数轴的动点往返运动模型 知识点训练2025-2026学年北师大版数学七年级上册

数轴的动点往返运动模型—北师大版数学七（上）知识点训练 一、填空题 1．已知动点A从原点O出发沿数轴向左运动，同时动点B也从原点出发沿数轴向右运动，动点A的速度为每秒1个单位长度，动点B的速度为每秒2个单位长度，5秒后动点B调转方向向左运动，A、B两点的速度仍保持不变，则　 　秒后A、B、O三点中一点到另两个点的距离相等． 二、解答题 2．如图，O为数轴的原点，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，b是最大的负整数，且|a+3|=0，c2=64．点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回运动到点C并停止． （1）　 　，　 　，　 　； （2）点P从点B离开后，在点P到达点C的过程中，经过x秒钟，PA+PB+PC=12，求x的值． （3）点P从点B出发的同时，数轴上的动点M，N分别从点A和点C同时出发，相向而行，速度分别为每秒3个单位长度和每秒4个单位长度，假设运动t秒钟时，P、M、N三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请求出所有满足条件的t的值． 3．如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足，， （1）　 　，　 　； （2）若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数　 　表示的点重合． （3）在（1）（2）的条件下，若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式得最小值时，此时　 　，最小值为　 　； （4）在（1）（2）的条件下，若在点B处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点C处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看做一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离d（用t的代数式表示）． 4．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒额速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）． （1）当t＝0.5时，求点Q到原点O的距离； （2）当t＝2.5时求点Q到原点O的距离； （3）当点Q到原点O的距离为4时，求点P到原点O的距离． 5．如图，A、B两点在数轴上对应的数分别为-20、40，在 A、B两点处各放一个挡板，M、N两个电子小球同时从原点出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变，当两小球第一次相遇时都停止运动. 设两个小球运动的时间为t，那么： （1）当0<t<10时，M在数轴上对应的数可以表示为　 　； （2）小杨同学发现：当0<t<10时，2MB-NA始终为定值.小杨的发现是否正确?若正确，请求出这个定值；若不正确，请说明理由. （3）在整个运动过程中，t为何值时M、N两个小球间的距离为6?请直接写答案. 6．已知数轴上点A表示的数为，点B是数轴上在点A右侧的一点，且A、B两点间的距离为8个单位长度，点P为数轴上的一个动点，其对应的数为x． （1）写出点B所表示的数为　 　． （2）①若点P到点A，点B的距离相等，则点P所表示的数为　 　． ②数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为10，若存在，求出x的值，若不存在，说明理由． （3）点A以1个单位长度/秒向右运动，点B以2个单位长度/秒的速度向左运动，同时点P以5个单位长度/秒从原点向左运动，当点P遇到点A时，立即以原来的速度向右运动，当点P遇到点B时，立即以原来的速度向左运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时点P所经过的总路程，并直接写出此时点P在数轴上表示的数． 三、实践探究题 7．数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点M，N表示的数分别为m，n，则M，N两点之间的距离表示为．如：点M表示的数为2，点N表示的数为3，则． （1）【问题提出】 填空：如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为13，A，B两点之间的距离AB＝　 　，线段AB的中点表示的数为　 　． （2）【拓展探究】 在（1）的条件下，若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t＞0）. ①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为 ▲ ，点Q表示的数为 ▲ ； ②求当t为何值时，P，Q两点相遇？写出相遇点所表示的数． （3）【类比延伸】 在（2）的条件下，如果P，Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P，Q两点第二次相遇，请求出所需要的时间和相遇点所表示的数． 8． 阅读：如图，已知数轴上有A、B、C三点，它们表示的数分别是．点A到点C的距离用表示，计算方法：点C表示的数8，点A表示的数，，用，用式子表示为：．根据阅读完成下列问题： （1）应用：　 　，　 　； （2）拓展：若点C沿数轴向右以每秒9个单位长度的速度运动，则秒时，点C走到的位置所对应的数是　 　，此时　 　（用含的代数式表示）； （3）探究：若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 9．【阅读】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律：比如数轴上点A，B分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离；线段AB的中，点P表示的数为． 【探究】如图，已知数轴上点A，B分别表示数，10，点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动．当点M，N第一次相遇时，两点停止运动，设运动时间为t秒，线段MN的中点为P． （1）线段AB的中点表示的数为　 　． （2）求点P表示的数．（用含t的式子表示） （3）若点M，N第一次相遇后，继续以原来的速度和方向运动，点M到达点B后停留7秒，随后立即以原来的速度返回，点N到达点A后立即以原来的速度返回，两点再次相遇时，停止运动．在整个运动过程中，当时，求t的值． 10．定义：若A、B、C为数轴上三个不同的点，若点C到点A的距离和点C到点B的距离的2倍的和为16，我们就称点C是[A，B]的友好点．例如：点M、N、P表示的数分别为﹣8、4、0，则点P到点M的距离是8，到点N的距离是4，那么点P是[M，N]的友好点，而点P就不是[N，M]的友好点． （1）若点M、N、P表示的数分别为3、9、14，则　 　是[　 　，　 　]的友好点．（空格内分别填入M、N、P） （2）若点M、P表示的数分别为﹣6、﹣2，且P是[M，N]的友好点，则点N为　 　． （3）如图，数轴上A，B，C三点分别表示的数为﹣10、12、2，点Q从B点出发以每秒12个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当它到达A点后立即以相同的速度返回往B点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在Q点出发的同时，点P从A点出发以每秒3个单位长度向右匀速运动，直到当点P达到C点时，点P，Q停止运动．当t为何值时，点C恰好为[P，Q]的友好点？ 11．【感知】如图①，一个点从数轴上原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度.可以看出，终点表示数-2. （1）【应用】点表示数-3，点从点开始，先向右移动10个单位长度，再向左移动15个单位长度，此时点表示数　 　；、两点距离为　 　. （2）【拓展】点表示数，点从点开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，此时点表示数　 　；、两点距离为　 　. （3）【探究】如图②，点表示数-5，表示数4.点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动；与此同时，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左移动，设点的运动时间为秒. ①用含的代数式表示点和点表示的数； ②求点、表示的数相同时的值； ③求和时、两点的距离； ④用含的代数式表示、两点的距离. 12．定义：若A、B、C为数轴上三个不同的点，若点C到点A的距离和点C到点B的距离的2倍的和为10，我们就称点C是的美好点．例如：点M、N、P表示的数分别为、2、0，则点P到点M的距离是6，到点N的距离是2，那么点P是的美好点，而点P就不是的美好点． （1）若点M、N、P表示的数分别为3、6、7，则 是[ ， ]的美好点．（空格内分别填入M、N、P） （2）若点M、P表示的数分别为、，且P是的美好点，则点N为 ． （3）如图，数轴上A，B，C三点分别表示的数为、12、2，点Q从B点出发以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当它到达A点后立即以相同的速度返回往B点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在Q点出发的同时，点P从A点出发以每秒2个单位长度向右匀速运动，直到当点P达到C点时，点P，Q停止运动．当t为何值时，点C恰好为的美好点？ 答案解析部分 1．【答案】或或20 2．【答案】（1）-3；-1；8 （2）解：当P在从B到A的运动过程中， x秒时P点表示的数为-1-2x，故PC=8-(-1-2x)=9+2x，PA+PB=2， 依题意得：， 解得：， 1秒时P运动到点A，然后开始返回.当P在从A返回B的运动过程中， x秒时P点表示的数为-3+2(x－1)，故PC=8-[-3+2(x－1)]=13－2x，PA+PB=2， 依题意得：， 解得：， 当P在从B到C的运动过程中， x秒时P点表示的数为-3+2(x－1)，故PA=-3+2(x－1)+3=2(x－1)，PB+PC=9， 依题意得：， 解得：， ∴当、或时，． 解法2： 当P在从B到A的运动过程中，P在数轴上表示的数为， ∴，，， ∴， 由， 解得： 当P在从A返回B的运动过程中，P在数轴上表示的数， ∴，，， ∴， 由， 解得：， 当P在从B到C的运动过程中，P在数轴上表示的数， ∴，，， ∴， 由， 解得：， ∴当、或时， （3）解：M在数轴上表示的数为，N在数轴上表示的数为， 当P在从B到A的运动过程中时，P在数轴上表示的数为， 若M为中点，则， ∴， 解得：（不合题意，舍去）； 当若P为中点，则， ∴， 解得：（也不合题意，舍去）； P在从A到C的运动过程中时，P在数轴上表示的数为， 若N为中点，则， ∴， 解得：； 若M为中点，则， ∴， 解得：； 若P为中点，则， ∴， 解得：． 综上所述，当、或时， P、M、N三点中恰好有一个是另外两个的中点． 3．【答案】（1）； （2） （3）1；10 （4）解：由题意，乙到达挡板处需要的时间为秒， ∴秒后，甲的位置是，乙的位置是， ． 4．【答案】（1）解：当t＝0.5时，路程＝4t＝4×0.5＝2<8， ∴OQ＝OA-路程＝8-2＝6， ∴点Q到原点O的距离为6； （2）解：当t＝2.5时，路程=4t＝4×2.5＝10>8， ∴OQ＝路程-8＝2， ∴点Q到原点O的距离为2； （3）解：当点Q到原点O的距离为4时， Q向左运动时，OQ＝4， ∴Q运动路程=OA-AQ=4， ∴运动时间t＝4÷4=1， ∴OP＝2×1=2； Q向右运动时，OQ＝4， ∴Q运动路程=OA+AQ＝12， ∴运动时间t＝12÷4＝3， ∴OP＝2×3＝6， ∴点P到原点O的距离为2或6． 5．【答案】（1）-2t （2）解：2MB-N4为定值，定值为60，理由如下： 0<t<10时，设O点为原点，在数轴上对应的数为0，点M和点N都还没有碰到挡板， 则；.， 故2MB-NA为定值，定值为60. （3）t=1s或19s时，MN两个小球间距离为6. 6．【答案】（1）3 （2）解：①-1；②∵P到点A，点B的距离之和为10，AB=8，分两种情况：当P点在A点左侧时，，解得，当点P在B点右侧时，，解得，综上，当x的值为-6或4时，P到点A，点B的距离之和为10； （3）解：当点A与点B重合时，点P运动的时间是点A与点B相遇的时间为：（秒)， ∴P点运动的路程为：， 即点P所经过的总路程是个单位长度， 点A向右运动的秒的路程为：， 此时，A点与B点重合，则点P表示的数为：， 即此时点P在数轴上表示的数为 7．【答案】（1）15； （2）解：①﹣2+3t；13﹣2t；②根据题意得：﹣2+3t＝13﹣2t， 解得t＝3， 相遇点所表示的数为﹣2+3×3＝7， 答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7. （3）解：根据题意得：3t +2t＝3×15 解得t＝9， P运动路程为3×9＝27. 第二次相遇点所表示的数为：-2+15 -（27﹣15）＝1. 答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1． 8．【答案】（1）10；16 （2）； （3）解：经过t秒过后，点A为，点B为，点C为． ∴ 故的值不变，． 9．【答案】（1）-5 （2）解：因为点M表示的数为，点N表示的数为， 所以MN的中点P表示的数是． （3）解：点M从点A到点B所需时间为（秒）， 点N从点B到点A所需时间为（秒）， 点M，N再次相遇所需时间为（秒）． 当时，点M表示的数为，点N表示的数为，则点P表示的数是， 所以，解得； 当时，点M表示的数是10，点N表示的数是，则点P表示的数是， 所以，解得； 当时，点M表示的数是10，点N表示的数是，则点P表示的数是， 所以，解得； 当时，点M表示的数是，点N表示的数是，则点P表示的数是， 所以，解得． 综上所述，t的值为或或或． 10．【答案】（1）N；M；P （2）4或-8 （3）解：如图， 点C 恰好为[P ，Q ]的友好点，∴ ①时，点Q第一次从B到A运动， 根据题意， ∴， 解得： ② 时，点Q第一次到达A点折返，从A到B运动， ， ∴ 解得： ③ 时，点Q第二次从B点出发，向左匀速运动 ， ∴ 解得： 综上所述：当t的值为 或 时， 点C恰好为[ P ，Q]的友好点 11．【答案】（1）-8；5 （2）； （3）解：①根据点和点的运动可得，点所对应的数为；点所对应的数为； ②当点、表示的数相同时，，解得； ③当时，点所对应的数为：-3，点所对应的数为3，此时点和点之间的距离为6；当时，点所对应的数为：3，点所对应的数为0，此时点和点之间的距离为3； ④根据【拓展】中两点之间的距离可知，两点间的距离为：. 12．【答案】（1），， （2）−6或2 （3）解：①当时，此时点Q第一次从B点出发向左匀速运动， 根据题意得：点P表示的数为，点Q表示的数为， 点C表示的数为2， ，， 点C恰好为的美好点， ， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； ②当时，此时点Q第一次到达A点这番折返出发向右匀速运动， 根据题意得：点P表示的数为，点Q表示的数为， 点C表示的数为2， ，， 点C恰好为的美好点， ， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； ③当时，此时点Q第二次从B点出发向左匀速运动， 点P表示的数为，点Q表示的数为， ，， 点C恰好为的美好点， ， 解得：（舍）， 综上可知，当t值为或或或秒时，点C恰好为的美好点． 学科网（北京）股份有限公司 $$