 【例17】（2023·全国·高三专题练习）已知，且三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2023·海南·校联考模拟预测）已知向量，，，若点，，三点共线，则实数_________． 2.已知向量，若三点共线，则 . 题型16：共线向量坐标表示的应用 【例18】（2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，向量，，且． (1)求的大小； (2)若，，求边上的高． 【跟踪训练】 1.已知向量，． （1）当时，求的值； （2）求在上的最大值． 2．在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，若， （1）求角C的大小； （2）若，求的值． 1．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（   ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.6~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.7 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 2．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 3．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ． 4．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 5．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$