22.1.1 二次函数 课件 2025—2026学年人教版数学九年级上册

22.1.1 二次函数 自学指导一（5分钟） y=6x2 情景引入：问题1 正方体六个面是全等的正方形,设正方形棱长为 x,表面积为 y, 则 y 关于x 的关系式为__________. 4 n (n－3) 即: d= n2－ 1 2 3 2 n 1、探究新知： 问题2 多边形的对角线数 d 与边数 n 有什么关系？ n边形有_____个顶点,从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可作_________条对角线.因此,n边形的对角线总数 d =____________. n(n－3) 1 2 y=20(1+x)2 20(1+x)2 20(1+x) y=20x2+40x+20 即: 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定, y与x之间的关系怎样表示? 这种产品的原产量是20件,一年后的产量是 _____________ 件,再经过一年后的产量是 ______________件,即两年后的产量为: ________________ . 1、探究新知： 问题3 问题3 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？ 填空： 这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是 件,再经过一年后的产量是 件,即两年后的产量y= . 20(1+x) 20(1+x)2 20(1+x)2 答： y=20x2+40x+20； 此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数. 授人以渔 函数①②③有什么共同点? 函数都是用 自变量的二次整式表示的 y=6x2 y=20x2+40x+20 授人以渔 二次函数的定义： 一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项. 温馨提示： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 总结归纳 2.函数 y＝ax2＋bx＋c (a、b、c是常数)，当 a、b、c 满足什么条件时： （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数？ 解： （1）当 a ≠ 0 时，它是二次函数. （2）当 a＝0，b ≠ 0 时，它是一次函数. （3）当 a＝0，b ≠ 0，c＝0 时，它是正比例函数. 练一练 下列函数中，哪些是二次函数？ 小试牛刀 答：①、③是. 2.如果函数 是二次函数， 则 k 的值一定是_____. 0 1.如果函数 是二次函数， 则 k 的值一定是_______. 0 或 3 敢于创新 解析：1.令 k2－3k＝0.解得 k1＝0，k2＝3. 2.令 k2－3k＝0，且 k－3 ≠ 0.解得 k＝0. 3.已知两个变量x，y之间的关系为y＝(m－2)xm2－2＋x－1，若x，y之间是二次函数关系，求m的值． 4．如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a为10米)围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米． (1)求S与x的函数关系式； (2)如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长为多少米？ 练习 作业布置 04 1．下列函数是二次函数的是( ) A．y＝2x＋1　　　　　　 　　B．y＝－2x＋1 C．y＝x²＋2 D．y＝0.5x－2 2．下列说法中，正确的是( ) A．二次函数中，自变量的取值范围是非零实数 B．在圆的面积公式S＝πr²中，S是r的二次函数 C．y＝(x－1)(x＋4)不是二次函数 D．在y＝1－2x²中，一次项系数为1 作业布置 例2 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场 地，场地面积 S(m²)与矩形一边长a(m) 之间的关系是什么？是哪种函数关系？ 并求出自变量的取值范围？ 解：S = a( -a) = a(30 －a) = －a² + 30 a 知识运用： 自变量的取值范围：0＜a＜30 是二次函数关系式。 自变量的取值范围应符合实际意义 16 www.czsx.com.cn 1.一个圆柱的高等于底面半径， 写出它的表面积 S 与半径 r 之间的关系式. 随堂练习 r r 17 2.矩形绿地的长、宽各增加 x m， 写出扩充后的绿地的面积 y 与 x 的关系式. 20 m 30 m x m x m 随堂练习 18 3．正方形的边长为5 cm，若正方形的边长增加x cm时，其面积增加y cm2． （1）写出y与x的函数关系式； （2）当正方形的边长分别增加2 cm，3 cm时，正方形的面积分别增加多少？ 解：（1）y＝(5＋x)2－52＝x2＋10x．　 （2）当x＝2时，y＝22＋10×2＝24； 当x＝3时，y＝32＋10×3＝39． 所以当正方形的边长分别增加2 cm，3 cm时，正方形的面积分别增加24 cm2，39 cm2．　 随 堂 练 习 4．某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个．根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．如果超市将篮球售价定为x元（x＞50），每月销售这种篮球获利y元． （1）求y与x之间的函数关系式； 解：（1）设篮球售价为x元，则销量减少了10(x－50)个． 根据题意，得 10(x－50)＜500，即x＜100． 所以y＝[500－10(x－50)](x－40)＝－10x2＋1 400x－40 000（50＜x＜100）．　 随 堂 练 习 4．某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个．根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．如果超市将篮球售价定为x元（x＞50），每月销售这种篮球获利y元． （2）超市计划下月销售这种篮球获利8 000元，又要吸引更多的顾客，则这种篮球的售价应定为多少元？ 解： （2）当y＝8 000时， 即－10x2＋1 400x－40 000＝8 000， 解方程，得x＝60或80． 结合题意要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元．　 随 堂 练 习 $$