第七单元 三角形、平行四边形和梯形 暑假专项提升（讲义）-2024-2025学年四年级下册数学苏教版

第七单元 三角形、平行四边形和梯形 暑假专项提升讲义 思维导图 考点梳理 一、三角形 1.定义：由三条线段围成的封闭图形（相邻线段端点相连）。 （1）反例：三条线段未首尾相连的图形不是三角形。 （2）特征：具有稳定性（如自行车三角架）。 2.三角形的高： （1）从顶点向对边作垂直线段，对边称为底。 （2）画法步骤： ①确定底边； ②找底边对应的顶点； ③过顶点向底边作垂线（直角符号）。 ④例如： （3）要点： ①一个三角形有3组底和高（每条边都可作底）； ②钝角三角形的高可能在外部（需延长底边）。 3.三角形分类： 分类依据 类型 特征 示例 按角分 锐角三角形 三个角都是锐角（<90°） 60°、60°、60° 直角三角形 有一个角是直角（=90°） 30°、60°、90° 钝角三角形 有一个角是钝角（>90°且<180°） 20°、30°、130° 按边分 不等边三角形 三条边长度都不相等 边长3cm、4cm、5cm 等腰三角形 两条边相等（两腰相等，底角相等） 腰长5cm，底边4cm 等边三角形 三条边都相等（所有角=60°） 边长均为6cm 关系：等边三角形是特殊的等腰三角形。 4.核心性质： （1）内角和定理：三角形内角和 = 180°。 ①验证方法：剪下三个角拼成平角（操作即可，不要求证明）。 （3）三边关系（重点）：任意两边之和 > 第三边（必须同时满足）。 ①应用：判断三条线段能否围成三角形： 例1：边长3cm、4cm、6cm → 3+4>6、3+6>4、4+6>3 → 能围成。 例2：边长2cm、3cm、6cm → 2+3<6 → 不能围成。 ②快速判断：最长边 < 另两边之和。 二、平行四边形 1.定义：两组对边分别平行的四边形。 2.特征： （1）对边平行且相等； （2）对角相等； （3）易变形性：拉动会变形（应用于伸缩门、升降机）。 3.作高：从一条边上任一点向对边作垂线（高有无数条）。 三、梯形 1.定义：只有一组对边平行的四边形。 （1）关键：必须且仅有“一组对边平行”。 2.各部分名称： （1）平行的边：上底、下底； （2）不平行的边：腰； （3）高：两底之间的垂直线段（无数条）。 3.分类： （1）直角梯形：有一个角是直角（腰与底垂直）； （2）等腰梯形：两条腰相等（轴对称图形）。 四、易错点与注意事项 类型 典型错误 正确理解 三边关系 认为3cm、3cm、6cm能围成三角形（3+3=6，需严格大于） 任意两边和>第三边 画高 钝角三角形未延长底边作高；梯形高未垂直两底 延长底边再作垂线 图形关系 混淆梯形与平行四边形（梯形仅一组对边平行） 平行四边形两组对边平行 第三边范围 已知两边5cm、8cm，第三边范围是？→ 3cm < 第三边 < 13cm（8-5<第三边<8+5） 两边差<第三边<两边和 五、知识结构化 图形 关键特征 与其他图形关系 三角形 3边、3角；内角和180°；稳定性强 多边形的基础 平行四边形 两组对边平行且相等；对角相等；易变形 长方形、正方形属于其特例 梯形 仅一组对边平行；可有直角或等腰 区别于平行四边形 例题讲解 一、三角形的特点 【例题1】用下面的三根小棒不能围成三角形的是(　　)。(单位：分米) A．2、4、6 B．2、4、5 C．4、4、5 D．4、4、4 【答案】A 【详解】【解答】解：A项：2＋4=6（分米），6分米=6分米，不能围成三角形； B项：2＋4=6（厘米）＞5厘米，能围成三角形； C项：4＋4=8（厘米）＞5厘米，能围成三角形； D项：4＋4=8（厘米）＞4厘米，能围成三角形。 故答案为：A。 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，据此判断。 【例题2】下图内有5根小棒，选择其中的3根搭成等腰三角形，一共有　 　种不同的搭法。 【答案】2 【详解】【解答】解：①先选择两条长度相等的2根小棒，4厘米和4厘米；根据三角形三边的关系可知，4＋4＞第三边，4－4＜第三边，即8＞第三边＞0，所以第三边可以选择3厘米和7厘米的小棒； ②可以选择3厘米、4厘米和4厘米的3根小棒，也可以选择7厘米、4厘米和4厘米的3根小棒，一共有2种不同的搭法。 故答案为：2。 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；两腰相等的三角形是等腰三角形；据此判断。 【例题3】用两根长分别是8cm、15cm的小棒和另一个小棒围成一个三角形(三条边的长都是整厘米数)，另一根小棒最长是　 　cm，最短是　 　cm。 【答案】22；8 【详解】【解答】解：8+15－1=22（厘米），15－8+1=8（厘米） 故答案为：22；8。 【分析】三角形三边的特点：同一个三角形中，任意两边之和大于第三边。实际应用中我们只需要找到最短两条边的和看是否大于第三条边即可判断能否围成三角形；因此，当另一根小棒最长时，那么已知的两根小棒就是最短，它们的和要大于另一根小棒，但另一根小棒要最长，所以只需要比它们的和小1即可；同理，当另一根小棒最短时，最短的小棒长度与已知中短的小棒的和要小于已知中长的小棒，因此，已知中长的小棒－已知中短的小棒+1=最短的小棒。 二、三角形高的特点及画法 【例题1】一个三角形最多可以画（　　）条高。 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】C 【详解】【解答】解：一个三角形最多可以画3条高。 故答案为：C。 【分析】每个三角形都有3条高。 【例题2】直角三角形只能画出一条高。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】解：直角三角形能画出三条高，所以原题干说法错误。 故答案为：错误。 【分析】过三角形一个顶点作对边的垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，垂足所在的边叫做底； 直角三角形的两条直角边互为底和高，第三条高过直角顶点作对边的垂线段，所以直角三角形能画出三条高。 【例题3】画出图形指定底边上的高。 【答案】解： 【详解】【分析】三角形的高：过三角形一个顶点作对边的垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，垂足所在的边叫做底。 三、三角形的稳定性及应用 【例题1】衣架设计成下图这样的形状是应用了（　　）的原理。 A．三角形容易变形 B．三角形具有稳定性 C．三角形有三条边 D．三角形有三个顶点 【答案】B 【详解】【解答】解：衣架设计成下图这样的形状是应用了三角形具有稳定性的原理，使衣架更加牢固。 故答案为：B。 【分析】三角形具有稳定性，不易变形，经常应用在自行车的三角形车架、三角形房架、起重机的三角形吊臂车架、衣架等，都是利用了三角形的稳定性，起到加固作用。 【例题2】学校劳动实践基地里有一块菜地种上了一排丝瓜，老师准备为瓜苗搭建攀爬的稳固竹架，下面有四种搭建方案，你会向老师推荐方案（　　）。 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】【解答】解：要为瓜苗搭建攀爬的稳固竹架，就要搭建成三角形的框架，因为三角形具有稳定性。 故答案为：D。 【分析】四边形具有不稳定、易变性的特性；三角形具有稳定性，据此选择。 四、三角形的分类 【例题1】下列三角形中，是钝角三角形的是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】【解答】解：第一个图是直角三角形，第二个图是钝角三角形，第三个第四个图是锐角三角形。 故答案为：B。 【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 【例题2】一个三角形中有两个锐角，那么第三个角（　　）。 A．也是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．不能确定 【答案】D 【详解】【解答】解：一个三角形中有两个锐角，但不能确定第三个角的类型。 故答案为：D。 【分析】三角形中，至少有两个锐角，所以第三个角不能确定。 【例题3】一个三角形有三个内角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形。( ) 【答案】正确 【详解】【解答】解：一个三角形有三个内角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形。原题说法正确。 故答案为：正确。 【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。 【例题4】三角形按角分，可分为　 　三角形，　 　三角形和　 　三角形。 【答案】锐角；直角；钝角 【详解】【解答】三角形按角分，可分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。 故答案为：锐角、直角、钝角。 【分析】有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。 【例题5】下图中有　 　个锐角三角形，　 　个直角三角形，　 　个钝角三角形。 【答案】1；2；1 【详解】【解答】解：图中有1个锐角三角形，2个直角三角形，1个钝角三角形。 故答案为：1；2；1。 【分析】锐角三角形3个角都是锐角；直角三角形有1个角是直角；钝角三角形有1个角是钝角。 五、等腰三角形认识及特征 【例题1】有以下长度的几根小棒：5cm，5cm，8cm，8cm，10cm，一共可以搭配成(　　)种不同的等腰三角形。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】【解答】解：5cm，5cm，8cm；5cm，8cm，8cm；8cm，8cm，10cm；一共可以搭配成3种不同的等腰三角形。 故答案为：B。 【分析】有两条边相等的三角形是等腰三角形；判断能不能围成三角形的方法：三角形两条短边之和必须大于第三边。 【例题2】一个等腰三角形的顶角是80°，则它的一个底角是(　　)。 A．50° B．80° C．100° D．无法确定 【答案】A 【详解】【解答】解：（180°-80°）÷2 =100°÷2 =50° 它的一个底角是50° 故答案为：A。 【分析】等腰三角形底角的度数=（180°-顶角的度数）÷2。 【例题3】等腰三角形一定是直角三角形。( ) 【答案】错误 【详解】【解答】解：等腰三角形不一定是直角三角形。原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】等腰三角形是有两条边相等，直角三角形是有一个角是直角，他们的关注点不一样。 【例题4】小丽在参观一座等腰三角形形状的建筑时，测量到了一个底角是66°，这座建筑的顶角是　 　度。如果建筑的周长是28米，底边是8米，那么每条腰长是　 　米。 【答案】48；10 【详解】【解答】解：180°-66°×2=180°-132°=48°，这座建筑的顶角是48°； （28-8）÷2=20÷2=10（米），每条腰长是10米。 故答案为：48；10。 【分析】等腰三角形顶角的度数=三角形内角和-底角的度数×2；等腰三角形的周长-底边长=2个腰长，2个腰长÷2=一条腰长。 六、等边三角形认识及特征 【例题1】一个等边三角形的周长是，其中一条边是（　　）。 A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【详解】【解答】解：42÷3=14（厘米） 其中的一条边是14厘米。 故答案为：C。 【分析】等边三角形的周长÷3=等边三角形的边长。 【例题2】一个等边三角形的各个角的度数都是（　　）。 A．60° B．45° C．30 D．90° 【答案】A 【详解】【解答】解：180°÷3=60°，所以等边三角形的各个角的度数都是60°。 故答案为：A。 【分析】根据等边三角形三个内角相等，且三角形的内角和是180°，由此解答。 【例题3】等边三角形既是等腰三角形，又是锐角三角形。(　　) 【答案】正确 【详解】【解答】解：180°÷3=60°，等边三角形既是等腰三角形，又是锐角三角形，原题干说法正确。 故答案为：正确。 【分析】等边三角形三个内角都是60°，都是锐角，所以等边三角形既是等腰三角形，又是锐角三角形。 【例题4】我国的空间引力波探测“天琴计划”，需要三颗卫星以极高的精度组成周长约为51万千米的等边三角形。组成的这个等边三角形的边长约为　 　万千米，它的每个内角是　 　°。 【答案】17；60 【详解】【解答】解：51÷3=17（万千米），所以组成的这个等边三角形的边长约为17万千米；180°÷3=60°，所以它的每个内角是60°。 故答案为：17；60。 【分析】等边三角形的每条边的长度相等，每个内角相等。 七、三角形的内角和 【例题1】下面每组中的三个角可能在同一个三角形内的是(　　)。 A．55°、 78°、 102° B．80°、 15°、 60° C．30°、 50°、 100° D．15°、 30°、 45° 【答案】C 【详解】【解答】解：A项：55＋78＋102=235（度），不可能在同一个三角形内； B项：80＋15＋60=155（度），不可能在同一个三角形内； C项：30＋50＋100=180（度），可能在同一个三角形内； D项：15＋30＋45=90（度），不可能在同一个三角形内。 故答案为：C。 【分析】只要三个角的度数相加等于180°的就有可能在同一个三角形内。 【例题2】一个三角形三个内角的度数依次相差30°，则这个三角形是一个(　　)三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 【答案】B 【详解】【解答】解：90°+60°+30°=180°，因此这个三角形是直角三角形。 故答案为：B。 【分析】三个内角依次相差30°，说明中间的角是三个角度数的平均数，也就是60°，由此确定最大角的度数并判断三角形的类型。 【例题3】锐角三角形的两个锐角之和　 　90°，钝角三角形的两个锐角之和　 　90° 。 【答案】大于；小于 【详解】【解答】解：锐角三角形的两个锐角之和大于90°，钝角三角形的两个锐角之和小于90°。 故答案为：大于；小于。 【分析】锐角三角形最大角是锐角，那么另外两个锐角的度数和一定大于90度。钝角三角形最大角是钝角，钝角三角形两个锐角的度数和一定小于90度。 【例题4】在一个三角形ABC中，∠A=40°，∠B=2∠A，那么∠C多少度？ 【答案】解：∠B=2∠A =2×40° =80° ∠C=180°-40°-80° =140°-80° =60° 答：∠C为60°。 【详解】【分析】先用40°×2求出∠B的度数，三角形内角和为180°，那么C=180°-∠A-∠B，据此列式解答即可。 八、平行四边形的特征及性质 【例题1】电动伸缩门是利用四边形具有（　　）的特点设计的。 A．易变形 B．稳定性 C．伸缩性 D．固定性 【答案】A 【详解】【解答】解：电动伸缩门是利用四边形具有易变性的特点设计的。 故答案为：A。 【分析】平行四边形容易变形，所以电动伸缩门是利用这一特性进行设计。 【例题2】有一组对边平行的四边形是平行四边形。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】解：有两组对边平行的四边形是平行四边形。原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；只有一组对边平行的四边形是梯形。 【例题3】在学过的四边形中，两组对边分别平行的四边形有　 　、　 　、　 　。 【答案】长方形；正方形；平行四边形 【详解】【解答】 由四边形的性质可知，满足两组对边分别平行的四边形包括平行四边形、长方形和正方形。这是因为这三种四边形的对边都不仅平行，而且在长方形和正方形中，对边还相等。 故答案为：长方形；正方形；平行四边形。 【分析】 根据四边形的定义和特征，特别是平行四边形的性质，即两组对边分别平行，来分析学过的四边形中，哪些满足这一条件。 【例题4】按要求在下图中各画一条线段，将平行四边形分成两个图形。 两个平行四边形 一个三角形和一个梯形 【答案】解： 【详解】【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形；只有一组对边平行的四边形是梯形，由3条线段围成的封闭图形是三角形，据此分一分。 九、平行四边形高的特点及画法 【例题1】把下面的平行四边形补充完整，并画出平行四边形的高。 【答案】解： 【详解】【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形；平行四边形作高的方法：从底边对边的一个顶点向底边作一条垂线，这点和垂足之间的距离就是平行四边形的高。 十、梯形的特征及分类 【例题1】下图被遮住的图形可能是(　　)。 ​​ A．锐角三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．直角三角形 【答案】C 【详解】【解答】解：因为露出来的角是钝角，说明不可能是锐角三角形和直角三角形， 左右两条边不可能平行，也不可能是平行四边形， 被遮住的图形可能是梯形。 故答案为：C。 【分析】三角形按角分：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形；一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。 【例题2】等腰梯形的（　　）相等。 A．上底和下底 B．两条腰 C．四个角 D．对角 【答案】B 【详解】【解答】解：等腰梯形的两条腰相等。 故答案为：B。 【分析】根据等腰梯形的特征作答即可。 【例题3】在下面的梯形中画两条线段，把梯形分割成一个平行四边形、一个三角形和一个梯形。 【答案】解：（画法不唯一） 【详解】【分析】根据平行四边形、三角形和梯形的特征作答即可。 十一、梯形高的特点及画法 【例题1】画出下面梯形的高 【答案】解：如图所示： 【详解】【解答】根据分析，作图如下： 【分析】根据梯形的高的含义，在梯形上底上任取一点，过这一点向下底作垂线段即为梯形的高，这样的线段可以作无数条，据此作图。 考点练习 一、三角形的特点 1．一个边长为6厘米的正方形铁框，拆开后正好围成一个三角形(接头处忽略不计)。这个三角形三条边的长不可能是(　　)。 A．8厘米、8厘米、8厘米 B．5厘米、7厘米、12厘米 C．6厘米、8厘米、10厘米 D．5厘米、9厘米、10厘米 【答案】B 【详解】【解答】A选项：8+8+8=24，8+8＞8，可以围成三角形； B选项：5+7+12=24，5+7=12，不可以围成三角形； C选项：6+8+10=24，6+8＞10，可以围成三角形； D选项：5+9+10=24，5+9＞10，可以围成三角形； 故答案为：B。 【分析】 首先需确定铁丝总长度，然后逐一验证选项是否符合三角形三边关系定理（任意两边之和大于第三边）。 2．乐乐不小心把一块三角形的玻璃板打碎了，变成了如图所示的三块。要想买一块完全一样的玻璃板回来，带(　　)号碎片去就可以了。 A．① B．② C．③ D．无法确定 【答案】A 【详解】【解答】解：把①号碎片碎的两条边延长后就能得到完整的三角形。 故答案为：A。 【分析】三角形是三条线段首尾相连围成的封闭图形，已知三角形的两个角就能确定一个三角形的形状。 3．一个三角形有两条边都是4厘米，第三条边一定大于4厘米。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】因为4-4＜第三边＜4+4，即0＜第三边＜8，所以一个三角形有两条边都是4厘米，第三条边一定大于4厘米，原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边，据此进行解答即可。 4．任何一个三角形都有　 　条边，　 　个角和　 　个顶点。 【答案】3；3；3 【详解】【解答】解：任何一个三角形都有3条边，3个角和3个顶点。 故答案为：3；3；3。 【分析】三角形是三条线段首尾相连围成的封闭图形。三角形有3条边、3个角和3个顶点。 5．笑笑参加手工社团，需要把20厘米的吸管剪成三段，拼成一个三角形。笑笑可以怎么剪呢？请帮她列出两种剪法。 【答案】解：第三条边最长为：20÷2－1＝9（厘米） 剩余两边之和为：20－9＝11（厘米） ①如果剩下的两条边分别为5厘米、6厘米。 5＋6＝11（厘米），11＞9，可以构成三角形。 ②如果剩下的两条边分别为4厘米、7厘米。 4＋7＝11（厘米），11＞9， 可以构成三角形。 ③如果剩下的两条边分别为3厘米、8厘米。 3＋8＝11（厘米），11＞9，可以构成三角形。 答：笑笑可以剪出三条边分别为5厘米、6厘米、9厘米或4厘米、7厘米、9厘米或3厘米、8厘米、9厘米的三角形。 【详解】【分析】三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边。所以三角形中最长边就不能超过总长度的一半，即不能超过20÷2＝10厘米，则剩余两边之和为=20-9=11厘米，据此计算11=5＋6=4＋7=3＋8。 二、三角形高的特点及画法 1．下图中，三角形ABC中BC边上的高是（　　）。 A．AE B．CD C．BF D．AC 【答案】A 【详解】【解答】解：三角形ABC中BC边上的高是AE。 故答案为：A。 【分析】求BC边上的高，就是在BC或BC的延长线有一个直角，据此解答。 2．直角三角形有（　　）条高。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】【解答】直角三角形有3条高。 故答案为：C。 【分析】任意一个三角形都有3条高。 3．同一个三角形中的所有高都相等。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】解：同一个三角形中的所有高不一定相等。 故答案为：错误。 【分析】从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，垂线顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高，因为三个顶点到对边的距离不一定相等，所以同一个三角形中的所有高不一定相等。 4．三角形的底与它对应的高一定互相垂直。（　　） 【答案】正确 【详解】【解答】解：三角形的底与它对应的高一定互相垂直，原题干说法正确。 故答案为：正确。 【分析】从三角形的顶点向底边作一条垂线，这点和垂足之间的距离就是三角形的高，则三角形的底与它对应的高一定互相垂直。 5．画出下面三角形指定底边上的高。 【答案】解：。 【详解】【分析】作三角形底边上的高，就是过底边所对的顶点作底边的垂线，据此作答即可。 三、三角形的稳定性及应用 1．下面图形具有稳定性的是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】【解答】解：截止目前，我们学习的图形中，只有三角形具有稳定性； 故答案为：B。 【分析】三角形稳定性在生活中的运用有篮球架、 斜拉索桥、小别墅的屋顶、高压电线杆的支架、埃及金字塔、三角形吊臂等。 2．元元家的桌子松动了，用木条加固后，（　　）最稳固。 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】【解答】解：用木条加固后，第一个图最稳固。 故答案为：A。 【分析】三角形具有稳定性。 3．为了避免小敏长时间低头看书，妈妈给她买了阅读支架，让她拾头阅读，保护颈椎。如图，书本放在阅读支架上不晃动是运用了三角形具有　 　的特性。 【答案】稳定 【详解】【解答】解：书本放在阅读支架上不晃动是运用了三角形具有稳定的特性。 故答案为：稳定。 【分析】三角形稳定性在生活中的运用有篮球架、 斜拉索桥、小别墅的屋顶、高压电线杆的支架、埃及金字塔、三角形吊臂等。 四、三角形的分类 1．只有两个角是锐角的三角形一定不是（　　）三角形。 A．钝角 B．直角 C．锐角 D．等腰 【答案】C 【详解】【解答】解：锐角三角形的3个角都是锐角，只有两个角是锐角的三角形一定不是锐角三角形。 故答案为：C。 【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 2．将三角形按边的特点进行分类，下图正确的是（　　）。 A．​​ B．​​ C．​​ D．​​ 【答案】A 【详解】【解答】解：三角形按边分为等腰三角形和等边三角形，等边三角形又属于等腰三角形，所以是正确的。 故答案为：A。 【分析】有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等或三个角相等的三角形是等边三角形；三边都不相等的三角形是不等边三角形。 等腰三角形包括两边相等的三角形（等腰三角形）和三边相等的三角形（等边三角形）；他们是特殊和一般的关系：等腰三角形不一定是等边三角形，等边三角形一定是等腰三角形。 3．图中被遮住的三角形一定不是（　　）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【详解】【解答】解：露出的角小于60°，是锐角，一定不是等边三角形，可能是锐角三角形、直角三角形或者等腰三角形。 故答案为：D。 【分析】等腰三角形的两条腰的长度相等，两个底角的度数相等；三边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个角都是60°；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形，是直角三角形；据此判断。 4．钝角三角形中一定有两个锐角。（ ） 【答案】正确 【详解】【解答】钝角三角形中一定有两个锐角。说法正确。 故答案为：正确 【分析】钝角三角形中最大的那个角是钝角，那么剩下的两个角的和小于90°，那么这两个角一定都是锐角。 5．三角形至少有2个锐角，最多只有1个直角。（ ） 【答案】正确 【详解】【解答】解：三角形至少有2个锐角，最多只有1个直角，原题干说法正确。 故答案为：正确。 【分析】一个三角形中最多有1个直角、1个钝角、3个锐角，至少有2个锐角。 6．红领巾是　 　三角形，也是　 　三角形。 【答案】等腰；钝角 【详解】【解答】 红领巾是等腰三角形，也是钝角三角形。 故答案为：等腰；钝角。 【分析】三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形； 三角形按边可分为三种：三条边都不相等的是不等边三角形、三条边都相等的是等边三角形、只有两条边相等的是等腰三角形，据此解答。 7．下图中有　 　个直角三角形；有　 　个钝角三角形。 【答案】4；3 【详解】【解答】解：一共有4个直角三角形，3个钝角三角形； 故答案为：4；3。 【分析】三角形中，最大的角是直角的三角形是直角三角形，直角用直角符号表示；三角形中，最大的角是钝角的三角形是钝角三角形，钝角比直角大；据此解答。 8．用三根长5厘米的小棒摆成一个三角形，摆成的这个三角形既是　 　三角形，又是　 　角三角形。 【答案】等边；锐 【详解】【解答】解：5厘米=5厘米=5厘米，摆成的这个三角形既是等边三角形，又是锐角角三角形。 故答案为：等边；锐。 【分析】三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，都是锐角，所以等边三角形又是锐角三角形。 9．把三角形的序号写在相应的横线里。 锐角三角形有　 　；直角三角形有　 　；钝角三角形有　 　。 【答案】①③⑤⑦；②④；⑥⑧ 【详解】【解答】解：锐角三角形有①③⑤⑦；直角三角形有②④；钝角三角形有⑥⑧。 故答案为：①③⑤⑦；②④；⑥⑧。 【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此判断即可。 10．请在下面的点子图上画一个钝角三角形、一个锐角三角形和一个直角三角形。 【答案】解：。 【详解】【分析】画图时注意钝角三角形、锐角三角形和直角三角形的特点。 11．按要求在三角形中画一条线段。 （1）把三角形分成两个钝角三角形。 （2）把三角形分成两个直角三角形。 （3）把三角形分成一个钝角三角形和一个直角三角形。 【答案】（1）解：画法不唯一， 如图： （2）解：如图： （3）解：画法不唯一，如图： 【详解】【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。据此作图。 五、等腰三角形认识及特征 1．一个等腰直角三角形，它的三个内角分别(　　)。 A．60° 、 60° 、 60° B．90° 、60° 、30° C．90° 、 45° 、 45° D．100° 、40° 、40° 【答案】C 【详解】【解答】解：一个等腰直角三角形，它的顶角是90°，另外两个底角都是45°。 故答案为：C。 【分析】等腰直角三角形顶角是直角，两条腰长度相等，两个底角度数相等。 2．一个等腰三角形的周长是20厘米，已知其中一条边是4厘米，另两条边的长度分别是(　　)厘米。 A．4和12 B．8和8 C．8和4 D．以上都有可能 【答案】B 【详解】【解答】解：A：4+4＜12，不能组成三角形； B：8+8+4=20（厘米），能组成等腰三角形； C：4+4=8，不能组成三角形。 故答案为：B。 【分析】等腰三角形两条腰的长度相等。要注意三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 3．一个等腰三角形中，有一个角是50°，那么另外两个角分别是(　　)。 A．65°和65° B．50°和80° C．A、B两种情况都有可能 D．无法确定 【答案】C 【详解】【解答】解：①（180°-50°）÷2 =130°÷2 =65° ②180°-50°×2 =180°-100° =80°，另外两个角分别是65°和65°，或者50°和80°。 故答案为：C。 【分析】①当50°是顶角时，底角的度数=（三角形的内角和-顶角的度数）÷2； ②当50°是底角时，顶角的度数=三角形的内角和-顶角的度数×2。 4．三条分别是4厘米、4厘米、8厘米的边能围成一个等腰三角形。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】4厘米＋4厘米＝8厘米，不能围成三角形。 故答案为：错误。 【分析】因为4厘米＋4厘米＝8厘米，不符合两边之和大于第三边，则不能构成一个三角形，更谈不上是等腰三角形了。 5．一个等腰三角形的底角是95°。（ ） 【答案】错误 【详解】【解答】解：95°×2=190°，190°＞180°，原题干说法错误。 故答案为：错误。 【分析】三角形的内角和是180°，而原题干中两个底角的度数和已经大于三角形的内角和，所以错误。 6．等腰三角形也可能是钝角三角形。（　　） 【答案】正确 【详解】【解答】解：等腰三角形可能是钝角三角形、直角三角形或者锐角三角形，原题干说法正确。 故答案为：正确。 【分析】两腰相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形可能是钝角三角形、直角三角形或者锐角三角形。 7．一个等腰三角形，如果它的一个底角是50°，它的顶角是　 　度；如果这个等腰三角形的顶角是50°，那么它的一个底角是　 　度。 【答案】80；65 【详解】【解答】解：180°-50°×2=180°-100°=80° （180°-50°）÷2=130°÷2=65° 故答案为：80；65。 【分析】第一空：等腰三角形顶角的度数=三角形内角和-底角的度数×2； 第二空：等腰三角形底角的度数=（180°-顶角的度数）÷2。 8．画一个三角形，既是钝角三角形，又是等腰三角形。 【答案】 【详解】【分析】要画出钝角等腰三角形，那么首先要有一个角是钝角，又是等腰三角形，那么就要有两条边相等。 9．学校举行风筝比赛，奇思做了一个风筝，风筝的造型是等腰三角形。其中有一个角是40°，其它两个角各是多少度？ 【答案】解：当顶角是40°时： （180°－40°）÷2 ＝140°÷2 ＝70° 当底角是40°时： 180°－40°－40° ＝140°－40° ＝100° 答：其它两个角都是70°或一个角是40°，另一个角是100°。 【详解】【分析】 等腰三角形两个底角度数相等，用三角形内角和减去顶角的度数求出两个底角的度数和，再除以2即可求出底角度数。用三角形内角和减去两个底角的度数即可求出顶角的度数。 六、等边三角形认识及特征 1．下面是关于等边三角形的描述，错误的是（　　）。 A．等边三角形也具有稳定性 B．等边三角形也是钝角三角形 C．等边三角形也是等腰三角形 D．等边三角形也有三条高 【答案】B 【详解】【解答】解：描述错误的是：等边三角形也是钝角三角形。 故答案为：B。 【分析】A项：任何三角形都具有稳定性； B项：等边三角形三个内角都是60度，是锐角三角形； C项：等边三角形是特殊的等腰三角形； D项：任何三角形都有3条高。 2．把一个等边三角形沿其中一条高剪开，分成两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是（　　）。 A．45°和45° B．30°和60° C．30°和30° D．60°和60° 【答案】B 【详解】【解答】解：其中一个直角三角形的两个锐角分别是30°和60°。 故答案为：B。 【分析】等边三角形每个角都是60°，剪开后，一个是直角，一个60°不变，剩下的那个角是30°。 3．如果有一个角是60°，这个三角形一定是等边三角形。( ) 【答案】错误 【详解】【解答】解：如果有一个角是60°，这个三角形不一定是等边三角形。原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】等边三角形是三条边都相等的三角形，三个角都是60°。三角形一个角是60°，不能确定是等边三角形。 4．如图，三个等边三角形组成了一个绿化园区。AB是一条小路，长为100米，小云沿着绿化园区外围走一圈，一共需要走　 　米。 【答案】400 【详解】【解答】解： AC＋BC＝200（米） AE＋DF＝100（米） ED＋BF＝100（米） 200＋100＋100＝400（米）。 故答案为：400。 【分析】封闭图形一周的长度叫做周长。三个三角形都是等边三角形，等边三角形三条边相等，AE＋DF＝AB，ED＋BF＝AB，AC＝BC＝AB，已知AB＝100，AC＋BC＝200米，AE＋DF＝100，ED＋BF＝100，一共走的米数=200＋100＋100＝400米。 5．在学校“变废为宝”活动中，小明用铁丝围成边长6厘米的正方形当作品底座的外边。老师建议改成更稳的等边三角形，且铁丝长度不变，那改成后的等边三角形边长是多少厘米？ 【答案】解：6×4＝24（厘米） 24÷3＝8（厘米） 答：改成后的等边三角形边长是8厘米。 【详解】【分析】三条边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形的边长=三角形的周长÷3；其中，三角形的周长=正方形的周长=边长×4。 七、三角形的内角和 1．一个三角形其中两个内角的度数是65°和45°，这是一个(　　)三角形。 A．直角 B．锐角 C．钝角 D．无法确定 【答案】B 【详解】【解答】解：180-（65＋45） =180-110 =70（度），三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形。 故答案为：B。 【分析】第三个内角的度数=三角形的内角和-其余两内角的度数，三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形。 2．用两个完全相同的三角形拼成一个大三角形，拼成的这个三角形内角和是(　　)。 A．90° B．180° C．270° D．360° 【答案】B 【详解】【解答】解：拼成的这个三角形内角和是180°。 故答案为：B。 【分析】任何三角形的内角和都是 180°。 3．用一个放大10倍的放大镜去看一个三角形，这个三角形的内角和是(　　)。 A．1800° B．360° C．180° D．90° 【答案】C 【详解】【解答】解：三角形的内角和是180°。 故答案为：C。 【分析】无论用放大多少倍的放大镜看一个三角形，三角形的内角和都是180°。 4．把一个等边三角形分成2个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别为(　　)。 A．30°和60° B．40°和50° C．45°和45° D．60°和60° 【答案】A 【详解】【解答】解：60°÷2=30°，其中一个直角三角形的两个锐角分别为30°和60°。 故答案为：A。 【分析】等边三角形的3个内角都是60°，直角三角形的一个直角=90°，另外两个内角一个是60°，另一个是60°÷2=30°。 5．在一个三角形中，已知∠A=22°，∠B=53°，这是一个钝角三角形。(　　) 【答案】正确 【详解】【解答】解：第三个角：180°-22°-53°=102°，这是一个钝角三角形。原题说法正确。 故答案为：正确。 【分析】用三角形内角和减去已知两个角的度数求出第三个角的度数，然后根据最大角度数确定三角形的类型。 6．一个三角形的两个内角分别是92°和44°，第三个内角是　 　°。这个三角形按角分是　 　三角形，按边分是　 　三角形。 【答案】44；钝角；等腰 【详解】【解答】解：一个三角形的两个内角分别是92°和44°，第三个内角是180°-92°-44°=44°。这个三角形按角分是钝角三角形，按边分是等腰三角形。 故答案为：44；钝角；等腰。 【分析】用三角形内角和减去已知两个角的度数即可求出第三个内角度数。根据最大角度数确定三角形的类型。如果有两个角相等就是等腰三角形。 7．一个直角三角形中的一个锐角是52°，它的另一个锐角是　 　°；一个等腰三角形的一个底角是25°，它的顶角是　 　°。 【答案】38；130 【详解】【解答】解：90°-52°=38°，它的另一个锐角是38°； 180°-25°×2=180°-50°=130°，它的顶角是130°。 故答案为：38；130。 【分析】直角三角形中一个锐角的度数=90度-另一个锐角的度数；等腰三角形顶角的度数=180°-底角的度数×2。 8．计算下面未知角的度数。 （1） （2） 【答案】（1）解：∠1=180°-(66°+40°) =180°-106° =74° （2）解：∠2=180°-(20°+35°) =180°-55° =125° 【详解】【分析】根据三角形的内角和是180°，已知其中两个角的度数，则第三个角的度数就是180°减去已知的两个角的度数之和。 9．在一个三角形中，∠1，∠2，∠3为三角形的三个角，已知∠1＝45°，∠2比∠1大15°，求∠2和∠3的度数分别是多少。 【答案】解：∠2=∠1+15°=45°+15°=60° ∠3=180°-∠1-∠2=180°-45°-60°=75° 答：∠2=60°；∠3=75°。 【详解】【分析】∠2=∠1+15°，∠3=180°-∠1-∠2，据此解答。 八、平行四边形的特征及性质 1．下图中，被遮住的图形一定不是（　　）。 A．梯形 B．平行四边形 C．三角形 D．五边形 【答案】B 【详解】【解答】解：选项A，只有一组对边平行的四边形叫做梯形，所以被遮住的图形可能是梯形； 选项B，两组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形，所以被遮住的图形一定不是平行四边形； 选项C，由三条边围成的图形叫做三角形，所以被遮住的图形可能是三角形； 选项D，由5条边顺次相连围成的图形叫做五边形，所以被遮住的图形可能是五边形； 故答案为：B。 【分析】观察被遮住的图形可知，该图形至少有一组对边不平行，再根据其他图形的定义进行选择即可。 2．两个完全一样的三角形，一定能拼成一个（　　）。 A．平行四边形 B．三角形 C．正方形 D．长方形 【答案】A 【详解】【解答】解：如下图： 两个完全一样的三角形，一定能拼成一个平行四边形。 故答案为：A。 【分析】两个完全一样的三角形能拼成一个长方形或平行四边形，而长方形属于特殊的平行四边形，所以两个完全一样的三角形一定能拼成的就是一个平行四边形。 3．机灵狗将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块。为了能配到与原来完全一样的玻璃，智慧老人带了两块碎玻璃。仔细观察，想一想：这两块碎玻璃的编号是（　　） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．②和③ 【答案】B 【详解】【解答】解：①和③两块玻璃的两组对边分别平行，并且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的另外两个顶点。 故答案为：B。 【分析】平行四边形对边平行且相等，对角相等，根据平行四边形的定义和判定方法直接解答。 4．平行四边形的邻边相等。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】解：平行四边形的对边相等。原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】两组对边分别平行且相等的四边形叫做平行四边形。 5．把一个正方形框架拉成一个平行四边形后，它的周长变大。 (　　) 【答案】错误 【详解】【解答】解：把一个正方形框架拉成一个平行四边形后，它的周长不变，还是正方形框架的长度。 故答案为：错误。 【分析】周长是指围成图形的所有线段之和。对于正方形和平行四边形来说，周长是由它们的四条边的长度决定的。一个正方形框架被拉成平行四边形时，其四条边的长度并没有发生变化，周长并没有变大，仍然是原来的周长。 6．平行四边形的两组对边分别　 　且　 　。 【答案】平行；相等 【详解】【解答】解：平行四边形的两组对边分别平行且相等。 故答案为：平行；相等。 【分析】平行四边形的面积=平行四边形的底×底边上的高。 7．一个长方形木框长12厘米，宽8厘米，把它拉成一个平行四边形，这个平行四边形木框的周长是　 　厘米。 【答案】40 【详解】【解答】解：（12＋8）×2 =20×2 =40（厘米）。 故答案为：40。 【分析】把长方形木框拉成平行四边形，周边不变，等于长方形的周长=（长＋宽）×2。 8．按要求在下面的平行四边形中各画一条线段。 【答案】解： 【详解】【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。据此分成两个三角形； 在平行四边形中各画一条线段分成两个完全一样的梯形，因为平行四边形的对边相等，则只要在平行四边形的一条边上，从一个顶点量出一条线段，再在它的对边和它相对的顶点的另一个顶点量出同样长的线段，然后连接这两个点，就分成了两个完全一样的梯形。 九、平行四边形高的特点及画法 1．过平行四边形的一个顶点最多可以画（　　）条高。 A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【详解】【解答】解：过平行四边形的一个顶点最多可以画1条高。 故答案为：A。 【分析】平行四边形作高的方法：从底边对边的一个顶点向底边作一条垂线，这点和垂足之间的距离就是平行四边形的高。 2．画出下面图形指定底边上的高。 【答案】解：。 【详解】【分析】作平行四边形底边上的高，就是过底边所对边上的一点作这条底边的垂线； 从底边上的一点向对边顶点作一条垂线，这点和垂足之间的距离就是梯形的高。 十、梯形的特征及分类 1．如图是一个梯形，这个梯形的下底的长度为（　　）。 A．6 cm B．4.8 cm C．4 cm D．3 cm 【答案】A 【详解】【解答】解：3厘米＜6厘米，所以这个梯形的下底的长度为6厘米。 故答案为：A。 【分析】只有一组对边平行的四边形是梯形，平行的两边叫做梯形的底边，较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底，另外两边叫腰。 2．下列说法中正确的是（　　）。 A．梯形中互相平行的一组对边是梯形的腰 B．平行四边形是特殊的梯形 C．两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形 D．在梯形中，每组对边的长度都相等 【答案】C 【详解】【解答】解：A：梯形中互相平行的一组对边是梯形的上下底，原题说法错误； B：平行四边形不是特殊的梯形 ，原题说法错误； C：两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，原题说法正确； D：在梯形中，每组对边的长度都不一定相等 ，原题说法错误。 故答案为：C。 【分析】一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形；两组对边分别平行且相等的四边形叫做平行四边形。 3．用2厘米、4厘米、6厘米和13厘米长的四根小棒肯定拼不出梯形。(　　) 【答案】正确 【详解】【解答】解：用2厘米、4厘米、6厘米和13厘米长的四根小棒肯定拼不出梯形。原题说法正确。 故答案为：正确。 【分析】四边形任意三边之和一定大于第四边，2+4+6=12，比13小，所以不能拼成四边形，更不能拼成梯形。 4．上底和下底相等的梯形叫做等腰梯形。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】解：上底和下底相等的梯形可能是长方形，可能是正方形，也可能是平行四边形，不可能是等腰梯形，原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形；其中两腰相等的梯形是等腰梯形。 5．观察下图，数一数，平行四边形有　 　个，梯形有　 　个。 【答案】3；6 【详解】【解答】解：看图可知，平行四边形有3个，梯形有6个。 故答案为：3；6。 【分析】平行四边形对边平行且相等，图形左边单个的平行四边形2个，2个平行四边形组合的平行四边形1个。梯形只有一组对边平行，右边单个的梯形2个，2个梯形组合的梯形有3个，最大的梯形1个。 6．如图，笑笑用四根小棒围成了一个 　 　形，从这四根小棒中拿走 　 　厘米的小棒，剩下的三根无法围成一个三角形。 【答案】直角梯；6 【详解】【解答】解：笑笑用四根小棒围成了一个直角梯形，从这四根小棒中拿走6厘米的小棒，剩下的三根无法围成一个三角形。 故答案为：直角梯；6。 【分析】有一个角是直角的梯形是直角梯形；判断能不能围成三角形的方法：三角形两条短边之和必须大于第三边。 7．按照题目要求在下面各梯形上画一条直线。 （1）将左边的梯形分成一个钝角三角形和一个锐角三角形。 （2）将中间的梯形分成一个三角形和一个平行四边形。 （3）将右边的梯形分成一个平行四边形和一个梯形。 【答案】（1） （2） （3） 【详解】【分析】（1）连接一组对角线就能把图形分成一个钝角三角形和一个锐角三角形。 （2）在梯形左上角一个顶点画一条与斜边平行的线段，就能把梯形分成一个三角形和平行四边形。 （3）在梯形上底中间一个点出发画一条与左斜边平行的线段，就能把梯形分成一个平行四边形和一个梯形。 十一、梯形高的特点及画法 1．等腰梯形中有2条高。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】解：等腰梯形中有无数条高。原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】等腰梯形上下底之间的距离就是梯形的高，每个梯形有无数条高。 2．画出下面图形对应底边上的高，并画出垂足符号，标明高。 （1） （2） 【答案】（1）解： （2）解： 【详解】【分析】（1）三角形高的画法：由三角形底边的对应顶点处，向底边做垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的高。画高时，注意高和底边所成的直角标上直角符号； （2）过梯形的上底上的任意一点，作下底的垂线，这条垂线段的长就叫梯形的高。 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七单元 三角形、平行四边形和梯形 暑假专项提升讲义 思维导图 考点梳理 一、三角形 1.定义：由三条线段围成的封闭图形（相邻线段端点相连）。 （1）反例：三条线段未首尾相连的图形不是三角形。 （2）特征：具有稳定性（如自行车三角架）。 2.三角形的高： （1）从顶点向对边作垂直线段，对边称为底。 （2）画法步骤： ①确定底边； ②找底边对应的顶点； ③过顶点向底边作垂线（直角符号）。 ④例如： （3）要点： ①一个三角形有3组底和高（每条边都可作底）； ②钝角三角形的高可能在外部（需延长底边）。 3.三角形分类： 分类依据 类型 特征 示例 按角分 锐角三角形 三个角都是锐角（<90°） 60°、60°、60° 直角三角形 有一个角是直角（=90°） 30°、60°、90° 钝角三角形 有一个角是钝角（>90°且<180°） 20°、30°、130° 按边分 不等边三角形 三条边长度都不相等 边长3cm、4cm、5cm 等腰三角形 两条边相等（两腰相等，底角相等） 腰长5cm，底边4cm 等边三角形 三条边都相等（所有角=60°） 边长均为6cm 关系：等边三角形是特殊的等腰三角形。 4.核心性质： （1）内角和定理：三角形内角和 = 180°。 ①验证方法：剪下三个角拼成平角（操作即可，不要求证明）。 （3）三边关系（重点）：任意两边之和 > 第三边（必须同时满足）。 ①应用：判断三条线段能否围成三角形： 例1：边长3cm、4cm、6cm → 3+4>6、3+6>4、4+6>3 → 能围成。 例2：边长2cm、3cm、6cm → 2+3<6 → 不能围成。 ②快速判断：最长边 < 另两边之和。 二、平行四边形 1.定义：两组对边分别平行的四边形。 2.特征： （1）对边平行且相等； （2）对角相等； （3）易变形性：拉动会变形（应用于伸缩门、升降机）。 3.作高：从一条边上任一点向对边作垂线（高有无数条）。 三、梯形 1.定义：只有一组对边平行的四边形。 （1）关键：必须且仅有“一组对边平行”。 2.各部分名称： （1）平行的边：上底、下底； （2）不平行的边：腰； （3）高：两底之间的垂直线段（无数条）。 3.分类： （1）直角梯形：有一个角是直角（腰与底垂直）； （2）等腰梯形：两条腰相等（轴对称图形）。 四、易错点与注意事项 类型 典型错误 正确理解 三边关系 认为3cm、3cm、6cm能围成三角形（3+3=6，需严格大于） 任意两边和>第三边 画高 钝角三角形未延长底边作高；梯形高未垂直两底 延长底边再作垂线 图形关系 混淆梯形与平行四边形（梯形仅一组对边平行） 平行四边形两组对边平行 第三边范围 已知两边5cm、8cm，第三边范围是？→ 3cm < 第三边 < 13cm（8-5<第三边<8+5） 两边差<第三边<两边和 五、知识结构化 图形 关键特征 与其他图形关系 三角形 3边、3角；内角和180°；稳定性强 多边形的基础 平行四边形 两组对边平行且相等；对角相等；易变形 长方形、正方形属于其特例 梯形 仅一组对边平行；可有直角或等腰 区别于平行四边形 例题讲解 一、三角形的特点 【例题1】用下面的三根小棒不能围成三角形的是(　　)。(单位：分米) A．2、4、6 B．2、4、5 C．4、4、5 D．4、4、4 【例题2】下图内有5根小棒，选择其中的3根搭成等腰三角形，一共有　 　种不同的搭法。 【例题3】用两根长分别是8cm、15cm的小棒和另一个小棒围成一个三角形(三条边的长都是整厘米数)，另一根小棒最长是　 　cm，最短是　 　cm。 二、三角形高的特点及画法 【例题1】一个三角形最多可以画（　　）条高。 A．1 B．2 C．3 D．无数 【例题2】直角三角形只能画出一条高。（　　） 【例题3】画出图形指定底边上的高。 三、三角形的稳定性及应用 【例题1】衣架设计成下图这样的形状是应用了（　　）的原理。 A．三角形容易变形 B．三角形具有稳定性 C．三角形有三条边 D．三角形有三个顶点 【例题2】学校劳动实践基地里有一块菜地种上了一排丝瓜，老师准备为瓜苗搭建攀爬的稳固竹架，下面有四种搭建方案，你会向老师推荐方案（　　）。 A． B． C． D． 四、三角形的分类 【例题1】下列三角形中，是钝角三角形的是（　　）。 A． B． C． D． 【例题2】一个三角形中有两个锐角，那么第三个角（　　）。 A．也是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．不能确定 【例题3】一个三角形有三个内角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形。( ) 【例题4】三角形按角分，可分为　 　三角形，　 　三角形和　 　三角形。 【例题5】下图中有　 　个锐角三角形，　 　个直角三角形，　 　个钝角三角形。 五、等腰三角形认识及特征 【例题1】有以下长度的几根小棒：5cm，5cm，8cm，8cm，10cm，一共可以搭配成(　　)种不同的等腰三角形。 A．2 B．3 C．4 D．5 【例题2】一个等腰三角形的顶角是80°，则它的一个底角是(　　)。 A．50° B．80° C．100° D．无法确定 【例题3】等腰三角形一定是直角三角形。( ) 【例题4】小丽在参观一座等腰三角形形状的建筑时，测量到了一个底角是66°，这座建筑的顶角是　 　度。如果建筑的周长是28米，底边是8米，那么每条腰长是　 　米。 六、等边三角形认识及特征 【例题1】一个等边三角形的周长是，其中一条边是（　　）。 A．12 B．13 C．14 D．15 【例题2】一个等边三角形的各个角的度数都是（　　）。 A．60° B．45° C．30 D．90° 【例题3】等边三角形既是等腰三角形，又是锐角三角形。(　　) 【例题4】我国的空间引力波探测“天琴计划”，需要三颗卫星以极高的精度组成周长约为51万千米的等边三角形。组成的这个等边三角形的边长约为　 　万千米，它的每个内角是　 　°。 七、三角形的内角和 【例题1】下面每组中的三个角可能在同一个三角形内的是(　　)。 A．55°、 78°、 102° B．80°、 15°、 60° C．30°、 50°、 100° D．15°、 30°、 45° 【例题2】一个三角形三个内角的度数依次相差30°，则这个三角形是一个(　　)三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 【例题3】锐角三角形的两个锐角之和　 　90°，钝角三角形的两个锐角之和　 　90° 。 【例题4】在一个三角形ABC中，∠A=40°，∠B=2∠A，那么∠C多少度？ 八、平行四边形的特征及性质 【例题1】电动伸缩门是利用四边形具有（　　）的特点设计的。 A．易变形 B．稳定性 C．伸缩性 D．固定性 【例题2】有一组对边平行的四边形是平行四边形。（　　） 【例题3】在学过的四边形中，两组对边分别平行的四边形有　 　、　 　、　 　。 【例题4】按要求在下图中各画一条线段，将平行四边形分成两个图形。 两个平行四边形 一个三角形和一个梯形 九、平行四边形高的特点及画法 【例题1】把下面的平行四边形补充完整，并画出平行四边形的高。 十、梯形的特征及分类 【例题1】下图被遮住的图形可能是(　　)。 ​​ A．锐角三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．直角三角形 【例题2】等腰梯形的（　　）相等。 A．上底和下底 B．两条腰 C．四个角 D．对角 【例题3】在下面的梯形中画两条线段，把梯形分割成一个平行四边形、一个三角形和一个梯形。 十一、梯形高的特点及画法 【例题1】画出下面梯形的高 考点练习 一、三角形的特点 1．一个边长为6厘米的正方形铁框，拆开后正好围成一个三角形(接头处忽略不计)。这个三角形三条边的长不可能是(　　)。 A．8厘米、8厘米、8厘米 B．5厘米、7厘米、12厘米 C．6厘米、8厘米、10厘米 D．5厘米、9厘米、10厘米 2．乐乐不小心把一块三角形的玻璃板打碎了，变成了如图所示的三块。要想买一块完全一样的玻璃板回来，带(　　)号碎片去就可以了。 A．① B．② C．③ D．无法确定 3．一个三角形有两条边都是4厘米，第三条边一定大于4厘米。（　　） 4．任何一个三角形都有　 　条边，　 　个角和　 　个顶点。 5．笑笑参加手工社团，需要把20厘米的吸管剪成三段，拼成一个三角形。笑笑可以怎么剪呢？请帮她列出两种剪法。 二、三角形高的特点及画法 1．下图中，三角形ABC中BC边上的高是（　　）。 A．AE B．CD C．BF D．AC 2．直角三角形有（　　）条高。 A．1 B．2 C．3 D．4 3．同一个三角形中的所有高都相等。（　　） 4．三角形的底与它对应的高一定互相垂直。（　　） 5．画出下面三角形指定底边上的高。 三、三角形的稳定性及应用 1．下面图形具有稳定性的是（　　）。 A． B． C． D． 2．元元家的桌子松动了，用木条加固后，（　　）最稳固。 A． B． C． D． 3．为了避免小敏长时间低头看书，妈妈给她买了阅读支架，让她拾头阅读，保护颈椎。如图，书本放在阅读支架上不晃动是运用了三角形具有　 　的特性。 四、三角形的分类 1．只有两个角是锐角的三角形一定不是（　　）三角形。 A．钝角 B．直角 C．锐角 D．等腰 2．将三角形按边的特点进行分类，下图正确的是（　　）。 A．​​ B．​​ C．​​ D．​​ 3．图中被遮住的三角形一定不是（　　）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 4．钝角三角形中一定有两个锐角。（ ） 5．三角形至少有2个锐角，最多只有1个直角。（ ） 6．红领巾是　 　三角形，也是　 　三角形。 7．下图中有　 　个直角三角形；有　 　个钝角三角形。 8．用三根长5厘米的小棒摆成一个三角形，摆成的这个三角形既是　 　三角形，又是　 　角三角形。 9．把三角形的序号写在相应的横线里。 锐角三角形有　 　；直角三角形有　 　；钝角三角形有　 　。 10．请在下面的点子图上画一个钝角三角形、一个锐角三角形和一个直角三角形。 11．按要求在三角形中画一条线段。 （1）把三角形分成两个钝角三角形。 （2）把三角形分成两个直角三角形。 （3）把三角形分成一个钝角三角形和一个直角三角形。 五、等腰三角形认识及特征 1．一个等腰直角三角形，它的三个内角分别(　　)。 A．60° 、 60° 、 60° B．90° 、60° 、30° C．90° 、 45° 、 45° D．100° 、40° 、40° 2．一个等腰三角形的周长是20厘米，已知其中一条边是4厘米，另两条边的长度分别是(　　)厘米。 A．4和12 B．8和8 C．8和4 D．以上都有可能 3．一个等腰三角形中，有一个角是50°，那么另外两个角分别是(　　)。 A．65°和65° B．50°和80° C．A、B两种情况都有可能 D．无法确定 4．三条分别是4厘米、4厘米、8厘米的边能围成一个等腰三角形。（　　） 5．一个等腰三角形的底角是95°。（ ） 6．等腰三角形也可能是钝角三角形。（　　） 7．一个等腰三角形，如果它的一个底角是50°，它的顶角是　 　度；如果这个等腰三角形的顶角是50°，那么它的一个底角是　 　度。 8．画一个三角形，既是钝角三角形，又是等腰三角形。 9．学校举行风筝比赛，奇思做了一个风筝，风筝的造型是等腰三角形。其中有一个角是40°，其它两个角各是多少度？ 六、等边三角形认识及特征 1．下面是关于等边三角形的描述，错误的是（　　）。 A．等边三角形也具有稳定性 B．等边三角形也是钝角三角形 C．等边三角形也是等腰三角形 D．等边三角形也有三条高 2．把一个等边三角形沿其中一条高剪开，分成两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是（　　）。 A．45°和45° B．30°和60° C．30°和30° D．60°和60° 3．如果有一个角是60°，这个三角形一定是等边三角形。( ) 4．如图，三个等边三角形组成了一个绿化园区。AB是一条小路，长为100米，小云沿着绿化园区外围走一圈，一共需要走　 　米。 5．在学校“变废为宝”活动中，小明用铁丝围成边长6厘米的正方形当作品底座的外边。老师建议改成更稳的等边三角形，且铁丝长度不变，那改成后的等边三角形边长是多少厘米？ 七、三角形的内角和 1．一个三角形其中两个内角的度数是65°和45°，这是一个(　　)三角形。 A．直角 B．锐角 C．钝角 D．无法确定 2．用两个完全相同的三角形拼成一个大三角形，拼成的这个三角形内角和是(　　)。 A．90° B．180° C．270° D．360° 3．用一个放大10倍的放大镜去看一个三角形，这个三角形的内角和是(　　)。 A．1800° B．360° C．180° D．90° 4．把一个等边三角形分成2个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别为(　　)。 A．30°和60° B．40°和50° C．45°和45° D．60°和60° 5．在一个三角形中，已知∠A=22°，∠B=53°，这是一个钝角三角形。(　　) 6．一个三角形的两个内角分别是92°和44°，第三个内角是　 　°。这个三角形按角分是　 　三角形，按边分是　 　三角形。 7．一个直角三角形中的一个锐角是52°，它的另一个锐角是　 　°；一个等腰三角形的一个底角是25°，它的顶角是　 　°。 8．计算下面未知角的度数。 （1） （2） 9．在一个三角形中，∠1，∠2，∠3为三角形的三个角，已知∠1＝45°，∠2比∠1大15°，求∠2和∠3的度数分别是多少。 八、平行四边形的特征及性质 1．下图中，被遮住的图形一定不是（　　）。 A．梯形 B．平行四边形 C．三角形 D．五边形 2．两个完全一样的三角形，一定能拼成一个（　　）。 A．平行四边形 B．三角形 C．正方形 D．长方形 3．机灵狗将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块。为了能配到与原来完全一样的玻璃，智慧老人带了两块碎玻璃。仔细观察，想一想：这两块碎玻璃的编号是（　　） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．②和③ 4．平行四边形的邻边相等。（　　） 5．把一个正方形框架拉成一个平行四边形后，它的周长变大。 (　　) 6．平行四边形的两组对边分别　 　且　 　。 7．一个长方形木框长12厘米，宽8厘米，把它拉成一个平行四边形，这个平行四边形木框的周长是　 　厘米。 8．按要求在下面的平行四边形中各画一条线段。 九、平行四边形高的特点及画法 1．过平行四边形的一个顶点最多可以画（　　）条高。 A．1 B．2 C．3 D．0 2．画出下面图形指定底边上的高。 十、梯形的特征及分类 1．如图是一个梯形，这个梯形的下底的长度为（　　）。 A．6 cm B．4.8 cm C．4 cm D．3 cm 2．下列说法中正确的是（　　）。 A．梯形中互相平行的一组对边是梯形的腰 B．平行四边形是特殊的梯形 C．两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形 D．在梯形中，每组对边的长度都相等 3．用2厘米、4厘米、6厘米和13厘米长的四根小棒肯定拼不出梯形。(　　) 4．上底和下底相等的梯形叫做等腰梯形。（　　） 5．观察下图，数一数，平行四边形有　 　个，梯形有　 　个。 6．如图，笑笑用四根小棒围成了一个 　 　形，从这四根小棒中拿走 　 　厘米的小棒，剩下的三根无法围成一个三角形。 7．按照题目要求在下面各梯形上画一条直线。 （1）将左边的梯形分成一个钝角三角形和一个锐角三角形。 （2）将中间的梯形分成一个三角形和一个平行四边形。 （3）将右边的梯形分成一个平行四边形和一个梯形。 十一、梯形高的特点及画法 1．等腰梯形中有2条高。（　　） 2．画出下面图形对应底边上的高，并画出垂足符号，标明高。 （1） （2） 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $$