专题 13.3 与三角形有关的线段与角几何模型（ 模型梳理 +题型精析 + 同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（人教版 2024）

专题 13.3 与三角形有关的线段与角几何模型 目录 一知识梳理 1 【知识点1】几何模型的理解 1 【知识点2】三角形中线、高线、角平分线几何模型 1 二题型分类精析 3 【题型1】中线模型（周长） 3 【题型2】中线模型（面积） 5 【题型3】高线模型（等面积法） 7 【题型4】双内角平分线模型 9 【题型5】内外角平分线模型 12 【题型6】双外角平分线模型 14 【题型7】角平分线+平行线模型 18 【题型8】燕尾模型 19 【题型9】对顶三角形模型 24 【题型10】角平分线综合模型 28 三同步练习 32 【基础巩固（16题）】 32 【能力提升（16题）】 46 一.知识梳理 【知识点1】几何模型的理解 （1）定义：是基于几何图形的结构特征、位置关系及数量关系，经过抽象提炼后形成的标准化模式.（2）作用：它是将复杂几何问题转化为固定框架的重要工具，能帮助学生快速识别图形本质，调用对应定理或方法解决问题，具有可推广的解题思路与规律作用。 【知识点2】三角形中线、高线、角平分线几何模型 名称 基本图形 条件 结论 中线模型 （1） ； （2） 高线模型 （1）; （2） 双内角平分线模型 内外角平分线模型 双外角平分线模型 内角平分线与平行线模型 对顶三角形模型 燕尾模型 二．题型分类精析 【题型1】中线模型（周长） 【例题 1】 （24-25七年级下·吉林长春·期中）已知是的中线，的周长比的周长大，若的周长为，且，求和的长． 【答案】的长为，的长度为 【分析】此题考查了三角形中线的性质，二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质．首先根据三角形中线的概念得到，然后根据的周长比的周长大，得到，由的周长为，且，得到，联立方程组即可求解． 解：是中线， ， ， ， ， ，且， ， 联立， ， 答：三角形中的长为的长度为． 【变式1】 （23-24七年级下·贵州毕节·期末）在，，，是边上的中线，若的周长为45，的周长是（   ） A．47 B．43 C．38 D．25 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的中线以及三角形的周长，掌握三角形的中线的定义是解题的关键．根据的周长为45，可得，再结合三角形中线的定义，即可求解． 解：的周长为45， ， 是边上的中线， ， ， ， ， 的周长是． 故选：B． 【变式2】 （24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，是的中线，若的周长比的周长大，则 ． 【答案】/8厘米 【分析】本题考查了三角形中线以及周长，属于基础题，熟练掌握三角形中线性质是解题关键． 根据三角形中线得定义可得，根据三角形周长公式即可求解． 解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【题型2】中线模型（面积） 【例题 2】 （21-22八年级上·云南红河·期中）如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】根据D是边BC的中点，可得．再由E是AD的中点，可得．然后根据F是CE的中点，可得，即可求解． 解：∵D是边BC的中点， ∴． ∵E是AD的中点， ∴，． ∴． 又∵F是CE的中点， ∴． 【点拨】本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键． 【变式1】 （24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，在中，是中线，，垂足分别为点、，若，，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用等面积法、三角形的中线，理解等面积法和掌握三角形中线的知识点是解题的关键．在中，因为是中线，所以和的面积相等；利用等面积法，即可求解． 解：∵在三角形中，是中线， ∴， ∴． ∵于E，于F，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】 （24-25七年级下·河北邢台·期末）如图是一块面积为的三角形纸板，点分别是线段的中点，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，由三角形中线的性质可得被分为个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是的，据此解答即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 解：连接， ∵点分别是线段的中点， ∴，，， ∴，，，，，， ∴被分为个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是的， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 【题型3】高线模型（等面积法） 【例题 3】 （24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，利用等积法，求出的值即可． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】 （24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，、是的两条高，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，熟记面积计算公式和认识三角形的底与高是解题的根本，关键是列出的方程． 根据三角形的面积公式列出的方程进行解答便可． 解：∵、是的两条高， ∴， 又∵，，， ∴ ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】 （24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积，连接，利用即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型4】双内角平分线模型 【例题 4】 （24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，在中，平分，平分，如果，那么 °． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 利用三角形内角和定理求出，再根据三等分线的定义求出，即可求出． 解：， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式1】 （24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是（    ） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是是解题关键．根据折叠得出，，再由三角形内角和和平角定义求出．根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得由此即可得答案． 解：由折叠可知：，， ∴，． ∴， 又∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，、分别平分和，连接，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理及三角形角平分线的性质，根据三角形的三条角平分线相交于同一点，得出平分是解题的关键．先由三角形的角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理得出，再由三角形的三条角平分线相交于同一点，可知平分，进而可求出答案． 解：平分，， ， 平分，， ， ． 在中，、分别平分和， 平分， ， 故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，平分，平分交于点．当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线定义，三角形内角和定理，三角形外角性质，由平分，平分，则，，通过三角形内角和定理可得，最后通过三角形的外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【题型5】内外角平分线模型 【例题 5】 （24-25八年级上·天津·阶段练习）已知：如图，射线是的外角的平分线．射线交于点，若，求证：平分． 【答案】见分析 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线定义，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．由角平分线定义得到，由三角形外角的性质推出，而，得到，即可证明平分． 解：证明：射线是的外角的平分线， ， ， ， ， ， ， 平分． 【变式1】 （24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在中，，点在的延长线上，与的平分线交于点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和，能灵活推导出与的关系是解决此题的关键．先求出，再推出，进而即可得解． 解：∵， ∴， ∵与的平分线交于点， ∴， ∵， ， ∴ ， 故答案为： ． 【变式2】 （24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，图形类的规律探索，结合图形，灵活运用所学知识求解，是解题的关键． 根据角平分线的性质和三角形外角性质得出和的关系，进而求出与的关系，找出规律，得到与的关系即可求解． 解：平分，平分， ， 又， 由， 得 ， ， 同理可求，，， 以此类推，可得，， 当时，，又， ． 故答案为：． 【题型6】双外角平分线模型 【例题 6】 （24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，分别是的外角平分线， （1）若，求的度数为 ． （2）若时，求的度数？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，解题关键是运用三角形的内角和等于180度，以及角平分线平分角的知识结合一起解答，在求角度时，有时不一定需要每个角都求出来，可以利用整体思想． （1）先由邻补角求得，再根据角平分线以及三角形内角和求得，最后在中再次运用三角形内角和即可求解； （2）求解方法同（1）． 解：（1）解：∵， ∴， ∵分别是的外角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵分别是的外角平分线， ∴， ∴， ∴． 【变式1】 （24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，的外角和的平分线交于点，则 ．，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义、三角形的外角的性质和“两直线平行内错角相等”，理解并掌握以上知识点是解答本题的关键． 本题先根据三角形外角性质可得，可求出的度数，接下来根据角平分线的定义，在中利用三角形内角和定理可以求得的度数．然后根据角平分线性质和平行线性质可得，即得到，再根据三角形内角和得到，两个式子联立即可求出的度数． 解：∵和是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∵三角形的外角和的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴． ∵，是的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴化简求得． 故答案为：，． 【变式2】 （24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，延长到D，的角平分线相交于点点．与的外角平分线交于点，与的外角平分线交于点，依次类推，与的外角平分线交于点，如果，那么 °．（用含m、n的表示）． 【答案】/ 【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的相关计算等知识．根据三角形外角的性质得到，，由角平分线的性质得到，，即可得到，同理可得，进一步得到答案即可． 解：∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理可得：， …， ∴， 故答案为：． 【题型7】角平分线+平行线模型 【例题 7】 （2023·河南安阳·二模）如图，在中，是的平分线，过点的射线与平行，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义可得，最后利用平行线的性质可得． 解：，， ， 是的平分线， ， ， ， 故选：B． 【点拨】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·山西太原·开学考试）如图，在中，，，是的角平分线，点E在上，且，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形内角和定理、平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据三角形内角和求出，由角平分线求出，最后由平行线的性质即可求出答案． 解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式2】（23-24七年级上·山东威海·期中）如图，是的角平分线，交于点D．若，，求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义，求出． 解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中，． 【题型8】燕尾模型 【例题 8】 （24-25七年级下·全国·课后作业）用三种不同的方法求图中五角星形的度数． 【答案】见分析 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质； 解法一：如图①，证明，．结合，即可得到答案； 解法二：如图②，作射线，同理可得：，结合，可得，再结合三角形的内角和定理可得答案； 解法三：如图③，连接，证明，结合，进一步可得答案． 解：解法一：如图①， ，分别是，的外角， ，． 在中，， ． 即．   解法二：如图②，作射线， 同理可得：， ∵， ∴， 又， ．   解法三：如图③，连接， 在中，， 在中，， ， ． 在中，， ， ， 即． 【变式1】 （24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”． （1）探究：观察“箭头四角形”，试探究图中与，，之间的关系，并说明理由； （2）应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： 如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 如图，，的三等分线，相交于点，若，，求的度数． 【答案】（1），理由见分析；（2）；． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角形的内角和定理即可求解； （）根据（）中结论即可求解； 设，，根据（）中结论即可求解． 解：（1）解：，理由： 连接， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：由（）得， ∵，， ∴， 故答案为：； 如图，设，， 由（）可知，， ∴， ∵， ∴． 【变式2】 （24-25八年级上·辽宁丹东·期末）［问题初探］（1）观察“基础图”图1，试探究与，，之间的关系，并说明理由；请你直接利用以上结论，解决以下问题： ［类比分析］（2）如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点，，若，直接写出的结果． ［拓展探究］（3）如图3，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】（1），证明见分析；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的外角，与角平分线有关的计算： （1）作射线AF，根据三角形的外角的性质可得结论：； （2）先根据三角尺可知：，根据（1）的结论可得：，从而得结论； （3）先根据第1题的结论可得：的度数，由角平分线可得：，从而得结论． 解：（1），理由是： 过点A、D作射线， ∵， ∴， 即； （2）∵， 由（1）知：， ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴． 【题型9】对顶三角形模型 【例题 9】 （2024八年级上·黑龙江·专题练习）填空： 已知：如图，，相交于点． 求证：． 证明： ， （等式性质）． 同理可得 ． 又 ， （等量代换）． 【答案】 三角形的内角和等于 1 2 对顶角相等 【分析】本题考查了三角形内角和定理、对顶角相等，由三角形内角和定理并结合对顶角相等证明即可． 解：证明：（三角形的内角和等于）， （等式性质）． 同理可得． 又（对顶角相等）， （等量代换） 故答案为：三角形的内角和等于，，，对顶角相等． 【变式1】 （24-25八年级上·山西朔州·期末）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． （1）求证：； （2）如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出，，之间的关系（不需要证明）． 【答案】（1）见分析；（2）①（答案不唯一）；②；③ 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①根据“8字型”的定义判断即可； ②由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ③根据角平分线的定义可得，，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 解：（1）证明：在中，， 在中，， ∵， ∴； （2）解：①以线段为边的“8字型”有：和，和，和； 以点为交点的“8字型”有：和，和，和，和； 故答案为：； ②∵在和中，， 在和中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∴； ③、、之间的关系为． 理由如下： 如下图，    ∵和分别平分和， ∴，， 在和中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴、、之间的关系为． 【变式2】 （24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则、、、之间的数量关系 ． （2）在图2中和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 【答案】 /度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解； （2）根据（1）的关系式求出，，然后利用“8字形”的关系式结合角平分线列式整理即可得解； 解：（1），， 又∵， ； （2），， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， 又， ； 故答案为：（1），（2） 【题型10】角平分线综合模型 【例题 10】 （23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，在中，，的平分线与的平分线交于点E，与的平分线交于点F，则 （用含的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线定义，列代数式，关键是由三角形内角和定理，角平分线定义求出，由角平分线定义求出，由三角形外角的性质得到 由角平分线定义得到，由三角形内角和定理求出，由角平分线定义求出，由三角形外角的性质得到，于是 解：平分，平分， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】 （24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，与的平分线相交于点P，的外角与的平分线交于点Q．延长线段，交于点E． （1）的度数为 ． （2）在中，若等于的3倍，则的度数为 ． 【答案】 /90度 /45度 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，角平分线的定义；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质是解题的关键． （1）首先利用角平分线定义即可解答， （2）利用角平分线定义和三角形外角的性质证明，然后求出，即可解答． 解：（1）解：平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： ． 【变式2】 （24-25七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，，、分别平分，，、、分别在、、的延长线上，、分别平分，，、分别平分、，则 ． 【答案】/44度 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和，三角形外角的性质， 先根据角平分线的定义得，进而求出，再根据角平分线的定义得，即可求出，接下来得出，然后根据角平分线的定义得，最后根据得出答案． 解：∵分别平分， ∴． ∵， 即， ∴． ∵分别平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵分别平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（2025·甘肃平凉·二模）如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的有关计算，掌握三角形中线的定义是关键． 根据三角形的中线，周长的计算得到，，根据的周长为，的周长为，得到与的周长之差为，由此即可求解． 解：的周长为， ∴， ∵是边上的中线， ∴，则， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴， ∴与的周长之差为， 故选：A ． 2．（20-21七年级下·广东清远·期末）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，若∠AED＝80°，则∠CDE的度数为（　　） A．30° B．40° C．60° D．80° 【答案】B 【分析】利用平行线的性质求出∠ACB，再利用角平分线的定义求出∠BCD，再根据平行线的性质求出∠CDE即可． 解：∵DE∥BC， ∴∠AED=∠ACB=80°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD=∠ACB=40°， ∵DE∥CB， ∴∠CDE=∠BCD=40°， 故选：B． 【点拨】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟握平行线的性质解决问题． 3．（24-25八年级上·广东惠州·期中）小枣一笔画成了如图所示的图形，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，由三角形外角的性质可得，则可求出，由平角的定义和三角形外角的性质可得． 解：如图所示，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）在中，点为上一点，连结并取的中点，连接，，取的中点，连结．若的面积为24，则的面积为（    ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积．熟练掌握三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 解：∵点是线段的中点， ∴，， ∴ ∵的面积为， ∴， ∵点是线段的中点， ∴． 故选：B． 5．（24-25七年级下·重庆北碚·期末）如图，在中，和的外角平分线相交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义得到，则，由平角的定义可得，则，据此由三角形内角和定理可得答案． 解：∵， ∴； ∵和的外角平分线相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．（24-25九年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，为延长线上一点，与的平分线相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，由三角形外角的性质可得，由角平分线的定义得到，再根据得到，则． 解：∵是的一个外角， ∴， ∵与的平分线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．（2025·新疆·三模）如图，，若，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质．根据平行线的性质求得，根据角平分线的定义得出，再根据三角形的外角性质，即可解答． 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， 故选：B． 二、填空题 8．（24-25七年级下·北京·期末）如图，为的中线，，，的周长为，则 的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握中线的定义是解题的关键；根据中线的定义得到，然后根据的周长可得，然后计算的周长即可． 解：∵为的中线， ∴， 又∵的周长为，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）在三角形中，，，，，点是边上的一个动点，则线段最短为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积公式，掌握垂线段最短是解题的关键． 根据垂线段最短可得当时，线段最短，再由面积法求解即可． 解：如图，当时，线段最短， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，、的角平分线相交于点P，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，延长交于点，设，利用三角形外角的性质表示出的度数，结合角平分线的等腰得到度数，根据列出等式，即可求出． 解：延长交于点，设交于F， 设， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，，作的延长线，与的角分线相交于，与的角分线相交于…以此类推，与的角分线相交于，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质以及角平分线性质． 由，，而、分别平分和，得到，，于是有，同理可得，即，因此找出规律． 解：∵、分别平分和， ∴，， 而，， ∴， ∴， 同理可得， 即， ∴， ∴，即． ∴ 故答案为：． 12．（21-22八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，四边形ABCD中，∠A＝80°，∠B＝20°，∠D＝25°，则∠BCD等于 度． 【答案】125 【分析】连接AC，延长到E，根据三角形外角的性质可得∠BCD＝∠B+∠D+∠BAD，即可求解． 解：如图，连接AC，延长到E， ∵∠BCE＝∠B+∠BAE，∠DCE＝∠D+∠DAE， ∴∠BCE+∠DCE＝∠B+∠BAE+∠D+∠DAE， ∵∠BCD＝∠BCE+∠DCE，∠BAD＝∠BAE+∠DAE， ∴∠BCD＝∠B+∠D+∠BAD， ∵∠BAD＝80°，∠B＝20°，∠D＝25°， ∴∠BCD＝20°+25°+80°＝125°． 故答案为：125． 【点拨】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 13．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，在中，是的角平分线，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，由角平分线的定义可得的度数，再由三角形内角和定理即可求出答案． 解：∵是的角平分线，， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·山东淄博·期中）如图，在中，平分，平分，，分别在的延长线上，平分，平分，平分，平分，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质计算即可得到答案． 解：∵在中，， ． 平分，平分， ，， ， ． ∵平分，平分， ， ． 平分， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 15．（22-23八年级上·北京海淀·期中）如图，中，和的平分线交于点F，过点F作，交于点E，交于点D． （1）试确定、、之间的数量关系； （2）若，求的周长． 【答案】（1）；（2）的周长为a 【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质，通过等量代换可得，，进而得到，，即可推出． （2）利用（1）中结论，通过等量代换可得． 解：（1）解：由题意知，平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即． （2）解：∵， ∴， 由（1）知， ∴， 即的周长为a． 【点拨】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，以及等腰三角形“等角对等边”等知识点，掌握上述知识点，熟练进行等量代换是解题的关键． 16．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，，平分，点A，B，C分别是射线，，上的动点（点A，B，C不与点O重合），且，连接交射线于点D． （1）求的度数； （2）当中有两个相等的角时，求的度数． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，关键是要分两种情况讨论． （1）由角平分线定义得到，由平行线的性质推出； （2）分和两种情况，由三角形内角和定理，即可计算． 解：（1）解：，平分， ， ， ； （2）解：，， ∴， 当时， ； 当时， ， ， ； 或． 17．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，中，分别在，上．已知，，． （1）求证：平分； （2）过点作的平分线交于点，若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形的内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，，进而得出，即可求证； （2）先求出，再得出，则把数值代入进行计算，即可作答． 解：（1）证明：∵， ∴，， ∴． ∴， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）得 ∴． 18．（24-25八年级上·河南三门峡·阶段练习）如图（1）已知的外角与的平分线相交于点P，如图（2）已知的内角与外角的角平分线相交于点P． 选择其中一个图形猜想与的关系并证明你的猜想． 解：我选择的是_________，猜想结论：_________． 证明： 【答案】图（1），结论：或图（2），结论：．证明见分析． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义和三角形的外角的性质．熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角的性质是解题的关键． （1）图（1）中，根据三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质进行推导，得； （2）图（2）中，根据角平分线定义和三角形的外角的性质，可以得到． 解：图（1），结论：． 证明如下： ，， ． ，分别是外角，的角平分线， ． 即：； 图（2），结论：． 证明如下： ，分别是的内角与外角的角平分线， ，． 是的外角， ． ， ． 故答案为：图（1），结论：或图（2），结论：． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，中，D，E分别为，的中点，且的面积为4，则图中阴影部分面积为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据D，E分别为，的中点，得， ，于是得到，解答即可． 本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，熟练掌握中线的意义是解题的关键． 解：∵D，E分别为，的中点， ∴，， ∴， ∵的面积为4， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线定义等知识点，掌握三角形内角和定理成为解题的关键． 先求出，进而求出，再根据角平分线定义得及，最后根据三角形内角和定理求解即可． 解：∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交分线交于点， ∴， ∴． ∵和的平分线交于点M， ∴， ∴， 在中，， 即：． 故选：C． 3．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由三角形外角的性质得到，，继而得到，即可得到答案． 解：如图， ，， ， 故选：C． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的外角，平分，平分，且，相交于点D．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角的定义，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； 根据角平分线的定义可得，，可得，进而求解； 解：平分，平分， ，， ， ； 故选：B 5．（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，的外角与的三等分线交于点，即，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，根据三角形内角和定理求出，结合三等分线可求出，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求出，根据三角形外角的性质求出，根据角平分线定义和三角形外角的性质可求出，即可求解． 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 又，， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∵的平分线与的外角的平分线交于点， ∴，， 又， ∴， 故选：C． 6．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，分别平分的内角、外角、外角．下列结论中，不正确的结论是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线定义，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用等知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴，故选项A的结论正确，不符合题意； ∵平分， ∴， ∵，，， ∴，故选项B的结论正确，不符合题意； ∵， ∴ ， 即， 故选项C的结论不正确，符合题意； 在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故选项D的结论正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 7．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线的性质得到，再根据三角形周长计算公式推出，据此可得答案． 解：∵是的边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）已知：，点B、C在的两边上，点P为平面内一点，且，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形的内角和与三角形的外角性质，全面分类、熟练掌握三角形的内角和与三角形的外角性质是解题的关键； 分三种情况：当点P在的内部时，当点P在的外部时，若点P在上方，当点P在的外部时，若点P在下方，分别画出图形，利用三角形的内角和与三角形的外角性质即可求解． 解：当点P在的内部时，如图，延长交于点D， 则， ∴； 当点P在的外部时，若点P在上方，如图，设交于点E， ∵， ∴， ∴； 当点P在的外部时，若点P在下方，如图，设交于点E， ∵， ∴， ∴； 综上：或或； 故答案为：或或． 9．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，平分，平分，且，若，，则 ． 【答案】132 【分析】根据角平分线的定义得到，，然后得到，求出，得到，然后根据平行线的性质和邻补角互补求解即可． 解：∵平分，平分， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：132． 【点拨】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 10．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，点，分别在，上，平分，平分，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形内角和、角平分线定义，熟记三角形内角和定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，根据邻补角定义及角平分线定义求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 解：，， ， ， 平分，平分， ， ； 故答案为： 11．（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）如图，和相交于点O，，，，分别平分和．若，则 °． 【答案】/20度 【分析】本题考查了角平分线的定义和三角形的内角和定理，能熟记三角形的内角和等于是解此题的关键． 设与交于点与交于点，根据角平分线的定义得出，设，则，求出，根据三角形内角和定理得出，求出，根据三角形内角和定理求出，求出，求出，求出，根据三角形内角和定理得出，再求出答案即可． 解：设与交于点与交于点， ∵分别平分和， ， 设，则， ， ， 在和中，， ， ， ， 即， ， ， ， 解得：， 即， ， ， ， ，得， ， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·河北保定·期末）已知在中，． 在图（1）中，、的平分线交于点，则计算可得； 在图（2）中，设、的三等分线相交于点，，则计算可得； 在图（3）中请你猜想，当、同时等分时，等分线分别对应交于、、…，则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义及三等分线，n等分线的定义．根据三角形的内角和等于得出，再根据n等分的定义求出的度数，在中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解． 解：在中，， ， ∵和分别是的n等分线， ； ． 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，的平分线相交于点O． （1）若，，求的度数； （2）若，直接写出______； （3）若，，请猜想和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见分析 【分析】本题考查三角形内角和定理与角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）利用角平分线的定义求出和，再利用三角形内角和定理求解； （2）根据推出，根据角平分线的定义得出，，最后利用三角形内角和定理求解； （3）当时，，同（2）可得． 解：（1）解：∵的平分线相交于点O，，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 由角平分线的定义得，， ∴ ； （3）解：猜想：，理由如下： 同（2）可得当时，，，， ∴ ， 即． 14．（2025七年级下·山东·专题练习）【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； 解：（1）如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，， 故答案为：；． （2）∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 15．（24-25七年级下·山东威海·期中）【认识模型】 （1）如图①，相交于点O，连接，可以得出四个角之间的等量关系是 ；（直接写结果） 【应用模型】 （2）如图②，相交于点A，为的平分线，交于点H，为的平分线，交于点G．写出间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图③，求的度数． 【答案】（1）；（2），证明见分析；（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得，再由即可得到结论； （2）由角平分线的定义可得，同（1）可得，，把两式相加即可得到结论； （3）令的交点为O，连接，连接并延长交于点H，同（1）可得，再证明即可得到答案． 解：（1）∵，， ∴； （2），证明如下： ∵平分平分， ∴， 同（1）可得，， ∴ ∴； （3）如图，令的交点为O，连接，连接并延长交于点H， 同（1）可得， ∵（可把四边形的内角和看成两个三角形的内角和）， ， ∴， ∵， ∴． 16．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，已知，A，B两点同时从点O出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动，点C为三条内角平分线交点，连接，． （1）当时，求的度数； （2）点A，B在运动的过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； （3）连接并延长，与的角平分线交于点P，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）的度数不变，；（3）°或 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形角平分线，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质． （1）先根据三角形的内角和定理求出的角度，再根据角的定义平分线得到，，最后根据三角形内角和定理即可解答； （2）根据三角形的内角和求出，根据角平分线定义得出，，最后根据三角形内角和定理即可解答； （3）设，根据题意，表示出的三个内角，分类讨论，即可解答． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵点C为三条内角平分线交点， ∴，， ∴； （2）解：的度数不变， 理由：∵， ∴， ∵点C为三条内角平分线交点， ∴，， ∴ ； （3）解：为或． 设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中有一个角是另一个角的2倍， ∴①若，则，解得：（舍）， ②若，则，解得：， ③若，则，解得：， ④若，则，解得：， 综上，在中有一个角是另一个角的2倍时，为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 13.3 与三角形有关的线段与角几何模型 目录 一知识梳理 1 【知识点1】几何模型的理解 1 【知识点2】三角形中线、高线、角平分线几何模型 1 二题型分类精析 3 【题型1】中线模型（周长） 3 【题型2】中线模型（面积） 3 【题型3】高线模型（等面积法） 4 【题型4】双内角平分线模型 5 【题型5】内外角平分线模型 6 【题型6】双外角平分线模型 6 【题型7】角平分线+平行线模型 7 【题型8】燕尾模型 8 【题型9】对顶三角形模型 10 【题型10】角平分线综合模型 11 三同步练习 12 【基础巩固（16题）】 12 【能力提升（16题）】 17 一.知识梳理 【知识点1】几何模型的理解 （1）定义：是基于几何图形的结构特征、位置关系及数量关系，经过抽象提炼后形成的标准化模式.（2）作用：它是将复杂几何问题转化为固定框架的重要工具，能帮助学生快速识别图形本质，调用对应定理或方法解决问题，具有可推广的解题思路与规律作用。 【知识点2】三角形中线、高线、角平分线几何模型 名称 基本图形 条件 结论 中线模型 （1） ； （2） 高线模型 （1）; （2） 双内角平分线模型 内外角平分线模型 双外角平分线模型 内角平分线与平行线模型 对顶三角形模型 燕尾模型 二．题型分类精析 【题型1】中线模型（周长） 【例题 1】 （24-25七年级下·吉林长春·期中）已知是的中线，的周长比的周长大，若的周长为，且，求和的长． 【变式1】 （23-24七年级下·贵州毕节·期末）在，，，是边上的中线，若的周长为45，的周长是（   ） A．47 B．43 C．38 D．25 【变式2】 （24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，是的中线，若的周长比的周长大，则 ． 【题型2】中线模型（面积） 【例题 2】 （21-22八年级上·云南红河·期中）如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，求阴影部分的面积． 【变式1】 （24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，在中，是中线，，垂足分别为点、，若，，则是（    ） A． B． C． D． 【变式2】 （24-25七年级下·河北邢台·期末）如图是一块面积为的三角形纸板，点分别是线段的中点，则阴影部分的面积为 ． 【题型3】高线模型（等面积法） 【例题 3】 （24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，求的值． 【变式1】 （24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，、是的两条高，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】 （24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 【题型4】双内角平分线模型 【例题 4】 （24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，在中，平分，平分，如果，那么 °． 【变式1】 （24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是（    ） A．100° B．110° C．120° D．130° 【变式2】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，、分别平分和，连接，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，平分，平分交于点．当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型5】内外角平分线模型 【例题 5】 （24-25八年级上·天津·阶段练习）已知：如图，射线是的外角的平分线．射线交于点，若，求证：平分． 【变式1】 （24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在中，，点在的延长线上，与的平分线交于点，则的度数是 ． 【变式2】（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则的大小为 ． 【题型6】双外角平分线模型 【例题 6】 （24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，分别是的外角平分线， （1）若，求的度数为 ． （2）若时，求的度数？ 【变式1】 （24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，的外角和的平分线交于点，则 ．，则 ． 【变式2】 （24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，延长到D，的角平分线相交于点点．与的外角平分线交于点，与的外角平分线交于点，依次类推，与的外角平分线交于点，如果，那么 °．（用含m、n的表示）． 【题型7】角平分线+平行线模型 【例题 7】 （2023·河南安阳·二模）如图，在中，是的平分线，过点的射线与平行，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·山西太原·开学考试）如图，在中，，，是的角平分线，点E在上，且，的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·山东威海·期中）如图，是的角平分线，交于点D．若，，求的度数．    【题型8】燕尾模型 【例题 8】 （24-25七年级下·全国·课后作业）用三种不同的方法求图中五角星形的度数． 【变式1】 （24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”． （1）探究：观察“箭头四角形”，试探究图中与，，之间的关系，并说明理由； （2）应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： 如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 如图，，的三等分线，相交于点，若，，求的度数． 【变式2】 （24-25八年级上·辽宁丹东·期末）［问题初探］（1）观察“基础图”图1，试探究与，，之间的关系，并说明理由；请你直接利用以上结论，解决以下问题： ［类比分析］（2）如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点，，若，直接写出的结果． ［拓展探究］（3）如图3，平分，平分，若，，求的度数． 【题型9】对顶三角形模型 【例题 9】 （2024八年级上·黑龙江·专题练习）填空： 已知：如图，，相交于点． 求证：． 证明： ， （等式性质）． 同理可得 ． 又 ， （等量代换）． 【变式1】 （24-25八年级上·山西朔州·期末）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． （1）求证：； （2）如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出，，之间的关系（不需要证明）． 【变式2】 （24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则、、、之间的数量关系 ． （2）在图2中和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 【题型10】角平分线综合模型 【例题 10】 （23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，在中，，的平分线与的平分线交于点E，与的平分线交于点F，则 （用含的代数式表示）． 【变式1】 （24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，与的平分线相交于点P，的外角与的平分线交于点Q．延长线段，交于点E． （1）的度数为 ． （2）在中，若等于的3倍，则的度数为 ． 【变式2】 （24-25七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，，、分别平分，，、、分别在、、的延长线上，、分别平分，，、分别平分、，则 ． 三．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（2025·甘肃平凉·二模）如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（20-21七年级下·广东清远·期末）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，若∠AED＝80°，则∠CDE的度数为（　　） A．30° B．40° C．60° D．80° 3．（24-25八年级上·广东惠州·期中）小枣一笔画成了如图所示的图形，若，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）在中，点为上一点，连结并取的中点，连接，，取的中点，连结．若的面积为24，则的面积为（    ） A．4 B．6 C． D．8 5．（24-25七年级下·重庆北碚·期末）如图，在中，和的外角平分线相交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，为延长线上一点，与的平分线相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·新疆·三模）如图，，若，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25七年级下·北京·期末）如图，为的中线，，，的周长为，则 的周长为 ． 9．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）在三角形中，，，，，点是边上的一个动点，则线段最短为 ． 10．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，、的角平分线相交于点P，若，，则的度数为 ． 11．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，，作的延长线，与的角分线相交于，与的角分线相交于…以此类推，与的角分线相交于，则 度． 12．（21-22八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，四边形ABCD中，∠A＝80°，∠B＝20°，∠D＝25°，则∠BCD等于 度． 13．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，在中，是的角平分线，，则 ． 14．（24-25七年级下·山东淄博·期中）如图，在中，平分，平分，，分别在的延长线上，平分，平分，平分，平分，则的度数是 ． 三、解答题 15．（22-23八年级上·北京海淀·期中）如图，中，和的平分线交于点F，过点F作，交于点E，交于点D． （1）试确定、、之间的数量关系； （2）若，求的周长． 16．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，，平分，点A，B，C分别是射线，，上的动点（点A，B，C不与点O重合），且，连接交射线于点D． （1）求的度数； （2）当中有两个相等的角时，求的度数． 17．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，中，分别在，上．已知，，． （1）求证：平分； （2）过点作的平分线交于点，若，求的度数． 18．（24-25八年级上·河南三门峡·阶段练习）如图（1）已知的外角与的平分线相交于点P，如图（2）已知的内角与外角的角平分线相交于点P． 选择其中一个图形猜想与的关系并证明你的猜想． 解：我选择的是_________，猜想结论：_________． 证明： 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，中，D，E分别为，的中点，且的面积为4，则图中阴影部分面积为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 2．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，等于（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的外角，平分，平分，且，相交于点D．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，的外角与的三等分线交于点，即，．若，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，分别平分的内角、外角、外角．下列结论中，不正确的结论是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则 ． 8．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）已知：，点B、C在的两边上，点P为平面内一点，且，则 ． 9．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，平分，平分，且，若，，则 ． 10．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，点，分别在，上，平分，平分，若，则的度数为 ． 11．（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）如图，和相交于点O，，，，分别平分和．若，则 °． 12．（24-25八年级上·河北保定·期末）已知在中，． 在图（1）中，、的平分线交于点，则计算可得； 在图（2）中，设、的三等分线相交于点，，则计算可得； 在图（3）中请你猜想，当、同时等分时，等分线分别对应交于、、…，则 （用含的代数式表示）． 三、解答题 13．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，的平分线相交于点O． （1）若，，求的度数； （2）若，直接写出______； （3）若，，请猜想和之间的数量关系，并说明理由． 14．（2025七年级下·山东·专题练习）【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系． 15．（24-25七年级下·山东威海·期中）【认识模型】 （1）如图①，相交于点O，连接，可以得出四个角之间的等量关系是 ；（直接写结果） 【应用模型】 （2）如图②，相交于点A，为的平分线，交于点H，为的平分线，交于点G．写出间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图③，求的度数． 16．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，已知，A，B两点同时从点O出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动，点C为三条内角平分线交点，连接，． （1）当时，求的度数； （2）点A，B在运动的过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； （3）连接并延长，与的角平分线交于点P，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$