数轴的线段和差、n等分模型 知识点训练2025-2026学年北师大版数学七年级上册

数轴的线段和差、n等分模型—北师大版数学七（上）知识点训练 一、数轴的线段和差模型 1．如图，数轴上A、B两点之间的距离为20，有一根木棒MN（M在N的左侧），当N移动到与A、B其中一个端点重合时，点M所对应的数为8，点N到AB中点时，点M所对应的数为 　 　． 2．如图，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是． （1）若使C、B两点的距离是A、B两点的距离的3倍，则需将点C向右移动　 　个单位； （2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒a个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒： ①点A、B、C表示的数分别是 ▲ 、 ▲ 、 ▲ （用含a、t的代数式表示）； ②若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为，当a为何值时的值不会随着时间t的变化而改变． 3．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且． （1）写出数轴上点B表示的数______； （2）|5－3|表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： ①：若，则______． ②：的最小值为______； （3）动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（）秒．求当t为______时A，P两点之间的距离为2． 4．已知有理数a，b满足：如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段BC在直线OA上运动(点B在点C的左侧) ， 下列结论：①②当点B与点O重合时， ③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则. ④在线段BC运动过程中，若M为线段OB的中点，N为线段AC的中点，则线段MN的长度不变.其中正确的是(　　) A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④ 5．已知多项式中，多项式的项数为a，四次项的系数为b，常数项为c，且a，b，c的值分别是点A、B、C在数轴上对应的数，点P从B点出发，沿数轴向右以1单位/s的速度匀速运动，点Q从点A出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发． （1）求a（b﹣c）的值； （2）若点Q运动速度为3单位/s，经过多长时间P、Q两点相距5？ （3）O是数轴上的原点，当点P运动在原点左侧上时，分别取OP和AC的中点E、F，试问的值是否变化，若变化，求出其范围；若不变，求出其值． 6．阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，．到的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题： （1）填空：　 　，　 　． （2）若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，试探索：到的距离与到的距离的差（即）的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． （3）现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，当点移动秒时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒（），直接写出、两点间的距离（用含的代数式表示）． 7．如图，已知数轴上点A表示的数为，B是数轴上在A右侧的一点，且A，B两点间的距离为16．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（）秒． （1）数轴上点B表示的数是　 　，点P表示的数是　 　（用含t的代数式表示）； （2）在点P开始运动后第几秒时，P到A、B两点的距离之和为20，请说明理由； （3）若动点Q同时从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，试判断：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 8．对于数轴上的三点A，B，C，给出如下定义：若，则称点C叫做点A，B的“距离和m点”．如图，点A表示的数为，点B表示的数为2，点C表示的数为0．由于，则点C为点A，B的“距离和5点”；由于，则点A为点B，C的“距离和8点”． （1）若点N表示的数为，点N为点A，B的“距离和m点”，求m的值； （2）点D在数轴上，若点D是点A，B的“距离和7点”，求点D表示的数； （3）点E在数轴上，若点E，A，B中的一点是另两点的“距离和6点”，求点E所表示的数． 二、数轴的中点与n等分模型 9．如图，点A、B、C在同一条直线上，点为BC的中点，点为AC延长线上一动点，点为AP的中点，则的值是　 　. 10．点为数轴的原点，点，在数轴上分别表示数，，且，满足． （1）填空：　 　，　 　． （2）如图，在数轴上有点，若点到点的距离是点到点的距离的倍，求点在数轴上表示的数； （3）如图在数轴上有两个动点，，点，同时分别从，出发沿数轴正方向运动，点的运动速为个单位秒，点的运动速度为个单位秒，在运动过程中，取线段的中点点始终在线段上，若线段的长度总为一个固定的值，求出与的数量关系． 11．[知识背景]： 数轴上，点A，B表示的数为a，b，则A，B两点的距离AB＝|a﹣b|，A、B的中点P表示的数为． [知识运用]： 若线段AB上有一点P，当PA＝PB时，则称点P为线段AB的中点．已知数轴上A，B两点对应数分别为a和b，（a+2）2+|b﹣4|＝0，P为数轴上一动点，对应数为x． （1）a＝　 　，b＝　 　； （2）若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x为　 　．若B为线段AP的中点时，则P点对应的数x为　 　． （3）若点A、点B同时向左运动，点A的速度为1个单位长度/秒，点B的速度为3个单位长度/秒，则经过多长时间点B追上点A？（列一元一次方程解应用题）此时点B表示的数是　 　． （4）若点A、点B同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时点P从﹣16处以2个单位长度/秒的速度向右运动，经过多长时间后，点A、点B、点P三点中其中一点是另外两点的中点？　 　（直接写出答案）． 12．【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合，研究数轴我们发现了许多重要规律． 例如：①若数轴上点A，B表示的数分别为a，b． 则A，B两点之间的距离为，线段的中点表示的数为． ②若在数轴上一个点表示的数为a，则向左运动个单位后表示的数为，向右运动个单位后所表示的数为． 【综合应用】 如图，点A表示的数为，点B所表示的数为5． （1）填空： ①的中点所表示的数为　 　； ②若，则点C表示的数为　 　． （2）点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动． 同时，点Q从点B出发，以每秒v个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动． ①P、Q运动过程中，当点B正好是的中点时，，求点Q的速度v． ②若点Q保持①中的速度继续运动，当点P运动到的三等分点时，求P的运动时间t． 13．如图 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合。研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB=|a-b|，线段AB的中点表示的数为 【知识应用】如图，在数轴上，点A表示的数为5，点B表示的数为3，点C表示的数为-2，点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动。设运动时间为ts，t>0.根据以上信息，回答下列问题： （1）①A，C两点之间的距离AC =　 　，线段BC的中点表示的数为　 　 ②用含t的代数式表示：ts后点P表示的数为　 　 （2）若M为PA的中点，当t为何值时，MB？ （3）【拓展提升】在数轴上，点D表示的数为9，点E表示的数为6，点F表示的数为-4，点G从点D，点H从点E同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位的速度沿数轴的负方向运动，且当它们各自到达点F时停止运动，设运动时间为t（s），线段GH的中点为K，当t为何值时，HK=3？ 14．点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且a、b满足| （1）如图，求线段AB的长； （2）若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程 的根，在数轴上是否存在点P使PA+PB=BC，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由； （3）如图，点P在B点右侧，PA的中点为M，N为PB靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①PM-2BN的值不变； 的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值. 15．点A、B在数轴上表示的数如图所示，动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒1个单位长度的速度向点B运动到点B停止运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动设点P运动的时间为t秒，P、Q两点的距离为d(x0)个单位长度. （1）当 时， 　 　. （2）当P、Q两点中有一个点恰好运动到线段AB的中点时，求d的值； （3）当点P运动到线段AB的3等分点时，直接写出d的值； （4）当d=5时，直接写出t的值. 答案解析部分 1．【答案】18或-2 2．【答案】（1）1 （2）解：①；；； ②∵点A，B，C，表示的数分别是，点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为， ∴ ∴， ∵的值不会随着时间t的变化而改变， ∴， 解得． 3．【答案】（1） （2）①6或；② （3）2或 4．【答案】D 5．【答案】（1）解：∵多项式中，多项式的项数为a，四次项的系数为b，常数项为c， ∴， ∴a（b-c）=3×（-8+2）=-18； （2）解：设经过秒P、Q两点相距5， 根据题意得：， 当点P在点Q的左侧时，， 即， 解得：， 当点P在点Q的右侧时，， 即， 解得：， 综上所述，经过或4秒P、Q两点相距5. （3）解：没有变化，理由如下： 如图： 设， ∵OA=3 ∴， ∵点E为OP的中点， ∴， ∵A对应的数为3，C对应的数为-2，AC的中点为F， ∴OC=2，点F对应的数为， ∴， ∴， ∴， ∴的值是不变，为2 6．【答案】（1）10；16 （2）解：不变，理由： 因为：经过t秒后，A，B，C三点所对应的数分别是，，， 所以：，， ∵， ∴，， ∴，， 所以：， 所以的值不会随着时间的变化而改变； （3）P、Q两点间的距离为或或． 7．【答案】（1）6； （2）解：∵， ∴点P在点B的右侧， 即， 解得：， ∴点P开始运动后第秒时，P到A、B两点的距离之和为20； （3）解：不会，理由为： ∵，， ∴， ∴的值不会随着t的变化而变化． 8．【答案】（1）解：由题可知，若，则称点C叫做点A，B的“距离和m点” ， 那么点N 表示的数为，点N 为点A，B的“距离和m点”，可表示为 ， 由图可知，， 故； （2）解：设D点表示的数为x， 当D点在线段上时，，不符合题意； 当D点在A点左侧时，，解得：； 当D点在点右侧时，，解得：； ∴点D表示的数为：3或； （3）解：①点E是点A，B的“距离和6点”时， 设E点表示的数为， 当E点在线段上时，，不符合题意； 当E点在A点左侧时，，解得：； 当E点在点右侧时，，解得：； ∴点E表示的数为：或 ②点A是点B，E的“距离和6点”时， ∵， ∴， ∴点E表示的数为：或. ③点B是点A，E的“距离和6点”时， ∵， ∴， ∴点E表示的数为：1或3 ∴点E表示的数为或或或1或2.5或3． 9．【答案】±2 10．【答案】（1）-5；3 （2）解：设点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， 当点在点的左侧时， 则，， 点到点的距离是点到点的距离的倍， ， ， 解得； 当点在线段之间时， 则，， 点到点的距离是点到点的距离的倍， ， ， 解得； 当点在点右侧时，不满足题意， 综上所述：点对应的数为或； （3）解：，理由如下： 设运动时间为秒，根据题意得：，， ， 点为线段的中点， ， 点表示的数为：， 点表示的数为：， ， 线段的长度总为一个固定的值， ， ． 11．【答案】（1）﹣2；4 （2）1；10 （3）﹣5 （4）s或s或s 12．【答案】（1）2；7或3 （2）解：①∵ ∴ ∴点运动的时间为， ∴ ∵点B是的中点， ∴， ∴， 解得，； ②设点运动的时间为，则 ∵点P运动到的三等分点 ∴或者， 解得，或， 综上，当点P运动到的三等分点时，P的运动时间是秒或9秒 13．【答案】（1）7；；-2+2t （2）解：∵点M为PA的中点， ∴点M表示为， 则， 解得：t=2或t=1. （3）解：设运动时间为t，则点G表示的数为9-t，当点G运动到点F时，t=9-（-4）=13， 则点H表示的数为6-2t，当点H运动到点F时，， 当0≤t≤5时，运动t秒后，点G表示的数为9-t，点H表示的数为6-2t， ∵线段GH的中点为点K， ∴点K表示的数为， ∵HK=3 ∴， 解得：t=3，t=9（舍去）， 当5≤t≤13时，运动t秒后，点G表示的数为9-t，点H表示的数为-4， ∵线段GH的中点为点K， ∴点K表示的数为， ∵HK=3， ∴， 解得：t=7，t=19（舍去）， 综上，当t=3或t=7时，HK=3. 14．【答案】（1）解：∵， ∴a=-1，b=3， ∴AB=|-1-3|=4. 即AB的长为 4； （2）解得：x=﹣2，即点C对应的数为-2， 设点P在数轴上对应的数是m， ∵PA+PB=BC， ∴|m+1|+|m-3|=5， 令m+1=0，m-3=0，∴m=-1或m=3. ①当m≤-1时，-m-1+3-m=5，m=-1.5； ②当-1<m≤3时，m+1+3-m=5，(无解) ； ③当m>3时，m+1+m-3=5，m=3.5. ∴当点P表示的数为-1.5或3.5时，PA+PB=BC； （3）设P点所表示的数为 n， ∴PA=n+1，PB=n-3. ∵PA的中点为 M， ∵N为PB的四等分点且靠近于 B点， ∴①， ② ∴PM-2BN的值不变，的值随着n的变化而变化 ∴正确的结论为①，且PM-2BN=2. 15．【答案】（1）3 （2）解：线段AB的中点表示的数记作M，则M表示的数为： ①如果P点恰好运动到线段AB的中点， 则 ∴BQ=2×3=6，4-6=-2， 故点Q运动到A点，此时d=PQ=PA=3； ②如果Q点恰好运动到线段AB的中点， 则， ∴ ∴ 故d的值为3或 （3）d的值为0或4； （4）t的值为或5. 学科网（北京）股份有限公司 $$