第二章 二次函数 单元测试 2024—2025学年北师大版数学九年级下册

【A卷】第二章 二次函数—北师大版九年级下册单元测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A．y=ax2+bx+c B．x2+y﹣2=0 C．y2﹣ax=﹣2 D．x2﹣y2+1=0 2．二次函数的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限. 3．已知抛物线经过点，则该抛物线必然还经过点（　　） A． B． C． D． 4．将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（　　） A． B． C． D． 5．若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象过点（﹣2，﹣3），则必在该图象上的点还有（　　） A．（﹣3，﹣2） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3） 6．若点在二次函数的图象上，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，第3年的销售量为y台，则y关于x的函数解析式为（　　） A．y＝5000（1+2x） B．y＝5000（1+x）2 C．y＝5000+2x D．y＝5000x2 8．如图，用一根60cm的铁丝制作一个“日”字型框架，铁丝恰好全部用完，则该“日”字型框架面积的最大值为（　　） A．150 B． C． D． 9．如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标与x轴的一个交点．有下列结论：①；②；③方程有两个不等的实数根；④当时，，其中正确的是（　　）． A．①② B．①③ C．②③④ D．①②③④ 10．根据下表中的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（　　） x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共15分） 11．正方形边长为2，若边长增加x，那么面积增加y，则y与x的函数关系式是　 　． 12．抛物线 的顶点坐标为　 　． 13．请写出一个顶点在原点且开口向下的抛物线解析式　 　． 14．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为 　 　元时，该服装店平均每天的销售利润最大． 15．二次函数与x轴有两个交点，且这两个交点的横坐标在-2和0之间（不包括-2和0），则a的取值范围是　 　． 三、解答题（共7题，共55分） 16．说出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1） y=x2-7． （2） y=(x+1)2． （3） y=1-(-x)2 17．在如图直角坐标系中，用描点法画出下列函数的图象． ①y=x2． ②y=x2 （1）列表： x …… -2 -1 0 1 2 …… y=x2 …… 　 　 　 　 　 　 　 …… y=x2 …… 　 　 　 　 　 　 　 …… （2）描点，并用光滑曲线顺次连结各点． 18． 已知二次函数在和时的函数值相等. （1）求二次函数图象的对称轴； （2）过作x轴的平行线与二次函数的图象交于不同的两点M、N.当时，求b的值. 19． 已知关于x的一元二次方程x2+x-m=0. （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）二次函数y=x2+x-m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x-m=0的解. 20． 在二次函数中： （1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？ （2）当时，y的最小值为-2，求出t的值： （3）如果A，B，C都在这个二次函数的图象上，且求m的取值范围。 21．掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．已知一名男生投实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为2m，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求y关于x的函数解析式； （2）根据该市2023年中考体育考试评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于12.4m，此项考试得分为满分17分．按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 22．某公司的商品进价每件60元，售价每件130元，为了支持“抗新冠肺炎”，每销售一件捐款4元．且未来30天，该商品将开展每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，市场调查发现，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销量为y件，y与x满足一次函数关系，其对应数据如表： x（天） …… 1 3 5 7 …… y（件） …… 35 45 55 65 …… （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）在这30天内，哪一天去掉捐款后的利润是6235元？ （3）设第x天去掉捐款后的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少元？ 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】A 9．【答案】B 10．【答案】D 11．【答案】y=x2+4x 12．【答案】 13．【答案】 （答案不唯一） 14．【答案】22 15．【答案】 16．【答案】（1）解：y=x2-7的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，-7）； （2）解：y=(x+1)2开口向下，对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，0）； （3）解：y=1-(-x)2开口向下，对称轴为x=，顶点坐标为（，1） 17．【答案】（1）解：如下表所示； x …… -2 -1 0 1 2 …… y=x2 …… 6 0 6 …… y=x2 …… -6 0 -6 …… （2）解：y=x2和y=x2的图象如图所示； 18．【答案】（1）解：∵二次函数在和时函数值相等， ∴对称轴为直线. （2）解：∵过作x轴的平行线与二次函数的图象交于不同的两点M、N， 设点M在点N的左侧， ∵对称轴为直线，， ∴点M的坐标为，点N的坐标为 ∴，， ∴， 19．【答案】（1）解：∵一元二次方程x2+x-m=0有两个不相等的实数根， ∴Δ>0，即1+4m>0. ∴m>-. ∴m的取值范围为m>-. （2）解：二次函数y=x2+x-m图象的对称轴为直线x=-， ∴抛物线与x轴两个交点关于直线x=-对称， 由图可知抛物线与x轴一个交点为(1，0). ∴另一个交点为(-2，0). ∴一元二次方程x2+x-m=0的解为x1=1，x2=-2. 20．【答案】（1）解：将（2，1）代入y=x2-2tx+3得1=4-4t+3； 解得； （2）解：抛物线y=x2-2tx+3的对称轴为直线x=t. 若0<t<3，当x=t时函数取最小值， ∴t2-2t2+3=-2，解得t=（负值已舍去）； 若t≥3，当x=3时函数取最小值， ∴9-6t+3=-2，解得t=（不符合题意，舍去）. 综上所述，t的值为； （3）解：∵A（m-2，a），C（m，a）的纵坐标相等， ∴两点关于对称轴对称， ∴，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧. ∵t>0， ∴m-1>0， 解得m>1. 在y=x2-2tx+3中，令x=0得y=3， ∴抛物线y=x3-2tx+3 与y轴交点为（0，3）， ∴（0，3）关于对称轴x=m-1的对称点为（2m-2，3）. ∵b<3， ∴4<2m-2， 解得m>3. ①当B（4，b）在对称轴左侧时， ∵a<b， ∴4<m-2， 解得m>6， 此时m满足的条件为m>6； ②当B（4，b）在对称轴右侧时， ∵a<b， ∴B（4，b）到对称轴直线x=m-1的距离大于A（m-2，a）到对称轴直线x=m-1的距离， ∴4-（m-1）＞m-1-（m-2） ∴m<4， 此时m满足的条件是3<m<4. 综上所述，m的取值范围为3<m<4或m>6. 21．【答案】（1）解：根据题意设y关于x的函数表达式为： ， 把（0，2）代入解析式得， ， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为：； （2）解：该生在此项考试中得不到满分，理由： 当y＝0，则，， 解得：x1＝12，x2＝﹣1（舍去）， ∵12＜12.4， ∴该生在此项考试中得不到满分． 22．【答案】（1）解：设y与x满足的一次函数数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（1.35），（3，45）分别代入得：， 解得：， ∴y与x的函数关系式为y＝5x+30； （2）解：根据题意得：（130-x-60-4）（5x+30）＝6235， 整理得：x2-60x+851＝0， 解得：x＝23或x＝37（舍）， ∴在这30天内，第23天去掉捐款后的利润是6235元； （3）解：由题意得： W＝（130-x-60-4）（5x+30 ＝-5x2+300x+1980 ＝-5（x-30）2+6480， ∵a＝-5＜0， ∴当x＝30时，W有最大值，最大值为6480元． ∴W与x之间的函数关系式是W＝-5（x-30）2+6480，第30天的利润最大，最大利润是6480元． 学科网（北京）股份有限公司 $$