绝对值的最值模型 知识点训练2025-2026学年北师大版数学七年级上册

绝对值的最值模型—北师大版数学七（上）知识点训练 一、两个绝对值的和的最值 1．是数轴上一点表示的数，则的最小值是（　　） A．1 B． C．5 D． 2．规定：，．例如，．下列结论中：①若，则；②若，则；③能使成立的的值不存在；④式子的最小值是7．其中正确的所有结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．式子的最小值是　 　． 4．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． （1）根据数轴填空： ①判断正负：a是　 　数，b-a是　 　数（填“正”或“负”）； ②比较大小：a　 　b，|a|　 　|b|； ③根据数轴化简：|b|＝　 　，|b-c|＝　 　． （2）数轴上，数a到原点的距离表示|a|，即|a-0|；类似的，数a到数2的距离可表示为　 　； （3）应用：①如果要表示数a到3的距离是7，可记为：|a-3|＝7，那么a＝ ▲ ； ②当a取何值时，|a+4|+|a-3|的值最小，最小值是多少？请说明理由． 5．如图，已知数轴上原点为O，点B表示的数为-4，A在B的右边，且A与B的距离是20，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒． （1）写出数轴上点A表示的数　 　，与点A的距离为3的点表示的数是　 　. （2）点P表示的数　 　（用含t的代数式表示）；点Q表示的数　 　（用含t的代数式表示） （3）假如Q先出发2秒，请问t为何值时PQ相距5个单位长度？ （4）若点x是数轴上一点，是否存在整数x，使得|x-3|+|x+2|的值最小？如果存在，请写出最小整数x；如果不存在，请说明理由 6．知识理解：同学们，我们在绝对值一节的学习中知道，一般的，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数a的绝对值，绝对值符号中含有未知数的方程叫做绝对值方程．像，，都叫做绝对值方程，对于绝对值方程，我们根据绝对值的定义求出未知数的值． 例如： 表示在数轴上，数a与数0的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是5和． 解：因为，所以，或． 表示在数轴上，数a与数3的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是8和． 解：因为，所以，或，解得：或． （1）知识应用：求出下列未知数的值．；． （2）知识探究：直接写出的最小值． 二、两个绝对值的差的最值 7．代数式|x-1|-|x+6|-5 的最大值是　 　. 8．点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|，若x是一个有理数，且-3<x<1，则|x-1|+|x+3|=　 　. 若|x+a|+|x+1|的最小值为 3，则a的值为　 　. 9．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|. 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示x和-3的两点之间的距离表示为　 　. （2）若|x+3|=4，则x=　 　. （3）|x-3|-|x+2|最大值为　 　，最小值为　 　. 10．数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作。数轴上表示数a的点与表示数b的点距离记作如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数－5的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题：(将结果直接填写在相应位置，不写过程) （1）若，则x =________；若，则x =___________ （2）若，则x能取到的最小值是_______，最大值是_________ （3）当取最小值时，则x的值为____________ （4）当取最大值时，则x的取值范围是____________ 三、多个绝对值的最值 11．已知x是正实数，则 的最小值是(　　) A．2 B． C． D．0 12．已知：，且abc＞0，a+b+c=0.则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y=（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 13．式子的最小值是　 　． 14．的最小值为　 　. 15．式子的最小值是　 　． 16．阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离表示为|AB|=|a-b|. 回答下列问题： （1）数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是　 　. （2）数轴上表示x与-3的两点之间的距离表示为　 　. （3）若x表示数轴上的一个实数，且|x+1|+|x-2|=5，则x=　 　. （4）若x表示数轴上的一个实数，求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+……+|x-2022|+|x-2023|最小值. 17．如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等. 11 　 a 　 b 2 　 -7 　 c … 　 （1）可求得a=　 　，b=　 　，c=　 　； （2）第2023个格子中的数为　 　； （3）若前m个格子中所填整数之和，则m的值为多少？若，m的值为多少？ （4）若，则的最小值为　 　. 18．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是________，表示和2两点之间的距离是________． （2）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么________． （3）若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为________； （4）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x＋2|＋|x－5|＝7，这些点表示的数的和是 ． （5）当________时，的值最小，最小值是________． 19．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　 　；表示﹣3和2两点之间的距离是　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝　 　； （2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值； （3）代数式|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|+|a|的最小值是　 　． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】2 4．【答案】（1）负；正；＜；＞；-b；c-b （2）a-2 （3）解：①：10； ②当-4≤a≤3时，|a+4|+|a-3|的值最小，最小值为7，理由： |a+4|是表示数a的点到表示-4的点的距离，|a-3|是表示数a的点到表示数3的点的距离， 由于表示-4的点与表示数3的点之间的距离为7， ∴当表示数a的点在-4与3之间时， 即当-4≤a≤3时，|a+4|+|a-3|的值最小，最小值为7． 5．【答案】（1）16；13或19 （2）-4+t；16-2t （3）解：由（2）同理可知，点Q表示的数为：16-2t， 点P运动时间为(t-2)，运动路程为(t-2)，此时点P表示的数为：-4+(t-2)=t-6， 若PQ=5， 即或， 解得或. ∴当或时， PQ相距5个单位长度 . （4）解：存在，当最小整数x=-2时， |x-3|+|x+2|的值最小，理由如下， 在数轴上，可表示为数x与数3之间的距离，可表示为数x与数-2之间的距离， 则代数式|x-3|+|x+2|表示数x与数3及数-2之间的距离之和，如下图所示， 若x<-2或x>3时，此时两距离之和大于5； 若-2≤x≤3时，此时两距离之和恒等于5； ∴当且仅当-2≤x≤3时，|x-3|+|x+2|=5为最小值，其中最小整数x=-2. 6．【答案】（1）解：①因为， 所以或，解得：或； 因为，所以或，解得：或； （2）2 7．【答案】2 8．【答案】4；2或-4 9．【答案】（1）x+3 （2）1或-7 （3）5；-5 10．【答案】（1）0，；（2），2；（3）；（3）． 11．【答案】B 12．【答案】B 13．【答案】16 14．【答案】2022 15．【答案】105 16．【答案】（1）3 （2）x+3 （3）3或-2 （4）解：|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+…+|x-2022|+|x-2023|表示x到点|，2，3，4，…，2023的点距离之和， 当 时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+…+|x-2022|+|x-2023|的值最小是： 17．【答案】（1）2；-7；11 （2）11 （3）解：任意三个相邻格子中所填整数之和：11-7+2=6 因为666÷6=111，所以共有111组数，m的值为333 因为S=2033=337×6+11，所以共有337组数，m的值为337×3+1=1012 （4）18 18．【答案】（1）3，5；（2）2或-4；（3）6；（4）12；（5）1；7 19．【答案】（1）3；5；﹣5和1 （2）解：∵﹣4＜a＜2， ∴|a+4|＝a+4， |a﹣2|＝2﹣a， 则|a+4|+|a﹣2|＝a+4+2﹣a＝6， （3）10 学科网（北京）股份有限公司 $$