数轴的点常规运动模型 知识点训练2025-2026学年北师大版数学七年级上册

数轴的点常规运动模型—北师大版数学七（上）知识点训练 一、选择题 1．如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（　　） ①对应的数是；②点到达点时，；③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 2．如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为-4，点C到点A、点B的距离相等，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为x (x大于0)秒. (1)点C表示的数是　 　； (2)当x=　 　秒时，点P到达点A处? (3)运动过程中点P表示的数是　 　(用含字母x的式子表示) . 3．如图，在数轴上点A、B表示的数分别为-2、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过 　 　秒后，M、N两点间的距离为8个单位长度． 4．动点，分别从数轴上表示和的两点同时出发，并且分别以个单位长度秒和个单位长度秒的速度沿数轴向负方向匀速运动，经过　 　秒两点相遇，相遇时，两点表示的数为　 　． 三、解答题 5．已知表示互为相反数的两个数的点A，B在数轴上的距离是10，其中点A在点B的左侧．现在点A沿着数轴先向右运动2秒，再向左运动5秒到达点C的位置．设点A的运动速度为每秒1.5个单位长度，求点C在数轴上表示的数． 6．如图，已知数轴上点A表示的数为8，点B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为12．点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时，另一点Q从原点O出发，也沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设点P的运动时间为t秒． （1）数轴上点P表示的数为　 　，点Q表示的数为　 　；（用含t的代数式表示） （2）经过多少秒点B恰为的中点？ （3）当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为7个单位长度？ 7．如图，已知数轴上原点为O，点B表示的数为-4，A在B的右边，且A与B的距离是20，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒． （1）写出数轴上点A表示的数　 　，与点A的距离为3的点表示的数是　 　. （2）点P表示的数　 　（用含t的代数式表示）；点Q表示的数　 　（用含t的代数式表示） （3）假如Q先出发2秒，请问t为何值时PQ相距5个单位长度？ （4）若点x是数轴上一点，是否存在整数x，使得|x-3|+|x+2|的值最小？如果存在，请写出最小整数x；如果不存在，请说明理由 8．动点从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，，两点分别到达，两点处，，两点相距12个单位长度．已知动点，的速度比是（速度单位：单位长度秒）． （1）分别求出动点，运动的速度，并在如图所示的数轴上标出，两点； （2）若，两点分别从，点处同时出发，向数轴负方向运动，几秒后，，两点重合？ 9．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为16，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒（） （1）A，两点间的距离等于　 　，线段的中点表示的数为　 　； （2）求当为何值时，？ （3）若点为的中点，当点到原点距离为9时，求的值． 10．如图，数轴上三点A、B、C表示的数分别为-10、5、15，点为数轴上一动点，其对应的数为. （1）点到点的距离为　 　； （2）数轴上是否存在点，使得点到点、点的距离之和为25个单位长度?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； （3）设点到A、B、C三点的距离之和为.在动点从点开始沿数轴的正方向运动到达点这一运动过程中，求出的最大值与最小值. 11．如图，在数轴上原点表示数，点表示数是，点表示的数是，且点在原点右侧，点在原点的左侧，点到原点距离个单位长度．，满足式子． （1）求，的值； （2）若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动：同时动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右运动，求两点运动时间为何值时，线段的长为个单位长度． （3）若动点从点出发沿数轴向左运动，到达原点之前的速度为每秒个单位长度，到达原点之后的速度为每秒个单位长度；同时动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右运动，求两点运动时间为何值时，、两点到原点的距离相等． 四、实践探究题 12．综合运用 如图，数轴上两点、对应的数分别是和8．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设的运动时间为秒． （1）、两点的距离为 　 　； （2）当运动到的中点时，求的值； （3）若一动点同时从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向匀速运动，当点到达点时，、两点都停止运动．在此过程中，当时，求的值． 13．知识准备：数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离就是线段AB的长，且AB＝|a﹣b|，AB的中点C对应的数为：（a+b）． 问题探究：在数轴上，已知点A所对应的数是﹣4，点B对应的数是10． （1）求线段AB的长为 　 　；线段AB的中点对应的数是 　 　． （2）数轴上表示x和﹣5的两点之间的距离是 　 　；若该距离是8，则x＝　 　． （3）若动点P从点A出发以每秒6个单位长度的速度向右运动，同时动点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度向左运动．经过多少秒，P、Q两点相距6个单位长度？ 14．如图，数轴上点A表示的数为﹣3，点B表示的数为4．阅读并解决相应问题． （1）问题发现：若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A，B的“n节点”．如图1，若点P表示的数为1，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为4+3＝7，则称点P为点A，B的“7节点”．填空： ①若点P表示的数为﹣2，且点P为点A，B的“n节点”，则n的值是 　 　． ②数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A，B的“7节点”，则这样的整点P共有 　 　个． （2）类比探究：如图2，若点P为数轴上一点，且点P到点A的距离为1，则点P表示的数是 　 　，及n的值是 　 　． （3）拓展延伸：若点P表示的数为﹣2，点P以每秒6个单位长度的速度向右运动，设运动的时间为t秒．当t为何值时，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的，若此时点P为点A，B的“n节点”，请求出t和n的值． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】1；5；-4+2x. 3．【答案】14或 4．【答案】； 5．【答案】解：∵表示互为相反数的两个数的点A，B在数轴上的距离是10，其中点A在点B的左侧， ∴点A表示的数为，点B表示的数为5， ∵点A沿着数轴先向右运动2秒，点A的运动速度为每秒1.5个单位长度， ∴， ∴， ∵点A再向左运动5秒到达点C的位置， ∴， ∴， ∴点C在数轴上表示的数为， 6．【答案】（1）； （2）解：∵A表示的数为8，A，B两点间的距离为12， ∴B点表示的数为， ∴， ， ∵B为的中点， ∴， ∴， 解得：； （3）解：①当点P与点Q相遇之前 ， ∵， ∴， 解得：， ②当点P与点Q相遇之后， ， ∵， ∴， 解得：， ∴当点P运动1或15秒时，点P与点Q间的距离为7个单位长度． 7．【答案】（1）16；13或19 （2）-4+t；16-2t （3）解：由（2）同理可知，点Q表示的数为：16-2t， 点P运动时间为(t-2)，运动路程为(t-2)，此时点P表示的数为：-4+(t-2)=t-6， 若PQ=5， 即或， 解得或. ∴当或时， PQ相距5个单位长度 . （4）解：存在，当最小整数x=-2时， |x-3|+|x+2|的值最小，理由如下， 在数轴上，可表示为数x与数3之间的距离，可表示为数x与数-2之间的距离， 则代数式|x-3|+|x+2|表示数x与数3及数-2之间的距离之和，如下图所示， 若x<-2或x>3时，此时两距离之和大于5； 若-2≤x≤3时，此时两距离之和恒等于5； ∴当且仅当-2≤x≤3时，|x-3|+|x+2|=5为最小值，其中最小整数x=-2. 8．【答案】（1）解：设点A的运动速度为x个单位长度/秒，则点B的运动速度为个单位长度/秒， 由题意得，， 解得：， ∴， ∴点A的运动速度为1个单位长度/秒，点B的运动速度为3个单位长度/秒， ∴点C和点D表示的数分别为，， 在数轴上表示如下图： （2）解：设t秒后，，两点重合， ∴点A、B运动后表示的数分别为-3-t，9-3t， ∴， 解得：t=6， ∴6秒后，，两点重合． 9．【答案】（1）20；6 （2）解：∵点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得：或； （3）解：∵点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴点M表示的数为， ∵点M到原点距离为9， ∴， ∴或， 解得：或（舍去）． 10．【答案】（1）25 （2）设点表示的数为， 当点在点的左侧（含点）时： ， 解得：， 当点在点和点的之间（含点）时： ， 解得：无解； 当点在点的右侧时： ， 解得：， 数轴上存在点，使得点到点、点的距离之和为25个单位长度，当或10，使得点到点、点的距离之和为25单位长度； （3）由题意知：点到、、的距离和等于， 点在点、之间， ， 当点与点重合时，最大，此时， 的最大值为， 当点与点重合时，最小，此时， 的最小值为25， 的最大值为40，最小值为25． 11．【答案】（1）解：点表示的数是，点在原点的左侧，且点到原点的距离为个单位长度， ； 又，即， ． 点表示数是，且点在原点右侧， ． （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为． 依题意，得：， 即或， 解得：或． 答：运动时间为或秒时，线段的长为个单位长度． （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为． ， ， 即或， 解得：或； 当时，点表示的数为，点表示的数为． ， ， 即， 解得：． 答：运动时间为或或秒时，、两点到原点的距离相等． 12．【答案】（1）12 （2）解：由题意得：， 解得：， 答：当运动到的中点时，的值为3； （3）解：点表示的点为：，点表示的数为：， 则：， 解得：或（不合题意，舍去）， 答：当时，的值为． 13．【答案】（1）14；3 （2）x+5；3或﹣13 （3）解：设运动时间为t秒，则点P运动后所对应的点为﹣4+6t，点Q运动后所对应的点为10﹣2t， ∴PQ之间的距离为|﹣4+6t﹣（10﹣2t）|＝|﹣4+6t﹣10+2t|＝|8t﹣14|， 当P、Q两点相距6个单位长度时，|8t﹣14|＝6，解得t＝2.5或t＝1， ∴经过1秒或2.5秒时，P、Q两点相距6个单位长度． 14．【答案】解：（1）①∵点P表示的数为， ∴点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为1+6=7 ∴点P为点A、B的“7节点” ∴n=7 故答案为：7； ②设出点P表示的数为 ∴点P到点A的距离为：，点P到点B的距离为： 当，且，即时， ∵ ∴，不符合题意； 当，且，即时， ，符合题意 当，且，即时， ∵ ∴，不符合题意； ∴ ∵P为整点 ∴P表示的数为：-3或-2或-1或0或1或2或3或4 ∴整点P共有8个 故答案为：8； （2）∵点P到点A的距离为1，点A表示的数为-3， ∴点P表示的数为：或 当点P表示的数为：时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为1+8=9，即n=9； 当点P表示的数为：时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为1+6=7，即n=7； （3）设出点P表示的数为 ，则x=-2+6t 根据题意，得 当，且，即时， 根据题意，得： ∴ 当，且，即时， 根据题意，得： ∴ 当，且，即时， 根据题意，得： ∴（不符合题意，故舍去） ∴或，即P表示的数为或 当P表示的数为时，-2+6t=25，即t=， 当P表示的数为时，-2+6t=1，即t=，． 学科网（北京）股份有限公司 $$