精品解析：广东省深圳实验学校高中部2024-2025学年高一下学期第一次段考数学试卷

广东省深圳实验学校高中部高一（下）第一次段考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 2. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则与方向相同或相反 B. 若，则 C. “”是，共线”的充要条件 D. 若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 3. 设向量，，向量与的夹角为锐角，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知在中，，若满足条件的三角形有且只有一个，则a的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ） A. 船头方向与水流方向垂直 B. C. D. 该船到达对岸所需时间为3分钟 7. 如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断不正确的是（ ） A. 满足的点P必为的中点 B. 满足的点P有两个 C. 满足的点P有且只有一个 D. 的点P有两个 8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若复数．则下列命题是真命题的是（ ） A. B. C. D. 若是关于的方程的根．则 10. 在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，下面四个结论中正确的是（ ） A. ，，则的外接圆半径是4 B. 若，则一定是钝角三角形 C. 若，则为直角三角形 D. 11. 已知点P在所在的平面内，角A、B、C的对边分别是a、b、c，则下列命题正确的是（ ） A. 若P为的垂心，，则 B. 若，则O为的内心 C. 若为锐角三角形且外心为P，且，则 D. 若，则点P在边BC 的垂直平分线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，，则在方向上的投影向量坐标为________. 13. 某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图所示.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为、、，，米，则该建筑的高度______米. 14. 已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数是纯虚数，且是实数，其中是虚数单位. （1）求复数； （2）若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围 16. 如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 17. 在①；②；③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 问题：已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_____. （1）求角A的大小； （2）求的取值范围； （3）若BC边上的中线长为，，求的面积. 18. 克罗狄斯托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号.如图，半圆O的直径为4cm，A为直径延长线上的点，，B为半圆上任意一点，以AB为一边作如图所示的等边三角形 （1）在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值； （2）当线段OC的长取最大值时，求的大小； （3）求面积的最大值. 19. 对于平面向量，定义“变换”：， （1）若向量，，求； （2）求证：； （3）已知，，且与不平行，，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳实验学校高中部高一（下）第一次段考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法求出z，再根据复数模的意义得解. 【详解】∵，则z=-1+i， 所以. 故选：B 2. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则与方向相同或相反 B. 若，则 C. “”是，共线”的充要条件 D. 若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的定义可判定A；由向量数量积的性质及运算可判定B；由向量共线的性质可判定C；由向量相等的定义可判定D. 【详解】对于A，当或时，有， 但与方向相同或相反不一定成立，故A错误； 对于B，若，则， 则，即，故B正确； 对于C，由，可得，共线， 若，，则，但不存在实数，使得， 故“”是，共线”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，两个单位向量互相平行，它们的方向可能相同也可能相反， 则这两个单位向量不一定相等，故D错误． 故选：B. 3. 设向量，，向量与的夹角为锐角，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据向量与的夹角为锐角，可得且，即可求解. 【详解】由向量，，因为向量与的夹角为锐角，则且，解得且，即的取值范围为. 故选：.C. 4. 已知在中，，若满足条件的三角形有且只有一个，则a的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理和三角形解的个数可得答案. 【详解】由正弦定理可得， 若满足条件的三角形有且只有一个，则或， 所以或， 可得或. 故选：D. 5. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得出向量线性关系，结合向量数量积公式计算求解模长即可. 【详解】在中，， 所以， 则 . 故选：C. 6. 如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ） A. 船头方向与水流方向垂直 B. C. D. 该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】B 【解析】 【分析】由向量加法的平行四边形法则结合向量模的求法判断C；求解直角三角形可得判断A；结合诱导公式求得判断B；求出船到达对岸的时间判断D. 【详解】解：如图， 是河对岸一点，且与河岸垂直，那么当这艘船实际沿方向行驶时船的航程最短， ，，故C错误； 设船头方向与的夹角为，则，则船头方向与水流方向不垂直，故A错误； ，故B正确； 该船到达对岸的时间为分钟，故D错误． 故选：B. 7. 如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断不正确的是（ ） A. 满足的点P必为的中点 B. 满足的点P有两个 C. 满足的点P有且只有一个 D. 的点P有两个 【答案】A 【解析】 【分析】建立坐标系，讨论P点所在位置的不同情况，依次求出的范围，再判断每个选项的正误，即可得出结果. 【详解】如图建系，取， ， 动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点， 当时，有且，∴，∴， 当时，有且，则， 当时，有且，则，∴，∴， 当时，有且，则， 综上，， 选项A：取，满足，此时， 因此点P不一定是的中点，故A错误； 选项B：若， 当时，，则，点P为B点； 当时，，则，，点P为B点； 当时，，则，点P为的中点， 所以满足的点P有两个，故B正确； 选项C：若， 当时，有，则，，得点P为点； 当时，有，则，点P为点， 所以满足的点P有且只有一个，故C正确； 选项D：若， 当时，有，故，，此时， 当时，有，故，， 此时点P有两个，故D正确； 故选：A. 8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由题意结合正弦定理得，再由得，接着结合基本定理得，故，进而可求得和，再由即可求解. 【详解】由题以及正弦定理得， 所以由余弦定理得， 所以由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以，故，则， 因为，所以，所以即， 此时即，解得， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键由题意得后利用基本不等式推出，从而得，进而解出角A和c边. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若复数．则下列命题是真命题的是（ ） A. B. C. D. 若是关于的方程的根．则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义结合复数的乘法可判断A选项；利用复数的除法可判断B选项；利用复数的模长公式可判断C选项；利用韦达定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，因为，故，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，由题意可知，关于的方程的两虚根分别为、， 由韦达定理可得，可得，故，D对. 故选：ACD. 10. 在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，下面四个结论中正确的是（ ） A. ，，则的外接圆半径是4 B. 若，则一定是钝角三角形 C. 若，则为直角三角形 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由正弦定理计算判断A；由余弦定理可判断B，由正弦定理和三角恒等变换计算判断C；分为锐角三角形或直角三角形和钝角三角形讨论即可判断D. 【详解】对于A，设的外接圆半径是R，因为，， 所以由正弦定理得：，解得，故A错误； 对于B，因为，所以由余弦定理得：， 所以C为钝角，所以一定是钝角三角形，故B正确； 对于C，由，由正弦定理得，所以， 因为A，，所以或，故C错误； 对于D，若为锐角三角形或直角三角形，有； 若为钝角三角形，不妨设C为钝角，有，，， 所以，故D正确． 故选：BD. 11. 已知点P在所在的平面内，角A、B、C的对边分别是a、b、c，则下列命题正确的是（ ） A. 若P为的垂心，，则 B. 若，则O为的内心 C. 若为锐角三角形且外心为P，且，则 D. 若，则点P在边BC 的垂直平分线上 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用数量积的定义计算判断A；只需证明点O在角A、B、C的平分线上判断B；取AB中点F，利用共线向量定理的推论推理判断C；取BC中点M，利用向量线性运算及数量积计算判断D. 【详解】解：对于A，P为的垂心，令直线CP交AB于H，有， 如图， 所以， ， 因此，故A正确； 对于B，因为，且，， 所以， 则，即， 得点O在的平分线上，同理可得，点O在、的平分线上， 故O为的内心，故B正确； 对于C，P为锐角的外心，取AB中点F，则， 如图， 由，，得， 因为，所以， 即，亦即， 则点C，P，F三点共线，因此CF垂直平分边AB，有， 没有条件确保有成立，故C错误； 对于D，取BC中点M，则，如图， 由， 得， 即， 因此， 所以，则点P在边BC 的垂直平分线上，故D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，，则在方向上的投影向量坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的意义求解即可. 【详解】向量，，则， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为： 13. 某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图所示.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为、、，，米，则该建筑的高度______米. 【答案】 【解析】 【分析】设，由题可得，，，由得B是AC的中点，在和中，由余弦定理建立方程求解即可． 【详解】设，在直角三角形OAP中，由，得， 在直角三角形OBP中，由，得， 在直角三角形OCP中，由，得， 由，可得B是AC的中点，所以， 因为，则， 在，中，由余弦定理可得：， 解得，所以该建筑的高度OP为米． 故答案为： 14. 已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题设，取，结合平面向量基本定理，可得为等腰直角三角形，再建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算，结合二次函数配方法求得最值即可． 【详解】取，连接，如图所示， 则， 设，则B，D，E三点共线， 由，可知当时，有最小值， 故，即为等腰直角三角形， 以A为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则，，设，， 则，， 故， 故当时，可得的最小值是 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数是纯虚数，且是实数，其中是虚数单位. （1）求复数； （2）若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设且，化简得到，结合题意得到，即可求解； （2）由，求得，根据题意得到且，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，设，其中且， 可得， 因为为实数，可得，解得，即. 【小问2详解】 解：由，则， 因为复数所表示的点在第一象限，可得且， 解得，所以实数的取值范围为. 16. 如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】（1）， （2） ， 又，故， 故三点共线. 【解析】 【分析】（1）借助向量加法法则与减法法则计算即可得； （2）借助向量线性运算法则可用表示出，再利用向量共线定理推导即可得证. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 略 17. 在①；②；③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 问题：已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_____. （1）求角A的大小； （2）求的取值范围； （3）若BC边上的中线长为，，求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据正弦定理，余弦定理即可求解； 根据两角和差公式即可求解； 根据向量关系即可求解． 【小问1详解】 选择条件①，因为， 由正弦定理，得，将代入条件①， 则， 因，，约去，得， 展开，即， 移项得，即，又，所以； 选择条件②，根据题意可知，， 等式两边同乘abc，得，由正弦定理，则， 因为，，所以， 因，，约去，得，故； 选择条件③，由余弦定理， 代入条件③，则⟹，化简得：， 对比余弦定理，得，即，因为，所以； 【小问2详解】 由，得，即， ， 因为，所以，， 故的取值范围是； 【小问3详解】 设BC中点为D，，，， 由向量关系，平方得， 即，即⟹，解得舍负， 面积 18. 克罗狄斯托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号.如图，半圆O的直径为4cm，A为直径延长线上的点，，B为半圆上任意一点，以AB为一边作如图所示的等边三角形 （1）在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值； （2）当线段OC的长取最大值时，求的大小； （3）求面积的最大值. 【答案】（1）时，四边形OACB的面积的最大值为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用表示四边形面积，求出最大值即可； （2）利用题中定理建立不等式，求出角的大小； （3）利用三角函数表示出三角形的面积，求出最大值． 【小问1详解】 设，因为，， 由余弦定理可得， ， 所以 ， 当，即时，四边形OACB的面积的最大值为. 【小问2详解】 在任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和， 当且仅当对角互补时取等号， 因为为等边三角形， 即， 即， 所以OC的最大值为6，此时， 在中，由（1）可得， 可得， 由余弦定理可得， 因为，所以. 【小问3详解】 由（1）可得， 在中，由正弦定理可得， 可得， ， 可得 ， 所以当，即，得， 所以当时，取得最大值为 19. 对于平面向量，定义“变换”：， （1）若向量，，求； （2）求证：； （3）已知，，且与不平行，，，求证：． 【答案】（1） （2） 因为. 所以 . . ，所以. （3） 方法一：， ， 由（2）可得， 又因为 ，即， 可得， 且在内单调递减，， 可知， 所以. 所以 方法二:设， ， 因为， ， 所以 ， 所以. 【解析】 【分析】（1）直接代入公式即可得到答案； （2）计算得，从而，再展开计算即可证明； （3）方法一：根据“变换”和向量数量积的坐标公式得到，从而有，最后利用三角形面积公式即可证明；方法二：证明三角形面积公式为，再代入公式证明即可. 【小问1详解】 因为向量 所以 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是证明出，从而得到两向量夹角相等，最后再利用三角形面积公式即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $