第二十二章 二次函数 暑假衔接练习-2025-2026学年九年级上册数学人教版

第二十二章 二次函数 暑假衔接练习 一、填空题 1．已知一次函数：，二次函数：，当时，恒成立，则的取值范围是　 　． 2．点P1（﹣2，yl），P2（0，y2），P3（1，y3）均在二次函数y＝﹣x2﹣2x+c 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是　 　. 3．如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为 ，则图中CD的长为　 　. 4．定义：若点A在某一个函数图象上，且点A的横纵坐标相等，称点A为这个函数的“美丽点”．若关于x的二次函数，当时有两个“美丽点”，则t的取值范围为　 　． 5．已知，点和点在二次函数的图象上，若点是该二次函数图象上任意一点，且满足． （1）用含a的代数式表示b为　 　； （2）mn的最大值为　 　． 6．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中： ①ac＜0； ②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3； ③a+b+c＞0； ④当x＞1时，y随着x的增大而增大． 正确的说法有　 　．（请写出所有正确的序号） 二、单选题 7．二次函数的图象（1≤x≤3）如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值y的取值范围是（　　） A．y≥1 B．1≤y≤3 C． D．0≤y≤3 8． 若 为二次函数 图象上的三点， 则 ， 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 9．下列关于二次函数（为常数）的结论：①该函数的图象可由函数的图象平移得到；②该函数的图象一定经过点；③该函数的最小值有可能是；④该函数的图象的顶点在函数的图象上．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．把抛物线 平移得到抛物线 ，是怎样平移得到的（　　） A．向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 B．向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度 11．二次函数 （ 是常数， ）的自变量 与函数值 的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … … 且当 时，与其对应的函数值 .有下列结论：① ；② 和3是关于 的方程 的两个根；③ .其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 12．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是（　　） A． B． C． D． 13．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 14．如图是二次函数 (a，b，c是常数，a≠0)图象的一部分，与x轴的交点A在点(2 ，0)和(3 ，0)之间，对称轴是x=1.对于下列结论：① ab＜0；② 2a+b=0；③ 3a+c＞0；④a+b≥m(am+b)(m为实数)；⑤ 当－1＜x＜3时，y＞0. 其中正确结论的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 三、解答题 15． 某商店十月份销售一种成本价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天的销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函致，其售价，销售量的两组对应值如下表： 售价x（元/件） 55 65 销售量y（件/天） 90 70 （1）求销售量y与售价x之间的函数关系式； （2）十月份销售该商品时，售价定为多少元，每天才能获取最大利润？最大销售利润是多少？ 16．如图，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y(cm2)． (1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)求△PBQ的面积的最大值． 17．足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （3）已知点为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点和），求的取值范围． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，且，二次函数的图象经过点，． （1）求二次函数的表达式． （2）将该抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上，求与的关系． 答案解析部分 1．【答案】且 【解析】【解答】解：由得： 整理，得， 解得，， 由题意，， 当时，一次函数y随x的增大而增大，二次函数图象开口向上， 若时，恒成立， 则， 解得，即； 当时，一次函数y随x的增大而减小，二次函数图象开口向下， 若时，恒成立， 则， 解得，即， 综上，满足条件的a的取值范围为且， 故答案为：且． 【分析】由题意，先将y1、y2联立方程组求得两个函数的交点横坐标为，，然后分和两种情况，根据一次函数和二次函数的性质即可求解． 2．【答案】yl＝y2＞y3 【解析】【解答】解：二次函数y＝﹣x2﹣2x+c 的二次项系数a＝﹣1， ∴函数图象开口向下 又∵对称轴为x＝﹣1，P1（﹣2，y1），P2（0，y2），P3（1，y3） ∴P1（﹣2，y1），P2（0，y2）为对称点，x＞-1时，y随x增大而减少， ∴y2＞y3 ∴y1＝y2＞y3 故答案为：y1＝y2＞y3. 【分析】先根据二次项系数为负，得出函数图象开口向下；再求出其对称轴，根据横坐标离对称轴的远近即可作出判断. 3．【答案】 【解析】【解答】解：∵抛物线的解析式为 ， ∴对称轴为y轴， 当x=0时，y= ， 当y=0时， =0， 解得：x1=1，x2=-1， ∴A（-1，0），B（1，0），D（0， ）， ∴OA=OB=1，OD= ， ∵AB为直径，y轴为对称轴， ∴原点O为圆心， ∴OC=OA=1， ∴CD=OC+OD=1+ = . 故答案为： 【分析】根据二次函数的解析式可知对称轴为y轴，分别令x=0，y=0，可得出A、B、D的坐标，可得OD、OA、OB的长，根据AB为直径，可求出OC的长，进而可求出CD的长， 4．【答案】 5．【答案】； 6．【答案】①②④ 【解析】【解答】解：①∵开口向上， ∴a＞0， ∵与y轴交点在负半轴， 故c＜0， 即ac＜0； ②∵抛物线与x轴的交点横坐标分别是﹣1，3， ∴方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3； ③当x=1时，y＜0， ∴a+b+c＜0； ④对称轴是x=1， ∴x＞1时，y随着x的增大而增大， 故正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【分析】①根据图象开口向上得到a＞0；由与y轴交点在负半轴得到c＜0，即ac＜0； ②由抛物线与x轴的交点横坐标分别是﹣1，3，可以得到方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3； ③当x=1时，y＜0，可以得到a+b+c＜0； ④由于对称轴是x=1，所以得到x＞1时，y随着x的增大而增大． 7．【答案】C 【解析】【解答】解：∵函数y的最小值是 ，最大值是3， ∴函数y的取值范围是 ≤y≤3. 故答案为：C. 【分析】函数y的最小值从图象的最低点可以看出来，是顶点坐标的纵坐标，最大值从最高点可以看出来，即当x＝3时，y＝3，从而得到y的取值范围． 8．【答案】C 【解析】【解答】解： 二次函数 开口向下，且对称轴为， 当x=-2时，y2取最大值； 当x<-2时，y随x的增大而增大，x>-2时y随x的增大而减少， 而点A和点C到对称轴的距离分别为2和3，故y3<y1， 故 故答案为：A. 【分析】结合二次函数的开口方向和对称轴知y2为最大值，由A、C到对称轴的距离判断y3<y1，即可得它们的大小关系. 9．【答案】B 10．【答案】A 【解析】【解答】解：抛物线 化为y＝-2（x−1）2+3， 故顶点为（1，3） ∵（1，3）向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到（3，7） ∴抛物线 向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线 故答案为：A. 【分析】先把抛物线 化为顶点式的形式，求出顶点，再根据函数图象平移的法则求出向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到 . 11．【答案】C 【解析】【解答】解：∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2 ∴抛物线的对称轴是：x=- = ； ∴a、b异号，且b=-a； ∵当x=0时y=c=-2 ∴c ∴abc 0，故①正确； ∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t ∴ 和3是关于 的方程 的两个根；故②正确； ∵b=-a，c=-2 ∴二次函数解析式： ∵当 时，与其对应的函数值 . ∴ ，∴a ； ∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n， ∴m=n=2a-2， ∴m+n=4a-4 ；故③错误 故答案为：C. 【分析】首先确定对称轴，然后根据二次函数的图象和性质逐一进行分析即可求解. 12．【答案】A 【解析】【解答】解：A、由抛物线图象可知： 则，∴一次函数经过一二三象限，两图象一致，符合题意； B、由抛物线图象可知： 则，∴一次函数经过一二四象限，两图象不一致，不符合题意； C、由抛物线图象可知： 则，∴一次函数经过一二三象限，两图象不一致，不符合题意； D、由抛物线图象可知： 则，∴一次函数经过一二三象限，两图象不一致，不符合题意； 故答案为：A. 【分析】根据一次函数和二次函数图象与系数的关系，逐项分析即可. 13．【答案】B 14．【答案】B 【解析】【解答】①∵对称轴在y轴右侧， ∴a、b异号， ∴ab＜0，故正确； ②∵对称轴x=- =1， ∴2a+b=0；故正确； ③∵2a+b=0， ∴b=-2a， ∵当x=-1时，y=a-b+c＜0， ∴a-（-2a）+c=3a+c＜0，故错误； ④根据图示知，当m=1时，有最大值； 当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c， 所以a+b≥m（am+b）（m为实数）. 故正确. ⑤如图，当-1＜x＜3时，y不只是大于0. 故错误. 故答案为：B. 【分析】抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴右侧，可得a、b异号，可得ab＜0.故①正确；由对称轴x=- =1，即2a+b=0，可判断②正确；根据图象可知当x=-1时，y=a-b+c＜0，结合对称轴为1，可得b=-2a，即得3a+c＜0，故③错误；根据图示知，当m=1时，有最大值，可得am2+bm+c≤a+b+c，即得a+b≥m（am+b），故④正确；根据图象可知当-1＜x＜3时，y也可能小于0，故⑤错误. 15．【答案】（1）解：设销售量y与售价x之间的函数关系式为， ，解得， ∴ （2）解：设利润为w 当时，利润最大为1250元. 【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解。一次函数过，，代入即可确定函数关系式； （2）基本关系式：总利润=每件的利润乘以数量。先求出总利润与的函数关系式，再依据函数的增减性可确定售价定为多少元获得最大利润； 16．【答案】解：(1)∵S△PBQ＝PB·BQ，PB＝AB－AP＝18－2x，BQ＝x， ∴y＝(18－2x)x，即y＝－x2＋9x(0<x≤4)； (2)由(1)知，y＝－x2＋9x，∴y＝－＋， ∵当0<x≤时，y随x的增大而增大， 而0<x≤4，∴当x＝4时，y最大值＝20， 即△PBQ的最大面积是20 cm2. 【解析】【分析】考查二次函数的性质。 17．【答案】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线， ∵点在抛物线上， ∴，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：球不能射进球门， 当时，， 球不能射进球门． （3）解：设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：（舍去）或， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴的取值范围为． 【解析】【分析】（1）依题意，先得到抛物线的顶点坐标为，设设抛物线，把点代入，即可作答． （2）依题意，当时，，即可作答． （3）依题意，设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，再把点和点分别代入，算出的值，即可作答．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 18．【答案】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 将，代入，得， 解得：， ∴二次函数的表达式是； （2）解：∵抛物线，抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后的抛物线为， ∴平移后的抛物线顶点坐标是， 设直线的函数表达式， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的函数表达式是， ∵顶点落在线段上， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）先求出点A的坐标，然后再利用待定系数法进行求解； （2）将抛物线解析式化为顶点式，根据二次函数平移的规律：上加下减常数项，左加右减自变量，求出平移后的抛物线解析式，从而得其顶点坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数表达式，将顶点坐标代入计算即可. （1）解：∵，， ∴，， ∴． ∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式是； （2）解：抛物线可化为． ∵抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上， ∴平移后得到抛物线，其顶点坐标是． 设直线的函数表达式， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的函数表达式是． ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$