专题 二次函数与反比例函数章末重难点常考题型2024-2025学年沪科版数学九年级上册

专题 二次函数与反比例函数章末重难点常考题型 考点1 二次函数的概念 【例1-1】下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　） A．y＝（x+1）2﹣x2 B．y＝ax2+bx+c C．y＝x（2x﹣3） D．y＝2x+5 【例1-2】若y＝（m﹣2）x+1是二次函数，则m的值是（　　） A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣2或2 【例1-3】已知函数y＝（m2+m）． （1）当函数是二次函数时，求m的值； （2）当函数是一次函数时，求m的值． 考点2 二次函数与一次函数图象 【例2-1】函数y＝a（x+a）与y＝ax2（a≠0）在同一坐标上的图象大致是（　　） A．B．C．D． 【例2-2】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax﹣b+1与y＝cx+b的图象不可能是（　　） A．B．C．D． 【例2-3】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（　　） A．B．C．D． 考点3 二次函数的增减性 【例3-1】已知点A（4，y1），，C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y2＜y3 【例3-2】二次函数y＝x2﹣（12﹣k）x+12，当x＞1时，y随着x的增大而增大，当x＜1时，y随着x的增大而减小，则k的值应取　　 ． 【例3-3】若点A（0，y1），B（，y2），C（3，y3）在抛物线y＝（x﹣1）2+k上，则y1，y2，y3的大小关系为 　 　 （用“＞”连接）． 考点4 二次函数图象的平移 【例4-1】抛物线y＝2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（　　） A．y＝2（x+1）2+3 B．y＝2（x+1）2﹣3 C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2（x﹣1）2+3 【例4-2】若将抛物线C：y＝2x2﹣4x+1向右平移3个单位得到抛物线C′则抛物线C与C′一定关于某条直线对称，这条直线是（　　） A．x B．x＝2 C．x D．x＝3 【例4-3】在平面直角坐标系中，平移二次函数y＝（x﹣2015）（x﹣2017）+3的图象，使其与x轴两交点间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（　　） A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位 C．向左平移3个单位 D．向右平移3个单位 考点5 二次函数的图象与a，b，c的关系 【例5-1】对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【例5-2】如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1．有下列4个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③2c＜3b；④a+b＞m（am+b）（m是不等于1的实数）．其中正确的结论个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例5-3】如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，以下4个结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③若点A（m，n）在该抛物线上，且m＞1，则am+a+b＜0；④3a+c＞0．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点6 二次函数与一元二次方程之间的关系 【例6-1】如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，图象与x轴的一个交点为（2，0），关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为（　　） A．x1＝﹣1，x2＝2 B．x1＝﹣3，x2＝2 C．x1＝﹣4，x2＝﹣1 D．x1＝﹣4，x2＝2 【例6-2】已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+n＝0的解为x1＝2，x2＝5，则抛物线y＝（x﹣m+2）2+n与x轴交点坐标是（　　） A．（2，0），（5，0） B．（4，0），（7，0） C．（2，0），（3，0） D．（0，0），（3，0） 【例6-3】在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2﹣（a﹣1）x﹣2a+1（a为常数，且a＜0）． （1）若a＝﹣1时，求该二次函数图象与x轴的交点坐标； （2）若二次函数的图象与直线y＝﹣2a+3有且仅有一个交点，求代数式的值． 考点7 二次函数解析式 【例7-1】已知二次函数y＝ax2+bx的图象经过点（﹣2，8）和（﹣1，5），这个二次函数的表达式为（　　） A．y＝﹣x2+6x B．y＝x2+6x C．y＝﹣x2﹣6x D．y＝x2﹣6x 【例7-2】已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝﹣3时，函数取得最值4，当x＝1时，y＝﹣8，则函数解析式为 　 　 ． 【例7-3】抛物线y＝2x2平移后经过点A（0，3），B（2，3），求平移后抛物线的表达式． 考点8 二次函数的应用 【例8-1】“直播带货”已经成为商家的一种新型促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如图所示： （1）设小亮每天的销售利润（快递费用等不考虑）为w元，求w与x之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）； （2）若小亮每天想获得的销售利润w为910元，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？ 【例8-2】某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：，y2＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（　　） A．30万元 B．38万元 C．46万元 D．48万元 【例8-3】如图，用一段长为36m的篱笆围成一个一边AD靠墙（无需篱笆）的矩形ABCD菜园，并且中间用篱笆EF隔开，EF∥AB，墙长15m，设AB＝x m，矩形ABCD面积为y m2． （1）y关于x的函数解析式为 　 　 （写化简后结果），x的取值范围是 　 　 ； （2）求菜园ABCD面积的最大值，并求此时BC的长； （3）在（2）的前提下，若将矩形ABFE和矩形EFCD分别种植甲、乙两种农作物．甲农作物的年收入W1（单位：元）与种植面积S（单位：m2）的函数关系式为，乙农作物的年收入W2（单位：元）与种植面积S（单位：m2）的函数关系式为W2＝70S，两种农作物年收入之和不小于8918元，并且乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍．设BF＝a m，求a的取值范围． 考点9 二次函数综合 【例9-1】如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象，则阴影部分的面积是　 　 ． 【例9-2】如图，抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接MA，MC，AC，则当△MAC的周长最小时，点M的坐标是 　 　 ． 【例9-3】如图，已知抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求直线BC的函数解析式； （2）若P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴于点N，交直线BC于点M，求线段PM的最大值． 考点10 与二次函数有关的存在性问题 【例10-1】如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位长度，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形． （1）求a的值； （2）在图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求S△ABC；若不存在，请说明理由． 【例10-2】已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0）B（5，0）C（0，5）三点． （1）求抛物线的函数关系式； （2）若过点C的直线y＝kx+b与抛物线相交于点E（4，m），请求出△CBE的面积S的值； （3）P是x轴下方的抛物线上的点，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标． 【例10-3】已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C． （1）若点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0），且C（0，4），请直接写出该抛物线的解析式及开口方向、顶点坐标． （2）将（1）中的抛物线沿水平方向平移，设平移后的抛物线与y轴交于点E，而移动前的点B，却落在点F上，问：是否存在OE＝OF≠0的情形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 考点11 反比例函数的性质 【例11-1】在反比例函数的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 【例11-2】若点A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（2，c）都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为 　 　 ． 【例11-3】已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（　　） A．若x1+x2＜0，则y1•y2＜0 B．若x1+x2＞0，则y1•y2＞0 C．若y1•y2＜0，则x1•x2＜0 D．若y1•y2＞0，则x1•x2＜0 考点12 反比例函数图象 【例12-1】一次函数y＝kx+k2+1与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【例12-2】函数y＝kx2﹣2与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A．B．C． D． 【例12-3】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则一次函数y＝ax+bc与反比例函数在平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B．C．D． 考点13 反比例函数k的几何意义 【例13-1】如图，两个反比例函数y1和y2在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　） A．4 B．2 C．1 D．6 【例13-2】如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y（x＞0）和y（x＞0）的图象交于P、Q两点，若S△POQ＝13，则k的值为　 　 ． 【例13-3】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的两边OA，OC落在坐标轴上，反比例函数y的图象分别交BC，OB于点D，点E，且，若S△AOE＝12，则k的值为（　　） A．﹣12 B． C．﹣16 D．﹣12 考点14 一次函数与反比例函数综合 【例14-1】如图，直线y＝kx+2与双曲线都经过点A（2，4），直线y＝kx+2与x轴、y轴分别交于点B、C两点． （1）求直线与双曲线的函数关系式； （2）求△AOB的面积； （3）P点是x轴上的一动点，是否存在这样的P点，使得PA+PC的值最小．若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【例14-2】如图，一次函数y1＝ax+b（a，b为常数，a≠0）与反比例函数（x＞0）的图象相交于A（4，1），B（1，4）两点，点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交反比例函数的图象于点N，点P的横坐标为2． （1）求△PON的面积；（2）当y1﹣y2＜0时，直接写出x的取值范围． 【例14-3】如图，反比例函数和一次函数y2＝kx+b的图象交于点A（1，6）和点B（n，1）． （1）求m、n的值； （2）求直线AB的函数表达式； （3）当y1＜y2时，直接写出x的取值范围 　 　 ； （4）连接OA、OB，直接写出△AOB的面积 　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 二次函数与反比例函数章末重难点常考题型 考点1 二次函数的概念 【例1-1】下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　） A．y＝（x+1）2﹣x2 B．y＝ax2+bx+c C．y＝x（2x﹣3） D．y＝2x+5 【解答】解：A、该函数整理后是一次函数，故本选项不符合题意； B、a＝0时，该函数是一次函数，故本选项不符合题意； C、该函数是二次函数，故本选项符合题意； D、该函数是一次函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 【例1-2】若y＝（m﹣2）x+1是二次函数，则m的值是（　　） A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣2或2 【解答】解：∵y＝（m﹣2）x+1是关于x的二次函数， ∴m2﹣2＝2，且m﹣2≠0， ∴m＝﹣2． 故选：C． 【例1-3】已知函数y＝（m2+m）． （1）当函数是二次函数时，求m的值； （2）当函数是一次函数时，求m的值． 【解答】解：（1）依题意，得m2﹣2m+2＝2， 解得m＝2或m＝0； 又因m2+m≠0， 解得m≠0且m≠﹣1； 因此m＝2． （2）依题意，得m2﹣2m+2＝1， 解得m＝1； 又因m2+m≠0， 解得m≠0且m≠﹣1； 因此m＝1． 考点2 二次函数与一次函数图象 【例2-1】函数y＝a（x+a）与y＝ax2（a≠0）在同一坐标上的图象大致是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：A、由图象可知a＞0，a2＞0，由二次函数y＝ax2的图象可知a＞0，两者相吻合；故此选项符合题意； B、由一次函数y＝a（x+a）的图象可知a＞0，a2＞0，由二次函数y＝ax2的图象可知a＜0，两者不吻合；故此选项不符合题意； C、由一次函数y＝a（x+a）的图象可知a＜0，a2＞0，由二次函数y＝ax2的图象可知a＞0，两者不吻合；故此选项不符合题意； D、由一次函数y＝a（x+a）的图象可知a＜0，a2＜0，此时a无实数根，故此选项不符合题意； 故选：A． 【例2-2】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax﹣b+1与y＝cx+b的图象不可能是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：由二次函数y＝ax2+bx+c的图象可知，a＞0，b＞0，c＜0，函数y＝cx+b的图象过第一、二、四象限． A、函数y＝cx+b的图象走第一、二、四象限，存在这种可能，不符合题意； B、函数y＝cx+b的图象走第一、二、四象限，不存在这种可能，符合题意； C、函数y＝cx+b的图象走第一、二、四象限，存在这种可能，不符合题意； D、函数y＝cx+b的图象走第一、二、四象限，存在这种可能，不符合题意； 故选：B． 【例2-3】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误； B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误； C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误； D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确， 故选：D． 考点3 二次函数的增减性 【例3-1】已知点A（4，y1），，C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y2＜y3 【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线开口向上，对称轴为x＝2， ∵点A（4，y1），，C（﹣2，y3）， ∵与对称轴的距离分别为|4﹣2|＝2，，|﹣2﹣2|＝4， ∵， ∴y2＜y1＜y3． 故选：A． 【例3-2】二次函数y＝x2﹣（12﹣k）x+12，当x＞1时，y随着x的增大而增大，当x＜1时，y随着x的增大而减小，则k的值应取　　 ． 【解答】解：依题意可知，抛物线对称轴为x＝1， 即1， 解得k＝10； 故答案为10． 【例3-3】若点A（0，y1），B（，y2），C（3，y3）在抛物线y＝（x﹣1）2+k上，则y1，y2，y3的大小关系为 　 　 （用“＞”连接）． 【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+k的开口向上，且对称轴为直线x＝1， 又∵点C离对称轴最远，点B离对称轴最近， ∴y3＞y1＞y2． 故答案为：y3＞y1＞y2． 考点4 二次函数图象的平移 【例4-1】抛物线y＝2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（　　） A．y＝2（x+1）2+3 B．y＝2（x+1）2﹣3 C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2（x﹣1）2+3 【解答】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的表达式为y＝2（x+1）2﹣3． 故选：B． 【例4-2】若将抛物线C：y＝2x2﹣4x+1向右平移3个单位得到抛物线C′则抛物线C与C′一定关于某条直线对称，这条直线是（　　） A．x B．x＝2 C．x D．x＝3 【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1， ∴抛物线y＝2x2﹣4x+1的顶点坐标为（1，﹣1）， ∵点（1，﹣1）向右平移3个单位得到对应点的坐标为（4，﹣1）， ∴抛物线C′的解析式为y＝2（x﹣4）2﹣1， ∵点（1，﹣1）与点（4，﹣1）关于直线x对称， ∴抛物线C与C′一定关于直线x对称． 故选：C． 【例4-3】在平面直角坐标系中，平移二次函数y＝（x﹣2015）（x﹣2017）+3的图象，使其与x轴两交点间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（　　） A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位 C．向左平移3个单位 D．向右平移3个单位 【解答】解：∵平移二次函数y＝（x﹣2015）（x﹣2017）+3的图象，使其与x轴两交点间的距离为2个单位长度， ∴将二次函数y＝（x﹣2015）（x﹣2017）+3的图象向下平移3个单位得y＝（x﹣2015）（x﹣2017）， ∵y＝（x﹣2015）（x﹣2017）与x轴的交点坐标为（2015，0），（2017，0） ∴与x轴两交点间的距离为2个单位长度． 故选：B． 考点5 二次函数的图象与a，b，c的关系 【例5-1】对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0， ∵对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a＜0， ∴abc＞0，故①正确，符合题意． ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，故②正确，符合题意． ③当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a+2（﹣2a）+c＝c＜0， 故③错误． ④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＞0， 即3a+c＞0，故④正确，符合题意． ⑤当x＝1时，y＝a+b+c为最小值， 当x＝m时，y＝am2+bm+c， ∴am2+bm+c≥a+b+c， 整理得：a+b≤m（am+b）， 故⑤正确，符合题意． ⑥从图象看当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，正确，符合题意． 故选：C． 【例5-2】如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1．有下列4个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③2c＜3b；④a+b＞m（am+b）（m是不等于1的实数）．其中正确的结论个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0， ∵0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①错误； ②由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故②正确； ③当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x1， 即a，代入得9（）+3b+c＜0，得2c＜3b，故③正确； ④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c， 所以a+b+c＞am2+bm+c， 故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故④正确． 故选：C． 【例5-3】如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，以下4个结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③若点A（m，n）在该抛物线上，且m＞1，则am+a+b＜0；④3a+c＞0．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①根据图象可知a＜0，c＞0，b＞0 ∴abc＜0，故①正确； ②当x＝0时，y＞0，对称轴为直线x＝1， ∴当x＝2时，y＞0， ∴4a+2b+c＞0，故②正确； ③当x＝1时，y最大＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c， ∴a+b+c＞am2+bm+c， ∴am2﹣a+bm﹣b＜0， ∴a（m﹣1）（m+1）+b（m﹣1）＜0，即（m﹣1）（am+a+b）＜0， ∵m＞1， ∴m﹣1＞0， ∴am+a+b＜0，故③正确； ④当x＝﹣1时，y＜0，对称轴为直线x＝1， ∴b＝﹣2a ∴当x＝3时，y＜0， ∴9a+3b+c＜0， ∴3a+c＜0，故④错误； 故选：C． 考点6 二次函数与一元二次方程之间的关系 【例6-1】如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，图象与x轴的一个交点为（2，0），关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为（　　） A．x1＝﹣1，x2＝2 B．x1＝﹣3，x2＝2 C．x1＝﹣4，x2＝﹣1 D．x1＝﹣4，x2＝2 【解答】解：由题意得：抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣4，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣4，x2＝2， 故选：D． 【例6-2】已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+n＝0的解为x1＝2，x2＝5，则抛物线y＝（x﹣m+2）2+n与x轴交点坐标是（　　） A．（2，0），（5，0） B．（4，0），（7，0） C．（2，0），（3，0） D．（0，0），（3，0） 【解答】解：∵（x﹣m）2+n＝0的解为x1＝2，x2＝5， ∴x＝2或x＝5时，y＝0， ∴抛物线y＝（x﹣m）2+n与x轴交点坐标是（2，0），（5，0）， 抛物线y＝（x﹣m+2）2+n是由抛物线y＝（x﹣m）2+n向左移动2个单位所得， ∴y＝（x﹣m+2）2+n与x轴交点坐标是（0，0），（3，0）， 故选：D． 【例6-3】在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2﹣（a﹣1）x﹣2a+1（a为常数，且a＜0）． （1）若a＝﹣1时，求该二次函数图象与x轴的交点坐标； （2）若二次函数的图象与直线y＝﹣2a+3有且仅有一个交点，求代数式的值． 【解答】解：（1）当a＝﹣1时，则二次函数为y＝﹣x2+2x+3， 令y＝0时，则﹣x2+2x+3＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣1． ∴二次函数图象与x轴的交点为（3，0），（﹣1，0）． （2）由题意，∵二次函数y＝ax2﹣（a﹣1）x﹣2a+1（a为常数，且a＜0）的图象与直线y＝﹣2a+3有且仅有一个交点， ∴ax2﹣（a﹣1）x﹣2a+1＝﹣2a+3有两个相等实根， ∴ax2﹣（a﹣1）x﹣2＝0， ∴Δ＝（a﹣1）2+8a＝0， 即a2+6a+1＝0， ∵a为常数，且a＜0， ∴两边同时除以a，得：a+6＝0 即a6， ∴a2（a）2﹣2＝36﹣2＝34． 考点7 二次函数解析式 【例7-1】已知二次函数y＝ax2+bx的图象经过点（﹣2，8）和（﹣1，5），这个二次函数的表达式为（　　） A．y＝﹣x2+6x B．y＝x2+6x C．y＝﹣x2﹣6x D．y＝x2﹣6x 【解答】解：将（﹣2，8），（﹣1，5）代入y＝ax2+bx得：， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣6x． 故选：C． 【例7-2】已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝﹣3时，函数取得最值4，当x＝1时，y＝﹣8，则函数解析式为 　 　 ． 【解答】解：∵当x＝﹣3时，函数取得最值4，即抛物线的顶点坐标为（﹣3，4）， 设y＝a（x+3）2+4， ∵当x＝1时，y＝﹣8， 把（1，﹣8）代入y＝a（x+3）2+4， 则﹣8＝（1+3）2a+4， ∴， ∴， 故答案为：． 【例7-3】抛物线y＝2x2平移后经过点A（0，3），B（2，3），求平移后抛物线的表达式． 【解答】解：设平移后的抛物线解析式为y＝2x2+bx+c， ∵抛物线y＝2x2平移后经过点A（0，3），B（2，3）， ∴， 解得， 所以，平移后抛物线的表达式为y＝2x2﹣4x+3． 考点8 二次函数的应用 【例8-1】“直播带货”已经成为商家的一种新型促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如图所示： （1）设小亮每天的销售利润（快递费用等不考虑）为w元，求w与x之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）； （2）若小亮每天想获得的销售利润w为910元，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？ 【解答】解：（1）由题意，设每天的销售量y与x的一次函数关系为y＝kx+b， ∴， ∴． ∴销售量与单价的关系为y＝﹣10x+300． ∴W＝（x﹣10）（﹣10x+300）＝﹣10x2+400x﹣3000． （2）由题意，令w＝910， ∴﹣10x2+400x﹣3000＝910． ∴x1＝17，x2＝23． 又尽可能地减少库存， ﹣10×17+300＞﹣23×10+300， ∴x＝17． 答：应将销售单价定为17元． 【例8-2】某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：，y2＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（　　） A．30万元 B．38万元 C．46万元 D．48万元 【解答】解：设在甲地销售x辆，则在乙地销售（15﹣x）辆，总利润为W万元，根据题意得出： W＝y1+y2 ＝﹣x2+10x+2（15﹣x） ＝﹣x2+8x+30 ＝﹣（x﹣4）2+46， ∴当x＝4时，W取最大值，且最大值为46， ∴该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为46万元，故C正确． 故选：C． 【例8-3】如图，用一段长为36m的篱笆围成一个一边AD靠墙（无需篱笆）的矩形ABCD菜园，并且中间用篱笆EF隔开，EF∥AB，墙长15m，设AB＝x m，矩形ABCD面积为y m2． （1）y关于x的函数解析式为 　 　 （写化简后结果），x的取值范围是 　 　 ； （2）求菜园ABCD面积的最大值，并求此时BC的长； （3）在（2）的前提下，若将矩形ABFE和矩形EFCD分别种植甲、乙两种农作物．甲农作物的年收入W1（单位：元）与种植面积S（单位：m2）的函数关系式为，乙农作物的年收入W2（单位：元）与种植面积S（单位：m2）的函数关系式为W2＝70S，两种农作物年收入之和不小于8918元，并且乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍．设BF＝a m，求a的取值范围． 【解答】解：（1）由已知得：BC＝（36﹣3x）m， ∴y＝x（36﹣3x）＝﹣3x2+36x， ∵墙长15m， ∴0＜36﹣3x≤15， 解得7≤x＜12（m）， ∴x的取值范围为7≤x＜12． 故答案为：y＝﹣3x2+36x，7≤x＜12； （2）∵y＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108， ∴抛物线对称轴为x＝6， 而﹣3＜0，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴x＝7时，y取最大值，最大值是105， 此时BC＝36﹣3x＝15， ∴矩形ABCD面积的最大值是105m2，此时BC的长是15m； （3）设BF＝a m，则CF＝（15﹣a）m， ∴矩形ABFE的面积为7a m2，矩形EFCD的面积为7（15﹣a） m2， ∴W1＝﹣2（7a）2+210×7a＝﹣98a2+1470a，W2＝70×7（15﹣a）＝7350﹣7a， 根据题意得： ﹣98a2+1470a+7350﹣490a≥8918， 化简得：a2﹣10a+16≤0， 解得：2≤a≤8， ∵乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍， ∴7（15﹣a）≥2×7a， 解得a≤5， ∴a的取值范围为2≤a≤5． 考点9 二次函数综合 【例9-1】如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象，则阴影部分的面积是　 　 ． 【解答】解：∵函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象关于x轴对称， ∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， 而边长为4的正方形面积为16， 所以图中的阴影部分的面积是8． 故答案为8． 【例9-2】如图，抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接MA，MC，AC，则当△MAC的周长最小时，点M的坐标是 　 　 ． 【解答】解：点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点， 理由：连接AC，由点的对称性知，MA＝MB， △MAC的周长＝AC+MA+MC＝AC+MB+MC＝CA+BC为最小， 令y＝2x2﹣8x+6＝0， 解得x＝1或3， 令x＝0，则y＝6， 故点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，6）， 则函数的对称轴为x（1+3）＝2， 设直线BC的表达式为y＝kx+b，则， 解得， 故直线BC的表达式为y＝﹣2x+6， 当x＝2时，y＝﹣2x+6＝2， 故点M的坐标为（2，2）． 故答案为：（2，2）． 【例9-3】如图，已知抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求直线BC的函数解析式； （2）若P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴于点N，交直线BC于点M，求线段PM的最大值． 【解答】解：（1）令﹣x2+x+2＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝2， ∴B（2，0）． 令x＝0，得y＝2， ∴C（0，2）． 设直线BC的函数解析式为y＝kx+b， 将B（2，0），C（0，2）代入， 得， 解得， ∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+2． （2）设点P的坐标为（m，﹣m2+m+2），0＜m＜2， ∴点M的坐标为（m，﹣m+2）， ∴PM＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1， ∴当m＝1时，PM取得最大值1， 即线段PM的最大值为1． 考点10 与二次函数有关的存在性问题 【例10-1】如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位长度，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形． （1）求a的值； （2）在图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求S△ABC；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）平移后的抛物线的解析式为y＝（x﹣a）2＝x2﹣2ax+a2， 令y＝x2﹣2ax+a2中x＝0，则y＝a2， ∴B（0，a2）． ∵△AOB为等腰直角三角形， ∴a＝a2，解得：a＝1或a＝0（舍去）． 故a的值为1． （2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，如图所示． ∵△AOB为等腰直角三角形， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴∠BAD＝45°． ∵AD为抛物线的对称轴， ∴AB＝AC，∠CAD＝∠BAD＝45°， ∴△ABC为等腰直角三角形． ∵点B（0，1），抛物线对称轴为x＝1， ∴点C的坐标为（2，1）． S△ABCAB•AC1． 故在图中的抛物线上存在点C，使△ABC为等腰直角三角形，点C的坐标为（2，1）且S△ABC＝1． 【例10-2】已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0）B（5，0）C（0，5）三点． （1）求抛物线的函数关系式； （2）若过点C的直线y＝kx+b与抛物线相交于点E（4，m），请求出△CBE的面积S的值； （3）P是x轴下方的抛物线上的点，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣5）， 把C（0，5）代入得a×（0﹣1）×（0﹣5）＝5， 解得a＝1， ∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣5）， 即y＝x2﹣6x+5； （2）把E（4，m）代入y＝x2﹣6x+5得m＝16﹣24+5＝﹣3， ∴E（4，﹣3）， 把C（0，5），E（4，﹣3）分别代入y＝kx+b得， 解得， ∴直线CE的解析式为y＝﹣2x+5， ∵直线y＝﹣2x+5与x轴的交点坐标为（，0）， ∴△CBE的面积S（5）×（5+3）＝10； （3）设P（t，t2﹣6t+5）（1＜t＜5）， ∵△ABP的面积为6， ∴（5﹣1）×[﹣（t2﹣6t+5）]＝6， 解得t1＝2，t2＝4， ∴点P的坐标为（2，﹣3）或（4，﹣3）． 【例10-3】已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C． （1）若点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0），且C（0，4），请直接写出该抛物线的解析式及开口方向、顶点坐标． （2）将（1）中的抛物线沿水平方向平移，设平移后的抛物线与y轴交于点E，而移动前的点B，却落在点F上，问：是否存在OE＝OF≠0的情形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣2）， 将C（0，4）代入y＝a（x+2）（x﹣2），得4＝﹣4a， 解得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+2）（x﹣2）＝﹣x2+4， ∴开口向下，顶点坐标为（0，4）； （2）存在，理由如下： 设平移后二次函数的解析式为y＝（x﹣h）2+4， 当x＝0时，y＝﹣h2+4， ∴OE＝|﹣h2+4|， 由平移可得：点F的坐标为（2+h，0）， ∴OF＝|2+h|， ∴|﹣h2+4|＝|2+h|， 解得h＝1或3， ∴F（5，0）或（3，0）． 考点11 反比例函数的性质 【例11-1】在反比例函数的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 【解答】解：∵反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小， ∴1﹣k＞0， 解得k＜1． 故选：A． 【例11-2】若点A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（2，c）都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为 　 　 ． 【解答】解：反比例函数的图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， 点C（2，c）在第四象限，c＜0． ∵点A（﹣3，a），B（﹣1，b）在第二象限，且﹣3＜﹣1， ∴0＜a＜b， ∴c＜a＜b． 故答案为：c＜a＜b． 【例11-3】已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（　　） A．若x1+x2＜0，则y1•y2＜0 B．若x1+x2＞0，则y1•y2＞0 C．若y1•y2＜0，则x1•x2＜0 D．若y1•y2＞0，则x1•x2＜0 【解答】解：∵反比例函数的常量k＜0， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数图象上， ∴x1y1＜0，x2y2＜0， A、若x1+x2＜0，则y1•y2＞0或y1•y2＜0，选项错误，不符合题意； B、若x1+x2＞0，则y1•y2＞0或y1•y2＜0，选项错误，不符合题意； C、若y1•y2＜0，则x1•x2＜0，选项正确，符合题意； D、若y1•y2＞0，则x1•x2＞0，选项错误，不符合题意； 故选：C． 考点12 反比例函数图象 【例12-1】一次函数y＝kx+k2+1与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+k2+1中，k2+1＞0， ∴直线与y轴的交点在正半轴，故A、B不合题意，C、D符合题意， C、由一次函数的图象过一、二、四象限可知k＜0，由反比例函数的图象在二、四象限可知k＞0，两结论相矛盾，故选项C错误； D、由一次函数的图象过一、二、三象限可知k＞0，由反比例函数的图象在二、四象限可知k＞0，故选项D正确； 故选：D． 【例12-2】函数y＝kx2﹣2与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A．B．C． D． 【解答】解：分两种情况讨论： ①当k＞0时，反比例函数y，在一、三象限，而二次函数y＝kx2﹣2开口向上，与y轴交点为（0，﹣2），都不符； ②当k＜0时，反比例函数y，在二、四象限，而二次函数y＝kx2﹣2开口向下，与y轴交点为（0，﹣1），C符合． 故选：C． 【例12-3】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则一次函数y＝ax+bc与反比例函数在平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B．C．D． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上， ∴a＞0， ∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧， ∴a、b异号，即b＜0． ∵与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴一次函数y＝ax+bc的图象经过第一、三、四象限， 反比例函数的图象分布在第二、四象限， 故选：C． 考点13 反比例函数k的几何意义 【例13-1】如图，两个反比例函数y1和y2在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　） A．4 B．2 C．1 D．6 【解答】解：∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B， ∴， ∴S△POB＝2﹣1＝1． 故选：C． 【例13-2】如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y（x＞0）和y（x＞0）的图象交于P、Q两点，若S△POQ＝13，则k的值为　 　 ． 【解答】解：S△OPM8＝4， S△OMQ|k|k， ∵S△POQ＝13， ∴4k＝13， 解得：k＝﹣18． 故答案为：﹣18． 【例13-3】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的两边OA，OC落在坐标轴上，反比例函数y的图象分别交BC，OB于点D，点E，且，若S△AOE＝12，则k的值为（　　） A．﹣12 B． C．﹣16 D．﹣12 【解答】解：设点B的坐标为（a，b），则点D的坐标为（，b），点A的坐标为（a，0）， ∴BDa，BC＝﹣a，CD，AB＝b， ∵， ∴4×（a）＝5×（）， ∴abk， 设点E坐标为（m，n）， ∵S△AOE＝12，即an＝12， ∴n， ∵点E在反比例函数y上， ∴E（，）， ∵S△AOE＝S矩形OABC﹣S△OBC﹣S△ABE＝﹣ab（﹣ab）b（a）＝12， ∴abk＝576， 把abk＝576代入abk得， k2＝576，即k2＝162， 解得k＝±16， 由图象可知，k＜0， ∴k＝﹣16． 故选：C． 考点14 一次函数与反比例函数综合 【例14-1】如图，直线y＝kx+2与双曲线都经过点A（2，4），直线y＝kx+2与x轴、y轴分别交于点B、C两点． （1）求直线与双曲线的函数关系式； （2）求△AOB的面积； （3）P点是x轴上的一动点，是否存在这样的P点，使得PA+PC的值最小．若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）∵线y＝kx+2与双曲线y都经过点A（2，4）， ∴4＝2k+2，4， ∴k＝1，m＝8， ∴直线的解析式为y＝x+2，双曲线的函数关系式为y； （2）当y＝0时，则0＝x+2， ∴x＝﹣2， ∴B（﹣2，0）， ∴OB＝2， 如图1，作AE⊥x轴于点E， ∵A（2，4）， ∴AE＝4． ∴△AOB的面积为：2×4＝4； （3）存在这样的点P使得PA+PB最短， 理由：如图2，作A点关于x轴的对称点A'，连接A'C，与x轴的交点为所求点P， ∵A（2，4）， ∴A'（2，﹣4）， 令x＝0，得y＝2， ∴C（0，2）， 设A'C的解析式为y＝mx+n， 将A'（2，﹣4）与C（0，2）代入y＝mx+n， 得， ∴， ∴A'C的解析式为y＝﹣3x+2， 令y＝0，得， ∴P（，0）． 【例14-2】如图，一次函数y1＝ax+b（a，b为常数，a≠0）与反比例函数（x＞0）的图象相交于A（4，1），B（1，4）两点，点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交反比例函数的图象于点N，点P的横坐标为2． （1）求△PON的面积；（2）当y1﹣y2＜0时，直接写出x的取值范围． 【解答】解：（1）把A（4，1），B（1，4）代入y1＝ax+b，得， 解得， ∴一次函数的解析式为y1＝﹣x+5； 把A（4，1）代入y2（x＞0）得：k＝4， ∴反比例函数解析式为y2， ∴当x＝2时，y1＝﹣2+5＝3，y22， ∴P（2，3），N（2，2）， ∴PN＝1， ∴S△PONPN•OM1×2＝1， ∴△PON的面积为1； （2）由 y1﹣y2＜0， ∴y1＜y2，即一次函数的函数值小于反比例函数的函数值． 由图象可得：x＞4或0＜x＜1． 【例14-3】如图，反比例函数和一次函数y2＝kx+b的图象交于点A（1，6）和点B（n，1）． （1）求m、n的值； （2）求直线AB的函数表达式； （3）当y1＜y2时，直接写出x的取值范围 　 　 ； （4）连接OA、OB，直接写出△AOB的面积 　 　 ． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象过A（1，6），B（n，1）， ∴m＝1×6＝n×1＝6， 解得：m＝6，n＝6； （2）由（1）得，m＝6，n＝6； ∴B（6，1）， ∵一次函数y2＝kx+b的图象交于点A（1，6），B（6，1）两点， ∴，解得：， ∴直线AB的函数表达式为：y2＝﹣x+7； （3）当y1＜y2时，即反比例函数的图象在一次函数y2＝﹣x+7的图象下面， 由图象和A（1，6），B（6，1）可知： 当y1＜y2时，x＜0或1＜x＜6． （4）如图，作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D， ∵A（1，6），B（6，1）， ∴C（1，0），D（6，0）， ∴OC＝1，AC＝6，BD＝1，OD＝6， ∴， ∵S△AOB＝S△AOC+S梯形ACDB﹣S△BOD＝S梯形ACDB， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$