精品解析：2025年河南省南阳市方城县九年级三模联考数学试题

河南省2025年中招模拟试卷（三） 数学 注意事项：1．本试卷共6页，三个大题满分120分，考试时间100分钟 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2024 D. 2. 是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．用科学记数法表示1300000是（ ） A. B. C. D. 3. 如果一个四边形绕对角线的交点旋转，所得四边形与原四边形重合，那么这个四边形一定是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 4. 要说明命题“两个数相加，和一定大于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，点是线段的中点，点在上，分别以、为边，在线段同侧作正方形和正方形，连接和，设、，且，，则 图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 下列图形中，对称轴最多的是（ ）． A. B. C. D. 7. 新高考“”选科模式是指除语文、数学、外语门科目以外，学生应在历史和物理门首选科目中选择科，在思想政治、地理、化学、生物学门再选科目中选择科．某同学从门再选科目中随机选择科，恰好选择化学和生物的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发．设普通列车行驶的时间为x（小时）两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系的图象大致如图所示，则下列说法错误的是（ ） ①动车的速度是270千米/小时； ②点B的实际意义是两车出发后3小时相遇； ③甲、乙两地相距1000千米； ④普通列车从乙地到达甲地时间是9小时． A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④ 9. 三角形的三条边分别为，a，，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，在等腰三角形中，，于点．动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点停止，过点作于点，作于点．在此过程中四边形的面积与运动时间的函数关系图像如图②所示．则的长为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在同一平面内，若，则与的位置关系是_____． 12. 某校为了调查学生家长对课后服务的满意度，从名学生家长中随机抽取名进行问卷调查，获得了他们对课后服务的评分数据（评分记为），数据整理如下： 家长评分 人数 根据以上数据，估计这名学生家长评分不低于分的有__________名． 13. 已知支点O位于等臂跷跷板AB的中点处，当AB的一端点A碰到地面时（如图），AB与地面的夹角为α，那么当AB的另一端点B碰到地面时，AB转过的角度为＝___________．（用含α的代数式表示） 14. 如图，在三角形ABC中，AC＝BC＝4，∠C＝90°，O是AB的中点，以点O为圆心，2为半径画弧分别与AC、BC相切于点D、点E，与AB交于点F．则图中阴影部分面积为_______． 15. 如图，在菱形中，，将边绕点A顺时针旋转 ()得到，连接，当为直角三角形时，的度数为_______ 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（满分100分）进行分组整理，各小组的成绩x（单位：分）分段为：，，，，，绘制如图所示统计图．已知成绩在这一组的数据如下（单位：分）：70，71，72，72，74，77，78，78，78，79，79，79． 根据以上信息，回答下列问题： （1）求，这两个分数段的学生人数，并直接补全频数分布直方图； （2）求扇形统计图中成绩“”对应扇形的圆心角的度数； （3）求这次测试成绩的中位数； （4）这次测试成绩的平均数是分，甲的测试成绩是77分，乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． 18. 如图，中，． （1）请完成尺规作图：过点作，垂足为．（要求：不写做法，保留作图痕迹．） （2）在（1）的基础上，求证：． 19. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，若的面积为4． （1）分别求出和的值； （2）求B点坐标； （3）结合图象直接写出关于x的不等式的解集：______． 20. 我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： （1）请在图中括号内的数为______； （2）展开式共有______项，第19项系数为______； （3）根据上面的规律，写出的展开式：______； （4）利用上面的规律计算：； （5）假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 21. 如图，某物理实验装置由一个带刻度的无盖圆柱体玻璃筒和一个带托盘的活塞组成，该装置竖直放置时，活塞受到托盘中重物的压力向下压缩装置内的空气．某同学试着放上不同质量的物体，并根据筒侧的刻度记录活塞到筒底的距离，得到下面4组数据： 重物质量m/kg 1 2 3 5 活塞到桶底的距离h/cm 24 16 12 （1）该同学经过分析数据发现，不同重物的质量数值m加上1后得到的数值与对应的距离数值h成反比．请你根据数据求出______． （2）在上面4组数据的基础上，该同学以的值作为一个点的横坐标x，h的值作为该点的纵坐标y，得到4个点的坐标． ①将这4个点的坐标填入下表： …… …… …… …… ②交将这4个点描在如图所示的平面直角坐标系中．并用平滑曲线连接； ③直接写出所得曲线对应的函数表达式． （3）要使活塞到筒底的距离大于6，请直接写出在托盘中放入重物的质量m的取值范围． 22. 如图，二次函数的图像交x轴于A，两点，交y轴于． （1）求这个二次函数的解析式． （2）点M为这个二次函数图像上一个动点，点N为坐标平面上任意一点，设点M的横坐标为m，则点N的横坐标为，且轴． ①若点N也在二次函数的图像上，求m的值； ②当线段与二次函数的图像有两个公共点时，请直接写出m的取值范围． 23. 综合与实践 【问题背景】 如图1，在矩形中，，，为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点落在边上的点处． 【问题解决】 （1）填空：的长为__________； （2）如图2，展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点重合，得，与交于点，求线段的长； 【拓展探究】 （3）如图1，将绕点旋转至，，三点共线时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省2025年中招模拟试卷（三） 数学 注意事项：1．本试卷共6页，三个大题满分120分，考试时间100分钟 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2024 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了绝对值的定义，根据负数的绝对值是其相反数解答即可． 【详解】解：的绝对值是2024． 故选：C． 2. 是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．用科学记数法表示1300000是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法表示较大的数时，形式为，其中， 为整数．确定的值时，看原数变成时小数点移动的位数．据此解答即可． 【详解】解：∵ 1300000 的小数点向左移动 6 位得到 1.3， ∴，即． 故选：C． 3. 如果一个四边形绕对角线的交点旋转，所得四边形与原四边形重合，那么这个四边形一定是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转对称图形的概念根据旋转对称图形的概念与平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质作答，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 【详解】解：A、平行四边形绕对角线交点旋转能够与原来的图形重合的最小的度数是180度，该选项错误； B、矩形绕对角线交点旋转能够与原来的图形重合的最小的度数是180度，该选项错误； C、菱形绕对角线交点旋转能够与原来的图形重合的最小的度数是180度，该选项错误； D、正方形绕对角线交点旋转能够与原来的图形重合的最小的度数是90度，该选项正确． 故选：D． 4. 要说明命题“两个数相加，和一定大于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据加法法则知识进行判断即可．此题考查了命题与定理、加法法则等知识，熟练掌握加法法则是解题的关键． 【分析】解：两个负数相加，和一定小于其中一个加数，如， 故选：． 5. 如图，点是线段的中点，点在上，分别以、为边，在线段同侧作正方形和正方形，连接和，设、，且，，则 图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两个正方形的面积，根据图可得阴影面积两正方形面积之和，再将，关系代入即可． 【详解】解：，， ， ， ， 又点是的中点，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的转化，解题的关键在于正确表示出阴影部分的面积． 6. 下列图形中，对称轴最多的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键． 【详解】解：选项A的图形有无数条对称轴，选项B的图形有三条对称轴，选项C的图形有四条对称轴，选项D的图形有两条对称轴， 所以对称轴最多的是A． 故选：A． 7. 新高考“”选科模式是指除语文、数学、外语门科目以外，学生应在历史和物理门首选科目中选择科，在思想政治、地理、化学、生物学门再选科目中选择科．某同学从门再选科目中随机选择科，恰好选择化学和生物的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 表可得出所有等可能的结果数以及恰好选择化学和生物的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 思想政治 地理 化学 生物 思想政治 （思想政治，地理） （思想政治，化学） （思想政治，生物） 地理 （地理，思想政治） （地理，化学） （地理，生物） 化学 （化学，思想政治） （化学，地理） （化学，生物） 生物 （生物，思想政治） （生物，地理） （生物，化学） 共有12种等可能的结果，其中恰好选择化学和生物的结果有2种， 恰好选择化学和生物的概率为． 故选：B． 8. 一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发．设普通列车行驶的时间为x（小时）两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系的图象大致如图所示，则下列说法错误的是（ ） ①动车的速度是270千米/小时； ②点B的实际意义是两车出发后3小时相遇； ③甲、乙两地相距1000千米； ④普通列车从乙地到达甲地时间是9小时． A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：①普通列车的速度是（千米小时）， 设动车的速度为千米小时， 根据题意，得：， 解得：， 动车的速度为250千米小时， 故①错误； ②如图，出发后3小时，两车之间的距离为0，可知点的实际意义是两车出发后3小时相遇， 故②正确； ③由时，知，甲地和乙地相距1000千米， 故③正确； ④由图象知时，动车到达乙地， 时，普通列车到达甲地， 即普通列车到达终点共需12小时， 故④错误； 故选：B． 9. 三角形的三条边分别为，a，，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，列出不等式，再解得a的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵三条边分别为 、、，且， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图①，在等腰三角形中，，于点．动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点停止，过点作于点，作于点．在此过程中四边形的面积与运动时间的函数关系图像如图②所示．则的长为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质，由图象得出四边形的面积为，证明四边形是正方形，，求出，从而得出，即可得解． 【详解】解：动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点停止， 第一个拐点的位置在点处，此时点运动到点， ， 图中的拐点的纵坐标是， 四边形的面积为， ，， ， 四边形是矩形， 是等腰直角三角形，， ，，， ，， 四边形是正方形，， 是等腰直角三角形， 四边形的面积为， ， ， ， 故选：A． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在同一平面内，若，则与的位置关系是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据垂直定义求出，再根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：如图，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定和垂直定义的应用，注意：同位角相等，两直线平行． 12. 某校为了调查学生家长对课后服务的满意度，从名学生家长中随机抽取名进行问卷调查，获得了他们对课后服务的评分数据（评分记为），数据整理如下： 家长评分 人数 根据以上数据，估计这名学生家长评分不低于分的有__________名． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用样本估计总体，熟练掌握利用样本估计总体的方法是解题关键．利用名学生家长乘以评分不低于分的学生家长所占百分比即可得． 【详解】解：由题意得：（名）， 即估计这名学生家长评分不低于分的有360名， 故答案为：360． 13. 已知支点O位于等臂跷跷板AB的中点处，当AB的一端点A碰到地面时（如图），AB与地面的夹角为α，那么当AB的另一端点B碰到地面时，AB转过的角度为＝___________．（用含α的代数式表示） 【答案】2α 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠OB′H=∠OAH=α，根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：由题意得：OA=OB′，∠OAH=α， ∴∠OB′H=∠OAH=α， ∴∠A′OA=∠OB′H+∠OAH=2α， 故答案为：2α． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，熟练掌握相关性质并应用数形结合的思想是解题的关键． 14. 如图，在三角形ABC中，AC＝BC＝4，∠C＝90°，O是AB的中点，以点O为圆心，2为半径画弧分别与AC、BC相切于点D、点E，与AB交于点F．则图中阴影部分面积为_______． 【答案】+2． 【解析】 【分析】连接，，，根据切线的性质得到，，根据等腰三角形的性质和判定求得，，根据扇形的面积公式和三角形的面积公式求出和，再根据即可求出结果． 【详解】解：连接OD，OE，OC， ∵⊙O分别与AC、BC相切于点D、点E， ∴OD⊥AC，OE⊥BC， ∵AC＝BC＝4，∠C＝90°，O是AB的中点， ∴AO＝BO，∠A＝∠B＝∠ACO＝∠BCO＝45°， ∴∠AOD＝∠BOE＝45°，AO＝CO， ∴∠DOF＝180°﹣∠AOD＝135°，OD＝AC＝2，∠A＝∠AOD， ∴AD＝OD＝2， ∴S阴影＝S扇形ODF+S△ADO ＝ ， 故答案为：． 【点睛】此题综合考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质及扇形的面积计算方法，根据切线的性质得到，，根据等腰三角形的性质和判定求出，是解决问题的关键． 15. 如图，在菱形中，，将边绕点A顺时针旋转 ()得到，连接，当为直角三角形时，的度数为_______ 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意分三种情况讨论，根据等边三角形性质和菱形性质可求出本题答案． 【详解】解：∵为直角三角形， ∴①当时，点在以为圆心，长为半径的圆上， ∴为的直径， ∵菱形，， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， ∴旋转角的度数为：； ②当时，则为的直径， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴旋转角的度数为：； ③当时，以为直径的圆与除外无交点， ∴此种情况不存在， 综上所述：的度数为或． 【点睛】本题考查菱形性质，等边三角形性质及判定，圆周角定理，直角三角形的性质，旋转性质等，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据实数的运算法则即可求出答案； （2）根据分式的运算法则即可求出答案． 【小问1详解】 解：原式＝； 【小问2详解】 原式 ． 【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 17. 某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（满分100分）进行分组整理，各小组的成绩x（单位：分）分段为：，，，，，绘制如图所示统计图．已知成绩在这一组的数据如下（单位：分）：70，71，72，72，74，77，78，78，78，79，79，79． 根据以上信息，回答下列问题： （1）求，这两个分数段的学生人数，并直接补全频数分布直方图； （2）求扇形统计图中成绩“”对应扇形的圆心角的度数； （3）求这次测试成绩的中位数； （4）这次测试成绩的平均数是分，甲的测试成绩是77分，乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． 【答案】（1）15人，10人， 补全频数分布直方图如图所示． （2） （3）78分 （4）不正确， 理由：∵甲的成绩77分低于中位数78分， ∴甲的成绩不可能高于一半学生的成绩． 【解析】 【分析】（1）根据题意，得分数段的学生人数为（人）， 分数段的学生人数为（人）．解答即可． （2）根据圆心角计算公式计算即可； （3）根据中位数的定义，结合数据为50，确定中位数是第25个数据与第26个数据的平均数，解答即可； （4）根据中位数的意义去，解答即可． 【小问1详解】 解：分数段的学生人数为（人）， 分数段的学生人数为（人）． 【小问2详解】 扇形统计图中成绩“”对应扇形的圆心角的度数为． 【小问3详解】 将50名学生的测试成绩按照从小到大的顺序排列，排在第25和26的成绩为78，78， ∴这次测试成绩的中位数为（分）． 【小问4详解】 略 【点睛】本题考查了频数计算，圆心角的计算，中位数的计算及其意义，统计图的完善，熟练掌握频数的计算，圆心角的计算，中位数的计算是解题的关键． 18. 如图，中，． （1）请完成尺规作图：过点作，垂足为．（要求：不写做法，保留作图痕迹．） （2）在（1）的基础上，求证：． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）证明：如图所示，依题意，AE=AB，DE=DB ∴ 又． ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质． （1）以为圆心为半径作弧，交于点，作的垂直平分线，交于点； （2）根据垂直平分线的性质得出，，根据等边对等角以及三角形的外角的性质推出，进而可得，根据，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，若的面积为4． （1）分别求出和的值； （2）求B点坐标； （3）结合图象直接写出关于x的不等式的解集：______． 【答案】（1）； （2）点B的坐标为 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据点坐标及的面积，求出点的坐标，再分别代入反比例函数及一次函数解析式即可解决问题． （2）将（1）中所得函数解析式，组成方程即可解决问题． （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【小问1详解】 解：点坐标为， ． 轴，且的面积为4， ， ， 点的坐标为． 将点坐标代入得，； 将点坐标代入得，． 【小问2详解】 解：由（1）知， 一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 则， 解得，， 经检验，是原方程的解． 当时，， 所以点的坐标为． 【小问3详解】 解：由函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 所以不等式的解集为：或． 故答案为：或． 20. 我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： （1）请在图中括号内的数为______； （2）展开式共有______项，第19项系数为______； （3）根据上面的规律，写出的展开式：______； （4）利用上面的规律计算：； （5）假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 【答案】（1） （2）； （3） （4） （5）四 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的延伸，数字的变化规律，罗列分析出规律是解答本题的关键． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）罗列后按照规律展开式中共有项, 当时，倒数第三项的系数是 ，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令 时代入展开式即可得到所求代数式的值； （5）将变形为展开后前项和是的倍数，所以 除结果的余数为，则有假如今天是星期五，那么再过 天是星期四． 【小问1详解】 解：图中括号内的数为， 故答案为：； 【小问2详解】 ，展开式有项； ，展开式有 项，倒数第三项系数为； ，展开式有 项，倒数第三项系数为 ； ，展开式有项，倒数第三项系数为； 展开式有项，倒数第三项系数为 ； ……； 以此类推，展开式中共有项, 当时，倒数第三项的系数 ； 展开式共有项，第项系数为 ； 故答案为：；； 【小问3详解】 根据图示， 故答案为：； 【小问4详解】 ∴当时，， ； 【小问5详解】 (、、、、是一列常数) , ， 刚好是的整数倍， ∴除结果的余数为， ∴假如今天是星期五，那么再过天是星期四. 故答案为：四． 21. 如图，某物理实验装置由一个带刻度的无盖圆柱体玻璃筒和一个带托盘的活塞组成，该装置竖直放置时，活塞受到托盘中重物的压力向下压缩装置内的空气．某同学试着放上不同质量的物体，并根据筒侧的刻度记录活塞到筒底的距离，得到下面4组数据： 重物质量m/kg 1 2 3 5 活塞到桶底的距离h/cm 24 16 12 （1）该同学经过分析数据发现，不同重物的质量数值m加上1后得到的数值与对应的距离数值h成反比．请你根据数据求出______． （2）在上面4组数据的基础上，该同学以的值作为一个点的横坐标x，h的值作为该点的纵坐标y，得到4个点的坐标． ①将这4个点的坐标填入下表： …… …… …… …… ②交将这4个点描在如图所示的平面直角坐标系中．并用平滑曲线连接； ③直接写出所得曲线对应的函数表达式． （3）要使活塞到筒底的距离大于6，请直接写出在托盘中放入重物的质量m的取值范围． 【答案】（1）8 （2） ①如图， 2 3 4 5 24 16 12 8 ②反比例函数的图象如图所示； ③ （3） 【解析】 【分析】（1）设，把代入得到，把代入即可得到结论； （2）①根据题意求得，的值即可得到结论；②根据题意画出反比例函数的图象即可；③把，的对应值代入反比例函数的解析式即可得到结论； （3）根据题意得到关于的不等式，解不等式即可得到结论． 【小问1详解】 解：设， 把代入得，， ， ， 把代入得，， ， 故答案为：8； 【小问2详解】 解：①略 ②略 ③点在反比例函数图象上， 所得曲线对应的函数表达式为； 【小问3详解】 解：当时，即， 解得， 重物的质量的取值范围为． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，函数的图象，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 22. 如图，二次函数的图像交x轴于A，两点，交y轴于． （1）求这个二次函数的解析式． （2）点M为这个二次函数图像上一个动点，点N为坐标平面上任意一点，设点M的横坐标为m，则点N的横坐标为，且轴． ①若点N也在二次函数的图像上，求m的值； ②当线段与二次函数的图像有两个公共点时，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的表达式及二次函数与线段的交点问题．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合法是解题的关键． （1）把，分别代入，利用待定系数法求解即可． （2）①先求出抛物线的对称轴，由轴可知M点与N点关于对称轴对称，由此即可求解； ②先求得点M关于抛物线对称轴的对称点的横坐标为，然后分两种情况：（ⅰ）M点在对称轴左侧，N点在的右侧；（ⅱ）M点在对称轴右侧，N点在的左侧，列不等式求解即可． 【小问1详解】 把，分别代入，得： 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ①抛物线的对称轴是， 轴，且点N在抛物线上， 点M和点N关于抛物线对称轴对称， ， 解得， 的值为； ② 点M的横坐标为m， 点M关于抛物线对称轴的对称点的横坐标为． （ⅰ）M点在对称轴左侧，N点在的右侧时 ， 解得：； （ⅱ）M点在对称轴右侧，N点在的左侧时 ， 解得：； ∴当线段与二次函数的图像有两个公共点时， m的取值范围或． 23. 综合与实践 【问题背景】 如图1，在矩形中，，，为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点落在边上的点处． 【问题解决】 （1）填空：的长为__________； （2）如图2，展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点重合，得，与交于点，求线段的长； 【拓展探究】 （3）如图1，将绕点旋转至，，三点共线时，请直接写出的长． 【答案】（1）3（2）1（3）的长为 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得，，，再由折叠的性质得，然后由勾股定理求解即可； （2）由折叠的性质得，设，则，在中，由求出，，连接，根据相似三角形的判定可得，即可求解； （3）分两种情况讨论：当共线时，当共线时，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质得：， ， 故答案为：3； （2）由（1）得：， ， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，， ， 解得， 即，， 连接，如图所示： 由平移的性质得：，，， ， ， ； （3）如图3.1，当共线时，过点作交的延长线于点， 由（2）得：，， 由旋转的性质得：， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ； 如图3.2，当共线时，过点作交的延长线于点，则，， ， ； 综上所述，的长为． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，图形的平移问题等，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $