精品解析： 广东省中山市沙溪初级中学2024-2025学年九年级下学期数学3月月考试题

2024-2025学年广东省中山市沙溪中学初三下数学3月月考 一、单选题 1. 如图所示的几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 2. 下列事件中属于随机事件的是（ ） A. 若今天是星期一，则明天是星期二 B. 掷一枚质地均匀的硬币正面朝上 C. 抛出的篮球会下落 D. 从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球 3. 关于x 的一元二次方程（a+1）x2+x+a2-1=0 的一个根是0 ，则 a 的值是（  ） A. -1  B. 1 C. 1或-1 D. -1或0 4. 如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转，对应得到，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，AB是⊙O的直径，∠BOC＝100°， 则∠D的度数为（ ） A. 25° B. 50° C. 40° D. 80° 7. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心把缩小到原来的则点B的对应点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 如图，一次函数y1＝kx＋b的图像与反比例函数的图像相交于点A（，4）和点B（3，n）．若y1＜y2，则x的取值范围是（ ） A. x＜0或＜x＜3 B. x＜或x＞3 C. 0＜x＜或x＞3 D. x＜0或x＞3 9. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连接DF，则下列四个结论中，错误的是（ ） A. △AEF～△CAB B. CF=2AF C. DF=DC D. tan∠CAD= 10. 图，抛物线与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：①；②；③一元二次方程的两根分别为；④．其中正确的结论有（　 　）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 11. 若∠是锐角，且，则∠的度数为__________． 12. 已知是一元二次方程的两个根，则___________． 13. 已知反比例函数的图象经过第一、三象限，则常数的取值范围是_____． 14. 汽车刹车后行驶的距离s（米）与行驶时间t（秒）的函数关系是，汽车从刹车到停下来所用时间是___________秒． 15. 如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若，，则周长的最小值是_____________． 三、解答题 16. 解方程：． 17. 如图，△ABC由△EDC绕C点旋转得到，B、C、E三点在同一条直线上，∠ACD=∠B，求证：△ABC是等腰三角形. 18. 早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．张帆在广州旅游期间，决定在“．虾饺，．干蒸烧卖，．艇仔粥，．蜜汁叉烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝．（选到每种茶点的可能性相同） （1）如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是___________． （2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率． 19. 综合与实践 主题：X型晒衣架稳固性检测 步骤：如图甲是晒衣架的实物图，图乙是晒衣架侧面示意图，经测量得到立杆，，现将晒衣架完全稳固张开，横扣链成一条线段，测得． 证明与计算： （1）连接，证明：； （2）利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 20. 某商店进购一商品，第一天每件盈利元，销售件． （1）第二、三天该商品十分畅销,销售量持续走高，在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到件，求第二、三天的日平均增长率； （2）经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价元，日销量将减少件．现要保证每天总利润为元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ 21. 如图，点在双曲线上． （1）求双曲线的解析式； （2）若矩形ABCD的顶点在双曲线上，顶点分别在x轴，y轴的正半轴上，且，求点C的坐标． 22. 如图，在△ACD中，点B为AC边上的点，以AB为直径的⊙O与CD相切于点E，连接AE，∠D＝2∠EAC． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若∠D＝60°，⊙O的半径为4，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π） 23. 如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过点，与轴另一交点为，顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）在轴上找一点，使的值最小，求的最小值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省中山市沙溪中学初三下数学3月月考 一、单选题 1. 如图所示的几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三视图，根据从几何体上方看到的平面图形进行解答即可． 【详解】解：的俯视图是， 故选：B 2. 下列事件中属于随机事件的是（ ） A. 若今天是星期一，则明天是星期二 B. 掷一枚质地均匀的硬币正面朝上 C. 抛出的篮球会下落 D. 从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件叫随机事件，熟练掌握随机事件的概念是解题的关键． 【详解】A、今天是星期一，明天是星期二是必然事件，故本选项不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币正面朝上是随机事件，故本选项符合题意； C、抛出的篮球会下落是必然事件，故本选项不符合题意； D、从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球是不可能事件，故本选项不符合题意． 故选：B． 3. 关于x 的一元二次方程（a+1）x2+x+a2-1=0 的一个根是0 ，则 a 的值是（  ） A. -1  B. 1 C. 1或-1 D. -1或0 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据一元二次方程的定义及方程解的性质即可求解． 【详解】解：由题干可知，该方程是关于x的一元二次方程 ∴a+1≠0，即a≠-1 ∵该方程的一个根是0，根据方程解的性质，将x=0代入方程得 解得a=1或a=-1 ∴综上可知a=1 故选B． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的定义和方程解的性质，正确理解概念是解题关键． 4. 如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转，对应得到，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转可得∠CAC′=50°，再根据角之间的和差关系可得答案． 【详解】解：∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°， ∴∠CAC′=50°， ∵∠BAC=32°， ∴∠C′AB=50°+32°=82°， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，关键是掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 5. 如图，在中，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，先根据勾股定理求出，然后根据正弦、正切、余弦的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，，，． 故选：D． 6. 如图，AB是⊙O的直径，∠BOC＝100°， 则∠D的度数为（ ） A. 25° B. 50° C. 40° D. 80° 【答案】C 【解析】 【分析】连接BD，由AB是直径，得到∠ADB=90°，再由圆心角与圆周角的关系得到∠BDC=50°，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接BD， ∵AB是⊙O直径， ∴∠BDA＝90°， ∵∠BOC=100° ∠CDB＝50°， ∴∠ADC＝40°， 故选C． 【点睛】本题考查圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 7. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心把缩小到原来的则点B的对应点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据位似变换的性质，把的横纵坐标乘以或，计算即可． 【详解】∵以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，点B的坐标为， ∴点B的对应点的坐标为或， 即或． 故选：D． 8. 如图，一次函数y1＝kx＋b的图像与反比例函数的图像相交于点A（，4）和点B（3，n）．若y1＜y2，则x的取值范围是（ ） A. x＜0或＜x＜3 B. x＜或x＞3 C. 0＜x＜或x＞3 D. x＜0或x＞3 【答案】C 【解析】 【分析】结合图像即可得到y1＜y2时，x的取值范围． 【详解】∵一次函数y1＝kx＋b的图像与反比例函数的图像相交于点A（，4）和点B（3，n）， ∴由图像可知，当y1＜y2时，x的取值范围是：0＜x＜或x＞3， 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，熟练掌握函数图像和性质是本题的关键． 9. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连接DF，则下列四个结论中，错误的是（ ） A. △AEF～△CAB B. CF=2AF C. DF=DC D. tan∠CAD= 【答案】D 【解析】 【分析】根据四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，可得∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故A正确；根据点E是AD边的中点，以及AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，根据相似三角形对应边成比例，可得CF=2AF，故B正确；过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故C正确；设AE=a，AB=CD=b，则AD=2a，通过证明△BAE∽△ADC，可得=，进而可得b=a，根据正切的定义可得tan∠CAD===，即可证明D错误. 【详解】如图，过D作DM∥BE交AC于N， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC， ∵BE⊥AC于点F， ∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°， ∴△AEF∽△CAB，故A正确； ∵AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴=， ∵AE=AD=BC， ∴=， ∴CF=2AF，故B正确； ∵DE∥BM，BE∥DM， ∴四边形BMDE是平行四边形， ∴BM=DE=BC， ∴BM=CM， ∴CN=NF， ∵BE⊥AC于点F，DM∥BE， ∴DN⊥CF， ∴DM垂直平分CF， ∴DF=DC，故C正确； 设AE=a，AB=CD=b，则AD=2a， ∵∠ABE+∠AEB=90°，∠FAE+∠AEB=90°， ∴∠BAE=∠FAE， ∵∠AFE=∠ADC=90°， ∴△BAE∽△ADC， ∴，即=， ∴b=a， ∴tan∠CAD===，故D错误； 故选D. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质及锐角三角函数的定义，正确作出辅助线是解题的关键．解题时注意，相似三角形的对应边成比例． 10. 图，抛物线与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：①；②；③一元二次方程的两根分别为；④．其中正确的结论有（　 　）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可． 【详解】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1＞0，因此a、b异号，所以b＞0，抛物线与y轴交点在正半轴，因此c＞0，所以abc＜0，故①不正确； 当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＞0，故②正确； 抛物线与x轴交点（3，0），对称轴为x＝1．因此另一个交点坐标为（−1，0），即方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝3，x2＝−1，故③正确； 抛物线与x轴交点（−1，0），所以a−b＋c＝0，又x＝＝1，有2a＋b＝0，所以3a＋c＝0，而a＜0，因此2a＋c＞0，故④不正确； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的a、b、c的值决定抛物线的位置是正确判断的关键． 二、填空题 11. 若∠是锐角，且，则∠的度数为__________． 【答案】45° 【解析】 【分析】直接根据tan45°=1进行解答即可． 【详解】解：∵∠为锐角，且，tan45°=1， ∴∠=45°； 故答案为：45°. 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 12. 已知是一元二次方程的两个根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键． 13. 已知反比例函数的图象经过第一、三象限，则常数的取值范围是_____． 【答案】k＞ 【解析】 【详解】【分析】根据反比例函数图象经过第一、三象限，可得2k-1>0，解不等式即可得. 【详解】由题意得：2k-1>0， 解得：k>， 故答案为k>. 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，对于反比例函数y=，当k>0时，图象位于一、三象限，在每一象限内，y随着x的增大而减小；当k<0时，图象位于二、四象限，在每一象限内，y随着x的增大而增大. 14. 汽车刹车后行驶的距离s（米）与行驶时间t（秒）的函数关系是，汽车从刹车到停下来所用时间是___________秒． 【答案】1.5 【解析】 【分析】由题意可知当汽车停下来时，s最大，故将s=18t-6t2写成顶点式，则顶点横坐标值即为所求． 【详解】解：∵s=18t-6t2，=-6（t-1.5）2+13.5， ∴当t=1.5秒时，s取得最大值，即汽车停下来． 故答案为：1.5 【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用，明确题意并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 15. 如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若，，则周长的最小值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，圆心角与弧，勾股定理．作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，， ．根据轴对称的性质得到，，进而可知，，根据勾股定理求出，可知，进而可求周长的最小值． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，， ． ∵点A与关于对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴，， ∵点B是劣弧的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∴周长的最小值， 故答案为：． 三、解答题 16. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查用直接开平方法解一元二次方程．用直接开平方法求解可． 【详解】解：， 开方得， ∴或， ∴，． 17. 如图，△ABC由△EDC绕C点旋转得到，B、C、E三点在同一条直线上，∠ACD=∠B，求证：△ABC是等腰三角形. 【答案】 证明：由旋转知∠D=∠B， ∵∠ACD=∠B， ∴∠ACD=∠D，AC∥DE， ∴∠ACB=∠E， 又∵∠A=∠E， ∴∠ACB=∠A， ∴△ABC是等腰三角形． 【解析】 【分析】由旋转的性质可知∠D=∠B，再根据已知条件证明AC∥DE，进而证明∠ACB=∠A，所以△ABC是等腰三角形． 【详解】略 【点睛】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的判定，灵活掌握旋转的性质是解答本题的关键. 18. 早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．张帆在广州旅游期间，决定在“．虾饺，．干蒸烧卖，．艇仔粥，．蜜汁叉烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝．（选到每种茶点的可能性相同） （1）如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是___________． （2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有4种茶点，每种茶点被选到的概率相同， ∴只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如图所示： 由树状图知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果有2种， ∴（张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”）． 19. 综合与实践 主题：X型晒衣架稳固性检测 步骤：如图甲是晒衣架的实物图，图乙是晒衣架侧面示意图，经测量得到立杆，，现将晒衣架完全稳固张开，横扣链成一条线段，测得． 证明与计算： （1）连接，证明：； （2）利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】（1） 证明：连接， ∵立杆相交于点， ． 又， ， ， ∴； （2）晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，即可证明； （2）过点作于点，过点作，在中，根据勾股定理，求得．证明，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作， ，由（1）已证， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴是边上的中线， ∴， 在中，根据勾股定理，得 ． ∴，即， 解得， 答：晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 20. 某商店进购一商品，第一天每件盈利元，销售件． （1）第二、三天该商品十分畅销,销售量持续走高，在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到件，求第二、三天的日平均增长率； （2）经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价元，日销量将减少件．现要保证每天总利润为元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ 【答案】（1）第二、三天的日平均增长率为 （2）每件应涨价元 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用； （1）设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （2）设每件应张价y元，根据题意列出一元二次方程，根据题意取舍方程的解,即可求解． 【小问1详解】 解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为． 【小问2详解】 解：设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应涨价5元； 21. 如图，点在双曲线上． （1）求双曲线的解析式； （2）若矩形ABCD的顶点在双曲线上，顶点分别在x轴，y轴的正半轴上，且，求点C的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数与几何综合． （1）将点的坐标代入双曲线解析式中解答即可； （2）过点作于点，过点作于点，易证得，得到，解得的值，即可求出点C的坐标． 【小问1详解】 解：∵点在双曲线上， ∴； 【小问2详解】 过点作轴于点，过点作轴于点，如图， ∵四边形是矩形， ∴，, ∴， ∵，∴， ∴， ∴， 又∵，∴， ∴，, 同理，， 设，， ∴，， ∴，， 则， ∵点、在双曲线上， ∴， ∵点、在轴、轴正半轴上，∴， ∴． 【点睛】待定系数法求函数的解析式、矩形的性质与判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，综合性很强，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 22. 如图，在△ACD中，点B为AC边上的点，以AB为直径的⊙O与CD相切于点E，连接AE，∠D＝2∠EAC． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若∠D＝60°，⊙O的半径为4，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π） 【答案】（1） 证明：由题意可得： 又∵ ∴， ∵⊙O与CD相切于点E， ∴， 又∵， ∴， 又∵为半径， ∴AD是⊙O的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可得：，由切线的性质可得：，即可求得，即可求证； （2）根据，分别求得，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得，， ∴，， ， 【点睛】此题考查了圆切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理以及扇形面积的计算，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 23. 如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过点，与轴另一交点为，顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）在轴上找一点，使的值最小，求的最小值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）（1，2＋2）或（1，−2−2）． 【解析】 【分析】（1）直线y＝−x＋3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC＋ED为最小，即可求解； （3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解． 【详解】解：（1）直线与轴、轴分别交于两点，则点的坐标分别为， 将点的坐标代入二次函数表达式得：，解得：， 故函数的表达式为：， 令，则或3，故点； （2）如图1，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时为最小， 函数顶点坐标为，点， 将的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线的表达式为：， 当时， ， 故点； （3）①当点在轴上方时，如下图2， ∵，则， 过点作，设， 则， 由勾股定理得：， ，解得：m2＝8＋4， 则PB2＝2m2＝16＋8 则yP＝ ∴P（1，）； ②当点P在x轴下方时， 则yP＝−（2＋2）； 故点P的坐标为（1，2＋2）或（1，−2−2）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $