精品解析：贵州省六盘水市2023-2024学年高一下学期期末学业质量监测数学试题

启用前★注意保密 六盘水市2023-2024学年度高一年级学业质量监测试题卷 数学 （考试时长：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先化简集合，再根据集合与集合的关系，元素与集合的关系判断即可. 【详解】因为， 所以，，，故正确的只有A. 故选：A 2. 下列图形中，可以表示函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的定义即可得解. 【详解】通过平移直线，只有B选项的图象满足： 其图象和直线至多有一个交点，即只有B选项符合题意. 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】运用复数乘法化简，结合模公式求解. 【详解】，则. 故选：B. 4. 已知函数且，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 若，则 C. 函数的图象恒过定点 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的性质即可求解. 【详解】函数且为指数函数，指数函数的定义域为，值域为，故A错误； 若，则在上单调递增，所以，则，故B错误； 指数函数的图象恒过定点，故C正确； 若，则在上单调递减，则由，得，故D错误； 故选：C. 5. 已知长方体的长､宽､高分别为，则这个长方体外接球的表面积与体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】长方体的外接球直径为体对角线，求出半径即可. 【详解】长方体的外接球直径为体对角线，且，则. . 故选：D. 6. 在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件将用表示，即可求出，从而可求出结果. 【详解】 因为D是BC边上靠近点的三等分点，E是的中点， 所以， 所以， 因为不共线，所以， 所以. 故选：C. 7. 已知函数是定义域为的奇函数，.当时，，则（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由周期函数、奇函数的性质即可求解. 【详解】由题意， 所以的周期是4， 所以. 故选：A. 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦的两角和差公式和切化弦思想，即可求出结果. 【详解】由已知得：； ； 两式相加得：， ， ， 所以， 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图在正方体中，分别是的中点，则下列选项正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 四点共面 D. 与所成的角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线面平行判定定理，线面垂直判定定理，两直线平行确定共面，两直线夹角定义法判断各个选项. 【详解】对于A，在正方体中，连接, 因为分别是的中点，所以， 又平面，平面，因此平面，A正确； 对于B，在正方体中，平面，面，所以， 因为，是平面内的两条相交直线，所以平面， 由面，则，分别是的中点，有，所以； 在正方体中，平面，面，所以， 因为，是平面内的两条相交直线，所以平面， 由面，则，又，所以， 又因为平面内两条相交直线，则平面，B正确； 对于C，由上可知，两条平行线可以确定一个平面，所以四点共面，C正确； 对于D，连接相交于点，连接， 在正方形，点为的中点，可得，所以为与所成的角， 设正方体的边长为2，,，， 因为，，D错误； 故选：ABC. 10. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，举反例即可判断；对于BCD，结合基本不等式的相关知识即可判断. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，由基本不等式可得，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（ ） A. 面积为 B. 若为非零向量，且，则 C. 若，则的最小值为 D. 已知点为坐标原点，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，直接由新定义结合三角形面积公式即可验证；对于B，建立关于方程，从而即可判断；对于C，由已知得出，结合模的公式以及基本不等式即可判断；对于D，由新定义结合向量数量积、模的坐标公式即可验算. 【详解】A：，选项A错误； B：若为非零向量，，则，选项B正确； C：， 则当且仅当时取到“”，选项C正确； D：已知点为坐标原点，则，选项D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于充分理解新定义和原理数量积的联系与区别，由此即可顺利得解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先表示出，，再根据线性运算坐标表示计算可得. 【详解】因为， 所以，， 所以. 故答案为： 13. 已知函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数计算即可. 【详解】，， 所以， 故答案为： 14. 已知分别为三个内角的对边，且，则面积的最大值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用余弦定理和均值不等式来求面积的最大值. 【详解】由题意得：， 由余弦定理得： 即，当且仅当时取等号. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知二次函数的图象经过点且对称轴为. （1）求的解析式； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入点，结合对称轴列方程可解； （2）列不等式，解出即可. 【小问1详解】 二次函数图象经过点和对称轴为， ，， . 【小问2详解】 ，， ，， 不等式的解集. 16. 已知函数， （1）求函数的最小正周期； （2）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；再向左平移个单位长度，得到函数的图象.当时，求函数的最值. 【答案】（1） （2），无最大值 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简原函数，再求最小正周期即可. （2）先求出变换后的三角函数图像，再利用三角函数的最值求解即可. 【小问1详解】 ， ， 函数的最小正周期； 【小问2详解】 由（1）知， 把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 得到，再向左平移个单位长度得， 当时，单调递减，当时，单调递增， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，且无最大值. 17. 如图，直三棱柱中，分别是中点，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）只需证明，其中点是与的交点，然后结合线面平行的判定定理即可得解； （2）思路一：由等体积法求线面角；思路二：用定义得出直线与面所成角为，结合解三角形知识即可求解. 【小问1详解】 连接，连结交于点，则为中点， 又是中点，连结，则是的中位线， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 方法一：由题意设，记点到平面距离为， 在中，是的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以， 又，，平面， 所以平面； 平面，， ， ， ， ， ， 记直线与平面所成角为， 方法二：过作的垂线，垂足为，连接. 在中，是的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以， 又，，平面， 所以平面； 平面， ， 又因为，，平面， 所以平面， 则直线与面所成角为， 在中由，由题意设， 知，求得. 则 18. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号.作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，又是文明城市的主要创造者.六盘水市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛（满分100分），从所有答卷的成绩中抽取了容量为100的样本，将样本（成绩均为不低于50分的整数）分成五段：得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值和估计样本的下四分位数； （2）按照分层抽样的方法，从样本中抽取20份成绩，应从中抽取多少份； （3）已知落在的平均成绩是53，方差是4；落在的平均成绩为65，方差是7，求成绩落在的平均数和方差. （注：若将总体划分为若干层，随机抽取两层，通过分层随机抽样，每层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记这两层总的样本平均数为，样本方差为，则） 【答案】（1）， （2）人 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程求出的值，再根据百分位数计算规则计算可得； （2）根据分层抽样计算规则计算可得； （3）首先求出各组的人数，再根据平均数、方差公式计算可得. 【小问1详解】 由已知可得由已知可得 ， 样本成绩在分以下的答卷所占的比例为， 样本成绩在分以下的答卷所占的比例为， 因此样本成绩的下四分位数一定位于内，设为，则，解得， 所以因此样本成绩的下四分位数为； 【小问2详解】 按照分层抽样的方法，从样本中抽取份成绩，抽样的比例为， 样本成绩在有人， 则从样本成绩中抽取人； 【小问3详解】 落在的人数为人， 落在的人数为人， 两组成绩的总平均数， 两组成绩的总方差. 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”. （1）求证：是函数的一个“优美区间”； （2）求证：函数不存在“优美区间”； （3）已知函数有“优美区间”，当取得最大值时求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据优美区间的定义来证明即可； （2）假设函数存在“优美区间”，结合已知导出矛盾即可得证； （3）原题条件等价于是方程（*）的两个同号且不等的实数根，结合判别式可得的范围，结合韦达定理可用表示，进一步即可求解. 【小问1详解】 在区间上单调递增，又， 当时，， 根据“优美区间”的定义，是的一个“优美区间”； 【小问2详解】 ，设，可设或， 则函数在上单调递增. 若是的“优美区间”，则是方程的两个同号且不等的实数根. 方程无解. 函数不存在“优美区间”. 【小问3详解】 ，设. 有“优美区间”， 或， 在上单调递增. 若是函数的“优美区间”，则， 是方程，即（*）的两个同号且不等的实数根. ， 或， 由（*）式得. ， 或， 当时，取得最大值. . 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得出的范围以及关于的表达式，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 启用前★注意保密 六盘水市2023-2024学年度高一年级学业质量监测试题卷 数学 （考试时长：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，可以表示函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A 1 B. C. D. 2 4. 已知函数且，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 若，则 C. 函数的图象恒过定点 D 若，则 5. 已知长方体的长､宽､高分别为，则这个长方体外接球的表面积与体积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 7. 已知函数是定义域为的奇函数，.当时，，则（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 2 8. 已知，则值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图在正方体中，分别是的中点，则下列选项正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 四点共面 D. 与所成的角为 10. 下列选项正确的是（ ） A. B. C D. 11. 已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（ ） A. 的面积为 B. 若为非零向量，且，则 C. 若，则的最小值为 D. 已知点为坐标原点，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 13. 已知函数，则__________. 14. 已知分别为三个内角的对边，且，则面积的最大值是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知二次函数的图象经过点且对称轴为. （1）求的解析式； （2）求不等式的解集. 16. 已知函数， （1）求函数的最小正周期； （2）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；再向左平移个单位长度，得到函数的图象.当时，求函数的最值. 17. 如图，直三棱柱中，分别是的中点，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号.作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，又是文明城市的主要创造者.六盘水市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛（满分100分），从所有答卷的成绩中抽取了容量为100的样本，将样本（成绩均为不低于50分的整数）分成五段：得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值和估计样本的下四分位数； （2）按照分层抽样的方法，从样本中抽取20份成绩，应从中抽取多少份； （3）已知落在的平均成绩是53，方差是4；落在的平均成绩为65，方差是7，求成绩落在的平均数和方差. （注：若将总体划分为若干层，随机抽取两层，通过分层随机抽样，每层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记这两层总的样本平均数为，样本方差为，则） 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”. （1）求证：是函数的一个“优美区间”； （2）求证：函数不存“优美区间”； （3）已知函数有“优美区间”，当取得最大值时求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$