暑假提升系列三一元函数的导数及其应用学案-2024-2025学年高二数学人教A版（2019）

2024-2025学年下学期高二暑假提升系列三 一元函数的导数及其应用 §3.1　导数的概念及其意义、导数的运算 重要结论： 1．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ，相应的切线方程为 ． 2.易记错的基本初等函数的导数公式及运算法则 基本初等函数 导函数 f(x)＝cos x f′(x)＝ f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ [f(x)g(x)]′＝ ；′＝ (g(x)≠0)； 3．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝ ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 好题赏析： 1.（多选）下列命题正确的有（   ） A．，则 B．，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 2.求导：（1） （2）求导： 3.若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． §3.3　导数与函数的极值、最值 重要结论： 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的 ． 好题赏析： 1.若函数f(x)＝x(x＋a)2在x＝1处有极大值，则实数a的值为(　　) A．1 B．－1或－3 C．－1 D．－3 2.（多选题）已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B． C．的最大值为 D．有唯一零点 2024-2025学年下学期高二暑假提升系列三 一元函数的导数及其应用参考答案 §3.1　导数的概念及其意义、导数的运算 重要结论： 1．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2.易记错的基本初等函数的导数公式及运算法则 基本初等函数 导函数 f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；′＝(g(x)≠0)； 3．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝y'u·u'x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 好题赏析： 1.（多选）下列命题正确的有（   ） A．，则 B．，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 【答案】AD 【详解】对于A项，，则，故A项正确； 对于B项，，故B项错误； 对于C，因为，故C错误； 对于D，因为，故，故D正确. 故选：AD. 2.求导：（1） （2）求导： 【详解】（1）由可得 ； （2）因为， 所以 3.若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【答案】(－∞，－4)∪(0，＋∞) 【详解】因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝，化简，得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． §3.3　导数与函数的极值、最值 重要结论： 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 好题赏析： 1.若函数f(x)＝x(x＋a)2在x＝1处有极大值，则实数a的值为(　　) A．1 B．－1或－3 C．－1 D．－3 【答案】D 【详解】函数f(x)＝x(x＋a)2，f′(x)＝(x＋a)2＋2x(x＋a)＝(x＋a)(3x＋a)， 由函数f(x)＝x(x＋a)2在x＝1处有极大值， 可得f′(1)＝(1＋a)(3＋a)＝0， 解得a＝－1或a＝－3， 当a＝－1时，f′(x)＝(x－1)(3x－1)，当x∈时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， 所以f(x)在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)在x＝1处有极小值，不符合题意． 当a＝－3时，f′(x)＝(x－3)(3x－3)，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0，当x∈(1,3)时，f′(x)<0， 所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，f(x)在x＝1处有极大值，符合题意． 综上可得，a＝－3. 2.（多选题）已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B． C．的最大值为 D．有唯一零点 【答案】ABD 【详解】由，得，当时，在上单调递增，A正确． 当时，在上单调递减，所以， 因为，所以，B正确． 易得在处取得最大值，最大值为，C错误． 令0，得，函数与函数两函数的图象有唯一交点，所以有唯一零点，D正确． 故选：ABD 1 学科网（北京）股份有限公司 $$