第十三章 三角形 单元试卷 2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十三章 三角形 单元试卷 2025-2026学年人教版数学八年级上册 学校:___________姓名:___________班级:__________学号:___________ 一、单选题 1．若一个三角形的两边长分别为、，则它的第三边的长可能是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，边上的高线是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 3．如图，飞机要从地飞往地，因受大风影响，一开始就偏离航线（）（即），飞到了地，经地的导航站测得．此时飞机必须沿某一方向飞行才能到达地．则这一方向与方向的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 4．将一副直角三角板如图摆放，点A落在边上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，若，且，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 6．如图，在中，是中线，，垂足分别为点、，若，，则是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，是中线，和交于点N，若，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°-∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC=∠BAC； 其中正确的结论有（     ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题 9．已知的边长两边长为2和4，第三边长为偶数，则第三边的值为 ． 10．如图，AD是△ABC的一条角平分线.若∠ADB=98°，∠C=70°，则∠B的度数是 . 11．在中，，，，那么是 三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角” ） 12．已知三角形的三边长为2，，4，化简的结果是 ． 13．如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= ． 14．如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∠EBA、∠EPC的角平分线于点F，已知∠F＝40°，则∠E＝ 度． 15．如图，点是边的三等分点，点，分别是，的中点，若的面积为12，则 ， ． 16．如图，在中，，的高线相交于点．点分别在和的延长线上，分别平分和，分别平分和，则 ． 三、解答题 17．已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． （1）一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； （2）在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 18．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，，求和的度数． 19．如图，在中，是角平分线，是高，它们相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，，求的度数． 20．阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是120°，40°，20°，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． （1）如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为__________ （2）如图1，已知∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O、B重合），若∠ACB=80°．判定△AOB、△AOC是否是“梦想三角形”，为什么？ （3）如图2，点D在△ABC的边上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使得∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“梦想三角形”，求∠B的度数． 21．如图（1），，交于点，根据“对顶角相等”和“三角形内角和是 ”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：；. 【提出问题】 分别作和的平分线，两条角平分线交于点，如图（2），，与之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究. 已知的平分线与的平分线交于点. （1） 如图（3），若， ， ，则________. （2） 如图（4），若与不平行， ， ，则的度数是多少呢？ 小明是这样思考的，请你帮他完成推理过程： 易证，， 所以________________. 因为，分别是，的平分线， 所以，， 所以____________， 所以. 又因为 ， ， 所以________. （3） 在总结前两问的基础上，借助图（2），直接写出，与之间的数量关系：____________________. 【类比应用】 如图（5），已知的平分线与的平分线交于点， ，，求的度数. 参考答案 1．【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边进行判断即可． 【详解】解：由三角形的三边关系可得： ＜第三边＜， 即： 3＜第三边＜9， 故选C． 2．【答案】D 【分析】从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．据此解答即可． 【详解】解：A．线段是边上的高，故不符合题意； B．线段不是任何边上的高，故不符合题意； C．线段是边上的高，故不符合题意； D．线段是边上的高，符合题意； 故选D． 3．【答案】B 【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，据此可得结论． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∴这一方向与方向的夹角的度数为． 故选B． 4．【答案】D 【分析】根据平行线的性质，可得，从而得到，再由三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选D. 5．【答案】B 【分析】由三角形内角和定理得出，结合已知条件得出，再根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选B． 6．【答案】B 【分析】在中，因为是中线，所以和的面积相等；利用等面积法，即可求解． 【详解】解：∵在三角形中，是中线， ∴， ∴． ∵于E，于F，，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 7．【答案】D 【分析】连接，根据三角形中线的性质得,从而可求出． 【详解】解：连接，如图， ∵，是中线， ∴点是的中点，点是的中点， ∴， 即 ∴， ∵，是中线，和交于点N， ∴, ∴， 故选D． 8．【答案】B 【详解】（1）∵AD平分△ABC的外角∠EAC ∴∠EAD=∠DAC， ∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB， ∴∠EAD=∠ABC， ∴AD∥BC， 故①正确． （2）由（1）可知AD∥BC ∴∠ADB=∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∴∠ABC=2∠ADB， ∵∠ABC=∠ACB， ∴∠ACB=2∠ADB， 故②正确． （3）在△ADC中,∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°， ∵CD平分△ABC的外角∠ACF， ∴∠ACD=∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB ∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD， ∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180° ∴∠ADC+∠ABD=90° ∴∠ADC=90°-∠ABD， 故③正确， （4）如果BD平分∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴只有在△ABC是正三角形时才有BD平分∠ADC 故④错误． （5）∵∠BAC+∠ABC=∠ACF， ∴∠BAC+∠ABC=∠ACF， ∵∠BDC+∠DBC=∠ACF， ∴∠BAC+∠ABC=∠BDC+∠DBC， ∵∠DBC=∠ABC， ∴∠BAC=∠BDC，即∠BDC=∠BAC. 故⑤正确． 故答案为①②③⑤． 故选B 9．【答案】 【分析】首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得，可得x的范围，然后再确定x的值即可． 【详解】解：设第三边长为x，由题意得： ， 解得：， ∵第三边长为偶数， ∴， ∴第三边的长为． 10．【答案】54° 11．【答案】钝角 【分析】 根据三角形按角的分类可得结论． 【详解】 解：在中，，，， ， 是钝角三角形. 12．【答案】 【分析】根据三角形的三边关系列不等式求出的取值范围，再根据绝对值的性质化简即可，熟记性质是解题的关键． 【详解】解：由三角形的三边关系可得：， 解得：， ∴. 13．【答案】66.5°． 【详解】∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF； 又∵∠B=47°，∠B+∠BAC+∠BCA=180°（三角形内角和定理）， ∴∠DAC+ACF=（∠B+∠ACB）+（∠B+∠BAC） =（∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）=． ∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+ACF）=66.5°． 14．【答案】80 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质可得∠FMA=∠F+∠1，∠E+2∠1=2∠FMA，从而得出∠E=2∠F求解． 【详解】如图，根据角平分线的性质和平行线的性质， 可知∠FMA=∠CPE=∠F+∠1，∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA， ∴∠E+2∠1=2（∠F+∠1） ∴∠E=2∠F=2×40°=80°． 故答案为80． 15．【答案】4；3 【分析】根据三角形的中线分出的两个三角形的面积相等解答即可． 【详解】解：∵，点是边的三等分点， ∴，， ∵点E是的中点， ∴，， ∴， 又∵点F是的中点， ∴． 【知识归纳】三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分． 16．【答案】/107度 【分析】由三角形高的定义得，即得，进而得，即可得，进而由角平分线的定义得，，最后根据三角形内角和定理即可求解 【详解】解：∵是的高， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， 又∵分别平分和， ∴， ∴. 17．【答案】（1）该三角形最短边的最小值4； （2） 【分析】（1）设最短的边的长度为x，较长边的长度为，然后根据题意列不等式求得，然后根据三边长都是整数即可解答； （2）设，然后根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设最短的边的长度为x，较长边的长度为， 由题意可得：，解得：， ∵一个三角形的三边长都是整数， ∴该三角形最短边的最小值4； （2）解：设， 由题意可得：， 解得：． 18．【答案】， 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形的内角和定理求出的度数，角平分线的定义求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数，根据三角形的内角和定理求出的度数，再利用角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是角平分线， ∴，， ∴ ∵是高， ∴， ∴， ∴． 19．【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用是高，可得，求出，再根据角平分线的定义求出，即可求出的度数； （2）利用是高，可得，得出，根据角平分线的定义求出，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）解：是高， ， 又， ， 是角平分线， ， ． （2）解：是高， ， 又， ， 是角平分线， ， ， ． 20．【答案】（1）36°或18°；（2）△AOB、△AOC都是“梦想三角形”，证明详见解析；（3）∠B＝36°或∠B＝． 【分析】（1）根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，可得另两个角的和为72°，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，72°÷（1＋3）＝18°，由此比较得出答案即可； （2）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO、∠OAC的度数，根据“梦想三角形”的定义判断即可； （3）根据同角的补角相等得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根据“梦想三角形”的定义求解即可． 【详解】解：当108°的角是另一个内角的3倍时， 最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°， 当180°﹣108°＝72°的角是另一个内角的3倍时， 最小角为72°÷（1＋3）＝18°， 因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为36°或18°． 故答案为：18°或36°． （2）△AOB、△AOC都是“梦想三角形” 证明：∵AB⊥OM， ∴∠OAB＝90°， ∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°， ∴∠OAB＝3∠ABO， ∴△AOB为“梦想三角形”， ∵∠MON＝60°，∠ACB＝80°，∠ACB＝∠OAC＋∠MON， ∴∠OAC＝80°﹣60°＝20°， ∴∠AOB＝3∠OAC， ∴△AOC是“梦想三角形”． （3）解：∵∠EFC＋∠BDC＝180°，∠ADC＋∠BDC＝180°， ∴∠EFC＝∠ADC， ∴AD∥EF，   ∴∠DEF＝∠ADE， ∵∠DEF＝∠B， ∴∠B＝∠ADE， ∴DE∥BC，   ∴∠CDE＝∠BCD， ∵AE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠B＝∠BCD， ∵△BCD是“梦想三角形”， ∴∠BDC＝3∠B，或∠B＝3∠BDC， ∵∠BDC＋∠BCD＋∠B＝180°， ∴∠B＝36°或∠B＝． 21．【答案】（1） （2） ；； （3） 【解】如图，延长交于.因为 , ,所以， 同理可得.因为平分，平分，所以，.易证，所以.因为 ，，所以 . 【解析】 （1） 易证，，所以.因为平分，平分，所以，，所以，所以 .故答案为 . （2） 易证，，所以.因为，分别是，的平分线，所以，，所以，所以.又因为 ， ，所以 .故答案为，， . （3） 由（1）和（2）得，故答案为. 【关键点拨】 掌握角平分线的定义和等量代换是解决问题的关键． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$