精品解析：江苏省南京市协同体九校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷

2024-2025学年高二下学期南京协同体九校联考期中数学试卷 一、单项选择题： 1. 已知 ，且，则（ ） A. -5 B. C. 4 D. 2. 已知，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. π D. 3. 已知，则（ ） A 11 B. C. 45 D. 3 4. 乘积展开后共有（ ）项. A. 10 B. 24 C. 30 D. 45 5. 已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，若，，，四点共面，则（ ） A. 3 B. C. 7 D. 7. 甲乙丙等人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有（ ） A. 24种 B. 16种 C. 12种 D. 8种 8. 正方体棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 下列结论正确的是（ ） A. 已知向量，则向量在上的投影向量为 B 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 若是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量，则直线 10. 已知，则下列描述正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 4个不同的小球，放入个不同的盒中，共有种不同的放法 B. 4个不同的小球，放入个不同的盒中，不能有空盒，共有种不同的放法 C. 6个相同的小球，放入个不同的盒中，不能有空盒，共有种不同的放法 D. 6个相同的小球，放入个不同的盒中，共有种不同的放法 三、填空题 12. 从0，1，2，3，4这5个数中任选3个数，组成没有重复数字三位数的个数为______． 13. 的展开式中含项的系数为______. 14. 如图，在平行六面体中，为的中点，，交平面为， 则的值为________. 四、解答题 15. 如图，在三棱锥中，点为的中点，，设 （1）试用向量表示向量; （2）若，且， 求证: 平面. 16. 在二项式的展开式中. （1）若展开式后三项的二项式系数的和等于，求展开式中二项式系数最大的项； （2）若为满足的整数，且展开式中有常数项，试求的值和常数项. 17. 如图，在直三棱柱中，分别为中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 直四棱柱中，底面为平行四边形，若分别为的中点. （1）证明： 平面； （2）若，且平面与平面所成角的余弦值为，求. 19. 我们曾用“算两次”的方法发现了组合恒等式，例如， ，请继续使用“算两次”的方法完成下面的探究. （1）计算: 并与比较，你有什么发现? （2）写出（1）的一般性结论并证明； （3）证明: 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二下学期南京协同体九校联考期中数学试卷 一、单项选择题： 1. 已知 ，且，则（ ） A. -5 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量平行得对应坐标成比例可列方程求解. 【详解】因为 ，且， 所以，解得. 故选：D. 2. 已知，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. π D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量数量积的坐标表示可得. 【详解】设向量与的夹角为， 则， 因，故， 故选：B 3. 已知，则（ ） A. 11 B. C. 45 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先根据空间向量的线性运算得出，再应用数量积公式计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以 故选： 4. 乘积展开后共有（ ）项. A. 10 B. 24 C. 30 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由于每一项互不相同，展开后共有项. 故选：D. 5. 已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量的定义可求得结果. 【详解】向量在坐标平面上的投影向量是. 故选：C. 6. 已知，，，若，，，四点共面，则（ ） A. 3 B. C. 7 D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，，共面，设，根据空间向量坐标运算得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，，四点共面， 所以，，共面，设， 因为，，， 所以， 则，解得． 故选：C. 7. 甲乙丙等人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有（ ） A. 24种 B. 16种 C. 12种 D. 8种 【答案】B 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】因为甲一定在乙丙之间，否则将在两端，先排乙丙有种排法， 其次选一人在乙丙中间有种排法， 然后乙丙中间排序有种排法， 最后另一人选在排头排尾有种排法， 共种排法. 故选：B. 8. 正方体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系结合空间向量及向量模长公式计算求解得出球的方程，再应用三角换元结合值域计算求解. 【详解】以为原点建立空间直角坐标系，则， 点，， 因为，所以， 化简得：，表示以为球心，半径为的球. 设， ，， 所以的取值范围为， 向量 ，故的范围为. 故选：C. 二、多项选择题 9. 下列结论正确的是（ ） A. 已知向量，则向量在上的投影向量为 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 若是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量，则直线 【答案】BC 【解析】 【分析】应用投影向量定义计算求解判断A，应用系数间关系判断四点共面判断B，应用基底定义判断C，根据空间向量证明线面关系判断D. 【详解】对于A，向量在上的投影向量，故A不正确； 对于B，，则四点共面，故B正确； 对于C，是空间的一组基底，不共面，而，则也不共面，也是空间的一组基底，故C正确； 对于D，，因而或在平面内，故D不正确. 故选：BC. 10. 已知，则下列描述正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用赋值法计算判断A，C，由通项公式计算判断B，应用导函数结合赋值法判断D. 【详解】对于A，将代入，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，将代入，， ，故C不正确； 对于D，对求导，， 将代入得到，故D正确. 故选：ABD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 4个不同的小球，放入个不同的盒中，共有种不同的放法 B. 4个不同的小球，放入个不同的盒中，不能有空盒，共有种不同的放法 C. 6个相同的小球，放入个不同的盒中，不能有空盒，共有种不同的放法 D. 6个相同的小球，放入个不同的盒中，共有种不同的放法 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由分步乘法原理验算即可；对于B，先分组再排列即可验算；对于C，由分类加法原理验算即可；对于D，由隔板法即可验算. 【详解】对于A，共有种不同的放法，故A正确； 对于B，先确定两个小球在同一个盒子，有种排法，再进行排列，有种排法，共有种不同的放法，故B不正确； 对于C，共有共种分组方式，共有种不同的放法，故C正确； 对于D，相当于找到方程的非负整数解的数目，令， 则问题相当于找到方程的正整数解的数目， 相当于在9个球中间产生的8个空格插入两个隔板，故所求为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 从0，1，2，3，4这5个数中任选3个数，组成没有重复数字的三位数的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合分步计数原理，先安首位数字，再安第二、三位的数字，即可求解. 【详解】由题意，从0，1，2，3，4这5个数中任选3个数，组成没有重复数字的三位数的个数， 根据分步计数原理，先安首位数字，再安第二、三位的数字，可得. 故答案为：. 13. 的展开式中含项的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出的展开式的通项公式，即可求出展开式中含项，得出系数. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式中含的项为， 故展开式中含项的系数为. 故答案为：. 14. 如图，在平行六面体中，为的中点，，交平面为， 则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，结合题目条件，得到，由四点共面得到方程，求出答案. 【详解】设， 其中，为的中点，， 故, 所以，， 因为四点共面，所以，解得 故答案为： 四、解答题 15. 如图，在三棱锥中，点为的中点，，设 （1）试用向量表示向量; （2）若，且， 求证: 平面. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据图形的几何性质分解向量即可； （2）只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证. 【小问1详解】 为中点， ， ， ； 【小问2详解】 且， 为等边三角形且， 平面， 平面， 平面， ， ， 为重心， 同理可证， 平面， 平面. 16. 在二项式的展开式中. （1）若展开式后三项二项式系数的和等于，求展开式中二项式系数最大的项； （2）若为满足的整数，且展开式中有常数项，试求的值和常数项. 【答案】（1）， （2），84 【解析】 【分析】（1）根据后三项的二项式系数的和求出，再根据二项式系数最大结合通项公式求解即可； （2）根据通项公式结合常数项得出及的范围计算求解. 【小问1详解】 由， 得，显然. 二项式系数中最大的项是第5项与第6项， 其中； 【小问2详解】 依题意，展开式中有常数项，则且， 则，常数项为 17. 如图，在直三棱柱中，分别为的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可； （2）利用空间向量计算点面距离即可； （3）利用空间向量计算面面夹角即可. 【小问1详解】 由题意可知两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则， 即， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为； 【小问2详解】 由上易知， 设面的一个法向量为，则有， 取，即， 所以点到平面的距离为； 【小问3详解】 由上可知， 设面的一个法向量为，则有， 取，即， 设平面与平面夹角， 则， 即平面与平面夹角的余弦值. 18. 直四棱柱中，底面为平行四边形，若分别为的中点. （1）证明： 平面； （2）若，且平面与平面所成角的余弦值为，求. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，易证四边形为平行四边形，得，根据线面平行的判定定理得证； （2）由题易得平行四边形是菱形，连接交于点，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出平面和平面的一个法向量，利用向量夹角公式列式求出，得解. 【小问1详解】 取中点，连接 为中点， ，即四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面. 【小问2详解】 在直四棱柱中，平面，则， 又，则，所以平行四边形是菱形， 连接交于点，由，则，， 以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，， 设平面的一个法向量为 则，令，得， ， 又 设平面的一个法向量为， 则，解得， ， 解得，故. 19. 我们曾用“算两次”的方法发现了组合恒等式，例如， ，请继续使用“算两次”的方法完成下面的探究. （1）计算: 并与比较，你有什么发现? （2）写出（1）的一般性结论并证明； （3）证明: 【答案】（1）答案见解析 （2），证明见解析； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据组合数定义进行计算，并比较即可得出结论； （2）根据从特殊到一般的思想可得，再结合二项式定理即可得证； （2），比较等式左右两侧的系数即可得证. 【小问1详解】 ，， 从而，； 【小问2详解】 ，证明如下： ，等式左侧的系数为， 等式右侧的系数为， 而等式恒成立可得左右的的系数相等，即； 【小问3详解】 ，等式左侧的系数为， 等式右侧的系数为 ， 而等式恒成立可得左右的的系数相等，即得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$