22.3实际问题与二次函数 （利润问题） 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.3实际问题与二次函数 （利润问题） 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册 1. 某水果批发商以 元/千克的价格购进 千克的某种水果投放市场，受疫情影响，该水果批发商的水果出现滞销，根据市场推测，每滞销一天，该水果的价格将上涨 元/千克，且平均每天将有 千克的水果会品质下降，假设每天品质下降的水果都能以 元/千克的价格一次性出售完，该水果最多只能滞销 天．设滞销 天后，该水果批发商将该水果一次性出售完所得的利润为 元，求 （元）与 （天）之间的函数表达式． 2. 某商场将一种每件成本价为 元的商品连续加价两次后，以每件 元作为定价售出．已知第二次加价的增长率比第一次加价的增长率多 ． （1）求第一次加价的增长率． （2）该商场在试销中发现，如果以定价售出，则每天可售出 个．如果销售单价每降低 元，销售量就可以增加 件．那么当销售单价为多少元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大?最大利润是多少? 3. 某工厂计划从 ， 两种产品中选择一种生产并销售，每日产销 件．已知 产品的成本价为 元/件（ 为常数，且 ），售价为 元/件，每日最多产销 件，同时每日支付专利费 元； 产品的成本价为 元/件，售价为 元/件，每日最多产销 件，同时每日支付专利费 元，（元）与每日产销 （件）之间满足函数表达式 ． （1）若产销 ， 两种产品的日利润分别为 元、 元，请分别写出 ， 与 之间的函数表达式，并写出 的取值范围； （2）分别求出产销 ， 两种产品的最大日利润； （3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品? 4. 某商品在最近的 天内的价格 （元）与时间 （单位：天）满足的关系是 ；销售量 （元）与时间 （单位：天）满足的关系是 ，其中 ， 为整数，问何时这种商品取得日销售金额的最大值?求这个最大值． 5. 某企业是一家专门生产季节性产品的企业，经过调研预测，它一年中获得的利润 （万元）和月份 之间满足函数关系式 ． （1）若利润为 万元，求 的值； （2）哪一个月能够获得最大利润，最大利润是多少? （3）当产品无利润时，企业会自动停产，企业停产是哪几个月份? 6. 小米利用暑期参加社会实践，在妈妈的帮助下，利用社区提供的免费摊点卖玩具，已知小米所有玩具的进价均为 元/件，在销售过程中发现：每天玩具销售量 （件）与销售价格 （元/件）的关系如图所示，其中 段为反比例函数图象的一部分， 段为一次函数图象的一部分，设小米销售这种玩具的日利润为 元． （1）根据图象，求出 与 之间的函数解析式； （2）求出每天销售这种玩具的利润 （元）与 （元/件）之间的函数解析式，并求每天利润的最大值； （3）若小米某天将价格定为超过 元（），那么要使得小米在该天的销售利润不低于 元，求该天玩具销售价格的取值范围． 7. 学校”科技创新”社团向市场推出一种新型电子产品，试销发现：该电子产品的销售价格 （元/件）与销售量 （件）之间满足一次函数关系，其图象如图所示，已知该产品的成本价是 元/件，且销售价格高于成本价． （1）求 与 之间的数关系式． （2）求销售利润 （元）关于销售量 （件）的函数解析式，并求出当销售量为多少件时，销售利润最大?最大值是多少元? （3）该社团继续开展科技创新，降低产品成本价格，预估当销售量在 件以上时，销售利润达到最大，则科技创新后该产品的成本价格应低于多少元? 8. 某超市销售一种牛奶，进价为每箱 元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱 元，每月可销售 箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价 元，则每月的销量将增加 箱．设每箱牛奶降价 元（ 为正整数），每月的销量为 箱． （1）写出 与 之间的函数关系式和自变量 的取值范围； （2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大?最大利润是多少元? 9. 某宾馆客房部有 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天 元时，房间可以住满；当每个房间每天的定价每增加 元时，就会有一个房间空闲．设每个房间每天的定价增加 元，列出： （1）房间每天的入住量 （间）关于 （元）的函数解析式； （2）该宾馆客房部每天的收入 （元）关于 （元）的函数解析式． 10. 某服装店以每件 元的价格购进一批 恤，如果以每件 元出售，那么一个月内能售出 件．根据以往的销售经验，销售单价每提高 元，月销售量就会减少 件，设 恤的销售单价提高 元． （1）若服装店希望一个月内销售该种 恤能获得利润 元，并且尽可能减少库存，则 恤的销售单价应提高多少元? （2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种 恤获得的利润最大?最大利润是多少元? 11. 某商场以每件 元的价格购进一种商品，在试销中发现这种商品的日销售量 （件）与每件的销售价 （元）满足 ． （1）求商场卖这种商品的日销售利润 （元）与每件的销售价 （元）之间的函数关系式； （2）要想获得日最大利润，每件商品的售价应定为多少?日销售利润最大为多少? 12. 某商店经销一种销售成本为每千克 元的水产品，规定试销期间销售单价不低于成本价．据试销发现，月销售量 （千克）与销售单价 （元）符合一次函数 ．若该商店获得的月销售利润为 元，请回答下列问题： （1）请写出月销售利润 与销售单价 之间的关系式（关系式化为一般式）； （2）在使顾客获得实惠的条件下，要使月销售利润达到 元，销售单价应定为多少元? （3）若获利不得高于 ，那么销售单价定为多少元时，月销售利润达到最大? 13. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．如图所示，二次函数图象（部分）表示该公司年初以来累积利润 （万元）与销售时间 （月）之间的关系（即前 个月的利润总和 与 之间的关系）． 根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润 （万元）与时间 （月）之间的函数表达式； （2）求销售多少个月公司累积利润可达到 万元； （3）求第 个月公司所累积利润是多少万元? 14. 某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为 元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量 （千克）与销售价 （元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为 （元）． （1）求 与 之间的函数关系式． （2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少? （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于 元/千克，该农户每天是否能获得比 元更大的利润?如果能请求出最大利润，如果不能请说明理由． 15. 有一家苗圃计划种植桃树和柏树，根据市场调查与预测，种植桃树的利润 （万元）与投资成本 （万元）满足如图 所示的二次函数 ；种植柏树的利润 （万元）与投资成本 （万元）满足如图 所示的正比例函数 ． （1）分别求出利润 （万元）和利润 （万元）关于投资成本 （万元）的函数关系式； （2）如果这家苗圃以 万元资金投入种植桃树和柏树，桃树的投资成本不低于 万元且不高于 万元，苗圃至少获得多少利润?最多能获得多少利润? 16. 某书店销售复习资料，已知每本复习资料进价为 元，市场调查发现：若以每本 元销售，平均每天可销售 本，在此基础上，若售价每提高 元，则平均每天少销售 本．设涨价后每本的售价为 元，书店平均每天销售这种复习资料的利润为 元． （1）涨价后每本复习资料的利润为  元，平均每天可销售  本． （2）求 与 的函数关系式． （3）当复习资料每本售价为多少时，平均每天的利润最大?最大利润为多少? 17. 商家销售某种商品，每件成本 元，经市场调研，当售价为 元时，可销售 件；售价每增加 元，销售量将减少 件，为了提高销售量，当售价为 元时，该商家聘请网络主播带货，此时售价每增加 元，需支付给主播 元，物价局对此商品规定：售价最高不超过 元，如图所示，折线 表示该商品的销售量 （单位：件）与售价 （单位：元）之间的函数关系． （1）求线段 对应的函数表达式； （2）当售价为多少元时，该商家获得的利润最大?最大利润是多少? （3）直播带货后，售价至少为  元，该商家获得的利润不低于直播带货前的最大利润． 18. 甲、乙两汽车出租公司均有 辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费 元，那么 辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费增加 元，那么将少租出 辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费 元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费 元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计 元． 说明：①汽车数量为整数； ②月利润 月租车费 月维护费； ③两公司月利润差 月利润较高公司的利润 月利润较低公司的利润． 在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题： （1）当每个公司租出的汽车为 辆时，甲公司的月利润是  元；当每个公司租出的汽车都为  辆时，两公司的月利润相等． （2）求两公司月利润差的最大值． （3）甲公司热心公益事业，每租出 辆汽车捐出 元 给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为 辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求 的取值范围． 答案 一 解答题 1. 由题意，可得滞销 天后，水果的价格为 元/千克，品质下降的水果有 千克， ． （元）与 （天）之间的函数表达式为 ． 2. （1） 设第一次加价的增长率为 ， 则第二次加价的增长率为 ， 根据题意可得 解得 ， 故第一次加价的增长率为 ．     （2） 设销售单价为 元，每天销售该商品的利润为 元， 则每天商品的销量为 （件）， 根据题意可得 ， 整理得 ， 配方得 ， 当 时， 取得最大值 ， 故当销售单价为 元时，该商场销售商品的利润最大，最大利润为 元． 3. （1） 根据题意，得 ；．     （2） ， 随 的增大而增大． ， 当 时， 有最大值，此时 ． ， ，图象的对称轴为直线 ， 当 时， 随 的增大而增大， 当 时，．     （3） ①若 ，即 ，解得 ； ②若 ，即 ，解得 ； ③若 ，即 ，解得 ． 又 ， 为获得最大日利润：当 时，选择 ， 产品产销均可；当 时，选择 产品产销；当 时，选择 产品产销． 4. 由于这种商品日销售的价格为 ，日销售量为 ，则日销售金额为 因为 是 内的整数，即 ． 故当 时， 取得最大值，最大值为 元． 5. （1） 由题意得：， 整理得 ， 解得 或 ；     （2） ， 当 时，， 月份能获得最大利润，最大利润是 万元；     （3） 当 时，， 解得 或 ， 图象开口向下， 当 时，； 当 或 时，， 该企业一年中应停产的月份是 月、 月、 月． 6. （1） 因为 段为反比例函数图象的一部分，， 所以当 时，， 因为 段为一次函数图象的一部分，且 ，， 所以设 段的解析式为 ， 有 解得 所以当 时，， 所以 与 之间的函数解析式为 ．     （2） 当 时， 因为随着 的增大， 增大， 也增大， 所以当 时， 取得最大值，为 ； 当 时， 因为 ，， 所以当 时， 取得最大值，为 ． 综上所述，每天利润的最大值为 元．     （3） 由题意可知 ， 令 ，即 ， 解得 ，， 由函数解析式及函数图象可知， 要使 ，， 所以当 时，小米的销售利润不低于 元． 7. （1） 设 与 之间的函数关系式为 ． 由题意，得 解得 ． ， ． 解得 ． 与 之间的数关系式为 ．     （2） 由题意，得 ，， 当 时， 取得最大值，最大值为 元． 当销售最为 件时，销售利润最大，最大值是 元．     （3） 设科技创新后该产品的成本价格为 元． 由题意，得 ． 当销售量在 件以上时，销售利润达到最大， ． 解得 ． 答：科技创新后该产品的成本价格应低于 元． 8. （1） ，，且 为整数．     （2） 设利润为 元，由题意得， 整理得， 且 ， 当 时， 有最大值 ， 售价为 （元/箱）， 答：当定价为 元/箱时，每月牛奶销售利润最大，最大利润是 元． 9. （1） 由已知得，空闲的房间数为 ， 则 ， 即 ．     （2） 由题意得，， 即 ． 10. （1） 根据题意，得 即 解得 要尽可能减少库存， 不合题意，舍去． 恤的销售单价应提高 元．       （2） 设利润为 元．根据题意，得 ， 当 时， 有最大值． ，此时销售单价为 （元）． 当销售单价定为 元时，该服装店一个月内销售这种 恤获得的利润最大，最大利润是 元． 11. （1） 根据题意得：．       （2） ， 当 时， 的最大值为 ， 当每件商品的售价为 元时，日销售利润最大，最大日销售利润为 元． 12. （1） 根据题意得，       （2） 当 时， 得到 ， 解得：，， 使顾客获得实惠， ． 答：销售单价应定为 元．       （3） 获利不得高于 ，即 ， ， 当 时，． 答：销售单价定为 元时，月销售利润达到最大． 13. （1）       （2）       （3） 14. （1） ．       （2） ． ， 抛物线开口向下，且当 时，．       （3） 当 时，， ，，， ，（舍去）． 又 ， 又 不能高于 ， 当 时，能取得最大值为 ． 能获得比 元更大的利润，最大利润是 元． 15. （1） 把 代入 中得 ，， 所以 ，把 代入 中得 ，， 所以 ．       （2） 设种植桃树的投资成本为 万元，总利润为 万元，则种植柏树的投资成本为 万元，则 ． 由图象得若 ，当 时， 有最小值，， 当 时， 有最大值，． 答：苗圃至少获得 万元利润，最多能获得 万元利润． 16. （1） ； 【解析】由题意得该复习资料进价 元，售价为 元，所以利润为 元， 售价提高 元，少售 本， 售价从 涨到 元，将少售 本， 涨价后平均每天销售 ．       （2） 由（）得，， 即 与 表达式为 ．       （3） ， ， 有最大值，即当 时，利润 最大值 ， 当售价 元，利润最高为 元． 17. （1） 当 时，． 点 的坐标为 ． 设线段 对应的函数表达式为 （， 为常数，且 ）， 解得 故线段 对应的函数表达式为 （）．       （2） 设获得的利润闰为 元， 由题意知线段 对应的函数表达式为 （）． 当 时，， 当 时， 的值最大，最大值为 ； 当 时，， ， 抛物线开口向上，又对称轴为直线 ， 当 时， 随 的增大而减小，则 ； 当 时， 随 的增大而增大，则 ， 因此，当 时， 的值最大，最大值为 ． 综上，当售价为 元时，该商家获得的利润最大，最大利润是 元．       （3） 18. （1） ； 【解析】当每个公司租出的汽车为 辆时，甲公司的月利润为 （元）． 设每个公司租出汽车为 辆， 由题意可得 ， 解得 或 （舍去）， 即当每个公司租出的汽车为 辆时，两公司的月利润相等．       （2） 设两公司的月利润分别为 元， 元，月利润差为 元． 则 ，． 分情况讨论： ①当甲公司的利润大于乙公司时，， 当 时，利润差最大，为 元； ②当乙公司的利润大于甲公司时，， ，由二次函数的性质可知，当 时，利润差最大． 即利润差 （元）． 综上，两公司月利润差的最大值为 元．       （3） 捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润， 利润差为 ． 此二次函数图象的对称轴为直线 ． 只能取整数，且仅当两公司租出的汽车均为 辆时，月利润之差最大， ，解得 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$